2013年數(shù)學(xué)高考題分類(lèi)解析考點(diǎn)42 拋物線_第1頁(yè)
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高考試題分類(lèi)解析.10.（2013·陜西高考理科·Ｔ20）已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)A(4,0),且在y軸上截得的弦MN的長(zhǎng)為8. (1)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程; (2)已知點(diǎn)B(－1,0),設(shè)不垂直于x軸的直線與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P,Q,若x軸是的角平分線,證明直線過(guò)定點(diǎn).【解題指南】由弦長(zhǎng)的一半，半徑和弦心距構(gòu)成直角三角形列出方程，化簡(jiǎn)后得出軌跡C的方程;直線過(guò)定點(diǎn)可抓住該題的關(guān)鍵x軸是的角平分線，即解之.【解析】(1)A(4,0),設(shè)圓心，設(shè)圓心C(x,y),線段MN的中點(diǎn)為E,由幾何圖像知(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+b,聯(lián)立.設(shè)，則若x軸是的角平分線，則=即k=-b,故直線l的方程為y=k(x-1),直線l過(guò)定點(diǎn)（1,0）.11.（2013·湖南高考理科·Ｔ21）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作斜率分別為的兩條不同的直線，且，相交于點(diǎn)A，B，相交于點(diǎn)C，D.以AB，CD為直徑的圓M，圓N（M，N為圓心）的公共弦所在的直線記為.（1）若，證明；；（=2\*ROMAN2）若點(diǎn)M到直線的距離的最小值為，求拋物線E的方程.【解題指南】(1)先寫(xiě)出過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線方程,然后和拋物線方程聯(lián)立消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系以及向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得到結(jié)果.(2)利用拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式求出|AB|,此即圓M的直徑,進(jìn)而可求出圓M的方程,同理可求出圓N的方程,再把兩圓的方程相減即得兩圓公共弦所在直線方程,于是代入條件即可求解.【解析】（1）由題意，拋物線E的焦點(diǎn)為，直線的方程為.由，得，設(shè)A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，則是上述方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，從而，，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為，，同理可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為，，于是，由題設(shè)，，，所以，故.（2）由拋物線的定義得，，所以，從而圓M的半徑，故圓M的方程為，化簡(jiǎn)得同理可得圓N的方程為.于是圓M,圓N的公共弦所在直線l的方程為，又，，則的方程為，因

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