課時6.4萬有引力理論的成就1.了解萬有引力定律在天文學(xué)上的重要應(yīng)用。2.會用萬有引力定律計算天體質(zhì)量,了解“稱量地球質(zhì)量”“計算太陽質(zhì)量”的基本思路。3.生疏萬有引力定律的科學(xué)成就,體會科學(xué)思想方法。重點難點:把握依據(jù)萬有引力定律及相關(guān)學(xué)問求中心天體質(zhì)量的方法。教學(xué)建議:本節(jié)屬于應(yīng)用性學(xué)問的教學(xué)內(nèi)容,使萬有引力定律在應(yīng)用中得到進(jìn)一步檢驗;通過教學(xué)使同學(xué)的思維力量得到進(jìn)一步訓(xùn)練;教材的立意是使同學(xué)感受用物理理論探究未知世界的科學(xué)魅力,激發(fā)探究未知世界的愛好。老師在授課過程中應(yīng)引導(dǎo)同學(xué)自覺養(yǎng)成科學(xué)探究的良好習(xí)慣,學(xué)習(xí)科學(xué)家們堅韌不拔的精神?？梢苑攀纸o同學(xué),讓同學(xué)相互掛念探究課本中的問題,學(xué)習(xí)教材內(nèi)容后解答問題,真正以同學(xué)為學(xué)習(xí)主體。導(dǎo)入新課:地球很大很大,以至于我們?nèi)祟愒鯓诱垓v地球,地球也不會因此動一下。但再大的物體也有質(zhì)量,地球的質(zhì)量有多大?太陽的質(zhì)量又有多大?我們怎么才能求出來?今日我們就來試著解決這些問題。1.計算地球質(zhì)量(1)地球上的物體具有重力是由于①地球的吸引而產(chǎn)生的,若不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響,地面上的物體所受的重力等于物體受到的②地球的萬有引力。(2)公式:③G=mg。(3)我們只需測出④地球半徑R和地球表面的⑤重力加速度g,即可求地球的質(zhì)量M=⑥。2.計算其他天體質(zhì)量(1)將行星或衛(wèi)星的運動近似看作⑦勻速圓周運動,行星或衛(wèi)星的向心力由⑧萬有引力供應(yīng)。(2)觀測圍繞中心天體運動的⑨行星軌道半徑r和⑩運動周期T,依據(jù)萬有引力供應(yīng)向心力,由牛頓其次定律列出方程G=m()2r,求得中心天體的質(zhì)量M=。3.計算中心天體的密度假如中心天體為球體,則密度ρ==,R為中心天體的半徑。當(dāng)勻速圓周運動的天體繞中心天體表面運行時,則r=R,則上式可簡化為ρ=。4.發(fā)覺未知天體(1)被人們稱為“筆尖下發(fā)覺的行星”被命名為海王星。(2)海王星的發(fā)覺和哈雷彗星的“按時回歸”確立了萬有引力定律的地位,也成為科學(xué)史上的美談。1.通過計算天體的質(zhì)量,說說開普勒第三定律中的常量k與哪些因素有關(guān)。解答:常量k與太陽(中心天體)的質(zhì)量有關(guān)。2.太陽系八大行星中離太陽最近和最遠(yuǎn)的分別是什么?解答:最近的是水星,最遠(yuǎn)的是海王星。主題1:試驗室中“稱量”地球質(zhì)量問題:(1)不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響,地面上物體受到的地球引力有哪兩種表達(dá)形式?(2)設(shè)地面四周的重力加速度g=9.8m/s2,地球半徑R=6.4×106m,引力常量G=6.67×10-11N·m2(3)總結(jié)稱量地球質(zhì)量的方法和原理。(4)依據(jù)地球表面的重力加速度g、引力常量G怎樣計算出地球的密度?解答:(1)不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響,地面上物體受到的地球引力F等于物體的重力,因此,F=mg,依據(jù)萬有引力公式有F=。(2)對地面上的物體有G=mg,則地球質(zhì)量M=,將g=9.8m/s2,地球半徑R=6.4×106m,引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2代入得,M=kg=6.(3)“稱量”地球質(zhì)量的方法。①稱量條件:不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響。②稱量原理:地面上物體所受到的重力等于地球?qū)λ娜f有引力,即mg=G。(4)由于地面上物體受到的地球引力F等于物體的重力,mg=,又由于M=πR3ρ,所以密度ρ=。學(xué)問鏈接:不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響,地面上物體受到的重力等于地球?qū)ξ矬w的引力。主題2:計算未知天體的質(zhì)量的方法問題:閱讀教材“計算天體的質(zhì)量”標(biāo)題下的內(nèi)容,結(jié)合教材學(xué)問以及前面所學(xué)勻速圓周運動的學(xué)問,加以爭辯、綜合,然后回答下列問題。(1)應(yīng)用萬有引力定律求解天體質(zhì)量的基本思路是什么?(2)以月球繞地球運行為例,請你應(yīng)用天體運動的動力學(xué)方程——萬有引力充當(dāng)向心力,寫出全部可能的表達(dá)式。(3)依據(jù)上面的推導(dǎo),月球繞地球運動的動力學(xué)方程有多個,如:F=m、F=mω2r、F=m,我們通常選擇哪個方程來計算地球的質(zhì)量?為什么?利用此方法能否求出月球的質(zhì)量?(4)請你總結(jié)應(yīng)用萬有引力定律計算未知天體質(zhì)量的方法。解答:(1)依據(jù)環(huán)繞天體運動的狀況,求出向心加速度,然后依據(jù)萬有引力充當(dāng)向心力,列方程求解。(2)①若已知月球繞地球做勻速圓周運動的周期為T,半徑為r,依據(jù)萬有引力等于向心力,即=m月r()2,可求得地球質(zhì)量M地=。②若已知月球繞地球做勻速圓周運動的半徑r和月球運行的線速度v,由于地球?qū)υ虑虻囊Φ扔谠虑蜃鰟蛩賵A周運動的向心力,依據(jù)牛頓其次定律,得G=m月,解得地球的質(zhì)量為M地=。③若已知月球運行的線速度v和運行周期T,由于地球?qū)υ虑虻囊Φ扔谠虑蜃鰟蛩賵A周運動的向心力,依據(jù)牛頓其次定律,得=m月r()2,v=,由以上兩式解得M地=。(3)由于天文觀測中月球繞地球運動的線速度v和角速度ω不易觀測,但月球繞地球運動的周期T比較簡潔觀測出來,所以我們應(yīng)當(dāng)用F=mr來計算地球質(zhì)量。從以上各式的推導(dǎo)過程可知,利用萬有引力定律只能求出中心天體(地球)的質(zhì)量,而不能求環(huán)繞天體(月球)的質(zhì)量,由于環(huán)繞天體(月球)的質(zhì)量同時消滅在方程的兩邊,已被約掉。(4)應(yīng)用萬有引力定律計算某個未知天體的質(zhì)量,有兩種方法:①已知某天體表面的重力加速度g和半徑R,依據(jù)公式M=求解。②已知天體的一顆行星(或衛(wèi)星)繞其運動的公轉(zhuǎn)周期T和軌道半徑r,利用公式M=求解。學(xué)問鏈接:天體之間的萬有引力供應(yīng)向心力,則=ma=m=mω2r=m()2r,依據(jù)公式可求出中心天體的質(zhì)量M,做勻速圓周運動天體的線速度v、角速度ω、周期T,等等。主題3:發(fā)覺未知天體問題:閱讀教材“發(fā)覺未知天體”標(biāo)題下的內(nèi)容,回答下列問題。(1)應(yīng)用萬有引力定律除可估算天體質(zhì)量外,還可以在天文學(xué)上有何應(yīng)用?(2)應(yīng)用萬有引力定律發(fā)覺了哪些行星?(3)人們是怎樣應(yīng)用萬有引力定律來發(fā)覺未知天體的?發(fā)表你的看法。解答:(1)應(yīng)用萬有引力定律還可以用來發(fā)覺未知的天體。(2)海王星、冥王星就是應(yīng)用萬有引力定律發(fā)覺的。(3)人們在長期的觀看中發(fā)覺天王星的實際運動軌道與應(yīng)用萬有引力定律計算出的軌道總存在肯定的偏差,所以懷疑在天王星四周還可能存在行星,然后應(yīng)用萬有引力定律,結(jié)合對天王星的觀測資料,便計算出了另一顆行星的軌道,進(jìn)而在計算出的位置觀看新的行星。學(xué)問鏈接:“筆尖下發(fā)覺的行星”徹底消退了人們對牛頓引力學(xué)說的懷疑,同時也充分顯示了理論對實踐的巨大指導(dǎo)作用。1.下列說法正確的是()。A.海王星是人們依據(jù)萬有引力定律計算出其軌道而被發(fā)覺的B.天王星是人們依據(jù)萬有引力定律計算出其軌道而被發(fā)覺的C.天王星運行軌道偏離依據(jù)萬有引力定律計算出來的軌道,其緣由是由于天王星受到軌道外的其他行星的萬有引力作用D.以上均不正確【解析】人們發(fā)覺萬有引力定律計算出來的天王星的軌道,總與實際的觀測值有微小的差別,從而計算出新行星的位置。海王星的發(fā)覺就得益于萬有引力定律。選項A、C正確?！敬鸢浮緼C【點評】海王星比天王星離太陽更遠(yuǎn),在地球軌道的外圍,離得越遠(yuǎn)的行星越不簡潔發(fā)覺。2.天文學(xué)家發(fā)覺某恒星四周有一顆行星在圓形軌道上繞其運動,并測出了行星的軌道半徑和運行周期。由此可推算出()。A.行星的質(zhì)量B.行星的半徑C.恒星的質(zhì)量 D.恒星的半徑【解析】設(shè)測出的行星軌道半徑為R,周期為T,恒星的質(zhì)量為M,行星的質(zhì)量為m,則由=mR得,M=,故C正確?！敬鸢浮緾【點評】依據(jù)萬有引力供應(yīng)向心力,只能計算中心天體的質(zhì)量。3.把太陽系各行星的運動近似地看作勻速圓周運動,則離太陽越遠(yuǎn)的行星()。A.周期越小 B.線速度越小C.角速度越小 D.加速度越小【解析】行星繞太陽做勻速圓周運動所需的向心力由太陽對行星的萬有引力供應(yīng)。由=,得v=,可知r越大,線速度越小,選項B正確;由=mω2r,得ω=,可知r越大,角速度越小,選項C正確;ω越小,則周期T=越大,選項A錯;由=ma,得a=,可知r越大,則a越小,選項D正確?！敬鸢浮緽CD【點評】行星繞太陽運動的速度是近快遠(yuǎn)慢,但速度與半徑不是簡潔的反比關(guān)系。4.近年來,人類放射的多枚火星探測器已經(jīng)相繼在火星上著陸,正在進(jìn)行著感動人心的科學(xué)探究,為我們將來登上火星,開發(fā)和利用火星資源奠定了堅實的基礎(chǔ)。假如火星探測器環(huán)繞火星做“近地”勻速圓周運動,并測得其運動的周期為T,則火星的平均密度ρ的表達(dá)式為(k為某個常數(shù))()。A.ρ=B.ρ=kTC.ρ=D.ρ=kT2【解析】設(shè)火星半徑為r,由萬有引力供應(yīng)向心力:=mr()2,得M=,則火星的平均密度ρ的表達(dá)式:ρ===,其中為常數(shù),由此可知選項C正確?！敬鸢浮緾【點評】要記住球體的體積公式。拓展一、估算天體的密度1.假設(shè)在半徑為R的某天體上放射一顆該天體的衛(wèi)星。(1)若它貼近該天體的表面做勻速圓周運動的周期為T1,已知萬有引力常量為G,則該天體的密度是多少?(2)若這顆衛(wèi)星距該天體表面的高度為h,測得在該處做勻速圓周運動的周期為T2,則該天體的密度又是多少?(3)若用彈簧測力計測得在該星體表面質(zhì)量為m的物體的重力為F,則該星體的密度是多少?【分析】在求某星體的密度時,決不能死記硬背推導(dǎo)出的密度公式,而要依據(jù)題目的已知條件,求出星體的質(zhì)量和體積,然后得出密度的大小?！窘馕觥吭O(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m,天體的質(zhì)量為M。(1)衛(wèi)星貼近表面運動時=mR()2,則M=依據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)問可知星球的體積V=故該星球密度ρ===。(2)衛(wèi)星到天體表面距離為h時=m(R+h)()2M=,ρ===。(3)設(shè)該星體表面的重力加速度為g,則F=mg,g=,忽視星體的自轉(zhuǎn),物體所受重力等于萬有引力,mg=,M==ρ===?！敬鸢浮?1)(2)(3)【點評】天體密度的計算:(1)把天體的運動看成勻速圓周運動。(2)求解天體的質(zhì)量。我們只能求中心天體的質(zhì)量,找一個繞行體,只要知道繞行體的線速度、角速度、周期中的一個量及其軌道半徑,即可求中心天體的質(zhì)量。(3)求解天體的密度。當(dāng)求出天體的質(zhì)量后,再求出天體的體積即可,其體積V=πR3,計算時要留意r和R的區(qū)分,r一般指繞行體的軌道半徑,R指中心天體自身的半徑,只有當(dāng)繞行體在中心天體表面做圓周運動時才有r=R。拓展二、應(yīng)用萬有引力定律分析天體運動問題2.假設(shè)月球的直徑不變,密度增為原來的2倍,它的一顆衛(wèi)星繞月球做勻速圓周運動的半徑縮小為原來的一半,則下列物理量變化正確的是()。A.該衛(wèi)星的向心力變?yōu)樵瓉淼囊话隑.該衛(wèi)星的向心力變?yōu)樵瓉淼?倍C.該衛(wèi)星繞月球運動的周期與原來相同D.該衛(wèi)星繞月球運動的周期變?yōu)樵瓉淼摹痉治觥繉τ谟行l(wèi)星的天體,可認(rèn)為衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運動,中心天體對衛(wèi)星的萬有引力供應(yīng)衛(wèi)星做勻速圓周運動的向心力。結(jié)合問題選項選用不同的公式求解?！窘馕觥吭虑虻闹睆讲蛔?體積不變,密度增為原來的2倍,質(zhì)量也增為原來的2倍,即M2=2M1。月球?qū)πl(wèi)星的萬有引力供應(yīng)衛(wèi)星做圓周運動的向心力,即:F向=F萬=G,衛(wèi)星原來的向心力為:F1=G,衛(wèi)星現(xiàn)在的向心力為:F2=G,由題意知,r2=r1,綜合得出,F2=8F1,選項B正確;由萬有引力供應(yīng)衛(wèi)星做圓周運動的向心力可得:G=mr,解得:T=,由于M2=2M1,r2=r1,解得:T2=T1,【答案】BD【點評】利用萬有引力定律解決天體運動的一般思路如下。①一條線索:把天體運動看成勻速圓周運動,萬有引力供應(yīng)向心力F引=F向。②四組公式:a.由G=m,可得v=。(計算天體質(zhì)量和密度)b.G=mrω2,可得ω=(或依據(jù)ω=)。(計算天體質(zhì)量和密度)c.G=m()2r,可得T=2π。(估算天體質(zhì)量和密度、運動周期)d.G=ma,可得a=G。(計算天體運動的加速度)以上四個等式代表了應(yīng)用萬有引力定律時的四條基本思路,在解題時用哪一種方法應(yīng)當(dāng)依據(jù)題目中的已知條件來分析。拓展三、萬有引力定律與拋體運動學(xué)問的綜合應(yīng)用3.宇航員站在一星球表面上的某高處,沿水平方向拋出一小球,經(jīng)過時間t,小球落在星球表面,測得拋出點與落地點之間的距離為L,若拋出時的初速度增大到2倍,則拋出點與落地點間的距離為L,已知兩落地點在同一水平面上,該星球的半徑為R,引力常量為G,求該星球的質(zhì)量M和密度ρ?！痉治觥恳罁?jù)在星球表面做平拋運動物體的運動狀況求出星球表面的重力加速度,再依據(jù)星球表面物體的重力等于物體受到的萬有引力求出星球的質(zhì)量和密度。【解析】設(shè)該星球表面重力加速度為g,依據(jù)平拋運動的特點得拋出物體豎直方向上的位移為y=gt2設(shè)初始平拋小球的初速度為v,則水平位移為x=vt