2.1.3分層抽樣一、基礎達標1．(2021·洛陽高一檢測)某學校高一、高二、高三三個班級共有同學3500人，其中高三同學數(shù)是高一同學數(shù)的兩倍，高二同學數(shù)比高一同學數(shù)多300人，現(xiàn)在按eq\f(1,100)的抽樣比用分層抽樣的方法抽取樣本，則應抽取高一同學數(shù)為()A．8B．11C．16D．10答案A解析若設高三同學數(shù)為x，則高一同學數(shù)為eq\f(x,2)，高二同學數(shù)為eq\f(x,2)＋300，所以有x＋eq\f(x,2)＋eq\f(x,2)＋300＝3500，解得x＝1600.故高一同學數(shù)為800，因此應抽取高一同學數(shù)為eq\f(800,100)＝8.2．在1000個球中有紅球50個，從中抽取100個進行分析，假如用分層抽樣的方法對球進行抽樣，則應抽紅球 ()A．33個 B．20個 C．5個 D．10個答案C解析eq\f(100,1000)＝eq\f(x,50)，則x＝5.3．為了保證分層抽樣時每個個體等可能地被抽取，必需要求()A．每層不等可能抽樣B．每層抽取的個體數(shù)相等C．每層抽取的個體可以不一樣多，但必需滿足抽取ni＝neq\f(Ni,N)(i＝1，2，…，k)個個體．(其中k是層數(shù)，n是抽取的樣本容量，Ni是第i層中個體的個數(shù)，N是總體的容量)D．只要抽取的樣本容量肯定，每層抽取的個體數(shù)沒有限制答案C解析A不正確．B中由于每層的容量不肯定相等，每層抽同樣多的個體數(shù)，明顯從整個總體來看，各層之間的個體被抽取的可能性就不一樣了，因此B也不正確．C中對于第i層的每個個體，它被抽到的可能性與層數(shù)無關，即對于每個個體來說，被抽取的可能性是相同的，故C正確．D不正確．4．(2021·湖南高考)某工廠甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)了同一種產(chǎn)品，數(shù)量分別為120件，80件，60件．為了解它們的產(chǎn)品質(zhì)量是否存在顯著差異，用分層抽樣方法抽取了一個容量為n的樣本進行調(diào)查，其中從丙車間的產(chǎn)品中抽取了3件，則n＝ ()A．9 B．10 C．12 D．13答案D解析依題意得eq\f(3,60)＝eq\f(n,120＋80＋60)，故n＝13.5．一支田徑隊有男運動員48人，女運動員36人，若用分層抽樣的方法從該隊的全體運動員中抽取一個容量為21的樣本，則抽取男運動員的人數(shù)為________．答案12解析設抽取男運動員人數(shù)為n，則eq\f(n,48)＝eq\f(21,48＋36)，解之得n＝12.6．將一個總體分為A、B、C三層，其個體數(shù)之比為5∶3∶2.若用分層抽樣方法抽取容量為100的樣本，則應從C中抽取________個個體．答案20解析由題意可設A、B、C中個體數(shù)分別為5k，3k，2k，所以C中抽取個體數(shù)為eq\f(2k,5k＋3k＋2k)×100＝20.7．某市的3個區(qū)共有高中同學20000人，且3個區(qū)的高中同學人數(shù)之比為2∶3∶5，現(xiàn)要從全部同學中抽取一個容量為200的樣本，調(diào)查該市高中同學的視力狀況，試寫出抽樣過程．解用分層抽樣來抽取樣本，步驟是：(1)分層：按區(qū)將20000名高中生分成三層；(2)確定每層抽取個體的個數(shù)．在這3個區(qū)抽取的同學數(shù)目分別是40、60、100.(3)在各層分別按隨機數(shù)法抽取樣本；(4)綜合每層抽樣，組成樣本．二、力量提升8．某單位有老年人28人，中年人54人，青年人81人．為了調(diào)查它們的身體狀況，從他們中抽取容量為36的樣本，最適合抽取樣本的方法是()A．簡潔隨機抽樣B．系統(tǒng)抽樣C．分層抽樣D．先從老年人中剔除1人，再用分層抽樣答案D解析總體總?cè)藬?shù)為28＋54＋81＝163(人)．樣本容量為36，由于總體由差異明顯的三部分組成，考慮用分層抽樣．若按36∶163取樣本，無法得到整解．故考慮先剔除1人，抽取比例變?yōu)?6∶162＝2∶9.則中年人取54×eq\f(2,9)＝12(人)，青年人取81×eq\f(2,9)＝18(人)，先從老年人中剔除1人，老年人取27×eq\f(2,9)＝6(人)，組成容量為36的樣本．9．100個個體分成10組，編號后分別為第一組：00，01，02，03，…09；其次組：10，11，12，…，19；……；第十組：90，91，92，…，99.現(xiàn)在從第k組中抽取其號碼的個位數(shù)字與(k＋m－1)的個位數(shù)字相同的個體，其中m是第一組隨機抽取的號碼的個位數(shù)字，則當m＝5時，從第七組中抽取的號碼是()A．71 B．61 C．75 D．65答案B解析第七組中的10個號碼分別為60，61，62，63，64，65，66，67，68，69，我們會發(fā)覺十位數(shù)字都是6，只需確定個位數(shù)字即可．由題設可知個位數(shù)字與7＋5－1＝11的個位數(shù)字相同，故被抽取的號碼是61.10．有甲、乙兩種產(chǎn)品共120件，現(xiàn)按肯定的比例用分層抽樣的方法共抽取10件進行產(chǎn)品質(zhì)量調(diào)查，假如所抽取的甲產(chǎn)品的數(shù)量是乙產(chǎn)品的2倍還多1件，那么甲、乙產(chǎn)品的總件數(shù)分別為________、________．答案8436解析設抽取乙產(chǎn)品x件，則抽取甲產(chǎn)品2x＋1件，由x＋(2x＋1)＝10，得x＝3.∴2x＋1＝7.∴共有甲產(chǎn)品120×eq\f(7,10)＝84(件)，乙產(chǎn)品120×eq\f(3,10)＝36(件)．11．某公司共有職工302名，其中老年職工30名，中年職工150名，青年職工122名．為調(diào)查他們對工資改革的看法，從中抽取一個60人的樣本．請寫出抽樣過程．解①把122名青年職工編號，利用隨機數(shù)表法剔除2個個體．②由于eq\f(60,300)＝eq\f(1,5)，30×eq\f(1,5)＝6，150×eq\f(1,5)＝30，120×eq\f(1,5)＝24，所以可將老年職工30名，中年職工150名，青年職工120名編號后，運用隨機數(shù)表法，分別從中抽取6，30，24個個體，合在一起即為要抽取的60人的樣本．三、探究與創(chuàng)新12．某校有在校高中生共1600人，其中高一班級同學520人，高二班級同學500人，高三班級同學580人．假如想通過抽查其中的80人來調(diào)查同學的消費狀況，考慮到不同班級同學的消費狀況有明顯差別，而同一班級內(nèi)消費狀況差異較小，問應接受怎樣的抽樣方法？高三班級同學中應抽查多少人？解因不同班級的同學消費狀況有明顯差別，所以應接受分層抽樣．由于520∶500∶580＝26∶25∶29，于是將80分成比例為26∶25∶29的三部分．設三部分各抽個體數(shù)分別為26x，25x，29x，由26x＋25x＋29x＝80，得x＝1.所以高三班級同學中應抽查29人．13．某中學進行了為期3天的新世紀體育運動會，同時進行全校精神文明擂臺賽．為了解這次活動在全校師生中產(chǎn)生的影響，分別在全校500名教職員工、3000名學校生、4000名高中生中作問卷調(diào)查，假如要在全部答卷中抽出120份用于評估．(1)應如何抽取才能得到比較客觀的評價結(jié)論？(2)要從3000份學校生的答卷中抽取一個容量為48的樣本，假如接受簡潔隨機抽樣，應如何操作？(3)為了從4000份高中生的答卷中抽取一個容量為64的樣本，如何使用系統(tǒng)抽樣抽取到所需的樣本？解(1)由于這次活動對教職員工、學校生和高中生產(chǎn)生的影響不會相同，所以應當實行分層抽樣的方法進行抽樣．由于樣本容量＝120，總體個數(shù)＝500＋3000＋4000＝7500，則抽樣比：eq\f(120,7500)＝eq\f(2,125)，所以有500×eq\f(2,125)＝8，3000×eq\f(2,125)＝48，4000×eq\f(2,125)＝64，所以在教職員工、學校生、高中生中抽取的個體數(shù)分別是8，48，64.分層抽樣的步驟是：①分層：分為教職員工、學校生、高中生，共三層．②確定每層抽取個體的個數(shù)：在教職員工、學校生、高中生中抽取的個體數(shù)分別是8，48，64.③各層分別按簡潔隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法抽取樣本．④綜合每層抽樣，組成樣本．這樣便完成了整個抽樣過程，就能得到比較客觀的評價結(jié)論．(2)由于簡潔隨機抽樣有兩種方法：抽簽法和隨機數(shù)法．假如用抽簽法，要作3000個號簽，費時費勁，因此接受隨機數(shù)表法抽取樣本，步驟是：①編號：將3000份答卷都編上號碼：0001，0002，0003，…，3000.②在隨機數(shù)表上隨機選取一個起始位置．③規(guī)定讀數(shù)方向：向右連續(xù)取數(shù)字，以4個數(shù)為一組，假如讀取的4位數(shù)大于3000，則去掉，假如遇到相同號碼則只取一個，這樣始終到取滿48個號碼為止．(3)由于4000÷64＝62.5不是整數(shù)，則應先使用簡