固定收益證券第三章利率衍生產(chǎn)品的定價(jià)和短期利率動(dòng)態(tài)模型3.1利率衍生產(chǎn)品的無套利定價(jià)市場不均衡時(shí)的套利機(jī)會(huì)[例題]市場中有三種固定收益證券，證券A為二年期息票率為3.08%的債券，市場價(jià)格為102元（根據(jù)折現(xiàn)因子計(jì)算的均衡價(jià)格為101.6363元），證券B面值為2.275元，一年后到期，息票率為2.59%，市場均衡價(jià)格為1.005998元/1元面值，債券C面值為1002.3337元，與A同時(shí)到期，息票率為2.84%，市場均衡價(jià)格為1.011514元/1元面值。請構(gòu)造一個(gè)套利組合。頭寸計(jì)算現(xiàn)金流賣空10張債券A10×102.001020買進(jìn)1張債券B-1.00598×2.275-2.2886買進(jìn)1張債券C-1.011514×1002.333-1013.8746總計(jì)3.8368初始時(shí)刻現(xiàn)金流3.1利率衍生產(chǎn)品的無套利定價(jià)頭寸計(jì)算現(xiàn)金流10張債券A利息-10×100×0.0308-30.8000債券C利息1002.3337×0.028428.4663債券B本息和2.2750×1.02592.3339總計(jì)0第一年后現(xiàn)金流頭寸計(jì)算現(xiàn)金流10張債券A本息-10×100×1.0308-1030.8000債券B本息1002.3337×1.02841030.8000總計(jì)0第二年后現(xiàn)金流這樣我們就在初始時(shí)刻獲得無風(fēng)險(xiǎn)的套利收益3.8368元。3.1利率衍生產(chǎn)品的無套利定價(jià)[例題]設(shè)有半年期零息債券和一年期零息債券（兩次復(fù)利），六個(gè)月即期利率為1.89%，一年期的即期利率為1.95%。投資者預(yù)期，半年后，6個(gè)月的利率可能以相同的概率上升到1.90%或2.05%，請用二叉數(shù)構(gòu)造債券的價(jià)格和利率變化。

請用二叉數(shù)構(gòu)造債券的價(jià)格和利率變化。

假設(shè)有一個(gè)在時(shí)刻1到期（半年后）的看漲期權(quán)，行權(quán)價(jià)格為99.00元，求改期權(quán)現(xiàn)在的市場價(jià)格。3.1利率衍生產(chǎn)品的無套利定價(jià)對于債券來講，我們用二叉樹模型來介紹無套利均衡分析的定價(jià)方法：[例題]設(shè)有半年期零息債券和一年期零息債券（兩次復(fù)利），六個(gè)月即期利率為1.89%，一年期的即期利率為1.95%。投資者預(yù)期，半年后，6個(gè)月的利率可能以相同的概率上升到1.90%或2.05%，請用二叉數(shù)構(gòu)造債券的價(jià)格和利率變化。1.89%2.05%1.90%1/21/2利率的二叉樹二叉樹模型繪制要點(diǎn)時(shí)刻0和時(shí)刻1間隔時(shí)間為6個(gè)月利率在計(jì)算中的生效時(shí)間段為它后面那兩個(gè)線段所處的時(shí)間段。比如1.89%生效的時(shí)間段為時(shí)刻0到時(shí)刻1這6個(gè)月，而2.05%和1.90%在時(shí)刻1以后的6個(gè)月生效。時(shí)刻1時(shí)刻06個(gè)月3.1利率衍生產(chǎn)品的無套利定價(jià)[例題]設(shè)有半年期零息債券和一年期零息債券（兩次復(fù)利），六個(gè)月即期利率為1.89%，一年期的即期利率為1.95%。投資者預(yù)期，半年后，6個(gè)月的利率可能以相同的概率上升到1.90%或2.05%，請用二叉數(shù)構(gòu)造債券的價(jià)格和利率變化。1.89%2.05%1.90%1/21/2利率二叉樹99.06100100半年期零息債券價(jià)格二叉樹一年期零息債券價(jià)格二叉樹98.0898.9999.05100100100時(shí)刻0時(shí)刻1時(shí)刻23.1利率衍生產(chǎn)品的無套利定價(jià)[例題]設(shè)有半年期零息債券和一年期零息債券（兩次復(fù)利），六個(gè)月即期利率為1.89%，一年期的即期利率為1.95%。投資者預(yù)期，半年后，6個(gè)月的利率可能以相同的概率上升到1.90%或2.05%，請用二叉數(shù)構(gòu)造債券的價(jià)格和利率變化。一年期零息債券價(jià)格二叉樹98.0898.9999.051001001001.89%2.05%1.90%1/21/2利率二叉樹時(shí)刻1和時(shí)刻0是否遵循時(shí)間價(jià)值關(guān)系呢？實(shí)際上，由于在時(shí)刻1債券的價(jià)格將有兩種價(jià)格可能，這實(shí)際上形成了風(fēng)險(xiǎn)（債券成為風(fēng)險(xiǎn)證券），這樣根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償?shù)脑瓌t時(shí)刻1價(jià)格的期望值折現(xiàn)后高于時(shí)刻0。1/21/21/23.1利率衍生產(chǎn)品的無套利定價(jià)[例題]承接上題，假設(shè)有一個(gè)在時(shí)刻1到期的看漲期權(quán)，行權(quán)價(jià)格為99.00元，求改期權(quán)現(xiàn)在的市場價(jià)格。一年期零息債券（債券B)價(jià)格二叉樹98.0898.9999.05100100100？00.05看漲期權(quán)價(jià)格二叉樹模型99.06100100半年期零息債券（債券A)價(jià)格二叉樹我們要利用無套利復(fù)制技術(shù)來確定這個(gè)期權(quán)在0時(shí)刻的價(jià)值。假設(shè)期權(quán)在0時(shí)刻的價(jià)值可以用x份債券A，y份債券B來確定，那么期權(quán)在0時(shí)刻的價(jià)值為：99.06x＋98.08y那么，在時(shí)刻1的情況怎樣？3.1利率衍生產(chǎn)品的無套利定價(jià)一年期零息債券（債券B)價(jià)格二叉樹98.0898.9999.0510010010099.06100100半年期零息債券（債券A)價(jià)格二叉樹？00.05看漲期權(quán)價(jià)格二叉樹模型在時(shí)刻1，債券A的價(jià)格為100元，當(dāng)債券B的價(jià)格為98.99元時(shí)，期權(quán)的價(jià)格為0100x＋98.99y＝0（1）在時(shí)刻1，債券A的價(jià)格為100元，當(dāng)債券B的價(jià)格為99.05元時(shí)，期權(quán)的價(jià)格為0.05100x＋99.05y＝0.05（2）3.1利率衍生產(chǎn)品的無套利定價(jià)100x＋98.99y＝0（1）100x＋99.05y＝0.05（2）聯(lián)立解方程組，求出x和y：

x＝－0.8249（份）y＝0.8333（份）這樣我們得到：賣空0.8249份債券A，買入0.8333份債券B,這樣的債券組合可以復(fù)制該期權(quán)。那么，期權(quán)在0時(shí)刻的價(jià)值為：－0.8249×99.06＋0.8333×98.08＝0.02元3.1利率衍生產(chǎn)品的無套利定價(jià)讓我們做一個(gè)練習(xí)：[練習(xí)]假定半年期和一年期的即期利率分別為3.99％和4.16％（名義利率，半年復(fù)利一次）。假定半年以后的半年期的即期利率有兩種可能的取值，4％和4.5％。市場中有兩種對應(yīng)的零息債券。有一個(gè)看漲期權(quán)在半年后到期，敲定價(jià)格為96.850元。利用上面的條件，畫出債券的兩叉樹模型，并求期權(quán)在0時(shí)刻的價(jià)格。解題的步驟：（1）畫出利率的兩叉樹模型。（2）分別求債券A和B在以半年為時(shí)間段的均衡價(jià)格。（3）畫出期權(quán)的二叉樹模型。（4）利用無套利技術(shù)復(fù)制期權(quán)，形成方程組，解決問題。3.1利率衍生產(chǎn)品的無套利定價(jià)3.99%4.5%4%1/21/2利率二叉樹98.044100100半年期零息債券價(jià)格二叉樹一年期零息債券價(jià)格二叉樹95.96697.79998.039100100100？0.9491.189看漲期權(quán)價(jià)格二叉樹模型在時(shí)刻1，債券A的價(jià)格為100元，當(dāng)債券B的價(jià)格為98.99元時(shí)，期權(quán)的價(jià)格為0100x＋97.799y＝0.949（1）在時(shí)刻1，債券A的價(jià)格為100元，當(dāng)債券B的價(jià)格為99.05元時(shí)，期權(quán)的價(jià)格為0.05100x＋98.039y＝1.189（2）假設(shè)期權(quán)在0時(shí)刻的價(jià)值可以用x份債券A，y份債券B來確定，那么期權(quán)在0時(shí)刻的價(jià)值為：98.044x＋95.966y3.1利率衍生產(chǎn)品的無套利定價(jià)聯(lián)立解方程組，求出x和y：

x＝－0.9685（份）y＝1.00（份）這樣我們得到：賣空1.005份債券A，買入1.037份債券B,這樣的債券組合可以復(fù)制該期權(quán)。那么，期權(quán)在0時(shí)刻的價(jià)值為：－0.9685×98.044＋1.00×95.966＝1.01元100x＋97.799y＝0.949（1）100x＋98.039y＝1.189（2）3.1利率衍生產(chǎn)品的無套利定價(jià)3.2風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)一年期零息債券（債券B)價(jià)格二叉樹94.99697.2797.511001001005%5.6%5.1%1/21/2利率二叉樹實(shí)際上，由于在時(shí)刻1債券的價(jià)格將有兩種價(jià)格可能，這實(shí)際上形成了風(fēng)險(xiǎn)（債券成為風(fēng)險(xiǎn)證券），這樣根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償?shù)脑瓌t時(shí)刻1價(jià)格的期望值折現(xiàn)后高于時(shí)刻0。債券在時(shí)刻1的價(jià)格和采用的折現(xiàn)率是不能變動(dòng)的，那么唯一可以變動(dòng)的是這兩個(gè)價(jià)格發(fā)生的概率。通過變動(dòng)概率，使得時(shí)刻1的期望價(jià)值滿足折現(xiàn)公式，這包含什么樣的經(jīng)濟(jì)學(xué)含義？3.2風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)風(fēng)險(xiǎn)厭惡、風(fēng)險(xiǎn)中性和風(fēng)險(xiǎn)喜好……在拉斯維加斯有一個(gè)賭場設(shè)計(jì)這樣一個(gè)賭局:賭博的形勢是猜硬幣的正反面，如果是正面，賭客贏得賭場2000元，如果是反面，賭客一分錢也得不到。請問這個(gè)賭局的入局費(fèi)（賭注）應(yīng)該是多大才公平？根據(jù)輸贏的概率，得到入局費(fèi)的標(biāo)準(zhǔn)：50％×2000元＋50％×0＝1000元1000元的賭注對于賭場和賭客而言都是公平的。那么你希望賭注是多大才能夠參與？3.2風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)我希望賭注小于1000元。希望賭注小于1000元(比如300元）的人屬于風(fēng)險(xiǎn)厭惡型的。風(fēng)險(xiǎn)厭惡型的人拒絕公平賭博，他希望風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)該得到補(bǔ)償（比如700元的補(bǔ)償）。我愿意無條件參加賭博。愿意無條件參加賭博的人屬于風(fēng)險(xiǎn)中性的人，他們對于風(fēng)險(xiǎn)采取無所謂的態(tài)度。假設(shè)另外一場賭注達(dá)到10000元的公平賭博，他們也愿意無條件參加（顯然新賭局風(fēng)險(xiǎn)更大）。風(fēng)險(xiǎn)中性的人對于不確定性風(fēng)險(xiǎn)不要求補(bǔ)償。即使賭注大于1000元我也愿意參加。對于明顯不利于自己的賭博也要參加的人屬于風(fēng)險(xiǎn)喜好型的。最典型的例子是買彩票，一張彩票的價(jià)格為2元，而中300萬大獎(jiǎng)的概率為6.29×10－8。不算小獎(jiǎng)，彩票的公平價(jià)格為0.20元。3.2風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)在一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性的世界里，所有參與者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的，那么，所有的資產(chǎn)不管其風(fēng)險(xiǎn)大小或者是否有風(fēng)險(xiǎn)，預(yù)期收益率都相同，都等于無風(fēng)險(xiǎn)收益率。所有資產(chǎn)的價(jià)值都是未來預(yù)期值用無風(fēng)險(xiǎn)利率折現(xiàn)后的現(xiàn)值。3.2風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)效用風(fēng)險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)厭惡風(fēng)險(xiǎn)中性風(fēng)險(xiǎn)喜好哪一條曲線代表風(fēng)險(xiǎn)中性？3.2風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)回到題中，我們希望在時(shí)刻1得到的期望價(jià)格遵循折現(xiàn)規(guī)律，也就是對于價(jià)格的不確定沒有風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償，這就是風(fēng)險(xiǎn)中性狀態(tài)。為了達(dá)到這種狀態(tài)，我們能改變的只有概率，假設(shè)概率如圖所示，分別為p和1－p。我們列出等式計(jì)算概率。一年期零息債券（債券B)價(jià)格二叉樹94.99697.2797.511001001005%5.6%5.1%1/21/2利率二叉樹

p1－p這種虛擬的概率稱為風(fēng)險(xiǎn)中性概率，這種方法稱為風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法。結(jié)論3.2風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)一年期零息債券（債券B)價(jià)格二叉樹94.99697.2797.51100100100

p1－p接上頁，我們得到風(fēng)險(xiǎn)中性的概率：我們直接利用這個(gè)結(jié)果計(jì)算期權(quán)在0時(shí)刻的價(jià)值：？0.9491.189看漲期權(quán)價(jià)格二叉樹模型期權(quán)在0時(shí)刻的價(jià)值為1.01元。如果用上一節(jié)的方法，結(jié)果一樣嗎？3.2風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)這里，我們得到的概率實(shí)際上是一個(gè)假想的概率，利用這個(gè)概率求得的債券的期望值于現(xiàn)值之間遵循時(shí)間價(jià)值的折現(xiàn)規(guī)律。

3.2風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)[練習(xí)]假定半年期和一年期的即期利率分別為3.99％和4.16％（名義利率，半年復(fù)利一次）。假定半年以后的半年期的即期利率有兩種可能的取值，4％和4.5％。市場中有兩種對用的零息債券。有一個(gè)看漲期權(quán)在半年后到期，敲定價(jià)格為96.850元。利用風(fēng)險(xiǎn)中性原理來計(jì)算期權(quán)在0時(shí)刻的價(jià)格。一年期零息債券價(jià)格二叉樹95.96697.79998.0391001001003.99%4.5%4%1/21/2利率二叉樹？0.9491.189看漲期權(quán)價(jià)格二叉樹模型3.2風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)接上頁，我們計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)中性概率：利用風(fēng)險(xiǎn)中性概率計(jì)算期權(quán)價(jià)格：結(jié)果與原來的方法一樣。3.3多期的無套利定價(jià)我們利用風(fēng)險(xiǎn)中性概率來解決多期債券定價(jià)的問題：[例題]假設(shè)半年期即期利率為5.0％，18個(gè)月的即期利率為5.28％。從現(xiàn)在開始，市場預(yù)測6個(gè)月后半年期即期利率有兩種可能，分別是：5.6％和5.1％；12個(gè)月后市場預(yù)期的半年期即期利率可能為5.7％、4.9％和5.25％。債券的面值為1000元，請以半年為周期為債券定價(jià)，并求風(fēng)險(xiǎn)中性概率。第一步確定利率的二叉樹模型：5.0%5.6%5.1%5.7%5.25%4.9%3.3多期的無套利定價(jià)第二步構(gòu)造債券價(jià)格的二叉樹模型1000100010001000這里，哪些價(jià)格我們能夠簡單計(jì)算出來？3.3多期的無套利定價(jià)第三步計(jì)算模型中的數(shù)據(jù)5.0%5.6%5.1%5.7%5.25%4.9%1000100010001000925.21972.29974.42976.09pupd注意價(jià)格和利率的對應(yīng)關(guān)系!3.3多期的無套利定價(jià)第三步計(jì)算模型中的數(shù)據(jù)(continue)我們還需要知道在時(shí)刻1風(fēng)險(xiǎn)中性的概率,這個(gè)概率可以通過市場中1年期債券價(jià)格得到。我們利用前一節(jié)的結(jié)果，知道風(fēng)險(xiǎn)中性概率分別為：0.585和0.415。（這里我們假設(shè)這是已知結(jié)果。實(shí)際上如果我們知道半年后即期利率的分布狀態(tài)，我們可以求得時(shí)刻1的風(fēng)險(xiǎn)中性概率）

我們設(shè)時(shí)刻2風(fēng)險(xiǎn)中性的概率分別為p和1－p。

列出方程組。5.0%5.6%5.1%5.7%5.25%4.9%1000100010001000925.21972.29974.42976.09pupd0.5850.415p1－pp1－p3.3多期的無套利定價(jià)第三步計(jì)算模型中的數(shù)據(jù)(continue)5.0%5.6%5.1%5.7%5.25%4.9%1000100010001000925.21972.29974.42976.09pupd0.5850.415q1－qq1－q列方程組3.3多期的無套利定價(jià)第三步計(jì)算模型中的數(shù)據(jù)(continue)結(jié)論3.3多期的無套利定價(jià)讓我們來做一個(gè)練習(xí)[例題]假設(shè)半年期即期利率為4.0％，12個(gè)月的即期利率為4.15%，18個(gè)月的即期利率為4.28％。從現(xiàn)在開始，市場預(yù)測6個(gè)月后半年期即期利率有兩種可能，分別是：4.6％和4.1％；12個(gè)月后市場預(yù)期的半年期即期利率可能為4.7％、3.9％和4.25％。債券的面值為1000元，請以半年為周期為債券定價(jià)，并求風(fēng)險(xiǎn)中性概率。第一步確定利率的二叉樹模型：4.0%4.6%4.1%4.7%4.25%3.9%1000100010001000938.45977.04979.19980.87pupd第二步債券價(jià)格的二叉樹模型：3.3多期的無套利定價(jià)第三步確定風(fēng)險(xiǎn)中性概率：4.0%4.6%4.1%960.15100010001000977.51979.91通過一年期面值為1000元的零息債券求風(fēng)險(xiǎn)中性概率3.3多期的無套利定價(jià)4.0%4.6%4.1%4.7%4.25%3.9%1000100010001000938.45977.04979.19980.87pupd第四步列方程組解決問題：列方程組？3.3多期的無套利定價(jià)我們可以將我們的方法推廣到多期，如下圖（圓點(diǎn)為未知數(shù)據(jù)）在上圖中，需要求出時(shí)刻1和時(shí)刻2的債券價(jià)格，首先根據(jù)市場上一年期債券和十八個(gè)月的債券計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)中性概率，然后設(shè)時(shí)刻3的風(fēng)險(xiǎn)中性概率為未知數(shù)，可以列出六元六次方程組解決問題。1000100010001000x33x32x31x30q1－qp2q2x0pq10002年期零息債券4.0%4.6%4.1%4.7%4.25%3.9%4.9%4.5%4.3%3.6%我們只要知道利率的二叉樹模型，我們就能夠求出在此期間任意的零息債券的節(jié)點(diǎn)價(jià)值。怎樣得到利率變化的情況？3.4Hoo-Lee模型

Hoo（霍）－Lee(李）模型是在1986年給出的，方法直觀簡單，我們按照步驟來了解模型是如何解決問題的……(1)利用模型計(jì)算的前提條件我們需要知道市場上一系列零息債券的市場價(jià)格，這樣我們能夠得到相應(yīng)的即期利率的數(shù)值。比如我們需要分三個(gè)階段（每個(gè)階段6個(gè)月）來計(jì)算一個(gè)零息