PAGE1專(zhuān)題06幾何圖形的初步考點(diǎn)聚焦：核心考點(diǎn)+中考考點(diǎn)，有的放矢重點(diǎn)專(zhuān)攻：知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺難點(diǎn)強(qiáng)化：難點(diǎn)內(nèi)容標(biāo)注與講解，能力提升提升專(zhuān)練：真題感知+精選專(zhuān)練，全面突破知識(shí)點(diǎn)1：認(rèn)識(shí)幾何圖形1.立體圖形立體圖形的概念：有些幾何圖形的各個(gè)部分不都在同一平面內(nèi)，這個(gè)圖形叫做立體圖形.【補(bǔ)充】1）同一個(gè)立體圖形按不同的方式展開(kāi)得到的平面展開(kāi)圖是不一樣的.2）不是所有的立體圖形都有平面展開(kāi)圖，比如：球.3）常見(jiàn)的立體圖形的種類(lèi)：棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球等.4）常見(jiàn)立方體圖形平面展開(kāi)圖：2.平面圖形平面圖形的概念：有些幾何圖形的各個(gè)部分在同一平面內(nèi)的圖形，這個(gè)圖形叫做平面圖形.幾何圖形的概念:我們把實(shí)物中抽象出來(lái)的各種圖形叫做幾何圖形，幾何圖形分為平面圖形和立體圖形.【補(bǔ)充】幾何圖形不研究物體的顏色、質(zhì)量、質(zhì)地等性質(zhì)，只關(guān)注物體的形狀、大小和位置.【常見(jiàn)的平面圖形的種類(lèi)】線(xiàn)段、角、三角形、長(zhǎng)方形、圓等.3.點(diǎn)、線(xiàn)、面、體1）定義體長(zhǎng)方體、正方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等都是幾何體.幾何體也簡(jiǎn)稱(chēng)體.面包圍著體的是面.線(xiàn)面和面相交的地方形成線(xiàn).點(diǎn)線(xiàn)和線(xiàn)相交的地方是點(diǎn).2）點(diǎn)、線(xiàn)、面、體之間的關(guān)系知識(shí)點(diǎn)2：直線(xiàn)，射線(xiàn)，線(xiàn)段直線(xiàn)射線(xiàn)線(xiàn)段定義直線(xiàn)是幾何圖形基礎(chǔ)，是一個(gè)不做定義的原始概念.直線(xiàn)上一點(diǎn)和它一旁的部分叫做射線(xiàn).直線(xiàn)上兩點(diǎn)和它們之間的部分叫做線(xiàn)段.圖形表示方法直線(xiàn)AB或直線(xiàn)BA直線(xiàn)m射線(xiàn)OA射線(xiàn)n線(xiàn)段AB、線(xiàn)段BA線(xiàn)段l端點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)1個(gè)2個(gè)度量情況不可度量不可度量可以度量延伸情況可向兩方無(wú)限延伸只能以一方無(wú)限延伸不能延伸作法敘述作直線(xiàn)AB作直線(xiàn)m作射線(xiàn)OA作線(xiàn)段AB作線(xiàn)段m連接AB延伸敘述反向延伸射線(xiàn)OA延長(zhǎng)線(xiàn)段AB

反向延伸線(xiàn)段BA聯(lián)系射線(xiàn)和線(xiàn)段都是直線(xiàn)的一部分，線(xiàn)段向一方無(wú)限延伸就成為射線(xiàn)，向兩方無(wú)限延伸就成為了直線(xiàn)，射線(xiàn)向反方向無(wú)限延伸就成為直線(xiàn).2、有關(guān)直線(xiàn)的基本事實(shí)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有一條直線(xiàn)，并且只有一條直線(xiàn)，簡(jiǎn)述為兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn).3、線(xiàn)段的性質(zhì)兩點(diǎn)的距離：連接兩點(diǎn)間的線(xiàn)段的長(zhǎng)度，叫做這兩點(diǎn)的距離.它是線(xiàn)段的長(zhǎng)度，是數(shù)量.線(xiàn)段基本性質(zhì)：兩點(diǎn)的所有連線(xiàn)中，線(xiàn)段最短．簡(jiǎn)記為：兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短.4、線(xiàn)段的中點(diǎn)線(xiàn)段的中點(diǎn)：如圖，點(diǎn)C把線(xiàn)段AB分成兩條相等的線(xiàn)段AC和CB，點(diǎn)C就叫做線(xiàn)段AB的中點(diǎn).幾何描述：∵點(diǎn)C為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)∴AC=BC=12AB【補(bǔ)充說(shuō)明】1）線(xiàn)段的中點(diǎn)只有一個(gè)；2）某一個(gè)點(diǎn)要成為一條線(xiàn)段的中點(diǎn)必須同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)條件：①點(diǎn)必須在這條直線(xiàn)上.②它把這條線(xiàn)段分為兩條相等的兩條線(xiàn)段.[易錯(cuò)點(diǎn)]若AM＝BM，則點(diǎn)M不一定是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)（點(diǎn)M可能在線(xiàn)段AB外）.3）線(xiàn)段的三等分點(diǎn)有兩個(gè)，四等分點(diǎn)有三個(gè)，且這些點(diǎn)都在線(xiàn)段上.知識(shí)點(diǎn)3：角1、角的定義角的定義（靜態(tài)）：由公共端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)所組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線(xiàn)是角的兩條邊．角的定義（動(dòng)態(tài)）：由一條射線(xiàn)繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度而形成的圖形，射線(xiàn)旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過(guò)的平面部分是角的內(nèi)部.2、角的表示方法角的幾何符號(hào)為“∠”，表示方法有以下四種：角的表示圖例記法適用范圍用三個(gè)大寫(xiě)字母表示∠ABC或∠CBA任何情況都適用，但表示頂點(diǎn)的字母一定要寫(xiě)在中間，邊上的字母寫(xiě)在兩側(cè).用一個(gè)大寫(xiě)字母表示∠O當(dāng)以某一字母表示的點(diǎn)為頂點(diǎn)的角只有一個(gè)時(shí)，可用這個(gè)頂點(diǎn)的字母來(lái)表示.用一個(gè)數(shù)字表示∠1在靠近頂點(diǎn)處畫(huà)上弧線(xiàn)，表示出角的范圍，并注上數(shù)字或小寫(xiě)的希臘字母.注意：數(shù)字或小寫(xiě)的希臘字母不能表示超過(guò)一個(gè)以上的角.用一個(gè)希臘字母表示∠注意：在初中階段，若沒(méi)有特殊說(shuō)明，默認(rèn)的角都是小于平角的角.3、角的換算方法：1）由度化為分、秒的形式（即由高位向低位化）：1°＝60′，1′＝60″；2）由分、秒化為度的形式（即由低位向高位化）：，.4、角平分線(xiàn)角平分線(xiàn)的定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線(xiàn)，叫做這個(gè)角的平分線(xiàn).角平分線(xiàn)的性質(zhì)：若OC是∠AOB的角平分線(xiàn)，則；反之，若，則OC是∠AOB的角平分線(xiàn).考點(diǎn)剖析【考點(diǎn)1】幾何圖形的初步1．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·期中）（1）如圖是一些基本立體圖形，在括號(hào)里寫(xiě)出它們的名稱(chēng)．（2）將這些幾何體分類(lèi)，并寫(xiě)出分類(lèi)的理由．【答案】（1）球、圓柱、圓錐、長(zhǎng)方體、三棱柱；（2）見(jiàn)解析【分析】本題考查的是幾何體的分類(lèi)；（1）根據(jù)各個(gè)幾何體的特征即可得到結(jié)果；（2）可按面分，也可按柱體分，方法不一．【詳解】解：（1）（從左至右）球、圓柱、圓錐、長(zhǎng)方體、三棱柱；（2）按面分：曲面：球、圓柱、圓錐；平面：長(zhǎng)方體、三棱柱．2．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）將下列幾何體按名稱(chēng)分類(lèi)：柱體有______；錐體有______；球體有______．（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)序號(hào)）【答案】（1）（2）（3），（5），（4）【分析】本題主要了立體圖形的分類(lèi)，理解立體圖形的分類(lèi)是解答關(guān)鍵．根據(jù)柱體、錐體、球體進(jìn)行分類(lèi)求解．【詳解】解：根據(jù)圖形可知柱體分為圓柱和棱柱，所以柱體有（1）（2）（3）；錐體包括棱錐與圓錐，所以錐體有（5）球體屬于單獨(dú)的一類(lèi)，球有（4）．故答案為：（1）（2）（3），（5），（4）．3．（2022七年級(jí)上·浙江·專(zhuān)題練習(xí)）例題：圖（a）、（b）、（c）、（d）都稱(chēng)作平面圖．(1)數(shù)一數(shù)每個(gè)圖各有多少個(gè)頂點(diǎn)，多少條邊，這些邊圍出了多少區(qū)域，將結(jié)果填入表中（其中（a）已填好）．圖頂點(diǎn)數(shù)邊數(shù)區(qū)域數(shù)（a）463（b）（c）（d）(2)觀察表，推斷一個(gè)平面圖的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)之間有什么關(guān)系？(3)現(xiàn)已知某一平面圖有999個(gè)頂點(diǎn)和999個(gè)區(qū)域，試根據(jù)（2）中推斷出的關(guān)系，確定這個(gè)圖有多少條邊？【答案】(1)見(jiàn)解析(2)頂點(diǎn)數(shù)+區(qū)域數(shù)?邊數(shù)=1(3)邊數(shù)為1997條【分析】（1）根據(jù)圖示分析即可解；（2）根據(jù)表格的分析結(jié)果可解；（3）根據(jù)（2）中所得出的關(guān)系即可得出答案．【詳解】（1）解：所填表如下所示：圖頂點(diǎn)數(shù)邊數(shù)區(qū)域數(shù)（a）463（b）8125（c）694（d）10156（2）解：由（1）中的結(jié)論得：設(shè)頂點(diǎn)數(shù)為n，則邊數(shù)=n+n2=3n2；區(qū)域數(shù)=n2（3）解：某一平面圖有999個(gè)頂點(diǎn)和999個(gè)區(qū)域，根據(jù)（2）中推斷出的關(guān)系有999+999?邊數(shù)=1，解得：邊數(shù)為1997條．【點(diǎn)睛】本題考查了平面圖形的知識(shí)，注意從特殊情況入手，仔細(xì)觀察、分析、試驗(yàn)和歸納，從而發(fā)現(xiàn)其中的共同規(guī)律，這是解本題的關(guān)鍵．4．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）觀察下列幾何體：①正方體；②長(zhǎng)方體；③圓柱；④圓錐；⑤三棱錐；⑥球．回答下面的問(wèn)題：（用序號(hào)填空）(1)表面都是平面的是，表面沒(méi)有平面的是，表面既有平面又有曲面的是；(2)只有一個(gè)表面的是，有兩個(gè)表面的是，有三個(gè)表面的是，有四個(gè)表面的是，有六個(gè)表面的是；(3)面與面相交都是直線(xiàn)的是，面與面相交都是曲線(xiàn)的是．【答案】(1)①②⑤，⑥，③④(2)⑥，④，③，⑤，①②(3)①②⑤，③④【分析】本題主要考查了常見(jiàn)的立體圖形的特征，（1）通過(guò)對(duì)每個(gè)幾何體的面的特征進(jìn)行觀察和分析，即可確定它們的分類(lèi)和交線(xiàn)情況；（2）通過(guò)對(duì)每個(gè)幾何體的面的特征進(jìn)行觀察和分析，即可確定它們的分類(lèi)和交線(xiàn)情況；（3）通過(guò)對(duì)每個(gè)幾何體的面的特征進(jìn)行觀察和分析，即可確定它們的分類(lèi)和交線(xiàn)情況；熟練掌握它們的特征是解決此題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵正方體①由六個(gè)完全相同的正方形平面組成，長(zhǎng)方體②由六個(gè)矩形平面組成，三棱錐⑤由多個(gè)三角形平面組成，∴表面都是平面的是①②⑤，∵球體⑥的表面是完全彎曲的，沒(méi)有平的面，∴表面沒(méi)有平面的是⑥，∵圓柱③由兩個(gè)圓形平面和一個(gè)彎曲的側(cè)面組成，圓錐④由一個(gè)圓形平面和一個(gè)彎曲的側(cè)面組成，∴表面既有平面又有曲面的是③④，故答案為：①②⑤，⑥，③④；（2）∵球體⑥整個(gè)外表面是一個(gè)連續(xù)的曲面，只有一個(gè)表面，∴只有一個(gè)表面的是⑥，∵圓錐④由一個(gè)底面圓形平面和一個(gè)彎曲的側(cè)面組成，共兩個(gè)面，∴有兩個(gè)表面的是④，∵圓柱③由兩個(gè)圓形底面和一個(gè)彎曲的側(cè)面組成，共三個(gè)面，∴有三個(gè)表面的是③，∵三棱錐⑤由三個(gè)三角形側(cè)面和一個(gè)三角形底面組成，共四個(gè)面，∴有四個(gè)表面的是⑤，∵正方體①由六個(gè)正方形平面組成，長(zhǎng)方體②由六個(gè)矩形平面組成，∴有六個(gè)表面的是①②；故答案為：⑥，④，③，⑤，①②；（3）∵正方體①、長(zhǎng)方體②、三棱錐⑤的面與面相交的線(xiàn)都是直線(xiàn)，∴面與面相交都是直線(xiàn)的是①②⑤，∵圓柱③和圓錐④的面與面相交的線(xiàn)都是曲線(xiàn)，∴面與面相交都是曲線(xiàn)的是③④，故答案為：①②⑤，③④．【考點(diǎn)2】識(shí)別正方體的展開(kāi)圖5．（24-25七年級(jí)上·陜西寶雞·期中）請(qǐng)?jiān)谙聢D中①②③的方格紙上分別用陰影補(bǔ)畫(huà)一個(gè)正方形，使它與原有的陰影正方形拼在一起折疊后可以圍成一個(gè)正方體．（每圖畫(huà)一種）【答案】見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，正方體的展開(kāi)圖，熟記正方體展開(kāi)圖的常見(jiàn)的11種形式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正方體11種展開(kāi)圖進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖，（畫(huà)出一種即可）如圖，（畫(huà)出一種即可）如圖，（畫(huà)出一種即可）6．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖①，正方形網(wǎng)格中是一個(gè)正方體的部分展開(kāi)圖．(1)請(qǐng)你在圖②、圖③中各畫(huà)1個(gè)正方形，使這6個(gè)正方形能折疊成一個(gè)正方體；(2)若這個(gè)正方體相對(duì)面上的兩個(gè)數(shù)相等，求x、y的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)x=1，y=?1【分析】本題主要考查了正方體相對(duì)兩個(gè)面上的文字，注意正方體的空間圖形，從相對(duì)面入手，分析及解答問(wèn)題．（1）根據(jù)正方體的展開(kāi)與折疊解答即可；（2）正方體的表面展開(kāi)圖，相對(duì)的面之間一定相隔一個(gè)正方形，根據(jù)這一特點(diǎn)確定相對(duì)面，再根據(jù)相反數(shù)的定義求出x、y的值．【詳解】（1）解：如圖所示．（答案不唯一，任選兩種即可）（2）解：根據(jù)題意，得x+1=2，即x=1，因?yàn)?x=y，所以y=?1．7．（24-25七年級(jí)上·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）問(wèn)題情景：2024年6月5日是第53個(gè)世界環(huán)境日，某校七（5）班綜合實(shí)踐小組進(jìn)行廢物再利用的環(huán)保小達(dá)人行動(dòng)，他們準(zhǔn)備用廢棄的宣傳單制作裝垃圾用的無(wú)蓋紙盒．操作探究：(1)若準(zhǔn)備制作一個(gè)無(wú)蓋的正方體紙盒，圖1中的_________圖形經(jīng)過(guò)折疊能?chē)蔁o(wú)蓋正方體紙盒；（填字母）(2)圖2是小明的設(shè)計(jì)圖，把它折成無(wú)蓋正方體紙盒后，與“達(dá)”字相對(duì)的是_________；(3)在活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)，有一張邊長(zhǎng)為20cm的正方形廢棄宣傳單，小剛準(zhǔn)備將其四角各剪去一個(gè)小正方形，折成無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒．若四角各剪去了一個(gè)邊長(zhǎng)為xcmx<10的小正方形，請(qǐng)求出這個(gè)紙盒的底面周長(zhǎng)．（用含x的代數(shù)式表示）【答案】(1)C(2)保(3)80?8x【分析】本題考查正方體的表面展開(kāi)圖，列代數(shù)式（1）根據(jù)正方體的折疊，可得有5個(gè)面，依據(jù)正方體的展開(kāi)圖可得答案；（2）根據(jù)正方體的表面展開(kāi)圖的特征，得出答案；（3）根據(jù)題意，紙盒的底面是邊長(zhǎng)為20?2xcm【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得，圖1中的C圖形經(jīng)過(guò)折疊能?chē)蔁o(wú)蓋正方體紙盒，故答案為：C；（2）解：根據(jù)題意可得，與“達(dá)”字相對(duì)的字是“?！?，故答案為：保；（3）解：依題意，這個(gè)紙盒的底面周長(zhǎng)為4×答：這個(gè)紙盒的底面周長(zhǎng)為80?8xcm8．（24-25七年級(jí)上·河北張家口·期中）如圖1，一個(gè)不透明小立方體的六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6．(1)若其展開(kāi)圖如圖2所示，則：與數(shù)字“1”相對(duì)的面上的數(shù)字是________，與數(shù)字“2”相對(duì)的面上的數(shù)字是________，與數(shù)字“3”相對(duì)的面上的數(shù)字是________；(2)將三個(gè)同樣的小立方體搭成圖3所示的幾何體，請(qǐng)確定該幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最小為多少？【答案】(1)4，6，5(2)32【分析】本題考查了正方體相對(duì)兩個(gè)面上的文字，掌握正方體表面展開(kāi)圖的“相間、Z端是對(duì)面”是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)正方體表面展開(kāi)圖的“相間、Z端是對(duì)面”可得答案；（2）分別求出最右邊的正方體、最上邊的正方體、左下角的正方體所能看到的數(shù)字之和最小的情況即可．【詳解】（1）解：根據(jù)正方體表面展開(kāi)圖的“相間、Z端是對(duì)面”可知，“1”與“4”，“2”與“6”，“3”與“5”是對(duì)面，故答案為：4，6，5；（2）由（1）知“1”與“4”，“2”與“6”，“3”與“5”相對(duì)，要使圖3中的幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最小，最右邊的那個(gè)正方體所能看到的4個(gè)面的數(shù)字為1、4、2、3，最上邊的那個(gè)正方體所能看到的5個(gè)面的數(shù)字為1、2、3、4、5，左下角的那個(gè)正方體所能看到的3個(gè)面的數(shù)字為1、4、2，所以該幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最小為10+15+7=32．【考點(diǎn)3】與幾何體展開(kāi)圖有關(guān)的計(jì)算9．（24-25七年級(jí)上·廣東佛山·期中）如圖是一個(gè)用硬紙板制作的長(zhǎng)方體包裝盒展開(kāi)圖，已知它的底面形狀是正方形，高為12?cm(1)正方形底面的邊長(zhǎng)是厘米，(2)制作這樣的包裝盒需要多少平方厘米的硬紙板？(3)若1平方米硬紙板價(jià)格為5元．則制作12個(gè)這樣包裝盒需花費(fèi)多少錢(qián)？（不考慮邊角損耗）【答案】(1)5(2)290(3)1.74元【分析】（1）由長(zhǎng)方體包裝盒的展開(kāi)圖即可直接求出正方形底面的邊長(zhǎng)；（2）根據(jù)“表面積=2個(gè)底面面積+4個(gè)側(cè)面面積”計(jì)算即可得出答案；（3）根據(jù)題意列式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：由長(zhǎng)方體包裝盒的展開(kāi)圖可知，其正方形底面的邊長(zhǎng)是：17cm故答案為：5；（2）解：根據(jù)題意，制作一個(gè)這樣的包裝盒需要的硬紙板的面積為：5×5×2+12×5×4=290cm答：制作一個(gè)這樣的包裝盒需要290平方厘米的硬紙板；（3）解：12×290÷10000×5=1.74（元），答：制作12個(gè)這樣的包裝盒需花費(fèi)1.74元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何體展開(kāi)圖的認(rèn)識(shí)，有理數(shù)的減法運(yùn)算，由展開(kāi)圖計(jì)算幾何體的表面積，有理數(shù)四則混合運(yùn)算，有理數(shù)乘除混合運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)，正確地計(jì)算出長(zhǎng)方體的表面積是解題的關(guān)鍵．10．（24-25七年級(jí)上·江西撫州·期中）如圖所示是一個(gè)幾何體的表面展開(kāi)圖．(1)該幾何體的名稱(chēng)是______，其底面半徑為_(kāi)_____；(2)根據(jù)圖中所給信息，求該幾何體的表面積和體積（結(jié)果保留π）．【答案】(1)圓柱；1(2)表面積為8π；體積為3【分析】本題主要考查了幾何體的展開(kāi)圖；（1）依據(jù)展開(kāi)圖中有長(zhǎng)方形和兩個(gè)全等的圓，即可得出結(jié)論；（2）依據(jù)圓柱的表面積和體積計(jì)算公式，即可得到該幾何體的側(cè)面積和體積．【詳解】（1）解：該幾何體的名稱(chēng)是圓柱，其底面半徑為1，故答案為：圓柱；1；（2）該幾何體的表面積為2該幾何體的體積=π11．（24-25七年級(jí)上·陜西西安·期中）一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體包裝盒展開(kāi)后如圖所示．(1)折疊后與長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)A重合的點(diǎn)是______；(2)如圖：EB=10cm，F(xiàn)M=14cm，【答案】(1)J(2)240【分析】本題主要考查長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖和體積計(jì)算，（1）根據(jù)長(zhǎng)方體的展開(kāi)和折疊圖可知線(xiàn)段AB和線(xiàn)段JB重合，即可知重合點(diǎn)；（2）利用已知求得長(zhǎng)方體對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)、寬和高，結(jié)合體積公式即可求得體積．【詳解】（1）解：折疊后線(xiàn)段AB和線(xiàn)段JB重合，則點(diǎn)A和點(diǎn)J重合，故答案為：J；（2）解：∵EB=10cm，F(xiàn)M=14∴CM=FM?EB=4，由題意得CM=FD=EA=BK=4，則AB=JB=EB?EA=6，∵NM=16cm∴BC=MK=MN?NK=MN?JB=10，則長(zhǎng)方體包裝盒的體積BC×AB×CM=10×6×4=240cm12．（24-25七年級(jí)上·江西吉安·期中）問(wèn)題情景：某綜合實(shí)踐小組開(kāi)展了“長(zhǎng)方體紙盒的制作”實(shí)踐活動(dòng)．(1)下列圖形中，是無(wú)蓋正方體的表面展開(kāi)圖的是________．（填序號(hào)）(2)綜合實(shí)踐小組利用邊長(zhǎng)為a(cm)的正方形紙板制作出兩種不同方案的長(zhǎng)方體盒子（圖1為無(wú)蓋的長(zhǎng)方體紙盒，圖2為有蓋的長(zhǎng)方體紙盒）．其中a=30cm①根據(jù)圖1方式制作一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子．方法：先在紙板四角剪去四個(gè)同樣大小邊長(zhǎng)為b(cm)的小正方形，再沿虛線(xiàn)折合起來(lái)．則長(zhǎng)方體紙盒的底面積為_(kāi)______②根據(jù)圖2方式制作一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方體紙盒．方法：先在紙板四角剪去兩個(gè)同樣大小邊長(zhǎng)為b(cm)的小正方形和兩個(gè)同樣大小在的小長(zhǎng)方形，再沿虛線(xiàn)折合起來(lái)．則該長(zhǎng)方體紙盒的體積為_(kāi)______③制作成的無(wú)蓋盒子的體積是有蓋盒子體積的______倍．(3)若有蓋長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為6、4、3，將它的表面沿某些棱剪開(kāi)，展開(kāi)一個(gè)平面圖形，則該長(zhǎng)方體表面展開(kāi)圖的最大外圍周長(zhǎng)為_(kāi)_____cm．【答案】(1)①③④(2)①400；②1000；③2(3)70【分析】（1）根據(jù)無(wú)蓋正方體紙盒的面數(shù)和構(gòu)成求解；（2）①根據(jù)長(zhǎng)方形面積公式即可得解；②根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式即可得解；③分別求出無(wú)蓋盒子的體積和有蓋盒子體積，即可求解；（3）根據(jù)邊長(zhǎng)最長(zhǎng)的都剪，邊長(zhǎng)最短的剪得最少，可得答案．【詳解】（1）解：根據(jù)構(gòu)成，②只能折成4個(gè)面，①③④才能折成一個(gè)無(wú)蓋正方體紙盒，故選：①③④；（2）①長(zhǎng)方體紙盒的底面面積為a?2b2∴長(zhǎng)方體紙盒的底面積為400cm2故答案為：400；②長(zhǎng)方體紙盒的底面積為30?2×52∴該長(zhǎng)方體紙盒的體積為5×200=1000cm故答案為：1000；③無(wú)蓋盒子的體積：5×400=2000cm有蓋盒子的體積：1000cm∵2000÷1000=2，∴制作成的無(wú)蓋盒子的體積是有蓋盒子體積的2倍，故答案為：2；（3）如圖所示，∴該長(zhǎng)方體表面展開(kāi)圖的最大外圍周長(zhǎng)為6×8+4×4+3×2=70cm故答案為：70；【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單幾何體的展開(kāi)圖，熟練根據(jù)簡(jiǎn)單幾何的展開(kāi)圖得出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)4】平面幾何體旋轉(zhuǎn)后得到的立體圖形13．（24-25七年級(jí)上·江西九江·階段練習(xí)）課本重現(xiàn)：如圖，已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為a、寬為b，將這個(gè)長(zhǎng)方形分別繞它的長(zhǎng)和寬所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周，得到兩個(gè)圓柱甲、乙(1)甲乙圓柱體形成的過(guò)程可以解釋為_(kāi)_______A．點(diǎn)動(dòng)成線(xiàn)

B．線(xiàn)動(dòng)成面

C．面動(dòng)成體(2)當(dāng)a=5，b=2時(shí)①通過(guò)計(jì)算比較甲、乙圓柱體的側(cè)面積的大小關(guān)系②求甲圓柱體與乙圓柱體的體積比(3)請(qǐng)直接寫(xiě)出甲、乙圓柱體的側(cè)面積有什么關(guān)系，體積比有什么關(guān)系？（用字母a和b表示）【答案】(1)C(2)①側(cè)面積相等

②體積比為2(3)側(cè)面積相等；體積比為b【分析】此題考查了點(diǎn)、線(xiàn)、面、體之間的關(guān)系以及圓柱的側(cè)面積和體積公式，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平面旋轉(zhuǎn)后得到圓柱體即可知道是面動(dòng)成體；（2）①分別計(jì)算出甲、乙圓柱體的側(cè)面積，然后比較大小即可；②分別計(jì)算出甲、乙圓柱體的體積，求出其比值即可；（3）根據(jù)（2）計(jì)算的結(jié)果得出甲、乙圓柱體側(cè)面積的關(guān)系以及體積比的關(guān)系．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：甲乙圓柱體形成的過(guò)程可以解釋為面動(dòng)成體，故選：C；（2）解：①甲圓柱的側(cè)面積為：2π乙圓柱的側(cè)面積為：2π所以甲乙兩圓柱的側(cè)面積相等；②甲圓柱的體積為：π×乙圓柱的體積為：π×所以甲乙兩圓柱的體積比為：20π50π（3）解：由（2）知甲、乙圓柱體的側(cè)面積相等，體積比=π14．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·期中）如圖，第一行的圖形繞虛線(xiàn)轉(zhuǎn)一周，能形成第二行的哪個(gè)幾何體？用線(xiàn)連起來(lái)．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了點(diǎn)、線(xiàn)、面、體，根據(jù)面動(dòng)成體：梯形繞底邊旋轉(zhuǎn)得中間圓柱、上下圓錐，半圓繞直徑旋轉(zhuǎn)得球，矩形繞邊旋轉(zhuǎn)得圓柱，直角三角形繞直角邊旋轉(zhuǎn)得圓錐，可得答案．【詳解】解：第一行的圖形繞虛線(xiàn)轉(zhuǎn)一周，能形成第二行的某個(gè)幾何體，用線(xiàn)連起來(lái)為：．15．（24-25七年級(jí)上·甘肅蘭州·期中）小軍和小紅分別以直角梯形的上底和下底為軸，將梯形旋轉(zhuǎn)一周，得到的兩個(gè)立體圖形．我們旋轉(zhuǎn)的平面圖形是完全一樣的，所以旋轉(zhuǎn)后得到的兩個(gè)立體圖形的體積相等．(1)小紅得到的立體圖形可以看成是由_______和_______構(gòu)成的，這個(gè)現(xiàn)象用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋為_(kāi)______(2)你認(rèn)為誰(shuí)的說(shuō)法正確？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由．【答案】(1)圓錐；圓柱；面動(dòng)成體(2)小紅的說(shuō)法正確，理由見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了圓柱和圓錐的體積計(jì)算，面動(dòng)成體：（1）由題意得，小紅得到的立體圖形可以看成是由圓錐和圓柱構(gòu)成的，這個(gè)現(xiàn)象用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋為面動(dòng)成體；（2）根據(jù)圓柱和圓錐的體積計(jì)算公式分別計(jì)算出甲、乙兩個(gè)立體圖形的體積即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意得，小紅得到的立體圖形可以看成是由圓錐和圓柱構(gòu)成的，這個(gè)現(xiàn)象用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋為面動(dòng)成體，故答案為：圓錐；圓柱；面動(dòng)成體；（2）解：小紅的說(shuō)法正確，理由如下：甲的體積為3×3×π×6?1乙的體積為3×3×π×3+1∴甲、乙兩個(gè)立體圖形的體積不相等，∴小紅的說(shuō)法正確．16．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）小明學(xué)習(xí)了“面動(dòng)成體”之后，他用一個(gè)邊長(zhǎng)分別為6cm，8cm和10cm

(1)繞6cm的邊所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周，可以得到圖______；繞8cm的邊所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周，可以得到圖______；繞10cm(2)請(qǐng)計(jì)算圖①和圖②中幾何體的體積．（結(jié)果保留π，圓錐體積=13×【答案】(1)①，②，③(2)題圖①中幾何體的體積為128πcm3；題圖②中幾何體的體積為【分析】本題考查了點(diǎn)、線(xiàn)、面、體，熟練掌握三角形旋轉(zhuǎn)得到圓錐，是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形旋轉(zhuǎn)是圓錐，可得幾何體；（2）根據(jù)圓錐的體積公式計(jì)算可得答案．【詳解】（1）解：繞6cm的邊所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周，可以得到圖①；繞8cm的邊所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周，可以得到圖②；繞10cm故答案為：①，②，③（2）解：題圖①中幾何體的體積為：13題圖②中幾何體的體積為：1317．（23-24七年級(jí)上·河南鄭州·期中）（1）把圖中各幾何體的截面形狀填在橫線(xiàn)上；

圖①的截面形狀是，圖②的截面形狀是，圖③的截面形狀是，圖④的截面形狀是，圖⑤的截面形狀是，圖⑥的截面形狀是．（2）結(jié)合上圖中圖⑤、圖⑥，想一想，如果用一個(gè)平面截一個(gè)正方體，截面的形狀還可能是幾邊形？【答案】（1）圓，長(zhǎng)方形，三角形，圓，長(zhǎng)方形，三角形；（2）五邊形，六邊形【分析】此題考查判斷幾何體的名稱(chēng)以及截面形狀．（1）首先觀察圖形，先判斷出各個(gè)幾何體的名稱(chēng)，然后根據(jù)平面截幾何體的方向和角度，判斷出截面的形狀；（2）正方體共有六個(gè)面，故用平面截一個(gè)正方體時(shí)，最多與六個(gè)面都相交，此時(shí)截面為六邊形，最少與三個(gè)面相交，此時(shí)為三角形，因此，截面圖形的形狀可能是三角形、四邊形、五邊形、六邊形．【詳解】解：（1）圖①的截面形狀是圓，圖②的截面形狀是長(zhǎng)方形，圖③的截面形狀是三角形，圖④的截面形狀是圓，圖⑤的截面形狀是長(zhǎng)方形，圖⑥的截面形狀是三角形．故答案為：圓，長(zhǎng)方形，三角形，圓，長(zhǎng)方形，三角形；（2）正方體共有六個(gè)面，故用平面截一個(gè)正方體時(shí)，最多與六個(gè)面都相交，此時(shí)截面為六邊形，最少與三個(gè)面相交，此時(shí)為三角形，因此，截面圖形的形狀可能為三角形、四邊形、五邊形、六邊形．∴如果用一個(gè)平面截一個(gè)正方體，截面的形狀還可能是五邊形、六邊形．【考點(diǎn)5】截一個(gè)立體圖形可能出現(xiàn)的圖形18．（22-23七年級(jí)上·河南平頂山·期中）用一個(gè)平面去截一個(gè)正方體，請(qǐng)你畫(huà)出三種不同的截面情況．【答案】見(jiàn)解析（答案不唯一）【分析】此題主要考查了正方體的特點(diǎn)，分別畫(huà)出截面為三角形、四邊形、五邊形，理解題意，分別準(zhǔn)確地畫(huà)出圖形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．根據(jù)正方體的特點(diǎn)，及截面的形狀為三角形、四邊形、五邊形分別畫(huà)出圖形即可．【詳解】解：沿上底的對(duì)角線(xiàn)AB斜切至棱EF的中點(diǎn)，得到的截面三角形；如圖所示（答案不唯一）；解：沿上底的對(duì)角線(xiàn)直切至下底的對(duì)角線(xiàn)，得到的截面為四邊形；如圖所示（答案不唯一）；解：沿上底相鄰兩邊上的點(diǎn)F、G至下底頂點(diǎn)D，得到的截面DEFGJ為五邊形；如圖所示（答案不唯一）；【考點(diǎn)6】畫(huà)直線(xiàn)、射線(xiàn)、線(xiàn)段19．（20-21七年級(jí)上·廣西玉林·期末）如圖，已知A，B，C，D四點(diǎn)，根據(jù)下列語(yǔ)句畫(huà)圖：(1)畫(huà)直線(xiàn)AB；(2)連接AC，BD，交于點(diǎn)O；(3)畫(huà)射線(xiàn)AD，BC，交于點(diǎn)P．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】本題考查畫(huà)直線(xiàn)，射線(xiàn)和線(xiàn)段，掌握直線(xiàn)，射線(xiàn)和線(xiàn)段的定義，是解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)直線(xiàn)的定義，畫(huà)圖即可；（2）畫(huà)出線(xiàn)段AC，BD，交于點(diǎn)O即可；（3）根據(jù)射線(xiàn)的定義，畫(huà)圖即可．【詳解】（1）解：如圖，直線(xiàn)AB即為所求；（2）如圖，AC，BD，點(diǎn)O即為所求；（3）如圖，射線(xiàn)AD，BC，點(diǎn)P即為所求．20．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如下圖，在平面內(nèi)有A,B,C三點(diǎn)．

(1)畫(huà)直線(xiàn)AC，線(xiàn)段BC和射線(xiàn)AB；(2)在線(xiàn)段BC上任取一點(diǎn)D（不同于點(diǎn)B,C），連接線(xiàn)段AD；(3)此時(shí)圖中有幾條線(xiàn)段？【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)有6條線(xiàn)段【分析】此題考查了直線(xiàn)、線(xiàn)段、射線(xiàn)，解題的關(guān)鍵熟知概念并會(huì)畫(huà)圖．（1）根據(jù)條件畫(huà)圖即可．（2）根據(jù)已知條件畫(huà)圖即可．（3）根據(jù)圖，數(shù)出線(xiàn)段條數(shù)即可．【詳解】（1）解：如圖，直線(xiàn)AC，線(xiàn)段BC和射線(xiàn)AB即為所求．

（2）解：如圖，線(xiàn)段AD即為所求．（3）解：由題可得，圖中有線(xiàn)段AB,AC,AD,BC,BD,CD，一共6條．所以圖中線(xiàn)段的條數(shù)為6．【考點(diǎn)7】計(jì)算直線(xiàn)、射線(xiàn)與線(xiàn)段的數(shù)量21．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）閱讀：在直線(xiàn)上有n個(gè)不同的點(diǎn)，則共有多少條線(xiàn)段？通過(guò)分析、畫(huà)圖得如下表格：圖形直線(xiàn)上點(diǎn)的個(gè)數(shù)共有線(xiàn)段的條數(shù)兩者關(guān)系210+1=330+1+2=460+1+2+3=…………

n問(wèn)題：(1)把表格補(bǔ)充完整；(2)根據(jù)上述得到的信息解決下列問(wèn)題：①某學(xué)校七年級(jí)共有6個(gè)班進(jìn)行辯論賽，規(guī)定進(jìn)行單循環(huán)賽（每?jī)砂噘愐粓?chǎng)），那么該校七年級(jí)的辯論賽共要進(jìn)行多少場(chǎng)？②乘火車(chē)從A站出發(fā)，沿途經(jīng)過(guò)10個(gè)車(chē)站方可到達(dá)B站，那么在A，B兩站之間需要安排多少種不同的車(chē)票？【答案】(1)n(n?1)2；(2)①15場(chǎng)；②132元【分析】本題考查圖形類(lèi)規(guī)律探究．解題的關(guān)鍵是得到一條線(xiàn)段上有n個(gè)點(diǎn)，可以得到n(n?1)2（1）根據(jù)表格中的等式，得到以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線(xiàn)段總數(shù)共有0+1+2+3+?+(n?1)=n(n?1)（2）①根據(jù)（1）中的結(jié)論，進(jìn)行求解即可；②根據(jù)（1）中的結(jié)論進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：從左到右依次為n(n?1)2；0+1+2+3+?+(n?1)=故答案為：n(n?1)2，0+1+2+3+?+(n?1)=（2）①把每一個(gè)班級(jí)看作一個(gè)點(diǎn)，則該校七年級(jí)的辯論賽共要進(jìn)行6×(6?1)2②由題意可得一共有12個(gè)車(chē)站，將其看作12個(gè)點(diǎn)，則線(xiàn)段的條數(shù)為12×112因?yàn)橛衅瘘c(diǎn)站和終點(diǎn)站之分，所以需要安排2×66=132種車(chē)票．22．（24-25七年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）如圖：(1)試驗(yàn)觀察：如果經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)畫(huà)直線(xiàn)，那么圖①中最多可以畫(huà)條直線(xiàn)；圖②中最多可以畫(huà)條直線(xiàn)；圖③中最多可以畫(huà)條直線(xiàn)．(2)探索歸納：如果平面上有n(n≥3)個(gè)點(diǎn)，且任意3個(gè)點(diǎn)均不在一條直線(xiàn)上，那么經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)最多可以畫(huà)條直線(xiàn)．（用含n的式子表示）．(3)解決問(wèn)題：某班54名同學(xué)在畢業(yè)后的一次聚會(huì)中，若每?jī)扇宋?次手問(wèn)好，那么共握次手．【答案】(1)3，6，10(2)n(3)1431【分析】（1）根據(jù)圖形畫(huà)出直線(xiàn)即可；（2）根據(jù)上面得到的規(guī)律用代數(shù)式表示即可；（3）將n=54代入公式即可求解．本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類(lèi)，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)地觀察圖形并找到其中的規(guī)律．【詳解】（1）解：根據(jù)圖形得：如果經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)畫(huà)直線(xiàn)，那么圖①中最多可以畫(huà)3條直線(xiàn)；圖②中最多可以畫(huà)6條直線(xiàn)；圖③中最多可以畫(huà)10條直線(xiàn)；故答案為：3，6，10；（2）解：如果平面上有n(n≥3)個(gè)點(diǎn)，且任意3個(gè)點(diǎn)均不在一條直線(xiàn)上，∴1+2+3+……+n?1=n(n?1)那么經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)最多可以畫(huà)n(n?1)2故答案為：n(n?1)2（3）解：某班名同學(xué)在畢業(yè)后的一次聚會(huì)中，若每?jī)扇宋?次手問(wèn)好，那么共握n?1n把n=54代入n?1n2，得故答案為：1431.23．（23-24七年級(jí)下·河南南陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）我們知道，兩條直線(xiàn)相交，最多有1個(gè)交點(diǎn)（如圖①）；三條直線(xiàn)兩兩相交，最多有3個(gè)交點(diǎn)（如圖②）；四條直線(xiàn)兩兩相交，最多有6個(gè)交點(diǎn)（如圖③）；五條直線(xiàn)兩兩相交，最多有多少個(gè)交點(diǎn)（如圖④）；六條直線(xiàn)兩兩相交，最多有多少個(gè)交點(diǎn)……n條直線(xiàn)兩兩相交，最多有多少個(gè)交點(diǎn)呢（用含n的代數(shù)式表示）：(1)完成下表直線(xiàn)數(shù)23456…n交點(diǎn)數(shù)136…(2)在實(shí)際生活中同樣存在數(shù)學(xué)規(guī)律型問(wèn)題，請(qǐng)你類(lèi)比上述規(guī)律探究，計(jì)算：某校七年級(jí)舉辦籃球比賽，第一輪要求每?jī)砂嘀g比賽一場(chǎng)，若七年級(jí)共有12個(gè)班，則這一輪共要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？【答案】(1)10；15；1(2)這一輪要進(jìn)行66場(chǎng)比賽【分析】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解決本題的關(guān)鍵是要找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過(guò)分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．根據(jù)題意，結(jié)合圖形，發(fā)現(xiàn)：3條直線(xiàn)相交最多有3個(gè)交點(diǎn)，4條直線(xiàn)相交最多有6個(gè)交點(diǎn)，5條直線(xiàn)相交最多有10個(gè)交點(diǎn)．6條直線(xiàn)相交最多有15個(gè)交點(diǎn)，而3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，15=1+2+3+4+5，故可猜想，n條直線(xiàn)相交，最多有1+2+3+…+（把每個(gè)班作為一個(gè)點(diǎn),進(jìn)行一場(chǎng)比賽就是用線(xiàn)把兩個(gè)點(diǎn)連接,用此方法即可.【詳解】（1）解：①兩條直線(xiàn)相交最多有1個(gè)交點(diǎn)：1=2×②三條直線(xiàn)相交最多有3個(gè)交點(diǎn)：3=3×③四條直線(xiàn)相交最多有6個(gè)交點(diǎn)：6=4×④五條直線(xiàn)相交最多有10個(gè)交點(diǎn)：10=5×⑤六條直線(xiàn)相交最多有15個(gè)交點(diǎn)：15=…n條直線(xiàn)相交最多有n×n?1故答案為：10；15；1（2）解：該類(lèi)問(wèn)題符合上述規(guī)律，所以可將n=12代入12即12故這一輪要進(jìn)行66場(chǎng)比賽【考點(diǎn)8】與線(xiàn)段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算24．（22-23七年級(jí)上·安徽合肥·階段練習(xí)）如圖，已知B，C兩點(diǎn)把線(xiàn)段AD分成2:5:3三部分，M為AD的中點(diǎn)，BM=6cm，求CM【答案】4【分析】本題主要考查了線(xiàn)段的和差，中點(diǎn)的定義，先根據(jù)題意設(shè)可設(shè)AB=2x?cm，BC=5x?cm，CD=3x?cm，即可表示AD，再根據(jù)中點(diǎn)的定義表示出AM，進(jìn)而表示出BM=AM?AB，再結(jié)合BM【詳解】解：由B，C兩點(diǎn)把線(xiàn)段AD分成2:5:3三部分，可設(shè)AB=2x?cm，BC=5x?cm，所以AD=AB+BC+CD=10x?cm因?yàn)镸是AD的中點(diǎn)，所以AM=MD=1所以BM=AM?AB=3x?cm因?yàn)锽M=6?cm所以3x=6，解得x=2，所以CM=MD?CD=5x?3x=2x=2×2=4cm25．（23-24七年級(jí)上·四川自貢·期末）如圖，A，B，C，D是直線(xiàn)l上的四個(gè)點(diǎn)，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)．(1)如果MB=2cm，NC=1.8cm，BC=5cm，則AD(2)如果MN=10cm，BC=6cm，則AD的長(zhǎng)為_(kāi)__________(3)如果MN=a，BC=b，求AD的長(zhǎng)，并說(shuō)明理由．【答案】(1)12.6；(2)14；(3)2a?b，見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)線(xiàn)段的和，可得MB+CN的長(zhǎng)，根據(jù)線(xiàn)段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得AB與MB的關(guān)系，CD與CN的關(guān)系，根據(jù)線(xiàn)段的和，可得答案；（2）先根據(jù)線(xiàn)段的和與差，計(jì)算出BM+CN的長(zhǎng)，再根據(jù)線(xiàn)段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得AB與MB的關(guān)系，CD與CN的關(guān)系，根據(jù)線(xiàn)段的和，可得答案；（3）根據(jù)（2）的解題過(guò)程，即可解答；此題主要考查了線(xiàn)段中點(diǎn)的定義，線(xiàn)段的計(jì)算，理解線(xiàn)段中點(diǎn)的定義，熟練掌握線(xiàn)段的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵M(jìn)B=2cm，NC=1.8∴MB+NC=3.8cm∵M(jìn)，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，∴AB=2BM，CD=2CN，∴AB+CD=2BM+2CN=2BM+CN∴AD=AB+CD+BC=7.6+5=12.6cm故答案為：12.6；（2）解：∵M(jìn)N=10cm，BC=6∴BM+CN=MN?BC=10?6=4cm∵M(jìn)，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，∴AB=2BM，CD=2CN，∴AB+CD=2BM+2CN=2BM+CN∴AD=AB+CD+BC=8+6=14cm故答案為：14；（3）解：∵M(jìn)N=a，BC=b，∴BM+CN=a?b，∵M(jìn)，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，∴AB=2BM，CD=2CN，∴AB+CD=2BM+2CN=2BM+CN∴AB+CD=2a?b∵AD=AB+CD+BC，∴AD=2a?b26．（24-25七年級(jí)上·河北石家莊·期中）已知點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上，AC=2BC，線(xiàn)段DE在直線(xiàn)AB上移動(dòng)（點(diǎn)D，E不與點(diǎn)A，B重合）．(1)若AB=24，求AC和BC的長(zhǎng)；(2)若AB=15，DE=6，線(xiàn)段DE在線(xiàn)段AB上移動(dòng)，且點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)．①如圖，當(dāng)點(diǎn)E為BC中點(diǎn)時(shí)，求AD的長(zhǎng)；②點(diǎn)F（不與點(diǎn)A，B，C重合）在線(xiàn)段AB上，AF=3AD，CF=3，求AE的長(zhǎng)．【答案】(1)BC=8，AC=16(2)①6.5；②313或25【分析】本題考查了線(xiàn)段的和差，線(xiàn)段中點(diǎn)以及倍數(shù)相關(guān)的計(jì)算．掌握線(xiàn)段和差的計(jì)算，利用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．（1）觀察圖形可知，AB=AC+BC=24，由已知AC=2BC，可得出3BC=24，即可求出BC的長(zhǎng)，進(jìn)而得出AC的長(zhǎng)；（2）①根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，同（1）方法求出BC=5，AC=10，，根據(jù)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，可得出CE=12BC=52②根據(jù)題意，分兩種情況，畫(huà)出圖形，（i）當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C左側(cè)時(shí)，（ii）當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，利用線(xiàn)段的和差倍分計(jì)算即可．【詳解】（1）解：如圖所示，已知點(diǎn)C在AB上，AC=2BC．∵AB=24，AC+BC=AB，AC=2BC，∴2BC+BC=24，即3BC=24，∴BC=8，∴AC=2×8=16；（2）解：①如圖所示．∵AB=15，AC=2BC，∴AB=AC+BC=3BC=15，∴BC=5，AC=10，∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴CE=1∵DE=6，∴CD=DE?CE=6?5∴AD=AC?CD=10?3.5=6.5；②分兩種情況：（i）如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，∵AC=10，CF=3，∴AF=AC+CF=10+3=13，∵AF=3AD，∴AD=1∵DE=6，∴AE=AD=DE=13（ii）如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C左側(cè)時(shí)，∵AC=10，CF=3，∴AF=AC?CF=10?3=7，∵AF=3AD，∴AD=1∴AE=AD+DE=7綜上所述，AE的長(zhǎng)為313或253【考點(diǎn)9】線(xiàn)段雙中點(diǎn)模型27．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知線(xiàn)段AB=60，點(diǎn)C為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D為射線(xiàn)CB上的一點(diǎn)，點(diǎn)E為線(xiàn)段BD的中點(diǎn)，且線(xiàn)段EB=5，求線(xiàn)段CD的長(zhǎng)．【答案】CD=20或40【分析】此題考查了線(xiàn)段中點(diǎn)的相關(guān)計(jì)算和線(xiàn)段的和差等知識(shí)．根據(jù)中點(diǎn)的定義求出BC=12AB=30，BD=2EB=10，再分點(diǎn)D在點(diǎn)B的左側(cè)和點(diǎn)D【詳解】解：∵AB=60，C是AB的中點(diǎn)，∴BC=1又∵E為BD的中點(diǎn)，EB=5，∴BD=2EB=10，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，CD=CB?BD=30?10=20；當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，CD=CB+BD=30+10=40，故CD=20或40．28．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知線(xiàn)段AB=4，在直線(xiàn)AB上作線(xiàn)段BC，使得BC=2．若D是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，求線(xiàn)段AD的長(zhǎng)．【答案】3或1【分析】根據(jù)題意可分為兩種情況，①點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上，可計(jì)算出AC的長(zhǎng)，再由D是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，即可得出答案；②BC在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，可計(jì)算出AC的長(zhǎng)，再由D是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意分兩種情況，①如圖1，∵AB=4，BC=2，∴AC=AB?BC=2，∵D是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，∴AD=1②如圖2，∵AB=4，BC=2，∴AC=AB+BC=6，∵D是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，∴AD=1∴線(xiàn)段AD的長(zhǎng)為1或3．故答案為：3或1．29．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知A，B，C三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，若線(xiàn)段AB=20cm，線(xiàn)段BC=8cm，M，N分別為線(xiàn)段(1)求線(xiàn)段MN的長(zhǎng)；(2)根據(jù)（1）中的計(jì)算過(guò)程和結(jié)果，設(shè)AB=a,BC=b，且a>b，其他條件都不變，直接寫(xiě)出MN的長(zhǎng)度．【答案】(1)6cm或(2)MN=12【分析】本題考查與線(xiàn)段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算，注意分類(lèi)討論：（1）分點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上和在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上兩種情況進(jìn)行討論求解即可；（2）同法（1）進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：當(dāng)點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上時(shí)：∵M(jìn)，N分別為線(xiàn)段AB,BC的中點(diǎn)，∴AM=BM=12AB∴MN=BM?BN=1當(dāng)點(diǎn)C在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)：∵M(jìn)，N分別為線(xiàn)段AB,BC的中點(diǎn)，∴AM=BM=12AB∴MN=BM+BN=1綜上：MN=6cm或14（2）解：當(dāng)點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上時(shí)：∵M(jìn)，N分別為線(xiàn)段AB,BC的中點(diǎn)，∴AM=BM=12AB∴MN=BM?BN=1當(dāng)點(diǎn)C在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)：∵M(jìn)，N分別為線(xiàn)段AB,BC的中點(diǎn)，∴AM=BM=12AB∴MN=BM+BN=1綜上：MN=12(a+b)【考點(diǎn)10】與線(xiàn)段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題30．（24-25七年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）如圖，線(xiàn)段AB=24，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線(xiàn)AB運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M為AP的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．(1)用含t的代數(shù)式表示PB的長(zhǎng)(2)當(dāng)點(diǎn)P在射線(xiàn)AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)多少秒后PB=2AM？(3)當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)N為BP的中點(diǎn)，有下列結(jié)論：①M(fèi)N的長(zhǎng)度不變；②MA+PN的值不變．其中正確的結(jié)論是__________，請(qǐng)求出其值．【答案】(1)24?2t或2t?24；(2)當(dāng)點(diǎn)P在射線(xiàn)AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)6秒后PB=2AM；(3)①，12．【分析】本題考查了線(xiàn)段中點(diǎn)以及線(xiàn)段的和差，一元一次方程的應(yīng)用，利用分類(lèi)討論的思想解決問(wèn)題是關(guān)鍵．（1）先表示出AP=2t，再根據(jù)點(diǎn)P的位置分別表示出PB的長(zhǎng)即可；（2）根據(jù)題意得AM=12AP=t（3）當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)線(xiàn)段中點(diǎn)，得到AM=12AP=t【詳解】（1）解：設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，則AP=2t，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上時(shí)，PB=AB?AP=24?2t，當(dāng)點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，PB=AP?AB=2t?24，綜上可知，PB的長(zhǎng)為24?2t或2t?24；（2）解：∵AP=2t，點(diǎn)M為AP的中點(diǎn)，∴AM=1①當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上時(shí)，此時(shí)0<t<12，PB=24?2t，∵PB=2AM，∴24?2t=2t，∴t=6；②當(dāng)點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，此時(shí)t>12，PB=2t?24，∵PB=2AM∴2t?24=2t，此方程無(wú)解；即當(dāng)點(diǎn)P在射線(xiàn)AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)6秒后PB=2AM；（3）解：當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∵AP=2t，PB=2t?24，∵點(diǎn)M為AP的中點(diǎn)，點(diǎn)N為BP的中點(diǎn)，∴AM=12AP=t∴AN=AB+BN=24+t?12=t+12，∴MN=AN?AM=t+12?t=12，∴MN的長(zhǎng)度不變，①結(jié)論正確；∵M(jìn)A=t，PN=1∴MA+PN=t+t?12=2t?12，∴MA+PN的值是變的，②結(jié)論錯(cuò)誤．31．（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）【新知理解】如圖①，點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上，圖中共有三條線(xiàn)段AB、AC和BC，若其中有一條線(xiàn)段的長(zhǎng)度是另外一條線(xiàn)段長(zhǎng)度的2倍，則稱(chēng)點(diǎn)C是線(xiàn)段AB的“巧點(diǎn)”．（1）線(xiàn)段的中點(diǎn)______這條線(xiàn)段的“巧點(diǎn)”（填“是”或“不是”）；（2）若AB=12cm，點(diǎn)C是線(xiàn)段AB的巧點(diǎn)，則AC最長(zhǎng)為_(kāi)_____cm【解決問(wèn)題】（3）如圖②，已知AB=12cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向點(diǎn)B勻速移動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速度沿BA向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為ts．當(dāng)t為何值時(shí)，P為【答案】（1）是；（2）8；（3）當(dāng)t為3s或127s或125s時(shí)，P【分析】本題考查了線(xiàn)段的相關(guān)計(jì)算，與線(xiàn)段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，一元一次方程的應(yīng)用．（1）根據(jù)“巧點(diǎn)”的定義解答即可；（2）點(diǎn)C為線(xiàn)段AB的巧點(diǎn)，則AC最長(zhǎng)時(shí)，滿(mǎn)足AC=2BC，即AC=2（3）根據(jù)“巧點(diǎn)”的定義，分為AP=2PQ或PQ=2AP或AP=PQ，三種情況，分別計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上，點(diǎn)C為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，∴AB=2AC，∴點(diǎn)C是線(xiàn)段AB的“巧點(diǎn)”，故答案為：是．（2）解：點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上，點(diǎn)C為線(xiàn)段AB的巧點(diǎn)，∴則AC最長(zhǎng)時(shí)，滿(mǎn)足AC=2BC，即AC=2∴AC=8cm故答案為：8．（3）解：t秒后，AP=2t，AQ=12?t，PQ=AQ?AP=12?t?2t=12?3t，∵P為A、Q的巧點(diǎn)∴AP=2PQ或PQ=2AP，或AP=PQ，當(dāng)AP=2PQ時(shí)，2t=212?3t解得：t=3，當(dāng)PQ=2AP時(shí)，12?3t=2×2t，解得：t=12當(dāng)AP=PQ時(shí)，12?3t=2t，解得：t=12∴當(dāng)t為3s或127s或125s時(shí)，P32．（22-23七年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期末）如圖，點(diǎn)B在線(xiàn)段AC上，且AB=9，BC=3．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts(1)線(xiàn)段AB、BC的中點(diǎn)之間的距離為_(kāi)______．(2)當(dāng)點(diǎn)P到點(diǎn)C時(shí)，求PQ的長(zhǎng)．(3)求PQ的長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式表示）．(4)設(shè)2PQ=AC時(shí)，直接寫(xiě)出t的值．【答案】(1)6(2)6(3)當(dāng)0≤t≤2時(shí)，PQ=12?6t；當(dāng)2<t≤3時(shí)，PQ=6t?12；當(dāng)3<t≤6時(shí)，PQ=2t；(4)t=1或t=3【分析】（1）設(shè)點(diǎn)AB的中點(diǎn)為M，BC的中點(diǎn)為N，分別求出BM和BN的長(zhǎng)，再求和即可；（2）先求出當(dāng)P到點(diǎn)C時(shí)t的值，再根據(jù)路程=時(shí)間×速度可求出；（3）先找到何時(shí)P、Q相遇，再分段討論，當(dāng)0≤t≤2時(shí)，當(dāng)2<t≤3時(shí)，當(dāng)3<t≤6時(shí)，分別求出PQ的長(zhǎng)即可；（4）根據(jù)（3）中求出PQ的長(zhǎng)，利用2PQ=AC列方程，求出t的值即可．【詳解】（1）解：設(shè)點(diǎn)AB的中點(diǎn)為M，BC的中點(diǎn)為N，∵AB=9，BC=3，∴BM=12AB=4.5∴MN=BM+BN=4.5+1.5=6；（2）解：∵AB=9，BC=3∴AC=AB+BC=12∵動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)∴當(dāng)P到點(diǎn)C時(shí)，t=12÷4=3，∴PQ=2×3=6；（3）解：當(dāng)點(diǎn)P、Q相遇時(shí)，t=12÷4+2當(dāng)0≤t≤2時(shí)，PQ=12?6t；當(dāng)2<t≤3時(shí)，PQ=6t?12；當(dāng)3<t≤6時(shí)，PQ=2t；（4）解：當(dāng)0≤t≤2時(shí)，212?6t=12，解得當(dāng)2<t≤3時(shí)，26t?12=12，解得當(dāng)3<t≤6時(shí)，2×2t=12，t=3（舍）．∴t=1或t=3．【點(diǎn)睛】本題考查在動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的背景下考查線(xiàn)段的和差運(yùn)算，線(xiàn)段中點(diǎn)的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用等知識(shí)，關(guān)鍵是理清點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，找到臨界點(diǎn)．33．（23-24七年級(jí)上·江西南昌·期末）已知：如圖，點(diǎn)M是線(xiàn)段AB上一定點(diǎn)，AB=16cm，C、D兩點(diǎn)分別從M、B出發(fā)以1cm/s、3cm/s的速度沿直線(xiàn)BA向左運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向如箭頭所示（C在線(xiàn)段AM上，D(1)若AM=6cm，當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了3s，此時(shí)AC=，DM=(2)當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了3s，求AC+MD(3)若點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有MD=3AC，則AM=；（直接填空）(4)在（3）的條件下，N是直線(xiàn)AB上一點(diǎn)，且AN?BN=MN，求MNAB【答案】(1)3cm；(2)4(3)4(4)12【分析】本題考查了線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，線(xiàn)段的和差，較難的是題（4），依據(jù)題意，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．（1）先求出CM、BD的長(zhǎng)，再根據(jù)線(xiàn)段的和差即可得；（2）先求出BD與CM的關(guān)系，再根據(jù)線(xiàn)段的和差即可得；（3）根據(jù)已知得MB=3AM，然后根據(jù)AM+BM=AB，代入即可求解；（4）分點(diǎn)N在線(xiàn)段AB上和點(diǎn)N在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上兩種情況，再分別根據(jù)線(xiàn)段的和差倍分即可得．【詳解】（1）解：根據(jù)題意知，CM=3cm，BD=9∵AB=16cm，AM=6∴BM=10cm∴AC=AM?CM=3cm，DM=BM?BD=1故答案為：3cm；1（2）解：當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了3s時(shí)，CM=3cm，∵AB=16cm∴AC+MD=AM?CM+BM?BD=AB?CM?BD=16?3?9=4cm故答案為：4cm（3）解：根據(jù)C、D的運(yùn)動(dòng)速度知：BD=3MC，∵M(jìn)D=3AC，∴BD+MD=3MC+AC，即MB=3AM∵AM+BM=AB，∴AM+3AM＝∴AM=1故答案為：4cm（4）解：①當(dāng)點(diǎn)N在線(xiàn)段AB上時(shí)，如圖1，

∵AN?BN=MN，又∵AN?AM=MN∴BN=AM=4cm∴MN=AB?AM?BN=16?4?4=8∴MNAB②當(dāng)點(diǎn)N在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖2，

∵AN?BN=MN，又∵AN?BN=AB，∴MN=AB=16cm∴MNAB綜上所述：MNAB【考點(diǎn)11】角的基礎(chǔ)概念34．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·期末）分別寫(xiě)出圖中有多少個(gè)角？(1)如圖①，在∠AOD的內(nèi)部從點(diǎn)O引出兩條射線(xiàn)OB，OC，數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個(gè)角？并寫(xiě)出來(lái)．(2)如圖②，如果在∠AOD的內(nèi)部以點(diǎn)O為端點(diǎn)作n條射線(xiàn)，則圖中一共有多少個(gè)角？【答案】(1)共有6個(gè)角，它們分別是∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠BOC，∠BOD，∠COD(2)(n+1)(n+2)2【分析】本題主要考查了角的概念，有理數(shù)的運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)，（1）按照?qǐng)D示羅列出所有角即可；（2）羅列射線(xiàn)的條數(shù)n與角的個(gè)數(shù)，得出規(guī)律即可；在規(guī)律探究時(shí)，按規(guī)則羅列一些代數(shù)式能夠發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．【詳解】（1）共有6個(gè)角，它們分別是∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠BOC，∠BOD，∠COD；（2）如果在∠AOD的內(nèi)部作1條射線(xiàn)，這樣一共有1+2=3（個(gè)）角；如果在∠AOD的內(nèi)部作2條射線(xiàn)，一共有1+2+3=6（個(gè)）角；如果在∠AOD的內(nèi)部作3條射線(xiàn)，一共有1+2+3+4=10（個(gè)）角；……以此類(lèi)推；如果在∠AOD的內(nèi)部以點(diǎn)O為端點(diǎn)作n條射線(xiàn)，一共有1+2+3+…+n+n+135．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）請(qǐng)將圖中的角用不同方法表示出來(lái)，并填寫(xiě)下表：∠ABE__________________________________∠1∠2∠3【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了角的表示方法．根據(jù)角的表示方法分析即可，角的兩個(gè)基本元素中，邊是兩條射線(xiàn)，頂點(diǎn)是這兩條射線(xiàn)的公共端點(diǎn)．是同一個(gè)角必須滿(mǎn)足頂點(diǎn)相同，角的兩邊必須分別是指同一條射線(xiàn)．【詳解】解：填表如下：∠ABE∠ABC∠ACB∠ACF∠α∠1∠2∠3【考點(diǎn)12】鐘面角36．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·期末）（1）1時(shí)20分時(shí)，時(shí)鐘的時(shí)針與分針的夾角是多少度？2時(shí)15分時(shí)，時(shí)鐘的時(shí)針與分針的夾角又是多少度？（2）從1時(shí)15分到1時(shí)35分，時(shí)鐘的分針與時(shí)針各轉(zhuǎn)過(guò)了多少度？（3）時(shí)鐘的分針從4時(shí)整的位置起，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)多少度時(shí)與時(shí)針第1次重合？【答案】（1）1時(shí)20分時(shí)，時(shí)針與分針的夾角是80°，2時(shí)15分時(shí)，時(shí)針與分針的夾角是22.5°；（2）分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度是120°，時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度是10°；（3）分針按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)144011【分析】（1）根據(jù)分針每分鐘走1小格，時(shí)針每分鐘走112（2）根據(jù)鐘表分針和時(shí)針每走一分鐘度數(shù)即可求解；（3）設(shè)經(jīng)過(guò)xmin分針可與時(shí)針第1次重合（即追上時(shí)針），根據(jù)題意列出方程360本題考查了鐘表分針和時(shí)針?biāo)D(zhuǎn)過(guò)的角度計(jì)算，一元一次方程的應(yīng)用，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：（1）因?yàn)榉轴樏糠昼娮?小格，時(shí)針每分鐘走112所以1時(shí)20分時(shí)，時(shí)針與分針的夾角是20?5+2時(shí)15分時(shí)，時(shí)針與分針的夾角是15?10+（2）從1時(shí)15分到1時(shí)35分，，經(jīng)過(guò)了20min所以分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度是20×360°時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度是20×1（3）設(shè)經(jīng)過(guò)xmin分針可與時(shí)針第1因?yàn)?時(shí)整時(shí)針與分針的夾角是120°，所以列方程得36060解得x=240所以36060所以分針按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)14401137．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，觀察時(shí)鐘，解答下列問(wèn)題：(1)在2時(shí)和3時(shí)之間，什么時(shí)刻時(shí)針和分針的夾角為直角？(2)小明下午5時(shí)多有事外出時(shí)，看到墻上鐘面的時(shí)針和分針的夾角為90°，下午不到6時(shí)回家時(shí)，發(fā)現(xiàn)時(shí)針和分針的夾角又為90°，那么小明外出了多長(zhǎng)時(shí)間？【答案】(1)在2時(shí)273(2)328【分析】本題考查應(yīng)用類(lèi)問(wèn)題，鐘表時(shí)針與分針的夾角．在鐘表問(wèn)題中，常利用時(shí)針與分針轉(zhuǎn)動(dòng)的度數(shù)關(guān)系：分針每轉(zhuǎn)動(dòng)1°，時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)112（1）在2點(diǎn)整時(shí)，時(shí)針與分針恰成60°，分針指著12，時(shí)針指著2，分針每分鐘運(yùn)動(dòng)速度為6°，時(shí)針每分鐘運(yùn)動(dòng)速度為6°×112=0.5°，設(shè)分針運(yùn)動(dòng)x分鐘，根據(jù)所行路程差為150°（2）設(shè)5時(shí)y分鐘時(shí)，時(shí)針與分針夾角為90°，分兩種情況建立方程求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)分針運(yùn)動(dòng)a分鐘，時(shí)針和分針的夾角為直角，由題意得6a?0.5a=60°+90°，或6a?0.5a=60°+90°+180°解得：a=27311或答：在2時(shí)273（2）解：設(shè)5時(shí)y分鐘時(shí)，時(shí)針與分針夾角為90°，則由題意得：150°+0.5y?6y=90°或6y?解得：y=12011或∴48011?120答：小明外出了32838．（23-24七年級(jí)上·江蘇淮安·階段練習(xí)）鐘面上的數(shù)學(xué)基本概念：鐘面角是指時(shí)鐘的時(shí)針與分針?biāo)傻慕牵鐖D1，∠AOB即為某一時(shí)刻的鐘面角，通常0°≤∠AOB≤180°[簡(jiǎn)單認(rèn)識(shí)]時(shí)針和分針在繞點(diǎn)O一直沿著順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度是30°，分針每小時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)一周，角度為360°．由此可知：（1）時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)°，分針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)°：[初步研究]（2）已知某一時(shí)刻的鐘面角的度數(shù)為α，在空格中寫(xiě)出一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的時(shí)刻：①當(dāng)α=90°時(shí)，；②當(dāng)α=180°時(shí)，；（3）如圖2，鐘面顯示的時(shí)間是8點(diǎn)04分，此時(shí)鐘面角∠AOB=．[深入思考]（4）在某一天的下午2點(diǎn)到3點(diǎn)之間（不包括2點(diǎn)整和3點(diǎn)整）．①時(shí)針恰好與分針重疊，則這一時(shí)刻是；時(shí)針恰好與分針垂直，求此時(shí)對(duì)應(yīng)的時(shí)刻是；②記鐘面上刻度為3的點(diǎn)為C，當(dāng)鐘面角的兩條邊OA、OB所在射線(xiàn)與射線(xiàn)OC中恰有一條是另兩條射線(xiàn)所成角的角平分線(xiàn)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)對(duì)應(yīng)的時(shí)刻．【答案】（1）0.5；6；（2）3：00答案不唯一；②6：00答不唯一案；（3）142°；（4）①2點(diǎn)12011分；2點(diǎn)300【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，鐘面角．（1）根據(jù)1小時(shí)=60分解答即可；（2）鐘表12個(gè)數(shù)字，每相鄰兩個(gè)數(shù)字之間的夾角為30°，找到時(shí)針和分針相隔3個(gè)數(shù)字的時(shí)刻和相隔6個(gè)數(shù)字的時(shí)刻即可；（3）鐘表12個(gè)數(shù)字，每相鄰兩個(gè)數(shù)字之間有5格，鐘表上8點(diǎn)04分，時(shí)針轉(zhuǎn)了60×8+4格，分針指向4，根據(jù)時(shí)針和分針的速度即可求解；（4）①設(shè)此時(shí)對(duì)應(yīng)的時(shí)刻是2點(diǎn)x分，根據(jù)時(shí)針和分針轉(zhuǎn)動(dòng)的角度相同即可求解；②令時(shí)針?biāo)谥本€(xiàn)為OA，分針?biāo)谥本€(xiàn)為OB，分兩種情況求解即可．【詳解】解：（1）∵時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度是30°，分針每小時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)一周，角度為360°．∴時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)30°÷60=0.5°，分針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)360°÷60=6°，故答案為：0.5；6；（2）①某個(gè)時(shí)刻的鐘面角α為90°，可為3：00或9：00，②某個(gè)時(shí)刻的鐘面角α為故答案為：①3：00或9：（3）鐘表12個(gè)數(shù)字，每相鄰兩個(gè)數(shù)字之間有5格，鐘表上8點(diǎn)04分，時(shí)針轉(zhuǎn)了60×8+4格，分針指向4，則時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的角度是60×8+4×0.5°=242°，分針轉(zhuǎn)動(dòng)的角度是6°×4=24°此時(shí)鐘面角∠AOB=242°?24°=218°，∵0°≤∠AOB≤180°，∴∠AOB=360°?218°=142°，故答案為：142°；（4）①時(shí)針恰好與分針重疊：設(shè)此時(shí)對(duì)應(yīng)的時(shí)刻是2點(diǎn)x分，根據(jù)題意得，60+0.5x=6x，解得，x=120∴這一時(shí)刻是2點(diǎn)12011故答案為：2點(diǎn)12011時(shí)針恰好與分針垂直：設(shè)此時(shí)對(duì)應(yīng)的時(shí)刻是2點(diǎn)y分，則有：6x?60?0.5x=90或6x?60?0.5x=270，解得：x=30011或∵x=60時(shí)為3點(diǎn)整，不合題意，舍去，∴此時(shí)對(duì)應(yīng)的時(shí)刻是2點(diǎn)30011②令時(shí)針?biāo)谥本€(xiàn)為OA，分針?biāo)谥本€(xiàn)為OB，設(shè)此時(shí)對(duì)應(yīng)的時(shí)刻是2點(diǎn)m分，OA為OC和OB角平分線(xiàn)時(shí)：90?6m2解得：m=6；OC為OA和OB角平分線(xiàn)時(shí)：90?60?0.5m=6m?90，解得：m=240OA為時(shí)針，OB為分針，OB平分∠AOC時(shí)：∠BOC=90?6m，∠AOC=30?0.5m，∵OB平分∠AOC，∴∠AOC=2∠BOC，∴30?0.5m=290?6m解得：m=300答：當(dāng)鐘面角的兩條邊OA、OB所在射線(xiàn)與射線(xiàn)OC中恰有一條是另兩條射線(xiàn)所成角的角平分線(xiàn)時(shí)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的時(shí)刻在2點(diǎn)6分和2點(diǎn)24013分，2點(diǎn)300【考點(diǎn)13】角度的四則運(yùn)算39．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）計(jì)算：(1)153°29(2)42°15(3)62°24(4)180°?34°5【答案】(1)180°1(2)8°2(3)249°3(4)123°3【分析】本題考查角度的運(yùn)算，熟練掌握度、分、秒的進(jìn)制是解題的關(guān)鍵．（1）兩個(gè)度數(shù)相加，度與度，分與分對(duì)應(yīng)相加，分的結(jié)果若滿(mǎn)60，則轉(zhuǎn)化為度；（2）首先將度轉(zhuǎn)化為分，然后計(jì)算除法即可；（3）根據(jù)角度的乘法運(yùn)算法則求解即可；（4）首先計(jì)算括號(hào)內(nèi)加法，然后計(jì)算減法即可．【詳解】（1）解：153°2=179°6=180°10（2）解：42°1==253=50=8°27（3）解：62°2=248°9=249°37（4）解：180°?=180°?56°2=123°3340．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）計(jì)算：(1)89°35(2)123°24【答案】(1)109°5(2)62.8°【分析】本題考查了度分秒的換算，熟練掌握度分秒的進(jìn)制是解題的關(guān)鍵．（1）兩個(gè)度數(shù)相加，度與度，分與分對(duì)應(yīng)相加，分的結(jié)果若滿(mǎn)60，則轉(zhuǎn)化為度；（2）先將分都轉(zhuǎn)化為度，再進(jìn)行減法計(jì)算，兩個(gè)度數(shù)相減時(shí)，應(yīng)先算最后一位，后面的位上的數(shù)不夠減是向前一位借數(shù)．【詳解】（1）89°3=109°55（2）123°2=123.4°?60.6°=62.8°．【考點(diǎn)14】與角平分線(xiàn)有關(guān)的計(jì)算41．（2024七年級(jí)上·江西·專(zhuān)題練習(xí)）已知：如圖，∠AOB=30°，∠COB=20°，OC平分∠AOD．求∠COD的度數(shù)．【答案】50°【分析】本題考查角平分線(xiàn)的性質(zhì)和平面圖形角度的計(jì)算，熟練掌握角平分線(xiàn)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可得∠AOC=∠AOB+∠COB=50°，根據(jù)OC平分∠AOD，可得∠AOC=∠COD，進(jìn)而求解；【詳解】解：∵∠AOB=30°，∠COB=20°(已知)，∴∠AOC=∠AOB+∠COB=50°．∵OC平分∠AOD(已知），∴∠AOC=∠COD(角平分線(xiàn)定義）．∴∠COD=50°．42．（22-23七年級(jí)上·云南紅河·期末）如圖，點(diǎn)O是直線(xiàn)CE上一點(diǎn)，以O(shè)為頂點(diǎn)作∠AOB=90°，且OA、OB位于直線(xiàn)CE兩側(cè)，OB平分∠COD．(1)當(dāng)∠AOC=70°時(shí)，求∠DOE的度數(shù)．(2)請(qǐng)你猜想∠AOC和∠DOE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)140°(2)∠DOE=2∠AOC，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查的是角平分線(xiàn)的含義，角的和差運(yùn)算，熟練的利用角的和差運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算與證明是解本題的關(guān)鍵．（1）先求解∠BOC=AOB?∠AOC=20°，再證明∠BOC=∠BOD=20°，結(jié)合∠DOE=180°?∠BOC?∠BOD，從而可得答案；（2）證明∠AOC=90°?∠BOC，∠BOC=∠BOD，結(jié)合∠DOE=180°?∠BOC?∠BOD=180°?2∠BOC，從而可得答案．【詳解】（1）解：∵∠AOB=90°，∠AOC=70°，∴∠BOC=AOB?∠AOC=90°?70°=20°，∵OB平分∠COD，∴∠BOC=∠BOD=20°，∴∠DOE=180°?∠BOC?∠BOD=180°?20°?20°=140°，∴∠DOE=140°；（2）解：∠DOE=2∠AOC，理由如下：∵∠AOB=90°，∴∠AOC=90°?∠BOC，∵OB平分∠COD，∴∠BOC=∠BOD，∴∠DOE=180°?∠BOC?∠BOD=180°?2∠BOC=290°?∠BOC=2∠AOC∴∠DOE=2∠AOC．43．（24-25七年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)O在直線(xiàn)AB上，∠COD=60°，∠AOE=2∠DOE．

(1)若∠BOD=60°，求∠COE的度數(shù)；(2)試猜想∠BOD和∠COE的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果________【答案】(1)20°(2)∠BOD=3∠COE【分析】此題主要考查了鄰補(bǔ)角、角平分線(xiàn)的定義，正確把握定義是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)補(bǔ)角的定義可得∠AOD=120°，再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義可得答案；（2）設(shè)∠COE=x，則∠DOE=60°?x，再利用∠AOE=2∠DOE，然后整理可得結(jié)論．【詳解】（1）解：∵∠BOD=60°，∴∠AOD=120°，∵∠AOE=2∠DOE，∴∠DOE=1∴∠COE=∠COD?∠DOE=60°?40°=20°；（2）∠BOD=3∠COE，設(shè)∠COE=x，則∠DOE=60°?x，∵∠AOE=2∠DOE，∴∠AOD=3∠DOE=360°?x∴∠BOD=180°?∠AOD=180°?180°?3x∴∠BOD=3∠COE，故答案為：∠BOD=3∠COE．44．（24-25七年級(jí)上·遼寧沈陽(yáng)·期末）射線(xiàn)OP在∠MON的內(nèi)部，∠MOP與∠MON的大小之比定義為射線(xiàn)OP的分割值，即∠MOP∠MON=n，n為射線(xiàn)OP與∠MON的“分割值”，記為例如，如圖1，∠AOP=20°，∠AOB=60°，則∠AOP∠AOB=13，即&OP,∠AOB(1)如圖2，射線(xiàn)OC在∠AOB的內(nèi)部．①若射線(xiàn)OC是∠AOB的平分線(xiàn)，則&OC,∠AOB②若∠AOC=50°，∠BOC=20°，則&OC,∠AOB(2)如圖3，∠ACB=120°，∠EDF=80°，射線(xiàn)CP從CA位置開(kāi)始，繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，同時(shí)，射線(xiàn)DQ從DF位置開(kāi)始，繞點(diǎn)D按逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，到達(dá)DE立即原速返回，當(dāng)CP到達(dá)CB時(shí)，DQ也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒．①若射線(xiàn)CP旋轉(zhuǎn)的速度為每秒4°，射線(xiàn)DQ旋轉(zhuǎn)的速度為每秒5°，若&CP,∠ACB+&DQ,∠EDF②若當(dāng)CP到達(dá)CB時(shí)，DQ也恰好回到DF，若設(shè)&CP,∠ACB=mm>12，請(qǐng)直接【答案】(1)①12；②5(2)①t的值為807或40023，②【分析】本題依托“分割值”主要考查角度之間的數(shù)量關(guān)系和一元一次方程的應(yīng)用：（1）①根據(jù)角平分線(xiàn)的定義以及“分割值”的定義求解即可．②根據(jù)角的和差關(guān)系以及“分割值”的定義求解即可（2）①分兩種情況，根據(jù)&CP,∠ACB②設(shè)若射線(xiàn)CP旋轉(zhuǎn)的速度為每秒α°，射線(xiàn)DQ旋轉(zhuǎn)的速度為每秒β°，根據(jù)題意即可得120α=160β，進(jìn)一步得到αt120=m，有αt120【詳解】（1）解：①∵OC是∠AOB的平分線(xiàn)，∴∠AOC=12∴&OC,∠AOB故答案為：12②∵∠AOC=50°，∠BOC=20°，∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=70°，∴∠AOC∠AOB故答案為：57（2）解：①當(dāng)DQ由DF向DE運(yùn)動(dòng)時(shí)：∵&∴4t解得：t=80當(dāng)DQ由DE向DF運(yùn)動(dòng)時(shí)，∵&CP,∠ACB∴4t解得：t=400綜上所述，t的值為807或400②設(shè)若射線(xiàn)CP旋轉(zhuǎn)的速度為每秒α°，射線(xiàn)DQ旋轉(zhuǎn)的速度為每秒β°，∵當(dāng)CP到達(dá)CB時(shí)，DQ也恰好回到DF，∴120α∵&CP,∠ACB∴αt120=m，則∴射線(xiàn)DQ旋轉(zhuǎn)的角度為βt=160m，∵m>1∴∠EDQ=160m?80．45．（23-24七年級(jí)上·天津·期末）探究題：已知O為直線(xiàn)AD上的一點(diǎn)，以O(shè)為頂點(diǎn)作∠COE=90°，射線(xiàn)OF平分∠AOE．(1)如圖1，若∠DOE=54°，則∠AOC=________．(2)若將∠COE繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，射線(xiàn)OF仍然平分∠AOE，請(qǐng)寫(xiě)出∠COF與∠DOE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)若將∠COE繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，射線(xiàn)OF仍然平分∠AOE,求2∠COF+∠DOE的度數(shù)．【答案】(1)36°(2)∠DOE=2∠COF，理由見(jiàn)解析(3)360°【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計(jì)算，角平分線(xiàn)的定義：（1）先由平角的定義求出∠AOE的度數(shù)，進(jìn)而根據(jù)角的和差關(guān)系求出∠AOC的度數(shù)即可；（2）由角平分線(xiàn)的定義得到∠AOE=2∠EOF，再用∠EOF分別表示出∠COF和∠DOE，據(jù)此可得結(jié)論；（3）先由平角的定義和角平分線(xiàn)的定義得到∠AOE+∠DOC=90°，∠AOE=2∠EOF，再由2∠COF+∠DOE=2∠COE+∠EOF【詳解】（1）解：∵∠DOE=54°，∴∠AOE=180°?54°=126°，∵∠COE=90°，∴∠AOC=∠AOE?∠COE=126°?90°=36°，故答案為：36°；（2）解：∠DOE=2∠COF，理由如下：∵OF平分∠AOE，∴∠AOE=2∠EOF，∵∠AOE+∠DOE=180°，∴∠DOE=180°?∠AOE=180°?2∠EOF，∵∠COE=90°，∴∠COF=90°?∠EOF，∴2∠COF=180°?2∠EOF，∴∠DOE=2∠COF；（3）解：∵∠COE=90°，∴∠AOE+∠DOC=180°?90°=90°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOE=2∠EOF，∴2∠COF+∠DOE=2=2∠COE+2∠EOF+90°+∠DOC=180°+∠AOE+90°+∠DOC=180°+90°+90°=360°．【考點(diǎn)15】雙角平分線(xiàn)模型46．（24-25七年級(jí)上·遼寧·期末）如圖，已知OC、OD是∠AOB內(nèi)的兩條射線(xiàn)，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．(1)若∠AOB=132°，∠COD=22°，求∠EOF的度數(shù)；(2)若∠EOF=α，∠COD=β，求∠AOB的度數(shù)．（用含α、β的代數(shù)式表示）【答案】(1)77°(2)2α?β【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計(jì)算，角平分線(xiàn)的定義：（1）先求出∠AOC+∠BOD的度數(shù)，再由角平分線(xiàn)的定義推出∠COE+∠DOF的度數(shù)，據(jù)此根據(jù)角的和差關(guān)系可得答案；（2）先求出∠COE+∠DOF的度數(shù)，再由角平分線(xiàn)的定義推出∠AOC+∠BOD的度數(shù)，據(jù)此根據(jù)角的和差關(guān)系可得答案．【詳解】（1）解：∵∠AOB=132°，∠COD=22°，∴∠AOC+∠BOD=∠AOB?∠COD=110°，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠COE=1∴∠COE+∠DOF=1∴∠EOF=∠COE+∠DOF+∠COD=77°．（2）解：∵∠EOF=α，∠COD=β，∴∠COE+∠DOF=∠EOF?∠COD=α?β，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠AOC=2∠COE，∴∠AOC+∠BOD=2∠COE+2∠DOF=2α?2β，∴∠AOB=∠AOC+∠BOD+∠COD=2α?β．47．（23-24七年級(jí)上·江西·期末）已知，OC是過(guò)點(diǎn)O的一條射線(xiàn)，OD，OE分別平分(1)如圖①，如果射線(xiàn)OC在∠AOB的內(nèi)部，∠AOB=80°，則∠DOE=°；(2)如圖②，如果射線(xiàn)OC在∠AOB的內(nèi)部繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，∠AOB=x°，則∠DOE=°；(3)如果射線(xiàn)OC在∠AOB的外部繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，∠AOB=x°，請(qǐng)借助圖③探究∠DOE的度數(shù)．【答案】(1)40(2)x(3)x2°【分析】此題考查角平分線(xiàn)的定義，關(guān)鍵是根據(jù)角平分線(xiàn)的定義解答．（1）根據(jù)角平分線(xiàn)的定義解答即可；（2）根據(jù)角平分線(xiàn)的定義解答即可；（3）分兩種情況，利用角平分線(xiàn)的定義解答即可．【詳解】（1）解：∵OD、OE分別平分∠AOC、∠BOC，∴∠COD=∠AOD=12∠AOC∴∠DOE=∠COD+∠COE=1故答案為：40；（2）解：∵OD、OE分別平分∠AOC、∠BOC，∴∠COD=∠AOD=12∠AOC∴∠DOE=∠COD+∠COE=1∴∠DOE=x故答案為：x2（3）解：分兩種情況：①如圖：∵OD、OE分別平分∠AOC、∠BOC，∴∠COD=∠AOD=12∠AOC∴∠DOE=∠COD?∠COE=1∴∠DOE=x②如圖：∵OD、OE分別平分∠AOC、∠BOC，∴∠COD=∠AOD=12∠AOC∴∠DOE=∠COD+∠COE=1∴∠DOE=1綜上所述，∠DOE的度數(shù)為x2°或48．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知：∠BOC在∠AOB的外部，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，OD平分∠AOC，∠AOE=30°，∠BOD=10°，試求∠COF的度數(shù)．【答案】40°或20°【分析】本題主要考查角度的和差計(jì)算，角平分線(xiàn)的性質(zhì)，理解題意作圖分析，掌握角平分線(xiàn)的性質(zhì)計(jì)算角度的方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意作圖，分類(lèi)討論：當(dāng)∠BOD在∠AOB外部時(shí)，可得∠AOB=2∠AOE=60°，則∠AOD=∠COD=∠AOB+∠BOD=70°，∠BOC=∠COD+∠BOD=80°，由OF平分∠BOC，即可求解；當(dāng)∠BOD在∠AOB內(nèi)部時(shí)，∠COD=∠AOD=50°，則∠BOC=∠COD?∠BOD=40°，由OF平分∠BOC，即可求解．【詳解】解：第一種情況，如答圖①，∵OE平分∠AOB，∠AOE=30°，∠BOD=10°，∴∠AOD=30°+30°+10°=70°，∵OD平分∠AOC，∴∠COD=∠AOD=70°，∵OF平分∠BOC，∴∠COF=70°+10°第二種情況，如