第第頁3.如圖1,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=60°,AD=2,BC=6,點E為邊CD的中點,點F為邊BC上的一動點(點F不與點B、C重合),聯(lián)結(jié)AE、EF和AF,點P、Q分別為AE、EF的中點,設(shè)BF=x,PQ=y.(1)求AB的長;(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；(3)聯(lián)結(jié)CQ,當CQ∥AE時,求x的值.4.如圖1,矩形ABCD中,AB=6,BC=10,P是邊AD上一點,把△ABP沿BP所在的直線翻折后得到△EBP,直線PE與邊BC相交于點F,點E在線段PF上.(1)如果點F和點C重合,求AP;(2)設(shè)AP=x，BF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出定義域；(3)聯(lián)結(jié)DF,如果△PDF是以PF為腰的等腰三角形,求AP的長.5.已知在邊長為6的正方形ABCD中，點E為射線DB上的一個動點(點E不與點B、D重合)，聯(lián)結(jié)CE，將線段CE繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CF，聯(lián)結(jié)EF.(1)如圖1,當點E在線段DB上時,求證:∠CDF=45°;(2)如圖1,當點E在線段DB上時,設(shè)DE=x,DF=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；(3)在點E運動的過程中，若點A、E、F恰好在一條直線上,求DE的長.6.如圖1,已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=3,BC=10,AD=5,M是BC邊上的任意一點，聯(lián)結(jié)DM，聯(lián)結(jié)AM.(1)若AM平分∠BMD,求BM的長;(2)如圖2,過點A作AE⊥DM,交DM所在直線于點E.①設(shè)BM=x,AE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;②聯(lián)結(jié)BE，當△ABE是以AE為腰的等腰三角形時，請直接寫出BM的長.7.已知:在正方形ABCD中,AB=2,點P是射線AB上的一點,聯(lián)結(jié)PC、PD,點E、F分別是AB和PC的中點,聯(lián)結(jié)EF交PD于點Q.(1)如圖1,當點P與點B重合時,△QPE的形狀是;(2)如圖2,當點P在AB的延長線上時,設(shè)BP=x,EF=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出定義域；(3)當點Q在邊BC上時,求BP的長.8如圖1,在菱形ABCD中,AB=4,AC=43,點M是AC上一點,點N在BC上,且MB=MN,設(shè)AM=x.(1)當MB⊥CB時,如圖2,求AM的長;(2)設(shè)BN=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及其定義域；(3)若△MCN是以CN為腰的等腰三角形,求AM的長.9.如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,點D是斜邊AB中點,作DE⊥AB,交直線AC于點E.(1)若∠A=30°,求線段CE的長;(2)當點E在線段AC上時,設(shè)BC=x,CE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；(3)若CE=1,求BC的長.10如圖1,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AB=23.E是邊AB的中點,聯(lián)結(jié)DE、CE,且DE⊥CE.設(shè)AD=x,BC=y.(1)如果∠BCD=60°,求CD的長;(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；(3)聯(lián)結(jié)BD.如果△BCD是以邊CD為腰的等腰三角形,求x的值.11.如圖1,在△ABC中,AE平分∠CAB交BC于點E,AC=6,CE=3,AE=35,BE=5,點F是邊AB上的動點(點F與點A、B不重合),聯(lián)結(jié)EF,設(shè)BF=x,EF=y.(1)求AB的長;(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；(3)當△AEF為等腰三角形時,直接寫出BF的長.12如圖1,在△ABC中,∠BCA=90°,∠A=30°,BC=2.將三角板中一個30°角的頂點D放在AB邊上移動，使這個30°角的兩邊分別與△ABC的邊AC、BC相交于點E、F，且使DE始終與邊AB垂直.(1)如圖1,當點F與點C重合時,求CD的長;(2)如圖2,設(shè)AD=x,BF=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出定義域;(3)填空:聯(lián)結(jié)EF,若△DEF是直角三角形,則AD的長為.參考答案1.滿分解答(1)如圖1,在Rt△BCD中,BC=5,BD=3,所以CD=4.由CA=CB,CF⊥AB,可知E是AB的中點.由△ABD∽△FDC,得BACF=BD(2)如圖2,過點P作AC的平行線交AB于G,交BD于H,那么PG所以x=如圖3,由PG=PB,PM⊥AB,可知M是BG的中點.由△GBH∽△NPH,得BG所以2BMPN所以y=2.滿分解答(1)如圖2,當直線l經(jīng)過點B時,點E與點B重合.在Rt△BQC中,CQ=AP=x,BQ=BP=8-x,BC=6.由勾股定理，得8?x2=62+x2.解得(2)如圖3,設(shè)BE=m,那么CE=6-m.由EP=EQ,得EP2=EQ2.在Rt△BPE和Rt△CQE中,由勾股定理,得8?x整理，得BE=m=(3)由S梯形PQCB=SS得y==24+定義域是7定義域是這樣的：如圖2，當直線l經(jīng)過點B時，E、B重合，此時.x=如圖4，當直線l經(jīng)過點C時，E、C重合，根據(jù)對稱性，BP=此時x=8?3滿分解答(1)如圖2,過點A作AH⊥BC于H,過點D作DG⊥BC于G.所以四邊形ADGH為矩形,Rt△ABH≌Rt△DCG.在Rt△ABH中,∠B=60°,BH=GC=2,所以AH=2(2)如圖3,在Rt△AHF中,AH=23,HF=|BF-BH|=|x-2|,所以AF=2在△AEF中,點P、Q分別為AE、EF的中點,所以PQAF,PQ=所以y=定義域是0<x<6.(3)【方法一】如圖4,延長AE,交BC延長線于點M.因為點E為邊CD中點,所以DE=CE=2.所以DE=AD.所以∠1=∠2=30°.因為CM∥AD,所以∠4=∠2.因為∠3=∠1,所以.∠3=∠4=30°.所以CE=CM.如圖5,過點M作MN∥EF交QC延長線于N,所以∠5=∠6.又因為CQ∥EF，所以四邊形QEMN為平行四邊形.所以MN=QE.因為QF=QE,所以MN=QF.在△CFQ和△CMN中,∠7=∠8,∠5=∠6,QF=NM,所以△CFQ≌△CMN.所以CF=CM.所以CF=CE=2.所以x=BF=BC-CF=6-2=4.【方法二】如圖6,因為點E為邊CD中點,所以DE=CE=2.所以DE=AD.所以∠1=∠2=30°.因為CQ∥AE,所以∠1=∠9=30°.又因為∠BCD=∠B=60°,所以∠7=30°,∠7=∠9.如圖7,延長CQ至C',使得(C在△CFQ和△C'EQ中,QF=QE,∠CQF=∠C'QE,CQ=C'Q,所以△CFQ≌△C'EQ.所以CF=C'E,∠7=∠10.所以∠9=∠10,所以CF=CE=2.所以x=BF=BC-CF=6-2=4.4滿分解答(1)如圖2,由AD∥BC,得∠APB=∠CBP.由△APB≌△EPB,得∠APB=∠EPB.所以∠CBP=∠EPB.所以FP=FB.如圖3,如果點F和點C重合,在Rt△DPC中,DC=6,PC=BC=10,所以PD=8.此時AP=AD-PD=10-8=2.(2)如圖4,在Rt△BEF中,BE=BA=6,BF=y,FE=FP-EP=FB-AP=y-x.由勾股定理，得BF2=BE2+EF2.所以y2=62+y?x2.整理，得如圖3,當x=2時,F、C重合.如圖5,當x=6時,四邊形ABFP是正方形,E、F重合.(3)①如圖6,如果PF=PD,那么y=10-x.解方程x2+362x因為Δ<0，所以此方程無實數(shù)根.所以不存在PF=PD的情況.②如圖7,如果FP=FD,那么點F在PD的垂直平分線上.所以PD=2FC.所以10-x=2(10-y)=20-2y.解方程10?x=20?x2+365滿分解答(1)如圖2,由∠ECF=∠BCD=90°,得∠DCF=∠BCE.又因為DC=BC,FC=EC,所以△DCF≌△BCE.所以∠CDF=∠CBE=45°.(2)如圖2,在等腰直角三角形BCD中,BC=6,所以BD=6由△DCF≌△BCE,得.DF=BE=y.由BD=BE+DE,得.y+x=6所以y=?x+62.定義域是((3)如圖3,由于△BEA≌△BEC,所以∠BEA=∠BEC.在△CEF中,∠CEF=45°為定值.①如圖3,當點E落在AF上時,∠BEA=∠BEC=67.5°.此時在△BEC中,由于∠CBE=45°,所以∠BCE=67.5°.所以BE=BC=6.所以.DE=BD?BE=6②如圖4,當點E落在AF的延長線上時,∠BEA=∠BEC=22.5°.此時在△BEC中,由于外角∠DBC=45°,所以∠BCE=22.5°.所以BE=BC=6.所以.DE=BD+BE=66滿分解答(1)如圖3,過點D作DN⊥BC于N.所以DN=AB=3,BN=AD=5.因為AM平分∠BMD,所以∠1=∠2.因為AD∥BC,所以∠1=∠3.所以∠2=∠3,DM=DA=5.在Rt△DNM中,DM=5,DN=3,所以MN=4.如圖3,當點M在點N左側(cè)時,BM=BN-MN=5-4=1;如圖4,當點M在點N右側(cè)時,BM=BN+MN=5+4=9.(2)①如圖5、圖6,在Rt△DNM中,DN=3,MN=|BN-BM|=|5-x|,所以DM=因為SAMD=12DM?AE=②如圖6,當EA=EB時,點E在梯形ABCD的中位線上.所以DE=EM.又因為AE⊥DM,所以AM=AD=5.在Rt△ABM中,AB=3,AM=5,所以BM=4.如圖7、圖8,當AE=AB時,在Rt△ABM和Rt△AEM中,AM=AM,AB=AE,所以Rt△ABM≌Rt△AEM.所以∠1=∠2.由(1),可知當點M在點N左側(cè)時,BM=1;當點M在點N右側(cè)時,BM=9.6滿分解答(1)△QPE的形狀是等腰直角三角形.(2)如圖3,延長BA至M,使得AM=BP=x.因為E是AB的中點，所以E是AP的中點.又因為F是CP的中點,所以EF是△MCP的中位線.所以EFMC,EF=在Rt△MCB中,MB=x+2,CB=2,所以.MC2=所以y=EF=定義域是x>0.【解法二】如圖4,延長BF至H,使得FH=BF.那么四邊形CBPH是矩形.所以EF是△ABH的中位線,EF=在Rt△APH中,AH2=(3)如圖5,由△MBC≌△PAD,得∠M=∠DPA.由EF∥MC,得∠M=∠FEP.所以∠DPA=∠FEP.所以QE=QP.當點Q在邊BC上時,QB垂直平分EP,所以BP=BE=1.【解法二】如圖6,由△DPA≌△HAP,得∠DPA=∠HAP.由EF∥MC,得∠FEP=∠HAP.所以∠DPA=∠FEP.所以QE=QP.當點Q在邊BC上時,QB垂直平分EP,所以BP=BE=1.7滿分解答(1)因為菱形的對角線互相垂直平分,所以在Rt△AOB中,AB=4,AO=23由勾股定理,得BO=2.所以∠BAO=30°.所以△ABD和△CBD是兩個邊長為4的等邊三角形.如圖3,當MB⊥CB時,∠MBA=30°.又因為∠BCM=∠BAM=30°,所以AM=BM,BM=1所以AM=12CM.(2)如圖4,作MH⊥BC于H.因為MB=MF,所以.BH=FH=12BF=在Rt△MCH中,由∠MCH=30°,得.MH=由勾股定理，得CM2?12CM所以3243?x=4?當x=4當x=8(3)①如圖6,當NM=NC時,∠NMC=∠NCM=30°.所以.∠BNM=60°.所以等腰三角形BMN是等邊三角形,∠MBN=60°.此時M與O重合，AM=AO=2②不存在CM=CN的可能.這是因為CN≤CH<CM(如圖4所示).否則,如圖7所示,當CM=CN時,點N在CB的延長線上,不符合題意.8滿分解答(1)如圖2,因為DE垂直平分AB,所以AE=BE.所以∠A=∠EBA.當∠A=30°時,∠A=∠EBA=∠EBC=30°.所以CE=12BE=(2)如圖3,在Rt△BCE中,BC=x,CE=y,BE=AE=AC--CE=6-y.由勾股定理，得6?y2=x2+y2.整理，得y=?(3)CE=1存在兩種情況：點E在AC上，或點E在AC的延長線上.①如圖3，當點E在AC上時，解方程?112x2+3=1,得②如圖4,當點E在AC的延長線上時,在Rt△BCE中,BE=AE=AC+CE=6+y.由勾股定理，得6+y2=x2+y2.整理，得解方程112x2?3=1,得9滿分解答(1)如圖2,作DH⊥BC于H.在Rt△DCH中,DH=AB=23,∠BCD=60°,所以∠HDC=30°.所以DC=2CH.設(shè)CH=m,那么(2m解得m=2.所以CD=4.(2)如圖3,已知.AB=23,E是邊AB的中點，所以.在Rt△ADE中,AD2+DE2=AE2=x2+3.在Rt△BCE中,CE2=BC2+BE2=y2+3.在Rt△DCE中,DC2=DE2+CE2=x2+3+y2+3=x2+y2+6.在Rt△DCH中,D所|以x2+y2+6=x2?2xy+y2+12.整理,得xy=3.所以y=3(3)①如圖4,當DC=DB時,DH垂直平分BC,所以BC=2AD,即y=2x.所以2x2=3.解得x=②如果CD=CB,那么(CD2=CB2.因為方程x2+y2+6=y2無實數(shù)根，所以不存在CD=CB的可能.【解法二】如圖5，延長DE交CB的延長線于M，延長CE交DA的延長線于N，聯(lián)結(jié)MN.因為E是AB的中點,可證△AED≌△BEM,△BEC≌△AEN.于是可得DE=ME,CE=NE.所以四邊形NMCD是平行四邊形.又因為DE⊥CE,所以四邊形NMCD是菱形.(1)如圖6,當∠BCD=60°時,在Rt△BCE中,∠BCE=30°,BE=3在Rt△ADE中，∠AED=30所以DE=2AD=2x.所以2x2?x2=3在Rt△DCE中，DC2=DE2+CE2=4+12=16.所以CD=4.(2)如圖5,在Rt△EMC中,MC2=CE2+ME2=CE2+DE2.所以x+y2=y2+3+x2+3.于是得到(3)①DC=DB的解法同上.②如圖5，因為CD=CM,CM>CB,所以CD不可能等于CB.10滿分解答(1)如圖2,在△ACE中,A所以.AE2=CE2+AC2.所以△ACE是直角三