溫馨提示：此套題為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)整合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。單元評(píng)估檢測(cè)(七)第七章(120分鐘150分)一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.(2021·泰安模擬)下列結(jié)論正確的是()A.若向量a∥b,則存在唯一的實(shí)數(shù)λ使a=λbB.已知向量a,b為非零向量,則“a,b的夾角為鈍角”的充要條件是“a·b<0C.“若θ=π3,則cosθ=12”的否命題為“若θ≠π3,則cosD.若命題p:?x0∈R,x02-x0+1<0,則p:?x∈R,x2【解析】選C.A中若b=0,則λ不存在,故A錯(cuò);B中若a,b共線且反向,滿足a·b<0,但其夾角不為鈍角;C中否命題是將條件和結(jié)論同時(shí)否定,故C正確;D中,p:?x∈R,x2-x+1≥0.2.l1,l2,l3是空間三條不同的直線,則下列命題正確的是()A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3共面D.l1,l2,l3共點(diǎn)?l1,l2,l3共面【解析】選B.對(duì)于A,通過(guò)常見(jiàn)的圖形正方體,從同一個(gè)頂點(diǎn)動(dòng)身的三條棱兩兩垂直,得到A錯(cuò).對(duì)于B,由于l1⊥l2,所以l1,l2所成的角是90°,又由于l2∥l3,所以l1,l3所成的角是90°,所以l1⊥l3得到B對(duì),對(duì)于C,例如三棱柱中的三側(cè)棱平行,但不共面,故C錯(cuò).對(duì)于D,例如三棱錐的三側(cè)棱共點(diǎn),但不共面,故D錯(cuò).故選B.3.一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體的表面積為()A.96 B.136 C.152 D.192【解題提示】先由三視圖還原幾何體,再求表面積.【解析】選C.由三視圖可知該幾何體為如圖所示的三棱柱,其表面積為12×6×4×2+6×8+5×8×【加固訓(xùn)練】某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A.16+8π B.8+8πC.16+16π D.8+16π【解析】選A.將三視圖還原為原來(lái)的幾何體,再利用體積公式求解.原幾何體為組合體;上面是長(zhǎng)方體,下面是圓柱的一半(如圖所示),其體積為V=4×2×2+12π×22×4=16+8π4.(2021·合肥模擬)已知a,b為兩條不同的直線,α,β為兩個(gè)不同的平面,且a⊥α,b⊥β,則下列命題中的假命題是()A.若a∥b,則α∥β B.若α⊥β,則a⊥bC.若a,b相交,則α,β相交 D.若α,β相交,則a,b相交【解析】選D.若α,β相交,則a,b可能相交,也可能異面,故D為假命題.5.(2021·青島模擬)如圖所示是某建筑物的三視圖,現(xiàn)需將其外壁用油漆刷一遍,若每平方米用漆0.2kg,則共需油漆大約(尺寸如圖所示,單位:m,π取3)()A.20kg B.22.2kg C.111kg D.110kg【解析】選B.由三視圖可知,該幾何體上面是個(gè)圓錐,下面是個(gè)長(zhǎng)方體,長(zhǎng)方體的底面是邊長(zhǎng)為3的正方形,高為4,所以長(zhǎng)方體的表面積(去掉上下兩個(gè)底面)為4×(3×4)=48(m2).圓錐的底面半徑為3,母線為5,所以圓錐的側(cè)面積為π×3×5=15π=45(m2),底面積(去掉一個(gè)正方形)為9π-3×3=9π-9=18(m2),所以該幾何體的總面積為48+45+18=111(m2),所以共需油漆0.2×111=22.2kg.6.(2021·濟(jì)寧模擬)設(shè)m,n是兩條不同的直線,α,β,γ是三個(gè)不同的平面,給出下列四個(gè)命題:①m⊥α,n∥α,則m⊥n;②若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,則α∥β;③若α∥β,β∥γ,m⊥α,則m⊥γ;④若α⊥γ,β⊥γ,則α∥β.其中正確命題的序號(hào)是()A.①和③ B.②和③ C.③和④ D.①和④【解析】選A.對(duì)于①,由線面平行的性質(zhì)及線面垂直的定義可知正確;對(duì)于②,α與β可能平行、相交,故②錯(cuò);對(duì)于③,由α∥β,β∥γ知α∥γ,由m⊥α知m⊥γ,故③正確;對(duì)于④,α與β可能平行、相交,故④錯(cuò),故選A.7.如圖是一幾何體的平面開(kāi)放圖,其中ABCD為正方形,E,F分別為PA,PD的中點(diǎn),在此幾何體中,給出下面四個(gè)結(jié)論:①直線BE與直線CF異面;②直線BE與直線AF異面;③直線EF∥平面PBC;④平面BCE⊥平面PAD.其中正確的有()A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【解析】選B.將幾何體開(kāi)放圖還原為幾何體(如圖),由于E,F分別為PA,PD的中點(diǎn),所以EF∥AD∥BC,即直線BE與CF共面,①錯(cuò);由于B?平面PAD,E∈平面PAD,E?AF,所以BE與AF是異面直線,②正確;由于EF∥AD∥BC,EF?平面PBC,BC?平面PBC,所以EF∥平面PBC,③正確;平面PAD與平面BCE不愿定垂直,④錯(cuò).8.正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為線段B1D1()A.AC⊥BEB.B1E∥平面ABCDC.三棱錐E-ABC的體積為定值D.直線B1E⊥直線BC1【解析】選D.A.由于在正方體中,AC⊥BD,AC⊥DD1,BD∩DD1=D,所以AC⊥面BB1D1D,由于BE?面BB1D1D,所以AC⊥BE,所以A正確.B.由于B1D1∥平面ABCD,所以B1E∥平面ABCD成立,即B正確.C.三棱錐E-ABC的底面△ABC為定值,錐體的高BB1為定值,所以錐體體積為定值,即C正確.D.由于D1C1⊥BC1,所以B1E⊥直線BC1故選D.9.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,B1C1=A1C1,AC1⊥A1B,M,N分別是A1B1,AB的中點(diǎn),給出如下三個(gè)結(jié)論:①C1M⊥平面ABB1A1;②A1B⊥AM;③平面AMCA.0 B.1 C.2 D.3【解題提示】由直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面A1B1C1,C1M?平面A1B1C1,知C1M⊥AA1,由B1C1=A1知C1M⊥A1B1,故C1M⊥平面ABB1由C1M⊥平面ABB1A1,A1B?平面ABB1A1,知A1B⊥由AC1⊥A1B,AC1∩C1M=C1,知A1B⊥由AM∥B1N,C1M∥CN,知平面AMC1∥平面CNB1【解析】選D.由于直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面A1B1C1,C1M?平面A1B所以C1M⊥AA1由于B1C1=A1C1,M是A1B1所以C1M⊥A1B1由于AA1∩A1B1=A1,所以C1M⊥平面ABB1A1,故由于C1M⊥平面ABB1A1,A1B?平面ABB1所以A1B⊥C1M,由于AC1⊥A1B,AC1∩C1M=C所以A1B⊥平面AC1M由于AM?平面AC1M所以A1B⊥AM,即②正確;由于由題設(shè)得到AM∥B1N,C1M∥所以平面AMC1∥平面CNB1,故③正確.故選D.10.在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,D為側(cè)棱PC上的一點(diǎn),它的正視圖和側(cè)視圖如圖所示,則下列命題正確的是()A.AD⊥平面PBC且三棱錐D-ABC的體積為8B.BD⊥平面PAC且三棱錐D-ABC的體積為8C.AD⊥平面PBC且三棱錐D-ABC的體積為16D.BD⊥平面PAC且三棱錐D-ABC的體積為16【解題提示】先結(jié)合三視圖和直觀圖弄清題目條件,再進(jìn)行推理計(jì)算.【解析】選C.由于PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC,又AC⊥BC,PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,所以BC⊥AD,又由三視圖可得,在△PAC中,PA=AC=4,D為PC的中點(diǎn),所以AD⊥PC,又PC∩BC=C,故AD⊥平面PBC.又由三視圖可知BC=4,而∠ADC=90°,BC⊥平面PAC,故VD-ABC=VB-ADC=13×12×22×22×4=二、填空題(本大題共5小題,每小題5分,共25分.請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上)11.把一個(gè)半徑為5cm的金屬球熔成一個(gè)圓錐,使圓錐的側(cè)面積為底面積的3倍,則這個(gè)圓錐的高為.【解析】設(shè)圓錐的高為h,底面半徑為r,母線長(zhǎng)為l,則由已知得解得:h=20(cm).答案:20cm12.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P,Q,R,S分別是AB,BC,C1D1,C1C,A1B1,B①PQ與RS共面;②MN與RS共面;③PQ與MN共面.則正確結(jié)論的序號(hào)是.【解析】①連接PR,SQ,可知SQPR,所以四邊形PQSR為平行四邊形,所以PQ∥RS,故①正確;②由圖知直線MN過(guò)平面A1B外一點(diǎn)N,而直線RS不過(guò)M點(diǎn),故MN與RS為異面直線,故②錯(cuò);③由圖知延長(zhǎng)PQ與MN,則PQ與MN相交,故③正確.答案:①③13.直三棱柱ABC-A1B1C1的各頂點(diǎn)都在同一球面上.若AB=AC=AA1=2,∠BAC=120°,則此球的表面積等于【解析】設(shè)球心為O,球半徑為R,△ABC的外心是M,則O在底面ABC上的射影是點(diǎn)M,在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°,∠ABC=12(180°-120°)=30°AM=AC2sin30°=2.因此,R2=22+AA122=5,此球的表面積等于4答案:20π14.(2021·嘉興模擬)如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD∶BC∶AB=2∶3∶4,E,F分別是AB,CD的中點(diǎn),將四邊形ADFE沿直線EF進(jìn)行翻折,給出四個(gè)結(jié)論:①DF⊥BC;②BD⊥FC;③平面DBF⊥平面BFC;④平面DCF⊥平面BFC.在翻折過(guò)程中,可能成立的結(jié)論是.【解析】對(duì)于①:由于BC∥AD,AD與DF相交不垂直,所以BC與DF不垂直,故①不成立;對(duì)于②:設(shè)點(diǎn)D在平面BCF上的射影為點(diǎn)P,當(dāng)BP⊥CF時(shí),就有BD⊥FC,而AD∶BC∶AB=2∶3∶4可使條件滿足,故②正確;對(duì)于③:當(dāng)點(diǎn)P落在BF上時(shí),DP?平面BDF,從而平面BDF⊥平面BCF,故③正確.對(duì)于④:由于點(diǎn)D的射影不行能在FC上,故④不成立.答案:②③15.(2021·福州模擬)已知正四棱錐V-ABCD可圍著AB任意旋轉(zhuǎn),CD∥平面α,若AB=2,VA=5,則正四棱錐V-ABCD在面α內(nèi)的投影面積的取值范圍是.【解析】由題意可得正四棱錐的側(cè)面與底面所成角為π3設(shè)正四棱錐的底面與平面α所成角為θ,當(dāng)0≤θ≤π6其面積為2×2cosθ=4cosθ∈23當(dāng)π2≥θ>π此時(shí)VAB與平面α所成角為2π3-正四棱錐在平面α上的投影面積為4cosθ+12×2×2cos2π3-θ=3sinθ+3cosθ=23sinθ+π當(dāng)2π3≥θ>π2時(shí)投影面積為12×2×2cos2π3綜上,正四棱錐V-ABCD在面α內(nèi)的投影面積的取值范圍是[3,4].答案:[3,4]三、解答題(本大題共6小題,共75分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)16.(12分)(2021·貴陽(yáng)模擬)一個(gè)幾何體是由圓柱ADD1A1和三棱錐E-ABC組合而成,點(diǎn)A,B,C在圓O的圓周上,其正(主)視圖,側(cè)(左)視圖的面積分別為10和12,如圖所示,其中EA⊥平面ABC,AB⊥(1)求證:AC⊥BD.(2)求三棱錐E-BCD的體積.【解析】(1)由于EA⊥平面ABC,AC?平面ABC,所以EA⊥AC,即ED⊥AC.又由于AC⊥AB,AB∩ED=A,所以AC⊥平面EBD.由于BD?平面EBD,所以AC⊥BD.(2)由于點(diǎn)A,B,C在圓O的圓周上,且AB⊥AC,所以BC為圓O的直徑.設(shè)圓O的半徑為r,圓柱高為h,依據(jù)正(主)視圖,側(cè)(左)視圖的面積可得,所以BC=4,AB=AC=22.由(1)知,AC⊥平面EBD,所以VE-BCD=VC-EBD=13S△EBD×由于EA⊥平面ABC,AB?平面ABC,所以EA⊥AB,即ED⊥AB.其中ED=EA+DA=2+2=4,由于AB⊥AC,AB=AC=22,所以S△EBD=12ED×AB=12×4×22=4所以VE-BCD=13×42×22=16【一題多解】第(2)問(wèn)也可接受如下方法.由于EA⊥平面ABC,所以VE-BCD=VE-ABC+VD-ABC=13S△ABC×13S△ABC×DA=13S△ABC其中ED=EA+DA=2+2=4,由于AB⊥AC,AB=AC=22,所以S△ABC=12×AC×AB=12×22×2所以VE-BCD=QUOTE13

×4×4=163.17.(12分)(2021·濟(jì)南模擬)在如圖所示的多面體PMBCA中,平面PAC⊥平面ABC,△PAC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,PM∥BC,且BC=4,AB=25.(1)求證:PA⊥BC.(2)若多面體PMBCA的體積為23,求PM的長(zhǎng).【解析】(1)由于AC=2,BC=4,AB=25,所以AC2+BC2=AB2,所以AC⊥BC.由于平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,所以BC⊥平面PAC,由于PA?平面PAC,所以BC⊥PA.(2)過(guò)點(diǎn)A作AD⊥PC,垂足為D,設(shè)PM的長(zhǎng)為x,由(1)知,BC⊥平面PAC,所以BC⊥AD,由于BC∩PC=C,所以AD⊥平面BCPM,所以AD為多面體PMBCA的高,且AD=3.又PM∥BC,且BC=4,所以四邊形BCPM是上下底分別為x,4,高為2的直角梯形,所以多面體PMBCA的體積為13×[12(x+4)×2]×3=2解得x=2,即PM的長(zhǎng)為2.18.(12分)如圖,已知矩形ABCD中,AB=10,BC=6,將矩形沿對(duì)角線BD把△ABD折起,使A移到A1點(diǎn),且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上.(1)求證:BC⊥A1D.(2)求證:平面A1BC⊥平面A1BD.(3)求三棱錐A1-BCD的體積.【解題提示】(1)由A1在平面BCD上的射影O在CD上得A1O⊥平面BCD?BC⊥A1O;又BC⊥CO?BC⊥平面A1CD?BC⊥A1D.(2)先由ABCD為矩形?A1D⊥A1B,再由(1)知A1D⊥BC?A1D⊥平面A1BC,即可得到平面A1BC⊥平面A1BD.(3)把求三棱錐A1-BCD的體積轉(zhuǎn)化為求三棱錐B-A1CD的體積即可.【解析】(1)連接A1O,由于A1在平面BCD上的射影O在CD上,所以A1O⊥平面BCD,又BC?平面BCD,所以BC⊥A1O,又BC⊥CO,A1O∩CO=O,所以BC⊥平面A1CD,又A1D?平面A1CD,所以BC⊥A1D.(2)由于ABCD為矩形,所以A1D⊥A1B.由(1)知A1D⊥BC,A1B∩BC=B,所以A1D⊥平面A1BC,又A1D?平面A1BD,所以平面A1BC⊥平面A1BD.(3)由于A1D⊥平面A1BC,所以A1D⊥A1C由于A1D=6,CD=10,所以A1C所以VA1-BCD=VB-A1故所求三棱錐A1-BCD的體積為48.19.(12分)(2021·福州模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,E為AD上一點(diǎn),平面PAD⊥平面ABCD,四邊形BCDE為矩形,∠PAD=60°,PB=23,PA=ED=2AE=2.(1)已知PF→=λPC→(λ∈R),且PA(2)求證:CB⊥平面PEB,并求點(diǎn)D到平面PBC的距離.【解析】(1)連接AC交BE于點(diǎn)M,連接FM.由于PA∥平面BEF,所以FM∥AP.由于EM∥CD,所以AMMC=AE由于FM∥AP,所以PFFC=AMMC=12(2)由于AP=2,AE=1,∠PAD=60°,所以PE=3,所以PE⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,PE⊥AD,所以PE⊥平面ABCD,所以PE⊥CB,又由于BE⊥CB,且PE∩BE=E,所以CB⊥平面PEB.設(shè)點(diǎn)D到平面PBC的距離為d,由VD-PBC=VP-DBC,得13×12×2×23×d=13×12×2×3×所以點(diǎn)D到平面PBC的距離為3220.(13分)(2021·六安模擬)如圖所示的幾何體ABCDFE中,△ABC,△DFE都是等邊三角形,且所在平面平行,四邊形BCED是邊長(zhǎng)為2的正方形,且所在平面垂直于平面ABC.(1)求幾何體ABCDFE的體積.(2)證明:平面ADE∥平面BCF.【解析】(1)取BC的中點(diǎn)O,ED的中點(diǎn)G,連接AO,OF,FG,AG.由于△ABC,△DFE都是等邊三角形,故有AO⊥BC,且平面BCED⊥平面ABC,所以AO⊥平面BCED,同理FG⊥平面BCED,由于AO=FG=3,四邊形BCED是邊長(zhǎng)為2的正方形,所以,VABC