導數(shù)中的隱零點問題（高階拓展）（核心考點精講精練）1.4年真題考點分布4年考情考題示例考點分析關聯(lián)考點2020年新I卷，第21題,12分導數(shù)中的隱零點問題不等式恒成立問題2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的載體內(nèi)容，設題穩(wěn)定，難度較大，分值為12分【備考策略】1能用導數(shù)求解函數(shù)基本問題2掌握函數(shù)零點存在性定理及其應用3能設而不求進行隱零點的相關替換求值或范圍【命題預測】零點問題是高考的熱點問題，隱零點的代換與估計問題是函數(shù)零點中常見的問題之一,其源于含指對函數(shù)的方程無精確解,這樣我們只能得到存在性之后去估計大致的范圍，高考中曾多次考查隱零點代換與估計,所以本節(jié)我們做一個專門的分析與討論，方便學生高考綜合復習知識講解在求解導數(shù)問題時，我們一般對函數(shù)的零點設而不求，通過一種整體代換和過渡，再結合題目條件最終解決問題，我們稱這類問題為“隱零點問題”．解題步驟第1步:用零點存在性定理判定導函數(shù)零點的存在性,列出零點方程,并結合的單調(diào)性得到零點的范圍;第2步:以零點為分界點,說明導函數(shù)的正負,進而得到的最值表達式;第3步:將零點方程適當變形,整體代入最值式子進行化簡:（1）要么消除最值式中的指對項（2）要么消除其中的參數(shù)項;從而得到最值式的估計.2.隱零點的同構實際上,很多隱零點問題產(chǎn)生的原因就是含有指對項,而這類問題由往往具有同構特征,所以下面我們看到的這兩個問題,它的隱零點代換則需要同構才能做出,否則,我們可能很難找到隱零點合適的代換化簡方向.我們看下面兩例:一類同構式在隱零點問題中的應用:原理分析所以在解決形如,這些常見的代換都是隱零點中常見的操作.考點一、隱零點綜合問題1．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．（1）當時，求曲線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；（2）若不等式恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義求出在點切線方程，即可得到坐標軸交點坐標，最后根據(jù)三角形面積公式得結果；（2）方法一：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，當a=1時，由得,符合題意；當a>1時，可證，從而存在零點，使得，得到，利用零點的條件，結合指數(shù)對數(shù)的運算化簡后，利用基本不等式可以證得恒成立；當時，研究.即可得到不符合題意.綜合可得a的取值范圍.【詳解】（1），，.，∴切點坐標為(1,1+e),∴函數(shù)在點(1,f(1)處的切線方程為,即,切線與坐標軸交點坐標分別為,∴所求三角形面積為．（2）［方法一］：通性通法,，且.設,則∴g(x)在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，當時，,∴,∴成立.當時，，，,∴存在唯一，使得，且當時，當時，，，因此>1,∴∴恒成立；當時，∴不是恒成立.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).［方法二］【最優(yōu)解】：同構由得，即，而，所以．令，則，所以在R上單調(diào)遞增．由，可知，所以，所以．令，則．所以當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減．所以，則，即．所以a的取值范圍為．［方法三］：換元同構由題意知，令，所以，所以．于是．由于，而在時為增函數(shù)，故，即，分離參數(shù)后有．令，所以．當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減．所以當時，取得最大值為．所以．［方法四］：因為定義域為，且，所以，即．令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．因為，所以時，有，即．下面證明當時，恒成立．令，只需證當時，恒成立．因為，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則．因此要證明時，恒成立，只需證明即可．由，得．上面兩個不等式兩邊相加可得，故時，恒成立．當時，因為，顯然不滿足恒成立．所以a的取值范圍為．【整體點評】（2）方法一：利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出其最小值，由即可求出，解法雖稍麻煩，但是此類題，也是本題的通性通法；方法二：利用同構思想將原不等式化成，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及分離參數(shù)法即可求出，是本題的最優(yōu)解；方法三：通過先換元，令，再同構，可將原不等式化成，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及分離參數(shù)法求出；方法四：由特殊到一般，利用可得的取值范圍，再進行充分性證明即可．2．證明證明:要證明左邊大于右邊,只需證明左邊的最小值大于右邊即可然后求導,單增,,因此存在零點,有一個極小值設的零點為(1),兩邊同時取自然對數(shù),(2)將(1)、(2)帶入,得,證畢3．求的極值解:存在一個零點設的零點為令,即極小值為4．已知函數(shù)，若,求的取值范圍.解：記,依題意,恒成立,求導得,令,則在上單調(diào)遞增,又,則,使得,即成立,則當單調(diào)遞減;當單調(diào)遞增,,由,得,于是得,當時,令,有在上單調(diào)遞減,而在上單調(diào)遞增,即有函數(shù)在上單調(diào)遞減,于是得函數(shù)在上單調(diào)遞減,則當時,,不合題意;當且時,由(1)中知,,有,從而,由吅,因此滿足,又在上單調(diào)遞增,則有,而,所以實數(shù)的取值范困是.1．已知函數(shù)，當且時,不等式在上恒成立,求的最大值.解：依題分離參數(shù)得:,令,則,令.則在上遞增,,存在,使.即,當時,;當.2．已知函數(shù)對任意的恒成立,其中實數(shù),求的取值范圍.解：由已知得由得在上遞增,又,而,所以存在,使得得.當時,遞減;當時,遞增:故得,又因為在上遞增,且,,由得.3．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，且.(1)求a；(2)證明：存在唯一的極大值點，且.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）令且，討論、研究單調(diào)性，求其最小值，結合恒成立，利用導數(shù)研究恒成立求參數(shù)即可；（2）利用導數(shù)研究的單調(diào)性、極值情況，依據(jù)單調(diào)性證極大值的范圍.【詳解】（1）由恒成立，令且，①當時，（舍）；②當時，，在上，遞減，在上，遞增，令，，在上，遞增，在上，遞減，所以，則.（2）由（1）知：，所以，則，令，則，在上，則遞減，在上，則遞增，，，有兩個根，圖象如下，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴存在唯一極大值為，又，所以，令，在上，故單調(diào)遞增.，故，且為極大值，所以，，所以.【點睛】關鍵點點睛：第一問，討論參數(shù)并應用導數(shù)研究且最小值，根據(jù)不等式恒成立確定參數(shù)值；第二問，導數(shù)研究極值點分布，進而證極大值的范圍.4．（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)在處取得極小值．(1)求實數(shù)的值；(2)當時，證明：．【答案】(1)，(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)函數(shù)極值點與極值，求導數(shù)代入計算，即可得的值；（2）設，求，確定導函數(shù)的單調(diào)性與取值情況，即可得的取值情況，從而得結論.【詳解】（1），由題意知，則，即，由，知，即．（2）由（1）得，設，則．設，則在上單調(diào)遞增，且，所以存在唯一，使得，即．當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增．．設，則，當時，單調(diào)遞減，所以，所以，故當時，．【點睛】方法點睛：證明函數(shù)不等式的常用的方法：（1）構造差函數(shù)法：構造差函數(shù)，求導，判斷函數(shù)單調(diào)性，從而得函數(shù)最值，讓最值與比較大小即可得答案；（2）分離函數(shù)法：確定中間函數(shù)，利用導數(shù)分別證明，，即可證明結論；（3）放縮法：利用不等式對所證不等式進行放縮，證明放縮后的不等式成立，即可得結論.5．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·赤峰二中校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)．(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)當時，證明：在，上各有一個零點，且這兩個零點互為倒數(shù)．【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為(2)證明見解析【分析】（1）首先求出的定義域，由設，，由的單調(diào)性，得出，得出，即可得出的單調(diào)性；（2）利用導數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性和零點，并將問題轉化為證明等于零即可．【詳解】（1），定義域為，，設，，則，令，得，當，，則在上單調(diào)遞減，當，，則在上單調(diào)遞增，所以，所以，故的單調(diào)增區(qū)間為．（2），構建，則，令，解得；令，解得；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若，則，且當x趨近于或時，均趨近于，如圖所示：

所以在，內(nèi)均存在一個零點，設為，當或時，；當時，；即當或時，；當時，；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由于，則，且當x趨近于時，均趨近于，當x趨近于時，均趨近于，所以在，上各有一個零點，設為函數(shù)在的零點，要證在和上各有一個零點，且這兩個零點互為倒數(shù)，只需證明，已知所以，所以當時，在，上各有一個零點，且這兩個零點互為倒數(shù)．【點睛】方法點睛：對于函數(shù)零點的個數(shù)的相關問題，利用導數(shù)和數(shù)形結合的數(shù)學思想來求解．這類問題求解的通法是：（1）構造函數(shù)，這是解決此類題的關鍵點和難點，并求其定義域；（2）求導數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點；（3）數(shù)形結合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與x軸的交點情況進而求解．【能力提升】1．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考二模）已知為函數(shù)的極值點．(1)求；(2)證明：當時，．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，依題意，即可求出的值，再檢驗即可；（2）設，求出函數(shù)的導函數(shù)，即可得到，再由零點存在性定理得到存在唯一，使，即可得到的單調(diào)性，再結合特殊值，即可證明.【詳解】（1）定義域為，，由，解得，若時，則，當時，，即在上單調(diào)遞增；當時，，即在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，符合題意，因此．（2）設，則，又，因為，，所以存在唯一，使，且當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減．由得，所以，因此當時，，而，于是當時，．2．（2023·全國·高三專題練習）已知，函數(shù)，是的導函數(shù)．(1)當時，求證：存在唯一的，使得；(2)若存在實數(shù)a，b，使得恒成立，求的最小值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）求出，即可得到的單調(diào)性，再根據(jù)零點存在性定理判斷即可；（2）分、和三種情況討論，當時，由（1）可得的最小值為，則，從而得到，令，，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出的最小值，即可得解；【詳解】（1）證明：∵，，當時，，∴函數(shù)在上的單調(diào)遞增，又，，∴存在唯一的，使得．（2）解：當時，則當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，且當時，，這與矛盾；當，由，得，∴；當，由（1）知當時，；當時，；即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴的最小值為，其中滿足，故且，∵恒成立，∴，即，于是，記，，則，由得，即函數(shù)在上單調(diào)時遞減，由得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，綜上得的最小值為，此時．3．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在上有兩個極值點，，且．(1)求實數(shù)a的取值范圍；(2)證明：當時，．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意得方程在上有兩不等實根，進而結合二次函數(shù)零點分布求解即可；（2）根據(jù)題意得，進而得，再構造函數(shù)，研究單調(diào)性得在單調(diào)遞增，進而.【詳解】（1）解：∵，∴，∵函數(shù)在上有兩個極值點，且∴由題意知方程在上有兩不等實根，設，其圖像的對稱軸為直線，故有，解得所以，實數(shù)a的取值范圍是.（2）證明：由題意知是方程的較大的根，故，由于，∴，∴．設，，，∴在單調(diào)遞增，∴，即成立．∴不等式成立,證畢.4．（2023春·福建廈門·高二福建省廈門第二中學校考階段練習）已知函數(shù)f(x)=-ln(x+m).(1)設x=0是f(x)的極值點，求m，并討論f(x)的單調(diào)性；（2）當m≤2時，證明f(x)>0.【答案】(1)在上是減函數(shù)；在上是增函數(shù)（2）見解析【詳解】(1)．由x=0是f(x)的極值點得f'(0)=0，所以m=1．于是f(x)=ex－ln(x+1)，定義域為(－1，+∞)，．函數(shù)在(－1，+∞)上單調(diào)遞增，且f'(0)=0，因此當x∈(－1，0)時，f'(x)<0;當x∈(0，+∞)時，f'(x)>0．所以f(x)在(－1，0)上單調(diào)遞減，在(0，+∞)上單調(diào)遞增．(2)當m≤2，x∈(－m，+∞)時，ln(x+m)≤ln(x+2)，故只需證明當m=2時，f(x)>0．當m=2時，函數(shù)在(－2，+∞)上單調(diào)遞增．又f'(－1)<0，f'(0)>0，故f'(x)=0在(－2，+∞)上有唯一實根，且．當時，f'(x)<0;當時，f'(x)>0，從而當時，f(x)取得最小值．由f'(x0)=0得=，，故．綜上，當m≤2時，f(x)>0．5．（2023春·四川宜賓·高三四川省宜賓市第四中學校校考開學考試）已知函數(shù)，求：(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)當時，總有，求整數(shù)的最小值.【答案】(1)(2)-3【分析】（1）先對函數(shù)求導，計算出斜率，再用點斜式即可；（2）分離參數(shù)轉化為函數(shù)的最值問題.【詳解】（1）當時，在點處的切線方程為即（2）由題意，，即，即，又，恒成立.令，令，則恒成立.在上遞減，，使，即，則，當時，，當時，因為，且，，即整數(shù)k的最小值為-3【點睛】方法點睛：對于零點不可求問題，可以設而不求，整體替換從而求出范圍。6．（2022秋·福建莆田·高二莆田一中?？计谥校┰O函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)當時，記，是否存在整數(shù)，使得關于x的不等式有解？若存在，請求出的最小值；若不存在，請說明理由.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)答案見解析(2)存在，的最小值為0【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，就的不同取值可求的解，從而可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.（2）利用導數(shù)結合虛設零點可求，從而可得整數(shù)的最小值.【詳解】（1）因為，所以，①當時，由，解得；②當時，由，解得；③當時，由，解得；④當時，由，解得；⑤當時，由，解得，綜上所述，當時，的增區(qū)間為；當時，的增區(qū)間為；時，的增區(qū)間為.（2）當時，，所以，而，因為均為上的增函數(shù)，故為上的增函數(shù)，而，，故在上有且只有一個零點，且且時，；當時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，因為，所以，所以，而整數(shù)，使得關于x的不等式有解，故，故存在整數(shù)滿足題意，且的最小值為0.【點睛】思路點睛：利用導數(shù)求函數(shù)的最值時，如果導數(shù)的零點不易求得，則可以虛設零點，利用零點滿足的關系式化簡最值，從而得到最值的范圍或符號.7．（2021·江西撫州·高三臨川一中?？茧A段練習）已知函數(shù)，.（1）若，討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點個數(shù)；（2）若，函數(shù)在上恒成立，求整數(shù)的最大值.【答案】（1）答案見解析；（2）最大值為3.【分析】（1）求，計算方程的，分別討論和時的單調(diào)性，由單調(diào)性可得極值點的個數(shù)；（2）先求出，再計算，再構造函數(shù)，利用的單調(diào)性以零點存在定理可判斷的單調(diào)性，進而可得的最小值，只需，再結合是整數(shù)即可求解.【詳解】（1）的定義域為；且，因為方程的，①當，即時，恒成立，此時對于恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故極值點個數(shù)為；②當，即時，設方程的兩根分別為和，則，，所以，，設，則，，由即可得：或，由即可得：所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故極值點個數(shù)為2；綜上所述，當時，極值點個數(shù)為，當時，極值點個數(shù)為2.（2）時，，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，而，，所以存在，使，即，故，當時，，；當時，，；即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，所以，因為，即的最大值為3.【點睛】方法點睛：由不等式恒成立（或能成立）求參數(shù)時，（1）可對不等式變形，分離參數(shù)，根據(jù)分離參數(shù)后的結果，構造函數(shù)，由導數(shù)的方法求出函數(shù)的最值，進而可求出結果；（2）可根據(jù)不等式，直接構成函數(shù)，根據(jù)導數(shù)的方法，利用分類討論求函數(shù)的最值，即可得出結果.8．（2021秋·四川成都·高三雙流中學校考階段練習）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在處的切線方程(2)證明：在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點；(3)若對于任意的，都有，求整數(shù)的最大值．【答案】(1)y＝－1；(2)見解析；(3)3﹒【分析】(1)根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可切線；(2)先利用導數(shù)證明在上單調(diào)遞增，再結合零點存在定理，得證；(3)參變分離得，令，原問題轉化為求在上的最小值，結合(2)中結論和隱零點的思維，即可得解．【詳解】（1），，，，在處的切線為；（2）證明：，，當時，，在上單調(diào)遞增，（3），（4），在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點．（3），且，，令，則，，由（2）知，在上單調(diào)遞增，且在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點，設該零點為，則，故當時，，即，在上單調(diào)遞減，當，時，，即，在，上單調(diào)遞增，，，故整數(shù)的最大值為3．【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的零點，以及不等式問題，考查轉化與劃歸思想，邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．9．（2022春·浙江舟山·高三浙江省普陀中學校考階段練習）已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．(1)當時，求函數(shù)的極值；(2)若函數(shù)在有唯一零點，求實數(shù)的取值范圍；(3)若不等式對任意的恒成立，求整數(shù)的最大值．【答案】(1)極小值為，無極大值；(2)；(3).【分析】（1）利用導數(shù)可確定單調(diào)性，由極值定義可求得結果；（2）利用導數(shù)可確定的單調(diào)性；當時，可知，解不等式可知無滿足題意的值；當時，根據(jù)，分別在，和三種情況下，根據(jù)在有唯一零點可構造不等式求得結果；（3）將恒成立不等式化為，令得，令可確定，使得，由此可得，進而得到的范圍，從而得到.（1）當時，，則，當時，；當時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的極小值為，無極大值.（2），，當時，；當時，；在上單