2025高考數(shù)學一輪復(fù)習-10.3-二項式定理-專項訓練【A級基礎(chǔ)鞏固】1．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))eq\s\up12(24)的展開式中，x的指數(shù)是整數(shù)的項的個數(shù)是()A.2 B．3C.4 D．52．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2x)))eq\s\up12(6)(x＋3)的展開式中，常數(shù)項為()A.－eq\f(15,2) B．eq\f(15,2)C.－eq\f(5,2) D．eq\f(5,2)3．在二項式(1－2x)n的展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為128，則展開式的中間項的系數(shù)為()A.－960 B．960C.1120 D．16804．設(shè)a＝3n＋Ceq\o\al(1,n)3n-1＋Ceq\o\al(2,n)3n-2＋…＋Ceq\o\al(n-1,n)3，則當n＝2023時，a除以15所得余數(shù)為()A.3 B．4C.7 D．85．在(x＋y－2z)5的展開式中，xy2z2的系數(shù)是()A.120 B．－120C.60 D．306．(多選)對于二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋x3))eq\s\up12(n)(n∈N*)，以下判斷正確的有()A.存在n∈N*，展開式中有常數(shù)項B.對任意n∈N*，展開式中沒有常數(shù)項C.對任意n∈N*，展開式中沒有x的一次項D.存在n∈N*，展開式中有x的一次項7．(多選)在二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)－\f(1,2\r(3,x))))eq\s\up12(6)的展開式中，正確的說法是()A.常數(shù)項是第3項B.各項的系數(shù)和是eq\f(1,64)C.第4項二項式系數(shù)最大D.奇數(shù)項二項式系數(shù)和為328．(多選)已知(1－2x)2023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2023x2023，則()A.展開式中所有項的二項式系數(shù)和為22023B.展開式中系數(shù)最大項為第1350項C.a1＋a3＋a5＋…＋a2023＝eq\f(32023－1,2)D.eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋eq\f(a3,23)＋…＋eq\f(a2023,22023)＝－1.9．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x2)))eq\s\up12(5)的展開式中，x2的系數(shù)是________．10．若x5＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋…＋a5(x－2)5，則a1＝________，a1＋a2＋…＋a5＝________．INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學\\B組.TIF"INET【B級能力提升】1．二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)x＋\f(1,\r(3,x))))eq\s\up12(n)的展開式中只有第11項的二項式系數(shù)最大，則展開式中x的指數(shù)為整數(shù)的項的個數(shù)為()A.3 B．5C.6 D．72．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(a,\r(3,x))))eq\s\up12(n)(a為常數(shù))的展開式的二項式系數(shù)之和為32，常數(shù)項為80，則a的值為()A.1 B．±1C.2 D．±23．已知－Ceq\o\al(1,100)(2－x)＋Ceq\o\al(2,100)(2－x)2－Ceq\o\al(3,100)(2－x)3＋…＋Ceq\o\al(100,100)(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，則a1＋a2＋a3＋…＋a99＝()A.－1 B．－2C.299－1 D．eq\f(299－1,2)4．(多選)已知(x－1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5，則()A.a0＝－32B.a2＝－80C.a3＋4a4＝0D.a0＋a1＋…＋a5＝15．(多選)對于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(3,x)))eq\s\up12(6)的展開式，下列說法正確的是()A.所有項的二項式系數(shù)和為64B.所有項的系數(shù)和為64C.常數(shù)項為1215D.系數(shù)最大的項為第3項6．已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，若(1－2x)2023＝b0＋b1x＋b2x2＋…＋b2023x2023，數(shù)列{an}的首項a1＝eq\f(b1,2)＋eq\f(b2,22)＋…＋eq\f(b2023,22023)，an＋1＝Sn·Sn＋1，則S2023等于()A.－eq\f(1,2023) B．eq\f(1,2023)C.2023 D．－20237．(1＋2x)n的展開式中第6項與第7項的系數(shù)相等，則展開式中二項式系數(shù)最大的項為________，系數(shù)最大的項為________________．8．設(shè)(x－1)(2＋x)3＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則a1＝________，2a2＋3a3＋4a4＝________．9．設(shè)(eq\r(2)＋x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，則(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a9)2的值為________．10．已知(1＋2023x)100＋(2023－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，其中a0，a1，a2，…，a100∈R.若0≤k≤100且k∈N，當ak<0時，k的最大值為________．參考答案【A級基礎(chǔ)鞏固】1．解析：因為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))eq\s\up12(24)的展開式的通項公式為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,24)(eq\r(x))24-keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,x))))eq\s\up12(k)＝Ceq\o\al(k,24)x12-eq\f(5,6)k，所以當k＝0，6，12，18，24時，x的指數(shù)是整數(shù)，故x的指數(shù)是整數(shù)的有5項．答案：D2．解析：原式＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2x)))eq\s\up12(6)＋3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2x)))eq\s\up12(6)，①而eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2x)))eq\s\up12(6)的通項為Tk＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(k)Ceq\o\al(k,6)x6-2k.當6－2k＝－1時，k＝eq\f(7,2)?Z，故①式中的前一項不會出現(xiàn)常數(shù)項；當6－2k＝0，即k＝3時，可得①式中的后一項即為所求，此時原式常數(shù)項為3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(3)×Ceq\o\al(3,6)＝－eq\f(15,2).答案：A3．解析：根據(jù)題意，奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和也為128，所以在(1－2x)n的展開式中，二項式系數(shù)之和為256，即2n＝256，得n＝8，則(1－2x)8的展開式的中間項為第5項，且T5＝Ceq\o\al(4,8)(－2)4x4＝1120x4，即展開式的中間項的系數(shù)為1120.答案：C4．解析：∵Ceq\o\al(0,n)3n＋Ceq\o\al(1,n)3n-1＋Ceq\o\al(2,n)3n-2＋…＋Ceq\o\al(n-1,n)3＋Ceq\o\al(n,n)30＝(3＋1)n＝4n，∴a＝4n－1，當n＝2023時，a＝42023－1＝4×161011－1＝4×[(15＋1)1011－1]＋3，而(15＋1)1011－1＝Ceq\o\al(0,1011)151011＋Ceq\o\al(1,1011)151010＋…＋Ceq\o\al(1010,1011)15，故此時a除以15所得余數(shù)為3.答案：A5．解析：由題意知(x＋y－2z)5＝[(x＋y)－2z]5，展開式的第k＋1項為Ceq\o\al(k,5)(x＋y)5-k(－2z)k，令k＝2，可得第3項為(－2)2Ceq\o\al(2,5)(x＋y)3z2，(x＋y)3的展開式的第m＋1項為Ceq\o\al(m,3)x3-mym，令m＝2，可得第3項為Ceq\o\al(2,3)xy2，所以(x＋y－2z)5的展開式中，xy2z2的系數(shù)是(－2)2Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)＝120.答案：A6．解析：該二項展開式的通項為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))eq\s\up12(n－k)(x3)k＝Ceq\o\al(k,n)x4k－n，當n＝4k時，展開式中存在常數(shù)項，A正確，B錯誤；當n＝4k－1時，展開式中存在x的一次項，D正確，C錯誤．答案：AD7．解析：二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)－\f(1,2\r(3,x))))eq\s\up12(6)的展開式通項為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)·(eq\r(3,x))6-k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2\r(3,x))))eq\s\up12(k)＝Ceq\o\al(k,6)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(k)·xeq\s\up6(\f(6－2k,3)).對于A選項，令eq\f(6－2k,3)＝0，可得k＝3，故常數(shù)項是第4項，A錯誤；對于B選項，各項的系數(shù)和是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\s\up12(6)＝eq\f(1,64)，B正確；對于C選項，展開式共7項，故第4項二項式系數(shù)最大，C正確；對于D選項，奇數(shù)項二項式系數(shù)和為25＝32，D正確．答案：BCD8．解析：易知(1－2x)2023的展開式中所有項的二項式系數(shù)和為22023，故A正確；由二項式通項，知Tk＋1＝Ceq\o\al(k,2023)(－2x)k＝(－2)kCeq\o\al(k,2023)xk，所以第1350項的系數(shù)為(－2)1349Ceq\o\al(1349,2023)<0，所以第1350項不是系數(shù)最大項，故B錯誤；當x＝1時，有a0＋a1＋a2＋…＋a2023＝－1，①當x＝－1時，有a0－a1＋a2－a3＋…＋a2022－a2023＝32023，②①－②，可得a1＋a3＋a5＋…＋a2023＝－eq\f(1＋32023,2)，故C錯誤；當x＝0時，a0＝1，當x＝eq\f(1,2)時，a0＋eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋eq\f(a3,23)＋…＋eq\f(a2023,22023)＝0，所以eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋eq\f(a3,23)＋…＋eq\f(a2023,22023)＝－a0＝－1，故D正確．答案：AD9．解析：∵Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)x5-req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x2)))eq\s\up12(r)＝2rCeq\o\al(r,5)x5-3r，令5－3r＝2，得r＝1，∴T2＝2Ceq\o\al(1,5)x2＝10x2，∴x2的系數(shù)是10.答案：1010．解析：因為x5＝[2＋(x－2)]5，則a1＝Ceq\o\al(1,5)·24＝80.令x＝3，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝35＝243；令x＝2，得a0＝25＝32，故a1＋a2＋…＋a5＝243－32＝211.答案：80211INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學\\B組.TIF"INET【B級能力提升】1．解析：根據(jù)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)x＋\f(1,\r(3,x))))eq\s\up12(n)的展開式中只有第11項的二項式系數(shù)最大，得n＝20，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)x＋\f(1,\r(3,x))))eq\s\up12(n)的展開式的通項為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,20)·(eq\r(3)x)20-k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,x))))eq\s\up12(k)＝(eq\r(3))20-k·Ceq\o\al(k,20)·xeq\s\up8(20－\f(4k,3))，要使x的指數(shù)是整數(shù)，需k是3的倍數(shù)，∴k＝0，3，6，9，12，15，18，∴x的指數(shù)是整數(shù)的項共有7項．答案：D2．解析：根據(jù)題意，該二項式的展開式的二項式系數(shù)之和為32，則有2n＝32，可得n＝5，則二項式的展開式通項為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)(eq\r(x))5-k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(3,x))))eq\s\up12(k)＝akCeq\o\al(k,5)xeq\s\up6(\f(15－5k,6))，令eq\f(15－5k,6)＝0，得k＝3，則其常數(shù)項為Ceq\o\al(3,5)a3.根據(jù)題意，有Ceq\o\al(3,5)a3＝80，可得a＝2.答案：C3．解析：記f(x)＝1－Ceq\o\al(1,100)(2－x)＋Ceq\o\al(2,100)(2－x)2－Ceq\o\al(3,100)(2－x)3＋…＋Ceq\o\al(100,100)(2－x)100－1＝[1－(2－x)]100－1＝(x－1)100－1，即(x－1)100－1＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100.令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝－1.令x＝0，得a0＝0.又易知a100＝1，所以a1＋a2＋a3＋…＋a99＝－2.答案：B4．解析：令x＝－1，得(－1－1)5＝a0，即a0＝－32，故A正確．令x＝0，得(－1)5＝a0＋a1＋…＋a5，即a0＋a1＋…＋a5＝－1，故D不正確．令x＋1＝y(tǒng)，則(x－1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5就變?yōu)?y－2)5＝a0＋a1y＋a2y2＋…＋a5y5，根據(jù)二項式定理知，a2即二項式(y－2)5展開式中y2項的系數(shù)，Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)y5-k(－2)k，故a2＝Ceq\o\al(3,5)·(－2)3＝－80，B正確．a(chǎn)4＝Ceq\o\al(1,5)(－2)1＝－10，a3＝Ceq\o\al(2,5)(－2)2＝40，故C正確．答案：ABC5．解析：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(3,x)))eq\s\up12(6)的展開式中所有項的二項式系數(shù)和為26＝64，故A正確；在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(3,x)))eq\s\up12(6)中，令x＝1，得(1－3)6＝64，故B正確；展開式的通項為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)(x2)6-k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,x)))eq\s\up12(k)＝(－3)kCeq\o\al(k,6)x12-3k(0≤k≤6，k∈N)，令12－3k＝0，得k＝4，所以常數(shù)項為(－3)4Ceq\o\al(4,6)＝1215，故C正確；由C的分析可知第2，4，6項系數(shù)為負值，第1項系數(shù)為1，第3項系數(shù)為(－3)2Ceq\o\al(2,6)＝135，第5項系數(shù)為(－3)4Ceq\o\al(4,6)＝1215，第7項系數(shù)為(－3)6Ceq\o\al(6,6)＝729，則系數(shù)最大的項為第5項，故D不正確．答案：ABC6．解析：令x＝eq\f(1,2)，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2×\f(1,2)))eq\s\up12(2023)＝b0＋eq\f(b1,2)＋eq\f(b2,22)＋…＋eq\f(b2023,22023)＝0.令x＝0，得b0＝1，所以a1＝eq\f(b1,2)＋eq\f(b2,22)＋…＋eq\f(b2023,22023)＝－1.由an＋1＝Sn·Sn＋1＝Sn＋1－Sn，得eq\f(Sn＋1－Sn,SnSn＋1)＝eq\f(1,Sn)－eq\f(1,Sn＋1)＝1，所以eq\f(1,Sn＋1)－eq\f(1,Sn)＝－1，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是首項為eq\f(1,S1)＝－1、公差為－1的等差數(shù)列，所以eq\f(1,Sn)＝－1＋(n－1)·(－1)＝－n，所以Sn＝－eq\f(1,n)，所以S2023＝－eq\f(1,2023).答案：A7．解析：T6＝Ceq\o\al(5,n)(2x)5，T7＝Ceq\o\al(6,n)(2x)6，依題意有