專題10三角形中的重要模型之特殊三角形中的分類討論模型特殊三角形（等腰三角形和直角三角形）的分類討論模型，是初中各類考試中幾何壓軸題的常客，并且形式多樣，內容新穎，能較好地考查同學們的應用意識和思維能力。在歷年中考當中，很多考生因為在處理等腰三角形和直角三角形有關的多解問題時，常常考慮不全面，導致漏解丟分。在學習等腰或直角三角形的性質和判定時，分類討論的思想尤為重要，希望大家要認真對待。本專題將把特殊三角形分類討論情形作系統(tǒng)的歸納與介紹，方便大家對它有個全面的了解與掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.等腰三角形中的分類討論模型-對角（邊）與高的分類討論模型 2模型2.等腰三角形中的分類討論模型-對邊的分類討論模型 5模型3.直角三角形中的分類討論模型-斜邊（或直角）不確定的直角三角形模型 13模型4.直角三角形中的分類討論模型-直角三角形存在性模型 15 26模型1.等腰三角形中的分類討論模型-對角（邊）與高的分類討論模型1）若等腰三角形沒有明確角的種類，要分類討論；從銳角等腰三角形和鈍角等腰三角形的角度入手分頂角與底角兩種情況進行分類討論。當然有時候已知條件是以邊的形式給出，我們討論頂角和底角與討論底和腰的原理相同。2）若等腰三角形沒有明確高的位置，要分類討論；從銳角等腰三角形和鈍角等腰三角形的角度入手分腰上高與底邊高、界內高與界外高兩種情況進行分類討論。例1．（24-25九年級上·山東·期末）若等腰內接于，，，則底角的度數(shù)為（）A． B． C．或 D．或例2．（2023·四川廣元·八年級校聯(lián)考期中）已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，那么這個等腰三角形的頂角等于（）A． B．或 C．或 D．例3．（2023春·山東棗莊·八年級?？计谥校┮阎獂，y滿足，則以，的值為兩邊長的等腰三角形的周長是（）A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不對例4．（2024八年級上·湖北·專題練習）等腰三角形三邊長分別為，，，則等腰三角形的周長為（

）A．10B．7或10C．7或4D．10或7或4例5．（24-25八年級上·浙江嘉興·階段練習）等腰三角形一腰上的中線將這個等腰三角形的周長分為和兩部分，那么這個等腰三角形的底邊長是．模型2.等腰三角形中的分類討論模型-對邊的分類討論模型1）等腰三角形沒有明確邊的種類，要分類討論；結合三角形三邊關系分腰與底邊兩種情況進行分類討論。2）坐標系中的等腰三角形的分類討論。等腰三角形的兩種分類討論方法方法1.

“兩圓一線”；（一般符合“兩個定點一個動點”的等腰三角形）。如圖：已知，兩點是定點，在坐標軸上找一點構成等腰。①以已知線段為底作它的垂直平分線，與坐標軸的交點即為點P（有2個）；②以已知線段為腰：用線段的兩個端點為圓心，線段長為半徑，分別作圓。（以為圓心的有4個，以為圓心的有2個）。具體題目要通過計算這些點的坐標來考慮是否出現(xiàn)重疊現(xiàn)象。方法2.

“三邊兩兩相等分三種情況”討論，先列出三種情況，再首先選最簡單的那種情況先解答。若是“兩個動點一個定點”，多采用第二種方法分類討論。但就算是用第二種方法分類討論，也可以先用“兩圓一線”確定符合等腰三角形的點可能有幾個及這些點的大致位置。例1．（2024·山東·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標系中，為坐標原點，點的坐標為，若為軸上一點，且使得為等腰三角形，則滿足條件的點有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個例2．（2023·福建南平·八年級?？计谥校┮阎鰽BC中，如果過頂點B的一條直線把這個三角形分割成兩個三角形，其中一個為等腰三角形，另一個為直角三角形，則稱這條直線為△ABC的關于點B的二分割線．如圖1，Rt△ABC中，顯然直線BD是△ABC的關于點B的二分割線．在圖2的△ABC中，∠ABC＝110°，若直線BD是△ABC的關于點B的二分割線，則∠CDB的度數(shù)是．例3．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，，射線從射線開始繞點C逆時針旋轉角，與射線相交于點D，將沿射線翻折至處，射線與射線相交于點E．若是等腰三角形，則的度數(shù)為．

例4．（2023春·四川達州·八年級?？计谥校┰谥苯亲鴺讼抵?，O為坐標原點，已知點A（1，2），點P是y軸正半軸上的一點，且△AOP為等腰三角形，則點P的坐標為．例5．（2024·江蘇泰州·八年級校聯(lián)考階段練習）如圖1，中，于D，且，(1)試說明是等腰三角形；(2)已知，如圖2，動點M從點B出發(fā)以每秒的速度沿線段向點A運動，同時動點N從點A出發(fā)以相同速度沿線段向點C運動，當其中一點到達終點時整個運動都停止．設點M運動的時間為t（秒），①若的邊與平行，求t的值；②若點E是邊的中點，問在點M運動的過程中，能否成為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．例6．（2024·四川成都·八年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系內，點O為坐標原點，經過的直線交x軸正半軸于點B，交y軸于點，直線交x軸負半軸于點D，若的面積為

(1)求直線的表達式和點D的坐標；(2)橫坐標為m的點P在線段上（不與點重合），過點P作x軸的平行線交于點E，設的長為，求y與m之間的函數(shù)關系式并直接寫出相應的m取值范圍；(3)在（2）的條件下，在x軸上是否存在點F，使為等腰直角三角形？若存在求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．模型3.直角三角形中的分類討論模型-斜邊（或直角）不確定的直角三角形模型若直角三角形沒有明確誰直角（斜邊），要分類討論；從直角（斜邊）入手分三種情況進行討論。例1．（2024·浙江嘉興·三模）已知直角三角形兩邊長為3，4，則該直角三角形斜邊上的中線長為（

）A．2或2.5 B．5或 C．2.5或 D．2.5或例2．（2023春·河南鄭州·八年級校考期中）如圖，是的角平分線，是的高，，，點F為邊上一點，當為直角三角形時，則的度數(shù)為．例3．（2023·遼寧葫蘆島·二模）如圖，在中，，，，點D是的中點，點E是斜邊上一動點，沿所在直線把翻折到的位置，交于點F，若為直角三角形，則的長為．

模型4.直角三角形中的分類討論模型-直角三角形存在性模型直角三角形存在性的問題，首先需要觀察圖形，判斷直角頂點是否確定。若不確定，則需要進行分類討論，如下面模型構建。直角三角形存在性的問題?？急尘坝蟹郏ㄕ郫B）、動點、旋轉等。“兩定一動”直角三角形存在性問題：（常見與坐標系綜合、或結合翻折（折疊）、動點、旋轉等）。問題：已知點A，B和直線l，在l上求點P，使△PAB為直角三角形．分三種情況，如圖：①以A為直角頂點，即∠BAP＝90°：過點A作AB的垂線，與已知直線l的交點P1即為所求；②以B為直角頂點，即∠ABP＝90°：過點B作AB的垂線，與已知直線l的交點P2即為所求；③以P為直角頂點，即∠APB＝90°：以AB的中點Q為圓心，QA的長為半徑畫圓，與已知直線l的交點P3，P4即為所求．代數(shù)法計算：分別表示出點A，B，P的坐標，再分別表示出AB，AP和BP的長，由①BP2＝AB2＋AP2；②AP2＝AB2＋BP2；③AB2＝AP2＋BP2分別列方程求解．若方程有解，則此情況存在；若方程無解，則此情況不存在。幾何法計算：找相似，利用相似三角形求解，如果圖中沒有相似三角形，可通過添加輔助線構造相似三角形。特殊地，若有30°，45°或60°角可考慮用勾股定理或銳角三角函數(shù)求解．例1．（2023九年級·廣東·專題練習）如圖，已知，C為坐標軸上一點，且是直角三角形，則滿足條件的C點有(

)個．A．6 B．7 C．8 D．9例2．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，在平面直角坐標系中，已知，以為一邊在外部作等腰直角．則點的坐標為．

例3．（22-23八年級下·安徽阜陽·期末）如圖所示，在中，，點是射線上的一個動點．（1）當為直角三角形時，的長為．（2）若點在邊的下方，當為直角三角形時，的長為．例4．（23-24九年級上·江西景德鎮(zhèn)·期末）如圖，等邊的邊長為，點Q是的中點，若動點P以的速度從點A出發(fā)沿方向運動，設運動時間為t秒，連接，當是直角三角形時，則t的值為秒．例5．（23-24九年級上·湖北武漢·階段練習）在平面直角坐標系中，已知點A的坐標為(0，2)，△ABO為等邊三角形，P是x軸上的一個動點（不與O點重合），將線段AP繞A點按逆時針旋轉60°，P點的對應點為點Q，連接OQ，BQ。(1)點B的坐標為；(2)①如圖①，當點P在x軸負半軸運動時，求證：∠ABQ=90°；②當點P在x軸正半軸運動時，①中的結論是否仍然成立？請補全圖②，并作出判斷（不需要說明理由）；(3)在點P運動的過程中，若△OBQ是直角三角形，直接寫出點P的坐標.例6．（2023秋·遼寧錦州·八年級統(tǒng)考期末）【模型構建】如圖，將含有的三角板的直角頂點放在直線l上，過兩個銳角頂點分別向直線l作垂線，這樣就得到了兩個全等的直角三角形．由于三個直角的頂點都在同一條直線上，因此我們將其稱為“一線三直角”，這模型在數(shù)學解題中被廣泛使用．【模型應用】(1)如圖1，在平面直角坐標系中，直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點，①則_________；②C，D是正比例函數(shù)圖像上的兩個動點，連接AD，BC，若，則AD的最小值是_______；(2)如圖2，一次函數(shù)的圖像與y軸，x軸分別交于A，B兩點．將直線繞點A逆時針旋轉得到直線l，求直線l對應的函數(shù)表達式；【模型拓展】(3)如圖3，點A在x軸負半軸上，，過點A作軸交直線于點B，P是直線上的動點，Q是y軸上的動點，若是以其中一個動點為直角頂點的等腰直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標．

1．（2023秋·廣東八年級課時練習）若是等腰三角形，，則的度數(shù)是（

）A．或B．或C．或D．或或2．（2024·安徽亳州·九年級校聯(lián)考階段練習）在平面直角坐標系中，已知點關于軸的對稱點，點是軸上的一個動點，當是等腰三角形時，值個數(shù)是(

)A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（23-24九年級上·廣東深圳·階段練習）在平面直角坐標系中，過原點及點、作長方形，的平分線交于點.點從點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿射線方向移動；同時點從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿x軸正方向移動.設移動時間為秒，當為直角三角形時為（

）A．2或B．2或C．或D．2或或4．（23-24八年級下·江西九江·期末）如圖，在中，，將一塊足夠大的直角三角尺（，）按如圖放置，頂點P在邊AC上滑動，三角尺的直角邊始終經過點B，斜邊交于點D，若點P在滑動中恰能使與均為等腰三角形，則∠C的度數(shù)為．5．（2023春·湖北襄陽·九年級?？计谥校┑妊切我谎系母吲c另一腰的夾角為，則等腰三角形的底角的度數(shù)是．6．（23-24九年級上·江蘇常州·階段練習）如圖，在中，，點分別是的中點，在射線上有一動點，若是直角三角形，則的長為．

7．（2024·河南鄭州·三模）在矩形中，，為CD的中點，取的中點，連接，當為直角三角形時，的長為．8．（2024·浙江杭州·模擬預測）如圖，在中，，，，點是的中點，點是邊上一動點，沿所在直線把翻折到的位置，交于點，若為直角三角形，則的長為．9.（2024·江西南昌·模擬預測）在中，，，，點為平行四邊形邊上的動點，且滿足是直角三角形，則的長度是．10．（2024·江西南昌·模擬預測）在平面直角坐標系中，的頂點，的坐標分別為，，點繞點順時針旋轉到點，連接，，若為直角三角形，則點到軸的距離為．11．（24-25九年級上·貴州貴陽·期中）如圖，已知在矩形紙片中，，，點是的中點，點是邊上的一個動點，將沿所在直線翻折，得到，連接，，則當是等腰三角形時，的長是．12．（2023春·河南開封·八年級?？计谥校┯幸幻娣e為的等腰三角形，它的一個內角是，則以它的腰長為邊的正方形的面積為．13．（2023·安徽·九年級專題練習）在矩形中，，，點，分別為，上的兩個動點，將沿折疊，點的對應點為，若點落在射線上，且恰為直角三角形，則線段的長為．14．（2023春·浙江紹興·八年級校聯(lián)考期中）如圖，，點在邊上，，點為邊上一動點，連接，與關于所在的直線對稱，點，分別為，的中點，連接并延長交所在直線于點，連接，當為直角三角形時，的長為15．（23-24八年級上·江蘇南京·階段練習）定義：如果1條線段將一個三角形分割成2個等腰三角形，我們把這條線段叫做這個三角形的“雙等腰線”．如果2條線段將一個三角形分成3個等腰三角形，我們把這2條線段叫做這個三角形的“三等腰線”．如圖1，是的“雙等腰線”，、是的“三等腰線”．(1)請在圖2三個圖中，分別畫出的“雙等腰線”，并做必要的標注或說明．①；②，；③，(2)如果一個等腰三角形有“雙等腰線”，那么它的底角度數(shù)是________．(3)如圖3，中，，．畫出所有可能的“三等腰線”，使得對取值范圍內的任意值都成立，并做必要的標注或說明．（每種可能用一個圖單獨表示，如果圖不夠用可以自己補充）16．（2024·寧夏銀川·?？级＃┤鐖D，在平面直角坐標系中有矩形，，，連接，點從頂點出發(fā)以1.5個單位/秒的速度在線段上向點運動，同時點從頂點出發(fā)以1個單位/秒的速度在線段上向點運動，只要有一個點先到達終點，兩個點就停止運動．過點作，交于點，連接，設運動時間為秒．（1）當時，______．（2）設的面積為，寫出關于的函數(shù)表達式，并寫出的面積最大時點的坐標；（3）直接寫出運動過程中，為等腰三角形時的值．17．（2023春·重慶渝中·八年級?？计谀┤鐖D，中，以，為邊，分別在各自的上方作等邊三角形，等腰三角形，，，連接，；

(1)如圖1，若，，求的面積(2)如圖2，點為中點，求證：(3)如圖3，，，點為直線上的動點，連接，作關于所在直線的對稱圖形，記作，連接，，當直角三角形時，請直接寫出的度數(shù)．18．（2023·八年級重慶?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交于點.點的坐標為，點在軸上，.（1）點在上，其橫坐標為，點、分別是軸、軸上的動點，連接，將沿翻折得，點是直線上的一個動點，當最大時，求的最小值；（2）將繞點逆時針旋轉90°得直線，點、分別是直線與直線上的動點，當是以為直角邊的等腰直角三角形時，直接寫出點的坐標.

專題10三角形中的重要模型之特殊三角形中的分類討論模型特殊三角形（等腰三角形和直角三角形）的分類討論模型，是初中各類考試中幾何壓軸題的?？?，并且形式多樣，內容新穎，能較好地考查同學們的應用意識和思維能力。在歷年中考當中，很多考生因為在處理等腰三角形和直角三角形有關的多解問題時，常?？紤]不全面，導致漏解丟分。在學習等腰或直角三角形的性質和判定時，分類討論的思想尤為重要，希望大家要認真對待。本專題將把特殊三角形分類討論情形作系統(tǒng)的歸納與介紹，方便大家對它有個全面的了解與掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.等腰三角形中的分類討論模型-對角（邊）與高的分類討論模型 2模型2.等腰三角形中的分類討論模型-對邊的分類討論模型 5模型3.直角三角形中的分類討論模型-斜邊（或直角）不確定的直角三角形模型 13模型4.直角三角形中的分類討論模型-直角三角形存在性模型 15 26模型1.等腰三角形中的分類討論模型-對角（邊）與高的分類討論模型1）若等腰三角形沒有明確角的種類，要分類討論；從銳角等腰三角形和鈍角等腰三角形的角度入手分頂角與底角兩種情況進行分類討論。當然有時候已知條件是以邊的形式給出，我們討論頂角和底角與討論底和腰的原理相同。2）若等腰三角形沒有明確高的位置，要分類討論；從銳角等腰三角形和鈍角等腰三角形的角度入手分腰上高與底邊高、界內高與界外高兩種情況進行分類討論。例1．（24-25九年級上·山東·期末）若等腰內接于，，，則底角的度數(shù)為（）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】畫出相應圖形，分為銳角三角形和鈍角三角形2種情況解答即可．本題考查的是三角形外接圓和外心，三角形圓周角定理及等腰三角形的性質，分情況探討是解決本題的易錯點；用到的知識點為：同弧所對的圓周角等于圓心角的一半；圓內接四邊形的對角互補．【詳解】解：（1）圓心在外部，在優(yōu)弧上任選一點，連接，．∵，，；，；（2）圓心在內部．∵，∴，，．綜上所述，底角的度數(shù)為或，故選：C．例2．（2023·四川廣元·八年級校聯(lián)考期中）已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，那么這個等腰三角形的頂角等于（）A． B．或 C．或 D．【答案】B【分析】分三角形是銳角三角形時，利用直角三角形兩銳角互余求解；三角形是鈍角三角形時，利用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和列式計算即可得解．【詳解】如圖1，三角形是銳角三角時，，頂角；如圖，三角形是鈍角時，，頂角，綜上所述，頂角等于或．故選：B．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，直角三角形的兩個銳角互余，難點在于分情況討論，作出圖形更形象直觀．例3．（2023春·山東棗莊·八年級?？计谥校┮阎獂，y滿足，則以，的值為兩邊長的等腰三角形的周長是（）A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不對【答案】B【分析】利用非負數(shù)的性質，求出，的值，利用分類討論的思想思考問題即可．【詳解】解：，又，，，，當?shù)妊切蔚倪呴L為4，4，8時，不符合三角形的三邊關系；當?shù)妊切蔚娜厼?，8，4時，周長為20，故選：B．【點睛】本題考查等腰三角形的概念、非負數(shù)的性質、三角形的三邊關系等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．例4．（2024八年級上·湖北·專題練習）等腰三角形三邊長分別為，，，則等腰三角形的周長為（

）A．10B．7或10C．7或4D．10或7或4【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的定義、一元一次方程的應用、三角形三邊關系，根據等腰三角形的定義，分三種情況，分別得出一元一次方程，解方程結合三角形三邊關系判斷即可得解．【詳解】解：①當為底邊長時，腰長為，，∵三角形為等腰三角形，，解得，∴，，∵，∴構不成三角形；②當為底邊長時，腰長為，，∵三角形為等腰三角形，，解得，∴，，符合三角形三邊關系，等腰三角形的周長為；③當為底邊長時，腰長為，，∵三角形為等腰三角形，，解得，∴，，符合三角形三邊關系，等腰三角形的周長為．綜上，等腰三角形的周長為7或10，故選：B．例5．（24-25八年級上·浙江嘉興·階段練習）等腰三角形一腰上的中線將這個等腰三角形的周長分為和兩部分，那么這個等腰三角形的底邊長是．【答案】/厘米【分析】本題考查了等腰三角形的定義（至少有兩邊等長或相等的三角形）、二元一次方程組的幾何應用、三角形的三邊關系定理；依據題意，正確分兩種情況討論是解題關鍵．如圖（見解析），分①；②兩種情況，再分別根據等腰三角形的定義建立二元一次方程組，解方程組可得等腰三角形的三邊長，然后利用三角形的三邊關系定理進行檢驗即可得．【詳解】解：如圖，是等腰三角形，是腰上的中線，設，則，由題意，分以下兩種情況：①當時，則，解得，此時等腰三角形的三邊長分別為，不滿足三角形的三邊關系定理，舍去；②當時，則，解得，此時等腰三角形的三邊長分別為，滿足三角形的三邊關系定理，因此，這個等腰三角形的底邊長為．故答案為：．模型2.等腰三角形中的分類討論模型-對邊的分類討論模型1）等腰三角形沒有明確邊的種類，要分類討論；結合三角形三邊關系分腰與底邊兩種情況進行分類討論。2）坐標系中的等腰三角形的分類討論。等腰三角形的兩種分類討論方法方法1.

“兩圓一線”；（一般符合“兩個定點一個動點”的等腰三角形）。如圖：已知，兩點是定點，在坐標軸上找一點構成等腰。①以已知線段為底作它的垂直平分線，與坐標軸的交點即為點P（有2個）；②以已知線段為腰：用線段的兩個端點為圓心，線段長為半徑，分別作圓。（以為圓心的有4個，以為圓心的有2個）。具體題目要通過計算這些點的坐標來考慮是否出現(xiàn)重疊現(xiàn)象。方法2.

“三邊兩兩相等分三種情況”討論，先列出三種情況，再首先選最簡單的那種情況先解答。若是“兩個動點一個定點”，多采用第二種方法分類討論。但就算是用第二種方法分類討論，也可以先用“兩圓一線”確定符合等腰三角形的點可能有幾個及這些點的大致位置。例1．（2024·山東·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標系中，為坐標原點，點的坐標為，若為軸上一點，且使得為等腰三角形，則滿足條件的點有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】A【分析】分別以O、A為圓心，以OA長為半徑作圓，與x軸交點即為所求點M，再作線段OA的垂直平分線，與坐標軸的交點也是所求的點M，作出圖形，利用數(shù)形結合求解即可．【詳解】解：如圖，滿足條件的點M的個數(shù)為2．故選A．【點睛】本題考查了坐標與圖形的性質及等腰三角形的判定；對于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒有明確哪邊是底哪邊是腰時，應在符合三角形三邊關系的前提下分類討論．例2．（2023·福建南平·八年級?？计谥校┮阎鰽BC中，如果過頂點B的一條直線把這個三角形分割成兩個三角形，其中一個為等腰三角形，另一個為直角三角形，則稱這條直線為△ABC的關于點B的二分割線．如圖1，Rt△ABC中，顯然直線BD是△ABC的關于點B的二分割線．在圖2的△ABC中，∠ABC＝110°，若直線BD是△ABC的關于點B的二分割線，則∠CDB的度數(shù)是．【答案】40°或90°或140°【分析】分三種情況討論，由等腰三角形的性質和直角三角形的性質可求解．【詳解】解：①如圖，當∠DBC=90°，AD=BD時，直線BD是△ABC的關于點B的二分割線，∵∠ABC=110°，∠DBC=90°，∴∠ABD=20°，∵AD=BD，∴∠A=∠ABD=20°，∴∠CDB=∠A+∠ABD=40°；②如圖，當∠BDC=90°，AD=BD時，直線BD是△ABC的關于點B的二分割線，或當∠BDC=90°，CD=BD時，直線BD是△ABC的關于點B的二分割線，；③如圖，當∠ABD=90°，CD=BD時，直線BD是△ABC的關于點B的二分割線，∵∠ABC=110°，∠ABD=90°，∴∠DBC=20°，∵CD=BD，∴∠C=∠DBC=20°，∴∠BDC=140°．綜上所述：當∠BDC的度數(shù)是40°或90°或140°時，直線BD是△ABC的關于點B的二分割線．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質，直角三角形的性質，理解二分割線是本題關鍵．例3．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，，射線從射線開始繞點C逆時針旋轉角，與射線相交于點D，將沿射線翻折至處，射線與射線相交于點E．若是等腰三角形，則的度數(shù)為．

【答案】或或【分析】分情況討論，利用折疊的性質知，，再畫出圖形，利用三角形的外角性質列式計算即可求解．【詳解】解：由折疊的性質知，，當時，，

由三角形的外角性質得，即，此情況不存在；當時，，，

由三角形的外角性質得，解得；當時，，∴，由三角形的外角性質得，解得；當時，，∴，∴；綜上，的度數(shù)為或或．故答案為：或或．【點睛】本題考查折疊的性質，三角形的外角性質，等腰三角形的性質，畫出圖形，數(shù)形結合是解題關鍵．例4．（2023春·四川達州·八年級?？计谥校┰谥苯亲鴺讼抵?，O為坐標原點，已知點A（1，2），點P是y軸正半軸上的一點，且△AOP為等腰三角形，則點P的坐標為．【答案】【分析】有三種情況：①以O為圓心，以OA為半徑畫弧交y軸于D，求出OA即可；②以A為圓心，以OA為半徑畫弧交y軸于P，求出OP即可；③作OA的垂直平分線交y軸于C，則AC＝OC，根據勾股定理求出OC即可．【詳解】有三種情況：①以O為圓心，以OA為半徑畫弧交y軸于D，則OA＝OD＝；∴D（0，）；②以A為圓心，以OA為半徑畫弧交y軸于P，OP＝2×yA=4，∴P（0，4）；③作OA的垂直平分線交y軸于C，則AC＝OC，由勾股定理得：OC＝AC＝，∴OC＝，∴C（0，）；故答案為：．【點睛】本題主要考查對線段的垂直平分線，等腰三角形的性質和判定，勾股定理，坐標與圖形性質等知識點的理解和掌握，能求出符合條件的所有情況是解此題的關鍵．例5．（2024·江蘇泰州·八年級校聯(lián)考階段練習）如圖1，中，于D，且，(1)試說明是等腰三角形；(2)已知，如圖2，動點M從點B出發(fā)以每秒的速度沿線段向點A運動，同時動點N從點A出發(fā)以相同速度沿線段向點C運動，當其中一點到達終點時整個運動都停止．設點M運動的時間為t（秒），①若的邊與平行，求t的值；②若點E是邊的中點，問在點M運動的過程中，能否成為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)①5或6；②9或10或【分析】（1）設，則，由勾股定理求出，即可得出結論；（2）由的面積求出；①當時，；當時，；得出方程，解方程即可；②由直角三角形的性質得出，根據題意得出當點M在上，即時，為等腰三角形，有3種可能：；；；分別得出方程，解方程即可．【詳解】（1）證明：設，則，在中，，∴，∴是等腰三角形；（2）解：設，則，，而，∴則，由題意可知當點M到達點A時點N剛好到達點C，此時．①當時，，即，∴；當時，，得：；∴若的邊與平行，t值為5或6．②∵點E是邊的中點，，∴cm，當點M在上，即時，為鈍角三角形，但；當時，點M運動到點D，不構成三角形當點M在上，即時，為等腰三角形，有3種可能．如果，則，∴；如果，則點M運動到點A，∴；如果cm，過點E作于F，如圖3所示：此時cm，∵，∴cm∵，∴cm，∵cm，則在中，，∴．綜上所述，符合要求的t值為9或10或．【點睛】本題考查了勾股定理、等腰三角形的判定與性質、平行線的性質、解方程等知識；本題有一定難度，需要進行分類討論才能得出結果．例6．（2024·四川成都·八年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系內，點O為坐標原點，經過的直線交x軸正半軸于點B，交y軸于點，直線交x軸負半軸于點D，若的面積為

(1)求直線的表達式和點D的坐標；(2)橫坐標為m的點P在線段上（不與點重合），過點P作x軸的平行線交于點E，設的長為，求y與m之間的函數(shù)關系式并直接寫出相應的m取值范圍；(3)在（2）的條件下，在x軸上是否存在點F，使為等腰直角三角形？若存在求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，點F的坐標為或或【分析】（1）據直線交軸正半軸于點，交軸于點，，設直線解析式為，把的坐標代入求得的值，從而求得的坐標，再根據三角形的面積建立方程求出的值，求出的值，從而求出點的坐標；（2）直接根據待定系數(shù)法求出的解析式，先根據的坐標求出直線的解析式，將點的橫坐標代入直線的解析式，求出的縱坐標，將的縱坐標代入直線的解析式就可以求出的橫坐標，根據線段的和差關系就可以求出結論；（3）要使為等腰直角三角形，分三種情況分別以點為直角頂點，據等腰直角三角形的性質求出（2）中的值，就可以求出點的坐標．【詳解】（1）解：，∴設直線的解析式為，∵直線經過，，，∴直線的解析式為，，，的面積為，，，，，直線的解析式為（2）解：設直線的解析式為，，∴，解得．∴直線的解析式為；∵點P在上，且橫坐標為m，，軸，∴E的縱坐標為，代入得，，解得，，的長；即，；（3）解：在x軸上存在點F，使為等腰直角三角形，①當時，如圖①，有，，，，解得，此時；②當時，如圖②，有，的長等于點E的縱坐標，，，解得：，∴點E的橫坐標為，∴；③當時，如圖③，有，．，．作，點R為垂足，，，．同理，．∵點R與點E的縱坐標相同，，∴，解得：，，∴點F的橫坐標為，．綜上，在x軸上存在點F使為等腰直角三角形，點F的坐標為或或．

【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質，三角形的面積公式的運用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運用，解答本題時求出函數(shù)的解析式是關鍵．模型3.直角三角形中的分類討論模型-斜邊（或直角）不確定的直角三角形模型若直角三角形沒有明確誰直角（斜邊），要分類討論；從直角（斜邊）入手分三種情況進行討論。例1．（2024·浙江嘉興·三模）已知直角三角形兩邊長為3，4，則該直角三角形斜邊上的中線長為（

）A．2或2.5 B．5或 C．2.5或 D．2.5或【答案】A【分析】本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線性質，合理分類討論斜邊的長是解題的關鍵．分類討論斜邊的情況，根據斜邊上的中線等于斜邊的一半求解即可．【詳解】解：當和為直角邊時，則斜邊，中線，當斜邊為時，中線，∴斜邊的長為或，故選：A．例2．（2023春·河南鄭州·八年級?？计谥校┤鐖D，是的角平分線，是的高，，，點F為邊上一點，當為直角三角形時，則的度數(shù)為．【答案】或【分析】分情況討論：①當時，②當時，根據角平分線和三角形高線的定義分別求解即可．【詳解】解：如圖所示，當時，∵是的角平分線，，∴，∴中，；如圖，當時，同理可得，∵，∴，∴，綜上所述：的度數(shù)為或．故答案為：或．【點睛】本題考查角平分線和高線的定義，三角形外角的性質，三角形內角和定理，掌握分類討論的思想是解題的關鍵．例3．（2023·遼寧葫蘆島·二模）如圖，在中，，，，點D是的中點，點E是斜邊上一動點，沿所在直線把翻折到的位置，交于點F，若為直角三角形，則的長為．

【答案】1或【分析】本題考查翻折變換、勾股定理、解直角三角形、全等三角形的判定和性質等知識，分，兩種情形分別畫出圖形，結合三角函數(shù)及勾股定理求解即可得到答案；【詳解】解：如圖，當時．在中，∵，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，

，

，如圖，當時，作交的延長線于H．設，∵，，∴，∴，∵，∴，在中，，，，在中，∵，∴，解得，綜上所述，滿足條件的的值為1或，故答案為：1或．模型4.直角三角形中的分類討論模型-直角三角形存在性模型直角三角形存在性的問題，首先需要觀察圖形，判斷直角頂點是否確定。若不確定，則需要進行分類討論，如下面模型構建。直角三角形存在性的問題?？急尘坝蟹郏ㄕ郫B）、動點、旋轉等。“兩定一動”直角三角形存在性問題：（常見與坐標系綜合、或結合翻折（折疊）、動點、旋轉等）。問題：已知點A，B和直線l，在l上求點P，使△PAB為直角三角形．分三種情況，如圖：①以A為直角頂點，即∠BAP＝90°：過點A作AB的垂線，與已知直線l的交點P1即為所求；②以B為直角頂點，即∠ABP＝90°：過點B作AB的垂線，與已知直線l的交點P2即為所求；③以P為直角頂點，即∠APB＝90°：以AB的中點Q為圓心，QA的長為半徑畫圓，與已知直線l的交點P3，P4即為所求．代數(shù)法計算：分別表示出點A，B，P的坐標，再分別表示出AB，AP和BP的長，由①BP2＝AB2＋AP2；②AP2＝AB2＋BP2；③AB2＝AP2＋BP2分別列方程求解．若方程有解，則此情況存在；若方程無解，則此情況不存在。幾何法計算：找相似，利用相似三角形求解，如果圖中沒有相似三角形，可通過添加輔助線構造相似三角形。特殊地，若有30°，45°或60°角可考慮用勾股定理或銳角三角函數(shù)求解．例1．（2023九年級·廣東·專題練習）如圖，已知，C為坐標軸上一點，且是直角三角形，則滿足條件的C點有(

)個．A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】過點作AB的垂線，交軸于點，交軸于點；過點作AB的垂線，交軸于點，交軸于點；根據直徑所對的圓周角為直角，以AB為直徑作圓，根據和的坐標求出AB的長度，即為圓的直徑，可得出半徑的長，進而判斷得出圓與軸相切，可得出圓與軸有個交點，與軸交于點．所以滿足條件的點共有個．【詳解】解：分三種情況考慮：①當為直角頂點時，過作，交軸于點，交軸于點，此時滿足題意的點為，；②當為直角頂點時，過作，交軸于點，交軸于點，此時滿足題意的點為，；③當為直角頂點時，以AB為直徑作圓，由、，可得此圓與軸相切，則此圓與軸有個交點，與軸有個交點，分別為．綜上，所有滿足題意的有個．故選：B．【點睛】此題考查了圓周角定理，直角三角形以及坐標與圖形性質，利用了分類討論及數(shù)形結合的思想．注意：若是直角三角形，則它的任意一個頂點都有可能為直角頂點．例2．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，在平面直角坐標系中，已知，以為一邊在外部作等腰直角．則點的坐標為．

【答案】或或【分析】分三種情形討論求解即可．當時，作軸于，由，推出，可得點坐標，同法可得，當，，，當是等腰直角三角形的斜邊時，是的中點，．【詳解】解：如圖，當時，作軸于，

∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，同法可得，當，當是等腰直角三角形的斜邊時，是的中點，，綜上所述，滿足條件的點的坐標為或或．故答案為：或或．【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質、中點坐標公式等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．例3．（22-23八年級下·安徽阜陽·期末）如圖所示，在中，，點是射線上的一個動點．（1）當為直角三角形時，的長為．（2）若點在邊的下方，當為直角三角形時，的長為．【答案】或【分析】本題主要考查了勾股定理，含直角三角形的性質和直角三角形斜邊的中線的綜合應用．（1）畫出圖形，在中得到，再用勾股定理計算即可；（2）分兩種情況討論：①當時，②時，分別畫出圖形，然后根據含直角三角形的性質、直角三角形斜邊的中線的性質或勾股定理，進行計算求解即可．【詳解】（1）∵∴，當為直角三角形時，即，∵，∴，，故答案為：．（2）如圖1所示，當時，，為等邊三角形，∴；如圖2所示，當時，，∴,，，又．．故答案為：或．例4．（23-24九年級上·江西景德鎮(zhèn)·期末）如圖，等邊的邊長為，點Q是的中點，若動點P以的速度從點A出發(fā)沿方向運動，設運動時間為t秒，連接，當是直角三角形時，則t的值為秒．【答案】或2或【分析】此題考查了等邊三角形的性質，等腰三角形的判定和性質．此題屬于動點問題，難度適中，注意掌握分類討論思想與數(shù)形結合思想的應用．由等邊的邊長為，點Q是的中點，可求得的長，然后根據，得出另外的一個銳角為，根據直角三角形的性質即可得出答案．【詳解】解：連接，如圖所示：∵等邊的邊長為，點Q是的中點，∴，，，∴，當時，，∴；∴當P從時，，當P從時，；當時，點P運動到點B，．綜上分析可知，t的值為或2或．故答案為：或2或．例5．（23-24九年級上·湖北武漢·階段練習）在平面直角坐標系中，已知點A的坐標為(0，2)，△ABO為等邊三角形，P是x軸上的一個動點（不與O點重合），將線段AP繞A點按逆時針旋轉60°，P點的對應點為點Q，連接OQ，BQ。(1)點B的坐標為；(2)①如圖①，當點P在x軸負半軸運動時，求證：∠ABQ=90°；②當點P在x軸正半軸運動時，①中的結論是否仍然成立？請補全圖②，并作出判斷（不需要說明理由）；(3)在點P運動的過程中，若△OBQ是直角三角形，直接寫出點P的坐標.【答案】(1)(，1)(2)①見解析；②補全圖②見解析，成立(3)(，0)或(，0)【分析】（1）過點B作軸，由等邊三角形的性質可知，，從而可求出，再由含30度角的直角三角形的性質結合勾股定理可求出，，從而得出B(，1)；（2）①由旋轉的性質可知AP=AQ，，根據等邊三角形的性質可知AO=AB，，從而可求出，進而可求出，即易證，得出；②由題意畫圖即可，由①同理可證，即得出；（3）先求出，再分類討論：①當時，此時點P在x軸負半軸和②當時，此時點P在x軸負半軸，結合含30度角的直角三角形的性質，勾股定理和全等三角形的性質即可求出答案．【詳解】（1）解：如圖，過點B作軸，∵點A的坐標為(0，2)，△ABO為等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，∴B(，1)；故答案為：(，1)；（2）①由旋轉的性質可知AP=AQ，．∵為等邊三角形，∴AO=AB，，∴，∴，∴，∴．∵，∴；②補全圖②如圖，①中的結論仍然成立．由①同理可證，∴；（3）當點P在x軸負半軸運動時，∵，，∴．當點P在x軸正半軸運動時，∵，，∴．綜上可知，故可分類討論：①當時，如圖，此時點P在x軸負半軸，∵，，∴．∵，∴，解得：或（舍）．∵，∴，∴P(，0)；②當時，如圖，此時點P在x軸負半軸，∵，，∴，∴．∵，∴，∴P(，0)．綜上可知當△OBQ是直角三角形時，點P坐標為(，0)或(，0)．【點睛】本題考查坐標與圖形，等邊三角形的性質，旋轉的性質，三角形全等的判定和性質，含30度角的直角三角形的性質以及勾股定理等知識．利用數(shù)形結合和分類討論的思想是解題關鍵．例6．（2023秋·遼寧錦州·八年級統(tǒng)考期末）【模型構建】如圖，將含有的三角板的直角頂點放在直線l上，過兩個銳角頂點分別向直線l作垂線，這樣就得到了兩個全等的直角三角形．由于三個直角的頂點都在同一條直線上，因此我們將其稱為“一線三直角”，這模型在數(shù)學解題中被廣泛使用．【模型應用】(1)如圖1，在平面直角坐標系中，直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點，①則_________；②C，D是正比例函數(shù)圖像上的兩個動點，連接AD，BC，若，則AD的最小值是_______；(2)如圖2，一次函數(shù)的圖像與y軸，x軸分別交于A，B兩點．將直線繞點A逆時針旋轉得到直線l，求直線l對應的函數(shù)表達式；【模型拓展】(3)如圖3，點A在x軸負半軸上，，過點A作軸交直線于點B，P是直線上的動點，Q是y軸上的動點，若是以其中一個動點為直角頂點的等腰直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標．

【答案】(1)①；②(2)(3)或或或【分析】（1）①先根據函數(shù)解析式確定，進而得到，然后根據等腰直角三角形的性質即可解答；②根據點到直線的距離垂線段最短，可得當時，AD有最小值，然后判定可得，最后根據勾股定理求解即可；（2）先證可得，進而得到，最后根據待定系數(shù)法即可解答；（3）分，點P在x軸上方或下方和點P在x軸上方或下方，四種情況，分別運用全等三角形的判定與性質和二元一次方程組解答即可【詳解】（1）解：①∵與x軸，y軸交于A，B兩點，∴，∴，又∵，∴為等腰直角三角形，∴；故答案為；②∵A是定點，∴如圖：當時，有最小值；

∵,∴，∵，∴，在和中，∴，∴在中，由勾股定理得：，∴，∴的最小值為．故答案為．（2）解：如圖，過點B作交直線l于點C，過點C作軸．∴．∵，∴．∴．∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．當時，，∴．當時，，∴．∴．設直線l對應的函數(shù)表達式為，將和代入，得

解得∴．（3）解：①當,,P在x軸的上方，如圖1：過P作軸，交于M，交y軸于N，∵，∴，又∵，∴，∴；∵直線l：，∴設，∴，∴，∴，∴,即，①②聯(lián)立解得：，∴；

②當,,P在x軸的下方，如圖2：同①易證：，∴；∵直線l：，∴設，∴，∴，∴,∴,即，①②聯(lián)立解得：，∴;③當,,P在x軸的上方，如圖3：易證，∴；

∵直線l：，∴設，∴，∴，∵，∴，①②聯(lián)立解得：，∴；④當,,P在x軸的下方，如圖：易證，∴；∵直線l：，∴設，∴，∴，∵，∴，①②聯(lián)立解得：，∴．綜上，點P的坐標為或或或．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與幾何的綜合、等腰直角三角形的性質、垂線段最短、全等三角形的判定與性質等知識點，綜合應用所學知識成為解答本題的關鍵．1．（2023秋·廣東八年級課時練習）若是等腰三角形，，則的度數(shù)是（

）A．或B．或C．或D．或或【答案】D【分析】根據等腰三角形性質分情況討論即可得到答案．【詳解】解：是等腰三角形，，當是頂角時，；當是底角時，①當時，則；②；綜上所述，的度數(shù)是或或，故選：D．【點睛】本題考查利用等腰三角形性質求角度，根據等腰三角形性質分類討論是解決問題的關鍵．2．（2024·安徽亳州·九年級校聯(lián)考階段練習）在平面直角坐標系中，已知點關于軸的對稱點，點是軸上的一個動點，當是等腰三角形時，值個數(shù)是(

)A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】首先根據關于y軸對稱的點的坐標規(guī)律可得P′的坐標為（2，1），再根據△P′TO是等腰三角形分三種情況情況討論：P′Q=P′O時；P′Q=QO時；OQ=P′O時分別求解即可．【詳解】∵點P（-4，3），∴關于y軸的對稱點P′的坐標為（4，3），則，對于△P′QO是等腰三角形分三種情況情況討論：(1)當是等腰三角形的底邊時，點就是的垂直平分線與軸的交點，根據三角形相似可得：，則的值是；(2)當是等腰三角形的腰時，若點是頂角頂點，則點就是以點為圓心，以為半徑的圓與軸的交點，其坐標分別是，則的值是8；若點是頂角頂點，則點就是以點為圓心，以為半徑的圓與軸有2個交點，其坐標分別為、，則的值是5或-5．由(1)(2)可知t的值是或8或5或-5．綜上值個數(shù)是4個．故選：D.【點睛】此題主要考查了等腰三角形的判定，關鍵是掌握等腰三角形的判定．3．（23-24九年級上·廣東深圳·階段練習）在平面直角坐標系中，過原點及點、作長方形，的平分線交于點.點從點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿射線方向移動；同時點從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿x軸正方向移動.設移動時間為秒，當為直角三角形時為（

）A．2或B．2或C．或D．2或或【答案】D【分析】要使為直角三角形，顯然只有當∠PQB=90°或∠PBQ=90°，進而利用勾股定理分別分析得出，，，再分別就∠PQB=90°或∠PBQ=90°討論，求出符合題意的t值即可．【詳解】作PG⊥OC于點G，在Rt△POG中，∵∠POQ=45°，∴∠OPG=45°，∵OP=，∴OG=PG=t，∴點P（t，t），∵Q（2t，0），B（6，2），根據勾股定理得，，，，當∠PQB=90°，則，即，整理得：，解得t=0（舍）或t=2，∴t=2；當∠PBQ=90°，則，即，整理得：，解得；∴當t=2或或時，為直角三角形；故選：D．【點睛】本題主要考查勾股定理，用到的知識點是動點問題、勾股定理的運用，矩形的性質，直角三角形的性質，解答本題的關鍵是討論P點的位置，由題意建立方程從而求出t的值，同時要注意數(shù)形結合．4．（23-24八年級下·江西九江·期末）如圖，在中，，將一塊足夠大的直角三角尺（，）按如圖放置，頂點P在邊AC上滑動，三角尺的直角邊始終經過點B，斜邊交于點D，若點P在滑動中恰能使與均為等腰三角形，則∠C的度數(shù)為．【答案】或或【分析】本題考查了三角形內角和定理，等邊對等角等知識，根據①當，時，②當，時，③當，時，④當，時，四種情況討論即可作答．【詳解】①當，時，如圖，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴；②當，時，如圖，同①可得：，∵，∴，③當，時，如圖，同①可得：，∵，∴；④當，時，如圖，∵，，∴，∵，∴，綜上：∠C的度數(shù)為或或故答案為：或或．5．（2023春·湖北襄陽·九年級?？计谥校┑妊切我谎系母吲c另一腰的夾角為，則等腰三角形的底角的度數(shù)是．【答案】或【分析】等腰三角形分銳角和鈍角兩種情況，求出每種情況的頂角的度數(shù)，再利用等邊對等角的性質（兩底角相等）和三角形的內角和定理，即可求出底角的度數(shù)．【詳解】如圖當是銳角三角形時，

于D，則，∵，∴．∵，∴；如圖當是鈍角三角形時，

于H，則，∵，∴，∴．∵，∴．故答案為：或．【點睛】此題考查了等腰三角形的性質，三角形內角和定理，分類思想的應用，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．6．（23-24九年級上·江蘇常州·階段練習）如圖，在中，，點分別是的中點，在射線上有一動點，若是直角三角形，則的長為．

【答案】或【分析】此題考查了勾股定理、相似三角形的判定和性質等知識，先求出，，當時，根據直角三角形的性質即可得到；當，證明，利用相似三角形的性質即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，∴，當時，∵點分別是的中點，；當時，如圖，

∵點分別是的中點，∴，，，∴，∴，∵，∴∴∴，∴故答案為：或7．（2024·河南鄭州·三模）在矩形中，，為CD的中點，取的中點，連接，當為直角三角形時，的長為．【答案】或【分析】本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，等邊三角形的判定和性質，直角三角形的性質，先證明，可得，，再分和兩種情況解答即可求解，運用分類討論思想解答是解題的關鍵．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，，∵點為CD的中點，∴，∴，∴，，當時，如圖，則，∴為等腰直角三角形，∴；②當時，如圖，則，∵點為的中點，∴垂直平分，∴，∵，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，∴，∴；綜上，的長為或，故答案為：或．8．（2024·浙江杭州·模擬預測）如圖，在中，，，，點是的中點，點是邊上一動點，沿所在直線把翻折到的位置，交于點，若為直角三角形，則的長為．【答案】或【分析】本題考查了折疊的性質、相似三角形的判定和性質、勾股定理等知識，運用分類討論思想是解題關鍵．分兩種情況討論，畫出圖形分別進行解答即可．【詳解】解：在中，，，，∴，∴∵點是的中點，∴由翻折性質得，不可能為直角，當是直角時，如圖，是直角，，∴，，，由翻折可知，，，，，；當是直角時，如圖，連接、、，由翻折可知，，∴，，，，∴,∵，，∴，，，又，∴，，，延長交于，可得，∵，∴垂直平分，，在直角三角形中，由，，∴得到，．在直角三角形中，，將，代入①可得．故答案為：或．9.（2024·江西南昌·模擬預測）在中，，，，點為平行四邊形邊上的動點，且滿足是直角三角形，則的長度是．【答案】或或【分析】本題考查了平行四邊形的性質，直角三角形的性質，勾股定理，分和兩種情況畫出圖形解答即可求解，運用分類討論思想解答是解題的關鍵．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，，，∵，∴，（）當時，①作于，如圖所示，則，∵，∴，∴，∴，，∴，∵，，∴，∴為直角三角形，，∴此時點和點重合，∴此時；②當時，如圖，；（）當時，如圖，，∴；綜上，的長度是或或，故答案為：或或．【點睛】10．（2024·江西南昌·模擬預測）在平面直角坐標系中，的頂點，的坐標分別為，，點繞點順時針旋轉到點，連接，，若為直角三角形，則點到軸的距離為．【答案】4，2或【分析】本題考查了旋轉過程中點的坐標的變化，根據特殊角的三角函數(shù)值求出與x軸的夾角是解題的關鍵；通過分類討論，分三種情況逐個求解即可；【詳解】解：當，即點P與點B重合時，則P到軸的距離為4；當點P與點B不重合，且時，此時P在第四象限，，，，，，，的坐標分別為，，，，，，，和軸夾角為，到軸的距離為，當時，和軸夾角為，到軸的距離為，綜上所述，到軸的距離為4，2或．故答案為：4，2或．11．（24-25九年級上·貴州貴陽·期中）如圖，已知在矩形紙片中，，，點是的中點，點是邊上的一個動點，將沿所在直線翻折，得到，連接，，則當是等腰三角形時，的長是．【答案】或1或【分析】本題考查矩形中的翻折問題，涉及矩形的性質、等腰三角形的性質、正方形的判定和性質、勾股定理、全等三角形的判定與性質，分類討論思想的運用是解題的關鍵．分三種情況考慮，①當時，連接，則易得三點共線，在中，利用勾股定理建立方程即可求解；②當時，則得四邊形是正方形，即可求解；③當時，連接，則可得三點共線，再證明，則可得點F是的中點，從而求解；最后綜合上述三種情況即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，；∵點是的中點，∴；由折疊性質知：，，；①當時，則；連接，則由勾股定理得：；∵，∴，∴三點共線，∴，中，，由勾股定理得：，解得：；②當時，如圖，則點在線段的垂直平分線上，∴點在線段的垂直平分線上，∵E是的中點，∴是線段的垂直平分線，∴，∵，，∴四邊形是正方形，∴；③當時，連接，如圖；則；∵，∴；∵，∴三點共線，∴；∴，∵，，∴，∴，∵，∴；綜上，的長為或1或．故答案為：或1或．12．（2023春·河南開封·八年級?？计谥校┯幸幻娣e為的等腰三角形，它的一個內角是，則以它的腰長為邊的正方形的面積為．【答案】20或【分析】由題意知，分等腰三角形的頂角為和等腰三角形的底角為兩種情況求解：①當?shù)妊切蔚捻斀菫?，如圖1，等腰中，，過作于，設，則，由，，可得，求解的值即可；②當?shù)妊切蔚牡捉菫?，如圖2，等腰中，，過作的延長線于，則，，設，則，由勾股定理得，由，，可得，求解的值即可．【詳解】解：由題意知，分等腰三角形的頂角為和等腰三角形的底角為兩種情況求解：①當?shù)妊切蔚捻斀菫?，如圖1，等腰中，，過作于，

設，則，∵，，∴，解得，∴以腰長為邊的正方形的面積為；②當?shù)妊切蔚牡捉菫?，如圖2，等腰中，，過作的延長線于，則，

∴，設，則，由勾股定理得，∵，，∴，解得，∴以腰長為邊的正方形的面積為20；綜上所述，以腰長為邊的正方形的面積為20或．【點睛】本題考查了含的直角三角形，勾股定理，等腰三角形的定義．解題的關鍵在于分類討論．13．（2023·安徽·九年級專題練習）在矩形中，，，點，分別為，上的兩個動點，將沿折疊，點的對應點為，若點落在射線上，且恰為直角三角形，則線段的長為．【答案】或【分析】分兩種情況討論，由勾股定理可得AC=5，通過證明△AFG∽△ABC，由相似三角形的性質可求CF的長．【詳解】解：當為直角三角形時，按兩種情況分析：如圖，當為直角時，設．在中，，，．由折疊的性質知．，，，，即，解得：，故的長為．如圖，當為直角時，設．，，，．，即，解得：，故的長為，綜上所述，的長為或．【點睛】本題考查了翻折變換，勾股定理，矩形的性質，相似三角形的判定和性質，證明△AFG∽△ABC是本題的關鍵．14．（2023春·浙江紹興·八年級校聯(lián)考期中）如圖，，點在邊上，，點為邊上一動點，連接，與關于所在的直線對稱，點，分別為，的中點，連接并延長交所在直線于點，連接，當為直角三角形時，的長為【答案】或2【分析】當為直角三角形時，存在兩種情況：①當時，如圖1，根據對稱的性質和平行線可得：，根據直角三角形斜邊中線的性質得：，最后利用勾股定理可得的長；②當時，如圖2，證明是等腰直角三角形，可得．【詳解】解：當為直角三角形時，存在兩種情況：①當時，如圖1，與關于所在直線對稱，，，點，分別為，的中點，、是的中位線，，，，，，，，是等邊三角形，，；②當時，如圖2，，，與關于所在直線對稱，，是等腰直角三角形，；綜上所述，的長為或2；故答案為：或2．【點睛】本題考查了三角形的中位線定理、勾股定理、軸對稱的性質、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜邊中線的性質，并利用分類討論的思想解決問題．15．（23-24八年級上·江蘇南京·階段練習）定義：如果1條線段將一個三角形分割成2個等腰三角形，我們把這條線段叫做這個三角形的“雙等腰線”．如果2條線段將一個三角形分成3個等腰三角形，我們把這2條線段叫做這個三角形的“三等腰線”．如圖1，是的“雙等腰線”，、是的“三等腰線”．(1)請在圖2三個圖中，分別畫出的“雙等腰線”，并做必要的標注或說明．①；②，；③，(2)如果一個等腰三角形有“雙等腰線”，那么它的底角度數(shù)是________．(3)如圖3，中，，．畫出所有可能的“三等腰線”，使得對取值范圍內的任意值都成立，并做必要的標注或說明．（每種可能用一個圖單獨表示，如果圖不夠用可以自己補充）【答案】(1)見解析(2)或或(3)見解析【分析】本題主要考查三角形綜合題和作圖-應用與設計作圖，解題的關鍵是掌握等腰三角形的判定和性質．（1）根據等腰三角形的性質和三角形內角和解答即可；（2）設底角度數(shù)為，分三種情況利用等腰三角形的性質和三角形內角和解答即可；（3）根據兩種情況、利用等腰三角形的性質和三角形內角和解答即可．【詳解】（1）解：如圖2，取的中點，則，∴和是等腰三角形；如圖3，取，則，∵，∴，∴，∴，∴和是等腰三角形；如圖4，作的垂直平分線，交于，交于，連接，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴和是等腰三角形；（2）解：①設是以、為腰的銳角三角形，為“雙等腰線”，如圖5，當，時，設，則，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，②設是以、為腰的鈍角三角形，為“雙等腰線”，如圖6，當，時，設，則，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，③設是以、為腰的直角三角形，為“雙等腰線”，如圖7，當，時，為的垂直平分線，設，則，，∴，∴，∴，∴，故答案為：或或；（3）解：∵要畫出使得對取值范圍內的任意值都成立的“三等腰線”，∴不能使等于具體的數(shù)值，∴只需要使分割后的三個等腰三角形的底角成比例即可，第一種畫法：如圖8，∵，、設，，當、將分成，，的三個等腰三角形時，則有，，∵，∴，∴，∴“三等腰線”使得三個等腰三角形的底角比為，即可使得對取值范圍內的任意值都成立，第二種畫法：∵，設，，當、將分成，，的三個等腰三角形時，則，，∵，∴，因此，“三等腰線”使得三個等腰三角形的底角比為，即可使得對取值范圍內的任意值都成立，綜上所述，如圖所示的兩種“三等腰線”可以使得對取值范圍內的任意值都成立．16．（2024·寧夏銀川·?？级＃┤鐖D，在平面直角坐標系中有矩形，，，連接，點從頂點出發(fā)以1.5個單位/秒的速度在線段上向點運動，同時點從頂點出發(fā)以1個單位/秒的速度在線段上向點運動，只要有一個點先到達終點，兩個點就停止運動．過點作，交于點，連接，設運動時間為秒．（1）當時，______．（2）設的面積為，寫出關于的函數(shù)表達式，并寫出的面積最大時點的坐標；（3）直接寫出運動過程中，為等腰三角形時的值．【答案】（1）；（2），；（3），，【分析】（1）延長交于點，由四邊形AOBC為矩形，可得AC∥OB，AC=OB=8，由，可證四邊形為矩形，當時，QB=2，由EF∥OA，可證，可求．由，可求即可；（2）由，與，可得與，可求，利用三角形面積公式，利用二次函數(shù)性質可得當時，S△PCE最大，S△PCE最大=4即可；（3）先分別求出，CE=，PE=，根據為等腰三角形時可分為三種情況當，，時，分別列方程求解即可．【詳解】解：（1）延長交于點，∵四邊形AOBC為矩形，∴AC∥OB，AC=OB=8，∵，∴，∴∠FQB=∠QBC=∠BCF=90°，∴四邊形為矩形，當時，QB=2×1=2∴．∵EF∥OA，∴∠EFC=∠OAF，∠FEC=∠AOC