重難點27對角互補半角模型第131天直角相對證全等1.在正方形中,點為線段上的動點,點為線段上的動點,連接,作交直線于點.(1)如圖(1),當(dāng)點與線段的中點重合時,三條線段之間的數(shù)量關(guān)系為(2)如圖(2),點在的延長線上,且,點分別在線段的延長線和線段的延長線上,請寫出三條線段之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;(3)點在線段上,若正方形的邊長為,當(dāng)時,請直接寫出的長.1.解:關(guān)系可不是看出來的,而是一點一點證出來的,是嗎,大兄弟們.但是這個關(guān)系,小鹿感覺與有關(guān),你不會以為我有第六感吧!;(2);理由如下:如解圖(1),過點作,交的延長線于點,在正方形中,為對角線,則,∴為等腰直角三角形,,∵,∵,∴,在等腰中,,即,又∵，∴.(3)親愛的你們可以直接輸出答案,但小鹿可不行,小鹿還是要準(zhǔn)備解析過程.的長為2或.【解法提示】(1)如解圖（2),當(dāng)點在邊上,時,連接交于點,過點作交于點正方形邊長為,又在中,為等腰直角三角形,∴,由可得;(2)如解圖(3),當(dāng)點在延長線上,時,連接交于點,過點作交于點正方形邊長為6,由1得,為等腰直角三角形,∴,由可得.第132天角平分線最關(guān)鍵2.已知是等邊三角形,點是的中點,點在射線上,點在射線上,.(1)如圖(1),若點與點重合,求證:;(2)如圖(2),若點在線段上,點在線段上,探究線段之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;(3)若,求的度數(shù).2.(1)證明:出題人怎么舍得多給條件呢,但凡給出的,都有用武之地.∵為等邊三角形,.∵點為的中點,∴平分,∴.∵,∴;(2)解:說起探究題,有沒有很興奮,從已知一點點推出結(jié)論,這種成就感，十個饅頭都不換.;證明如下:如解圖(1),過點作,交于點,∵為等邊三角形,∴.∵∴,∴,∴是等邊三角形,∴.∵點為的中點,∴.∵,∴,∴.∵,∴,∴,∴.∵為的中位線,∴,∴;(3)①當(dāng)點在的延長線上時,如解圖(2),在上截取,連接,過點作于點,∵是等邊三角形,點是的中點,∴.∵∴SAS,∴.∵.∵∴.∵,∴在中,,∵∴∴,∴;(2)當(dāng)點在的延長線上時,如解圖③,在上截取,連接,過點作于點,同理:,∴.綜上所述,的度數(shù)為或.愛笑的少年,運氣總不會太差,這不就完勝.歐耶.第133天套路好用不嫌陋3.四邊形為正方形,點分別是上的動點,.(1)如圖(1),點分別在正方形的邊上,把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至,使與重合,求線段和之間的數(shù)量關(guān)系;(2)如圖(2),點分別在正方形的邊的延長線上,,試猜想(1)中的結(jié)論是否仍然成立,若成立,請寫出證明過程;若不成立,請說明理由.3.解：(1)無論怎么旋轉(zhuǎn),總能一眼看透,沒辦法,愛的多一點的一方總這樣.∵把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至,使與重合,∴,∵,∴三點共線.∵,∴,∴,即.∵,∴,∵即;(2)不成立,.太帥了,墻都不服,就服敢于說的,愛了愛了.理由如下:把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至,使與重合,則在上,由旋轉(zhuǎn)得:.∵.∵,∴.∵∴,∴.即.第134天等邊半角常相遇4.(1)如圖,在等腰中,,以為邊向下方作等邊,點分別是邊上的動點,且.(1)試判斷之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;(2)試判斷當(dāng)點的位置變化時,的周長是否發(fā)生變化,若變化,試說明怎么變化;若不發(fā)生變化,請直接寫出的周長.(2)在的條件下,以為邊向上方作等邊,點分別是邊上的動點,且,當(dāng)是直角三角形時,請求出的長度.4.解:(1)(1);理由如下:沒有條件,就要創(chuàng)造條件,路是自己一腳一腳踏出來的.小鹿掐指一算,肯定要用旋轉(zhuǎn)了,如解圖(1),將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得.∵,∴.∵是等邊三角形,∴∴,∴三點共線.∵,∴∴.∵,∴,∴.∵,∴;(2)當(dāng)點的位置發(fā)生變化時,的周長不發(fā)生變化,恒為12;(2)此路是我開,此樹是我栽,要想過此路,請看。如解圖(2),分別延長,交于點,交于點為等腰三角形,,為等邊三角形,∴.將繞點順時針旋轉(zhuǎn),得到,則,∵,∴,∴,∴.∵,∴的周長(1)當(dāng)時,,設(shè),則,∵的周長為6,∴,解得;(2)當(dāng)時,,設(shè),則,∵的周長為6,∴,解得.綜上所述,的長為或.第135天總結(jié)劃歸半角型5.在四邊形中,,點是線段上的點,(1)如圖(1),當(dāng)點在線段上時,試探究線段之間的數(shù)量關(guān)系;(2)如圖(2),旋轉(zhuǎn)到使得點在的延長線上時,(1)中的結(jié)論是否依然成立?若成立說明理由;若不成立,試寫出相應(yīng)的結(jié)論并給出你的證明.5.解:(1)本周似乎和作圖杠上了,別虛,小鹿想起了一種秒招,延長線段,使相等,這個輔助線是不是似曾相識呢!;如解圖(1),延長到點.使,連接,∵,∴.∵,∴SAS,∴.∵,∴,∴.∵,∴.∵,即;(2)結(jié)論不成立,結(jié)論:.理由如下:如解圖（2),在上截取,使,連接.∵,∴.∵,∴SAS.∴.∴.∵,∴.∵,∴,∵綜合強化訓(xùn)練271.如圖,在等邊中,點為邊上兩點.當(dāng)時,的長為（）A.2B.C.D.41.這個題的圖很有特點,讓小鹿給你們娓娓道來.C【解析】如解圖,在等邊三角形中,∵,接下來,可以將沿折疊得,將沿折疊得,過點作交的延長線于點,∴在中,.2.如圖,在四邊形中,平分,過點作,垂足為點,則四邊形的周長是（）A.24B.28C.30D.322.小鹿又來了，我的小伙伴角平分線也來了,怎么作輔助線,就無需我多言了吧.【解析】如解圖,過點作交延長線于點平分(四邊形內(nèi)角和等于.又∵.在和中,∵.設(shè),則,所以四邊形的周長.3.如圖,在中,,點在線段上,點在線段的延長線上,,則的面積為（）A.6B.9C.12D.153.B【解析】在求面積的道路上,越走越順,直接作全等三角形,怎么樣,很少見吧,快記下來.如解圖,作,且截取,連接,又∵,又∵在中,,∴的面積.4.如圖,在四邊形中,,在直線上分別找一點,使得的周長最小時,則的度數(shù)為.4.這里,輔助線的作法很重要,對稱常常這樣子.【解析】如解圖,作關(guān)于和的對稱點,連接,交于點,交于點,則即為的周長最小值.作延長線,且2(.5.如圖,在等邊中,,點為的中點,點在邊上,點在的延長線上,且,過點作于點,若,則.5.【解析】題目已知條件要好好利用起來.等邊,中點,貌似又回到了起點,角平分線輔助線作法,不會還沒明白吧.作于點是等邊三角形,∴是的中點,∴,∴,∴,∴.6.(1)證明:∵四邊形是正方形,∴,∴.∵于點,∴,∴.∵線段是由線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到的,∴;(2)解:過點作于點.自己動手,豐衣足食.由題意得.∵.∵∴.∵在正方形中,,∴.又:∵是等腰直角三角形,∴;(3)解:正經(jīng)點,戰(zhàn)爭馬上就要開始了,這是一場沒有硝煙的戰(zhàn)得.在正方形中,,∴,∵于點,∴,∴.-線段是由線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到的,∴.∵旋轉(zhuǎn)角度,即,∴.∴.-線段是由線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到的,∴.∵旋轉(zhuǎn)角度,即,∴.∵,四邊形是正方形,∴,在中,,根據(jù)勾股定理得,∴6.如圖,已知四邊形是正方形,點分別在射線上,連接且,垂足為點,將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn),得到線段,連接.(1)如圖①,當(dāng)點在線段上,時,連接,求證:;(2)如圖②,在(1)的條件下,求的度數(shù);(3)如圖③,當(dāng)點在的延長線上,時,連接,若,求線段的長.(1)證明四邊形ABCD是正方形，于點，,∴線段FG是由線段AF繞點F順時針旋轉(zhuǎn)得到的，；（2）解：過點G作于點P.自己動