復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則公式復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，也叫鏈?zhǔn)椒▌t，是微積分中的重要概念，是求解復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵。本文將介紹復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的基本概念、公式和應(yīng)用。一、什么是復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)是將一個函數(shù)作為另一個函數(shù)的輸入值，類似于嵌套，通過組合這兩個函數(shù)產(chǎn)生一個新的函數(shù)的過程。形式上，若函數(shù)f(x)和g(x)均為實數(shù)到實數(shù)的映射，則其復(fù)合函數(shù)為所定義的函數(shù)h(x)，對于每個x∈R，有：h(x)=f(g(x))其中，g(x)為函數(shù)f(x)的自變量。用圖像來表示復(fù)合函數(shù)，可以想象成，首先從自變量x開始，先經(jīng)過g(x)的變換，得到中間量g(x)，再將其作為f(x)的輸入，進行f(x)的變換，這樣得到的最終輸出即為h(x)的值。二、鏈?zhǔn)椒▌t的引入對于給定的復(fù)合函數(shù)h(x)，求其導(dǎo)數(shù)可以采用基本的導(dǎo)數(shù)法則，如求和法則、差法則和積法則等。但對于如上所述的復(fù)合函數(shù)，常規(guī)的導(dǎo)數(shù)法則并不能直接得到其導(dǎo)數(shù)的表達式。例如，設(shè)：h(x)=(x^2+1)^5如果直接對其求導(dǎo)，式子會變得非常復(fù)雜。但如果我們將其看成是將一個函數(shù)g(x)作為另一個函數(shù)f(x)的輸入來進行計算，即：g(x)=x^2+1f(g(x))=g(x)^5這樣，我們就可以通過f(x)和g(x)的導(dǎo)數(shù)來求出復(fù)合函數(shù)h(x)的導(dǎo)數(shù)，從而避免了直接對h(x)求導(dǎo)時的復(fù)雜度。這就是鏈?zhǔn)椒▌t的思路。三、鏈?zhǔn)椒▌t的公式1.一元函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t假設(shè)y=f(u)和u=g(x)是實值函數(shù)，且它們都可導(dǎo)，則$y=f(g(x))$為實值函數(shù)，且它的導(dǎo)數(shù)由下式計算：$$\\left.y^{\\prime}\\right|_{x}=\\left.\\frac{\\mathrmoqgeaoey}{\\mathrmggmsgmqu}\\right|_{u=g(x)}\\cdot\\frac{\\mathrm{~d}u}{\\mathrmcmigukax}$$其中，“|”表示在某個特定點處求導(dǎo)。2.多元函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t假設(shè)有多個自變量u1,u2,…,un作為輸入，其中：$$y=f(u1,u2,\\cdots,un)$$而這些自變量又可以看作是其他自變量的函數(shù)，如：\\begin{aligned}u_{1}&=g_{1}(x_{1},x_{2},\\cdots,x_{m})\\\\u_{2}&=g_{2}(x_{1},x_{2},\\cdots,x_{m})\\\\&\\cdots\\\\u_{n}&=g_{n}(x_{1},x_{2},\\cdots,x_{m})\\end{aligned}則：$$\\frac{\\partialy}{\\partialx_{i}}=\\sum_{j=1}^{n}\\frac{\\partialy}{\\partialu_{j}}\\cdot\\frac{\\partialu_{j}}{\\partialx_{i}}$$其中，$\\frac{\\partialy}{\\partialu_{j}}$和$\\frac{\\partialu_{j}}{\\partialx_{i}}$分別是函數(shù)y和ui對于xj的偏導(dǎo)數(shù)。四、鏈?zhǔn)椒▌t的應(yīng)用鏈?zhǔn)椒▌t在求解復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)中有廣泛應(yīng)用，且能通過嵌套求導(dǎo)的方式求解復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可用于數(shù)學(xué)、物理、工程等諸多領(lǐng)域的問題求解。舉例來說，假設(shè)有如下函數(shù)：$$f(x)=\\sin(x^2+1)$$可以看出，其由兩個函數(shù)嵌套而成，因此可以使用鏈?zhǔn)椒▌t來求解。首先設(shè)：\\begin{aligned}u&=x^2+1\\\\y&=\\sinu\\end{aligned}此時，我們可以分別求出f(x)中每個函數(shù)對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)，即：\\begin{aligned}\\frac{\\mathrmgygukqyu}{\\mathrmggeiqesx}&=2x\\\\\\frac{\\mathrmomqocasy}{\\mathrmkouiaiwu}&=\\cosu\\end{aligned}然后，通過鏈?zhǔn)椒▌t，組合這些導(dǎo)數(shù)，即可求出復(fù)合函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)：$$\\frac{\\mathrmgyuaqmey}{\\mathrmkueuwkix}=\\frac{\\mathrmcswusqey}{\\mathrmkeoeuqou}\\cdot\\frac{\\mathrmegusqmiu}{\\mathrmqygesgux}=\\cos(x^2+1)\\cdot2x$$五、總結(jié)鏈?zhǔn)?/p>