小號(hào)發(fā)出的波足以把玻璃杯振碎1§1簡(jiǎn)諧振動(dòng)§2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成§3阻尼振動(dòng)與受迫振動(dòng)簡(jiǎn)介

第6章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)2

機(jī)械振動(dòng)：

物體位置在某一值附近來(lái)回往復(fù)的變化

廣義振動(dòng)：一個(gè)物理量在某一定值附近往復(fù)變化該物理量的運(yùn)動(dòng)形式稱振動(dòng)物理量：等等3重要的振動(dòng)形式是簡(jiǎn)諧振動(dòng)(S.H.V.)simpleharmonicvibration物理上：一般運(yùn)動(dòng)是多個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成數(shù)學(xué)上：付氏級(jí)數(shù)付氏積分也可以說(shuō)

S.H.V.是振動(dòng)的基本模型或說(shuō)振動(dòng)的理論建立在S.H.V.的基礎(chǔ)上注意：以機(jī)械振動(dòng)為例說(shuō)明振動(dòng)的一般性質(zhì)46.1.1.簡(jiǎn)諧振動(dòng)以彈簧諧振子為例設(shè)彈簧原長(zhǎng)為坐標(biāo)原點(diǎn)由牛頓第二定律令簡(jiǎn)諧振動(dòng)整理得6彈簧振子作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程總結(jié)：如質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程可歸結(jié)為：的形式，且其中決定于振動(dòng)系統(tǒng)本身的性質(zhì)。上式的形式就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程式。方程的解為：（1）（1）式就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，該式又是周期函數(shù)，故簡(jiǎn)諧振動(dòng)是圍繞平衡位置的周期運(yùn)動(dòng)。7簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程則速度和加速度分別為86.1.2、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅、周期、頻率和相位表征了系統(tǒng)的能量位移振幅最大位移由初始條件決定1.運(yùn)動(dòng)學(xué)表達(dá)式廣義：振動(dòng)的物理量彈簧諧振子特征量：9位相周相系統(tǒng)的周期性固有的性質(zhì)稱固有頻率…圓頻率相位初相位角頻率

取決于時(shí)間零點(diǎn)的選擇

初位相頻率周期10簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述1.解析描述11均是作諧振動(dòng)的物理量頻率相同振幅的關(guān)系相位差超前落后122.曲線描述131）諧振動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程從對(duì)象的運(yùn)動(dòng)規(guī)律出發(fā)（電學(xué)規(guī)律力學(xué)規(guī)律等）S.H.V.的標(biāo)準(zhǔn)形式小結(jié)2）動(dòng)力學(xué)方程S.H.V.的判據(jù)146.1.3振幅和初相的確定決定簡(jiǎn)諧振動(dòng)的具體形式需知外力條件，還需知道初始條件，即t＝0時(shí)的位移和速度。設(shè)書中例題6.1，6.2，6.4（197頁(yè)）15練習(xí)題：彈簧振子的振動(dòng)表達(dá)式用余弦函數(shù)表示。若t＝0時(shí)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分別為（1）（2）過(guò)平衡位置向x正方向運(yùn)動(dòng)；（3）且向x負(fù)方向運(yùn)動(dòng)。試用相量圖法分別確定相應(yīng)的初相。解：設(shè)振動(dòng)表達(dá)式為則同理相量圖分別為：166.1.4簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量如彈簧諧振子系統(tǒng)機(jī)械能守恒以彈簧原長(zhǎng)為勢(shì)能零點(diǎn)17討論1)普適2)時(shí)間平均值3)

由簡(jiǎn)諧振動(dòng)能量求振動(dòng)例題6.5（203頁(yè)）（理解）18練習(xí)：一彈簧振子，勁度系數(shù)為25N/m,當(dāng)物體以初動(dòng)能和初勢(shì)能分別為振動(dòng)時(shí)，請(qǐng)回答：（1）振幅是多大？（2）位移是多大時(shí)，動(dòng)能和勢(shì)能相等？（3）位移是振幅一半時(shí)，勢(shì)能多大？練習(xí)：一彈簧振子，勁度系數(shù)為25N/m,當(dāng)物體以初動(dòng)能和初勢(shì)能分別為振動(dòng)時(shí)，請(qǐng)回答：（1）振幅是多大？（2）位移是多大時(shí)，動(dòng)能和勢(shì)能相等？（3）位移是振幅一半時(shí)，勢(shì)能多大？196.1.5.旋轉(zhuǎn)矢量表示法用勻速圓周運(yùn)動(dòng)幾何地描述SHV規(guī)定端點(diǎn)在x軸上的投影式逆時(shí)針轉(zhuǎn)以角速度201）直觀地表達(dá)振動(dòng)狀態(tài)優(yōu)點(diǎn)當(dāng)振動(dòng)系統(tǒng)確定了振幅以后表述振動(dòng)的關(guān)鍵就是相位即表達(dá)式中的余弦函數(shù)的綜量而旋轉(zhuǎn)矢量圖可直觀地顯示該綜量分析解析式可知用圖代替了文字的敘述21如文字?jǐn)⑹稣f(shuō)t時(shí)刻彈簧振子質(zhì)點(diǎn)

在正的端點(diǎn)旋矢與軸夾角為零質(zhì)點(diǎn)經(jīng)二分之一振幅處向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)意味意味<22質(zhì)點(diǎn)過(guò)平衡位置向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)同樣<0向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)<0<0注意到：23向正方向運(yùn)動(dòng)或>0>0或>0>向正向運(yùn)動(dòng)24由圖看出：速度超前位移加速度超前速度稱兩振動(dòng)同相2）方便地比較振動(dòng)步調(diào)位移與加速度稱兩振動(dòng)反相若25§2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成一、同方向同頻率諧振動(dòng)的合成二、同方向不同頻率諧振動(dòng)的合成拍三、兩個(gè)垂直方向諧振動(dòng)的合成利薩如圖形四、諧振分析26當(dāng)一個(gè)物體同時(shí)參與幾個(gè)諧振動(dòng)時(shí)就需考慮振動(dòng)的合成問(wèn)題本節(jié)只討論滿足線性疊加的情況本節(jié)所討論的同頻率的諧振動(dòng)合成結(jié)果是波的干涉和偏振光干涉的重要基礎(chǔ)本節(jié)所討論的不同頻率的諧振動(dòng)合成結(jié)果可以給出重要的實(shí)際應(yīng)用276.2.1、振動(dòng)方向相同振動(dòng)頻率相同的兩個(gè)SHV的合成線性疊加結(jié)果：仍是諧振動(dòng)振動(dòng)頻率仍是

振動(dòng)的振幅（雙光束干涉的理論基礎(chǔ)）28若反相合振動(dòng)減弱同相合振動(dòng)加強(qiáng)特殊結(jié)果：若若兩振動(dòng)同相兩振動(dòng)反相可能的最強(qiáng)振動(dòng)“振動(dòng)加振動(dòng)”不振動(dòng)296.2.2、振動(dòng)方向相同頻率略有差別的振幅相等的兩個(gè)SHV的合成拍分振動(dòng)：線性相加：結(jié)論：

合成已不再是諧振動(dòng)但考慮到

1

2可以用諧振動(dòng)表達(dá)式等效加深認(rèn)識(shí)30分析：<<則較隨時(shí)間變化緩慢將合成式寫成諧振動(dòng)形式31合振動(dòng)可看做是振幅緩變的諧振動(dòng)合成振動(dòng)如圖示表達(dá)式為32拍

合振動(dòng)的周期性的強(qiáng)弱變化叫做拍拍頻

單位時(shí)間內(nèi)合振動(dòng)加強(qiáng)或減弱的次數(shù)叫拍頻測(cè)未知頻率的一種方法由式得336.2.3、兩個(gè)垂直方向諧振動(dòng)的合成1.同頻率的諧振動(dòng)合成線性相加：軌跡方程是橢圓即合成的一般結(jié)果是橢圓34不同橢圓形狀、旋向也不同

=

=3

/2

=5

/4

=7

/4

=

/2

=

/4P··Q

=0yx

=3

/4（-3

/4）（-

/2）（-

/4）352.頻率比是簡(jiǎn)單的正整數(shù)合成軌跡為穩(wěn)定的閉合曲線—利薩如圖yxA1A20-A2-A1例如左圖：應(yīng)用：測(cè)定未知頻率36四、諧振分析利用付里葉分解可將任意振動(dòng)分解成若干SHV的疊加(合成的逆運(yùn)算）對(duì)周期性振動(dòng)：

T—周期k=1基頻（

） k=2二次諧頻（2

） k=3三次諧頻（3

）

決定音調(diào)決定音色高次諧頻37共振(簡(jiǎn)諧振動(dòng)）振動(dòng)受迫振動(dòng)自由振動(dòng)阻尼自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由非諧振動(dòng)無(wú)阻尼自由諧振動(dòng)振動(dòng)的形式:38§3阻尼振動(dòng)與受迫振動(dòng)一、阻尼振動(dòng)二、受迫振動(dòng)三、共振39一、阻尼振動(dòng)1.阻尼振動(dòng)系統(tǒng)在振動(dòng)過(guò)程中受到粘性阻力作用后能量將隨時(shí)間逐漸衰減系統(tǒng)受的粘性阻力與速率成正比比例系數(shù)

叫阻力系數(shù)關(guān)系式為:40令稱阻尼因子系統(tǒng)固有頻率2.阻尼振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程由牛頓第二定律有整理得式中41如果無(wú)阻尼是諧振動(dòng)的形式存在阻尼仍振動(dòng)但能量會(huì)衰減如果能振動(dòng)起來(lái)（欠阻尼情況）上述方程的解是什么形式呢？從物理上考慮：阻尼振動(dòng)方程為3.振動(dòng)表達(dá)式42所以解的形式必定是在諧振動(dòng)的基礎(chǔ)上乘上一衰減因子即形式為：可以證明：43過(guò)阻尼臨界阻尼欠阻尼xt0三種阻尼振動(dòng)過(guò)阻尼：臨界阻尼：欠阻尼：44二、受迫振動(dòng)1.受迫振動(dòng)振動(dòng)系統(tǒng)在外界驅(qū)動(dòng)力的作用下維持等幅振動(dòng)2.受迫振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程設(shè)驅(qū)動(dòng)力按余弦規(guī)律變化即由牛頓第二定律有45整理得其中固有頻率阻尼因子463.穩(wěn)定狀態(tài)的振動(dòng)表達(dá)式受迫振動(dòng)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定時(shí)應(yīng)做與驅(qū)動(dòng)力頻率相同的諧振動(dòng)其表達(dá)式為：用旋矢法可求出上式的A和

4748畫任意時(shí)刻旋矢圖由旋矢圖可知：得驅(qū)動(dòng)力初相為零位移與驅(qū)動(dòng)力的相位差49在弱阻尼即

<<

0的情況下系統(tǒng)的振動(dòng)速度和振幅都達(dá)到最大值—共振當(dāng)

=

0時(shí)三、共振共振現(xiàn)象普遍有利有弊160年前拿破侖入侵西班牙橋塌幾十