第3節(jié)萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用一、選擇題1．一飛船在某行星表面四周沿圓軌道繞該行星飛行．認(rèn)為行星是密度均勻的球體，要確定該行星的密度，只需要測(cè)量()A．飛船的軌道半徑B．飛船的運(yùn)行速度C．飛船的運(yùn)行周期D．行星的質(zhì)量2．在萬(wàn)有引力常量G已知的狀況下，若再知道下列哪些數(shù)據(jù)，就可以計(jì)算出地球的質(zhì)量()A．地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的周期及地球離太陽(yáng)的距離B．人造地球衛(wèi)星在地面四周繞行的速度和運(yùn)行周期C．月球繞地球運(yùn)行的周期及地球半徑D．若不考慮地球自轉(zhuǎn)，已知地球半徑和地球表面的重力加速度3．我國(guó)曾放射一顆繞月運(yùn)行的探月衛(wèi)星“嫦娥1號(hào)”．設(shè)想“嫦娥1號(hào)”貼近月球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其周期為T.“嫦娥1號(hào)”在月球上著陸后，自動(dòng)機(jī)器人用測(cè)力計(jì)測(cè)得質(zhì)量為m的儀器重力為P.已知引力常量為G，由以上數(shù)據(jù)可以求出的量有()A．月球的半徑B．月球的質(zhì)量C．月球表面的重力加速度D．月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度二、非選擇題4．已知地球質(zhì)量大約是M＝6.0×1024kg，地球平均半徑為R＝6370km，地球表面的重力加速度g＝(1)地球表面一質(zhì)量為10kg(2)該物體受到的重力；(3)比較說(shuō)明為什么通常狀況下重力可以認(rèn)為等于萬(wàn)有引力．5．假設(shè)在半徑為R的某天體上放射一顆該天體的衛(wèi)星，若它貼近天體的表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T1，已知萬(wàn)有引力常量為G，則該天體的密度是多少？若這顆衛(wèi)星距該天體表面的高度為h，測(cè)得在該處做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T2，則該天體的密度又是多少？6.已知萬(wàn)有引力常量G，地球半徑R，月球和地球之間的距離r，同步衛(wèi)星距地面的高度h，月球繞地球的運(yùn)轉(zhuǎn)周期T1.地球的自轉(zhuǎn)周期T2，地球表面的重力加速度g，某同學(xué)依據(jù)以上條件，提出一種估算地球質(zhì)量M的方法：同步衛(wèi)星繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)，由Geq\f(Mm,h2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T2)))2h，得M＝eq\f(4π2h3,GT\o\al(2,2)).(1)請(qǐng)推斷上面的結(jié)果是否正確，并說(shuō)明理由．如不正確，請(qǐng)給出正確的解法和結(jié)果；(2)請(qǐng)依據(jù)已知條件再提出兩種估算地球質(zhì)量的方法并解得結(jié)果．7．已知地球半徑R＝6.4×106m，地面四周重力加速度g＝9.8m/s2，計(jì)算在距離地面高為h＝2.0×第3節(jié)萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用1．C[飛船在行星表面四周飛行，則Geq\f(Mm,R2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2R，M＝eq\f(4π2R3,GT2)，行星的密度為ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(\f(4π2R3,GT2),\f(4,3)πR3)＝eq\f(3π,GT2)，即只要知道飛船的運(yùn)行周期就可以確定該行星的密度．故C選項(xiàng)正確．]2．BD[已知地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的狀況只能求太陽(yáng)的質(zhì)量，A錯(cuò)．由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)及T＝eq\f(2πR,v)得M＝eq\f(Tv3,2πG)，B對(duì)．已知月球繞地球的周期及軌道半徑才能求地球的質(zhì)量，C錯(cuò)．由mg＝Geq\f(Mm,R2)得M＝eq\f(gR2,G)，D對(duì)．]3．ABC[萬(wàn)有引力供應(yīng)衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，設(shè)衛(wèi)星質(zhì)量為m′，有Geq\f(Mm′,R2)＝m′Req\f(4π2,T2)，又月球表面萬(wàn)有引力等于重力，Geq\f(Mm,R2)＝P＝mg月，兩式聯(lián)立可以求出月球的半徑R、質(zhì)量M、月球表面的重力加速度g月，故A、B、C都正確．]4．(1)98.6N(2)98.0N(3)見解析解析(1)由萬(wàn)有引力定律得F＝Geq\f(Mm,r2)，代入數(shù)據(jù)得F≈98.6N.(2)重力G＝mg＝98.0N.(3)比較結(jié)果，萬(wàn)有引力比重力大，緣由是在地球表面上的物體所受到的萬(wàn)有引力可分解為重力和隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力．但計(jì)算結(jié)果表明物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力遠(yuǎn)小于物體受到的萬(wàn)有引力，所以通常狀況下可認(rèn)為重力等于萬(wàn)有引力．5.eq\f(3π,GT\o\al(2,1))eq\f(3πR＋h3,GT\o\al(2,2)R3)解析設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，天體的質(zhì)量為M.衛(wèi)星貼近天體表面運(yùn)動(dòng)時(shí)有Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T\o\al(2,1))R，M＝eq\f(4π2R3,GT\o\al(2,1))依據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)可知星球的體積V＝eq\f(4,3)πR3故該星球密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(4π2R3,GT\o\al(2,1)·\f(4,3)πR3)＝eq\f(3π,GT\o\al(2,1))衛(wèi)星距天體表面距離為h時(shí)有Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(4π2,T\o\al(2,2))(R＋h)，M＝eq\f(4π2R＋h3,GT\o\al(2,2))ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(4π2R＋h3,GT\o\al(2,2)·\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πR＋h3,GT\o\al(2,2)R3)6．見解析解析(1)上面結(jié)果是錯(cuò)誤的．地球的半徑R在計(jì)算過(guò)程中不能忽視．正確的解法和結(jié)果是Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T2)))2(R＋h)，得M＝eq\f(4π2R＋h3,GT\o\al(2,2))(2)方法一：對(duì)于月球繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，由Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T1)))2r，得M＝eq\f(4π2r3,GT\o\al(2,1)).方法二：在地球表面重力近似等于萬(wàn)有引力，由Geq\f(Mm,R2)＝mg得M＝eq\f(gR2,G).7．6.9×103m/s7.6×10解析依據(jù)萬(wàn)有引力供應(yīng)衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，即Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(v2,R＋h).知v＝eq\r(\f(GM,R＋h))①由地球表面四周萬(wàn)有引力近似等于重力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg，得GM＝gR2②由①②兩式可得v＝eq\r