專題二

本章重難點一、一元二次方程的定義及其根【例1】（2022·連云港）若關(guān)于x的一元二次方程mx2＋nx－1＝0（m≠0）的一個根是x＝1，則m＋n的值是______.1【對點訓(xùn)練】1.（2022·資陽）若a是一元二次方程x2＋2x－3＝0的一個根，則2a2＋4a的值是______.6二、根的判別式【例2】（2022·淮安）若關(guān)于x的一元二次方程x2－2x－k＝0沒有實數(shù)根，則k的值可以是()A.－2

B.－1C.0

D.1A

C三、根與系數(shù)的關(guān)系【例3】（2022·宜賓）已知m，n是一元二次方程x2＋2x－5＝0的兩個根，則m2＋mn＋2m的值為()A.0

B.－10

C.3

D.10A

四、一元二次方程的解法【例4】（2022·涼山州）解方程：x2－2x－3＝0.解：因式分解，得（x－3）（x＋1）＝0.∴x－3＝0或x＋1＝0.∴x1＝3，x2＝－1.【對點訓(xùn)練】4.（2022·齊齊哈爾）解方程：（2x＋3）2＝(3x＋2)2.解：開方，得2x＋3＝3x＋2或2x＋3＝－（3x＋2).∴x1＝1，x2＝－1.五、實際問題與一元二次方程【例5】（2022·眉山）建設(shè)美麗城市，改造老舊小區(qū).某市2019年投入資金1000萬元，2021年投入資金1440萬元，現(xiàn)假定每年投入資金的增長率相同.（1）求該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率；（2）2021年老舊小區(qū)改造的平均費用為每個80萬元.2022年為提高老舊小區(qū)品質(zhì)，每個小區(qū)改造費用增加15%.如果投入資金年增長率保持不變，求該市在2022年最多可以改造多少個老舊小區(qū)？解：（1）設(shè)該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率為x.依題意，得1000（1＋x）2＝1440.解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2（不合題意，舍去）.答：該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率為20%.

【對點訓(xùn)練】5.（2022·德州）如圖Z21－2－1，某小區(qū)矩形綠地的長、寬分別為35m，15m.現(xiàn)計劃對其進(jìn)行擴充，將綠地的長、寬增加相同的長度后，得到一個新的矩形綠地.（1）若擴充后的矩形綠地面積為800m2，求新的矩形綠地的長與寬；（2）擴充后，實地測量發(fā)現(xiàn)新的矩形綠地的長、寬之比為5∶3.求新的矩形綠地面積.解：（1）設(shè)將綠地的長、寬增加xm，則新的矩形綠地的長為（35＋x）m，寬為（15＋x）m.根據(jù)題意，得（35＋x）（15＋x）＝800.整理，得x2＋50x－275＝0.解得x1＝5，x2＝－55（不合題意，舍去）.∴35＋x＝35＋5＝40，15＋x＝15＋5＝20.答：新的矩形綠地的長為40m，寬為20m.（2）設(shè)將綠地的長、寬增加ym，則新的矩形綠地的長為（35＋y）m，寬為（15＋y）m.根據(jù)題意，得（35＋y）∶（15＋y）＝5∶3,即3（35＋y）＝5（15＋y）.