河南科技大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院第五章統(tǒng)計(jì)特征值第一節(jié)平均指標(biāo)的概念及作用第二節(jié)算術(shù)平均數(shù)第三節(jié)調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)第四節(jié)眾數(shù)和中位數(shù)第五節(jié)標(biāo)志變異指標(biāo)第一節(jié)平均指標(biāo)的概念及作用

一、平均指標(biāo)的含義

反映同質(zhì)總體內(nèi)各單位某一數(shù)量標(biāo)志值一般水平的綜合指標(biāo)，即反映現(xiàn)象某一數(shù)量標(biāo)志值的集中趨勢值，稱為平均指標(biāo)，或均值。

二、平均指標(biāo)的特點(diǎn)

1.只有同質(zhì)總體才可計(jì)算平均指標(biāo)。

2.平均指標(biāo)是質(zhì)量指標(biāo)。

3.平均指標(biāo)是總體一般水平的代表值。4、分析現(xiàn)象之間的依存關(guān)系。5、作為某些科學(xué)預(yù)測、決策和推算的依據(jù)。三、平均指標(biāo)的作用

統(tǒng)計(jì)平均數(shù)具有重要作用，主要體現(xiàn)在以下幾點(diǎn)：1、反映總體各變量分布的集中趨勢和一般水平。2、便于比較同類現(xiàn)象在不同單位間的發(fā)展水平。3、能夠比較同類現(xiàn)象在不同時(shí)間的發(fā)展變化趨勢或規(guī)律。

例2：某廠金工車間20名工人加工某種零件的產(chǎn)量資料如下：

20名工人零件生產(chǎn)數(shù)量分組資料產(chǎn)量（件）人數(shù)（人）總產(chǎn)量（件）14151617182485128601288518合計(jì)203192、位置平均數(shù)：根據(jù)標(biāo)志值某一特點(diǎn)位置來確定的平均數(shù)。它不是對統(tǒng)計(jì)數(shù)列中所有各項(xiàng)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算所得的結(jié)果，而是根據(jù)數(shù)列中處于特殊位置上的個(gè)別單位或部分單位的標(biāo)志值來確定的。四平均數(shù)的分類

平均數(shù)根據(jù)其具體的代表意義和計(jì)算方式不同，可分為：1、數(shù)值平均數(shù)：是以統(tǒng)計(jì)數(shù)列的所有各項(xiàng)數(shù)據(jù)來計(jì)算的平均數(shù)。其特點(diǎn)是統(tǒng)計(jì)數(shù)列中任何一項(xiàng)數(shù)據(jù)的變動(dòng)，都會(huì)在一定程度上影響數(shù)值平均數(shù)的計(jì)算結(jié)果。眾數(shù)中位數(shù)平均數(shù)位置平均數(shù)數(shù)值平均數(shù)

算術(shù)平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù)從按考核內(nèi)容分

靜態(tài)平均數(shù)動(dòng)態(tài)平均數(shù)

總體單位總量：表示的是一個(gè)總體內(nèi)所包含的總體單位數(shù)。在上面計(jì)算公式中，總體標(biāo)志總量必須是總體各單位標(biāo)志值的總和，標(biāo)志值和單位之間存在一一對應(yīng)關(guān)系。一、含義：算術(shù)平均數(shù)是對總體各單位某一標(biāo)志值的平均，表明總體單位標(biāo)志值的一般水平?；居?jì)算公式是：

總體標(biāo)志總量/總體單位總量?？傮w標(biāo)志總量：

總體各單位某種數(shù)量標(biāo)志值的總和。第二節(jié)算術(shù)平均數(shù)二、算術(shù)平均數(shù)與強(qiáng)度相對指標(biāo)的區(qū)別1、概念不同。

強(qiáng)度相對數(shù)是兩個(gè)有聯(lián)系而性質(zhì)不同的總量指標(biāo)對比而形成相對數(shù)指標(biāo)。算術(shù)平均數(shù)是反映同質(zhì)總體單位標(biāo)志值一般水平的指標(biāo)。

2、主要作用不同。

強(qiáng)度相對數(shù)反映兩不同總體現(xiàn)象形成的密度、強(qiáng)度、普遍程度。算術(shù)平均數(shù)反映同一現(xiàn)象在同一總體中的一般水平。

3、計(jì)算公式及內(nèi)容不同。

算術(shù)平均數(shù)分子、分母分別是同一總體的標(biāo)志總量和總體單位數(shù)，分子、分母的元素具有一一對應(yīng)的關(guān)系，即分母每一個(gè)總體單位都在分子可找到與之對應(yīng)的標(biāo)志值，反之，分子每一個(gè)標(biāo)志值都可以在分母中找到與之對應(yīng)的總體單位。而強(qiáng)度相對數(shù)是兩個(gè)總體現(xiàn)象之比，分子分母沒有一一對應(yīng)關(guān)系。公式中，二、算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算計(jì)算算術(shù)平均數(shù)有兩種形式：（1）簡單算術(shù)平均數(shù)

適用于未分組資料，用總體各單位標(biāo)志值加總得到標(biāo)志總量除以總體單位總量而得。計(jì)算公式為：代表算術(shù)平均數(shù)。

表示各單位標(biāo)志值。

表示總體單位數(shù)。

例1：應(yīng)用條件：資料未分組，各組出現(xiàn)的次數(shù)都是1。5名學(xué)生的學(xué)習(xí)成績分別為：75、91、64、53、82。則平均成績?yōu)椋海?）加權(quán)算術(shù)平均數(shù)

①根據(jù)單項(xiàng)數(shù)列計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)計(jì)算公式：

X代表分組變量，f代表每組的次數(shù)應(yīng)用條件：單項(xiàng)式分組，各組次數(shù)不同。例:某車間20名工人加工某種零件資料：

按日產(chǎn)量分組（件）x工人數(shù)（人）f日產(chǎn)總量xf14228154601681281758518118

合計(jì)20319②根據(jù)組距數(shù)列計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)X代表每組的組中值f代表每組次數(shù)計(jì)算結(jié)果為近似值。應(yīng)用條件：組距式分組，各組次數(shù)不同。按日產(chǎn)量分組（公斤）工人數(shù)f組中值x日產(chǎn)總量xf20—30102525030—407035245040—509045415050—6030551650合計(jì)200

—8400例：某車間200名工人日產(chǎn)量資料：

權(quán)數(shù)在平均數(shù)中的權(quán)衡輕重的作用，是直接通過各組單位數(shù)占總體單位數(shù)的比重，也就是各組的頻率－相對數(shù)的大小體現(xiàn)出來的。頻率的大2、權(quán)數(shù)（1）概念

對平均數(shù)的大小起著權(quán)衡輕重的作用。平均數(shù)總是趨向于出現(xiàn)次數(shù)最多的哪個(gè)標(biāo)志值。（2）權(quán)數(shù)的表現(xiàn)形式絕對數(shù)形式相對數(shù)形式（3）權(quán)數(shù)的作用

當(dāng)各組的次數(shù)都相同時(shí)，各標(biāo)志值對平均數(shù)的影響都相同時(shí)，那就無所謂權(quán)數(shù)的“權(quán)衡輕重”了。在這種情況下，加權(quán)算術(shù)平均數(shù)就等小體現(xiàn)出來的。頻率的大小就直接表明了該組標(biāo)志值在平均數(shù)中占據(jù)的地位，頻率越大，該標(biāo)志值計(jì)入平均數(shù)的份額也越大，對平均數(shù)的影響就越大；反之，頻率越小，該標(biāo)志值計(jì)入平均數(shù)的份額就越小，對平均數(shù)的影響就越小，這就是權(quán)數(shù)權(quán)衡輕重作用的實(shí)質(zhì)。

（4）權(quán)數(shù)不起作用的場合可以說，簡單算術(shù)平均數(shù)實(shí)際上是加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的特例。于簡單算術(shù)平均數(shù)。即當(dāng)時(shí)，（5）由比重權(quán)數(shù)計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)例1：按日產(chǎn)量分組（公斤）人數(shù)比重（%）組中值x20—3052530—40353540—50454550—601555應(yīng)用條件：已知的是比重權(quán)數(shù)（次數(shù)是比重）公式：算術(shù)平均數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算簡單，涵義明確。缺點(diǎn)：易受極端值的影響，若出現(xiàn)極端值，其代表性將減弱，若為開口組，其代表性將更弱3、是非標(biāo)志的平均數(shù)

是非標(biāo)志:也稱交替標(biāo)志，當(dāng)總體單位某種品質(zhì)標(biāo)志的具體表現(xiàn)為“是”與“非”或“有”與“無”兩種情況時(shí)，這種品質(zhì)標(biāo)志就稱為是非標(biāo)志。

是非標(biāo)志x單位數(shù)f比重

1

0

合計(jì)N1

平均數(shù)的計(jì)算：把具有某種特征的用“1”表示，不具有該種特征的用“0”表示。

例：某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品合格率為95%，不合格率為5%，求是非標(biāo)志平均數(shù)。4、算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)（2）各個(gè)變量值與其平均數(shù)離差平方之和為最小值（1）各個(gè)變量值與其平均數(shù)離差之和等于零

（3）給每個(gè)變量值增加或減少一個(gè)任意數(shù)A，則算術(shù)平均數(shù)也相應(yīng)增增加或減少這個(gè)任意數(shù)A。（4）給每個(gè)變量值乘以或除以一個(gè)任意數(shù)A，則算術(shù)平均數(shù)也相應(yīng)擴(kuò)大或縮小A倍。第三節(jié)

調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)一、調(diào)和平均數(shù)（H）

是社會(huì)經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)中常用的另一種平均指標(biāo)，它是標(biāo)志值的倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，所以又稱倒數(shù)平均數(shù)。與算術(shù)平均數(shù)一樣，調(diào)和平均數(shù)有簡單調(diào)和平均數(shù)和加權(quán)調(diào)和平均數(shù)兩種。應(yīng)用條件：資料未分組，各個(gè)變量值次數(shù)都是1。

計(jì)算公式:1、簡單調(diào)和平均數(shù)例：有一種蔬菜，早晨的價(jià)格每千克0.5元，中午0.2元，晚上0.1元。如果早、中、晚各買1元錢的蔬菜，則當(dāng)天所買的蔬菜平均價(jià)格是多少？

以公式表示2、加權(quán)調(diào)和平均數(shù)計(jì)算公式：M代表每一組的權(quán)數(shù)，x代表每組的變量值。應(yīng)用條件：資料經(jīng)過分組，各組次數(shù)不同。

例某化工廠2007年10月購進(jìn)三批A原料，每批的價(jià)格及金額如下：求原料的平均購入價(jià)格？批次價(jià)格（元/公斤）x金額（元）m購進(jìn)數(shù)量（公斤）m/x第一批第二批第三批505560110002750018000220500300合計(jì)—565001020A原料的購入價(jià)格和金額資料

實(shí)際中，調(diào)和平均數(shù)常用來作為算術(shù)平均數(shù)的變形使用(m=xf），若缺乏總體單位數(shù)資料時(shí)，就需要采用其變形形式的調(diào)和平均數(shù)公式。二者在本質(zhì)上是相同的，唯一的區(qū)別是計(jì)算時(shí)使用了不同的數(shù)據(jù)。3、由相對數(shù)或平均數(shù)計(jì)算平均數(shù)

一般原則：根據(jù)算術(shù)平均數(shù)的基本公式，如果掌握了基本公式的分母資料，缺少分子資料，應(yīng)以分母資料作權(quán)數(shù)，采用加權(quán)算術(shù)平均法；如果掌握了基本公式的分子資料，缺少分母資料，應(yīng)以分子資料作權(quán)數(shù)，采用加權(quán)調(diào)和平均法。班組平均勞動(dòng)生產(chǎn)率x實(shí)際工時(shí)產(chǎn)品產(chǎn)量(件)m

一101001000

二122002400

三153004500

四203006000

五302006000合計(jì)

—110019900例：若已知產(chǎn)品產(chǎn)量和平均勞動(dòng)生產(chǎn)率班組平均勞動(dòng)生產(chǎn)率x實(shí)際工時(shí)f產(chǎn)品產(chǎn)量(件)xf

一101001000

二122002400

三153004500

四203006000

五302006000合計(jì)

—110019900例：若已知實(shí)際工時(shí)和平均勞動(dòng)生產(chǎn)率例：某局所屬的三個(gè)企業(yè)的資料：

企業(yè)產(chǎn)值計(jì)劃完成%x計(jì)劃產(chǎn)值（萬元）f實(shí)際產(chǎn)值（萬元）xf

甲95300285

乙105900945

丙115300345

合計(jì)

—15001575

是另一種形式的平均數(shù)，是N個(gè)變量值連乘積的N次方根。主要用于計(jì)算平均比率和平均速度。幾何平均數(shù)也有簡單幾何平均數(shù)和加權(quán)幾何平均數(shù)兩種。

三、幾何平均數(shù)（G）1、簡單幾何平均數(shù)車間投入量產(chǎn)出量合格率

%x

一100080080

二80072090

三72050470例：某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品需經(jīng)過三個(gè)連續(xù)作業(yè)車間才能完成。應(yīng)用條件：資料未分組（各變量值次數(shù)都是1）。計(jì)算公式：2、加權(quán)幾何平均數(shù)計(jì)算公式：應(yīng)用條件：資料經(jīng)過分組，各組次數(shù)不同。年份累計(jì)存款額本利率%第1年105%第2年105%第3年108%………第10年112%

例：將一筆錢存入銀行，存期10年，以復(fù)利計(jì)息，10年的利率分配是第1年至第2年為5%、第3年至5年為8%、第6年至第8年為10%、第9年至第10年12%，計(jì)算平均年利率設(shè)本金為本利率x年數(shù)f105%2108%3110%3112%2

合計(jì)10平均年利率=8.77%分析：若銀行利率按單利計(jì)算，平均年利率如何計(jì)算？一、眾數(shù)

1、眾數(shù)的含義：

總體中出現(xiàn)次數(shù)最多、頻率最高的標(biāo)志值。用以代表現(xiàn)象的一般水平。第四節(jié)眾數(shù)和中位數(shù)

2.特點(diǎn)

眾數(shù)可以有多個(gè)。品質(zhì)標(biāo)志也可以計(jì)算眾數(shù)

2、確定眾數(shù)的方法。（1）單項(xiàng)數(shù)列確定眾數(shù)

出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值即為眾數(shù)。

按日產(chǎn)量分組（件）工人數(shù)（人）2015213022202310（2）由組距數(shù)列確定眾數(shù)

首先要根據(jù)各組次數(shù)確定眾數(shù)所在的組

然后利用下列公式計(jì)算眾數(shù)。1、計(jì)算公式：

上述公式通常只用于等距數(shù)列或者至少變量數(shù)列中間頻數(shù)最多的幾個(gè)組應(yīng)該是等距的，否則，隨著組距的變化，眾數(shù)組和眾數(shù)都有可能發(fā)生變化，公式的結(jié)果就會(huì)因人而異，失去客觀的意義。例：年人均純收入（千元）農(nóng)戶數(shù)（戶）5以下2405—64806—711007—87008—93209以上160合計(jì)3000農(nóng)戶年人均收入眾數(shù)計(jì)算表分析：眾數(shù)的概念通俗易懂，它又不受極端值的影響，比較穩(wěn)定，所以在不少場合要用眾數(shù)來反映研究對象最常用的標(biāo)志值。由于眾數(shù)僅僅是研究總體中的一部分總體單位的標(biāo)志值，不同于前面所說的平均數(shù)，在一般情況下，它不宜于用來推算總體，同時(shí)，當(dāng)各個(gè)總體單位的標(biāo)志值很少相同或無明顯集中趨勢時(shí)，眾數(shù)對總體就缺乏代表性。二、中位數(shù)1、中位數(shù)的含義：

將總體各單位按其標(biāo)志值大小順序排列起來居于中間位置的那個(gè)數(shù)就是中位數(shù)。2、確定中位數(shù)的方法①標(biāo)志值的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，中位數(shù)就是處在第（n+1）/2項(xiàng)位置的標(biāo)志值。（1）由未分組資料確定中位數(shù)

例：7名工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品，日產(chǎn)量（件）分別為4、6、6、8、9、12、14。位于中間位置的第四名工人的日產(chǎn)量8件為中位數(shù)。

上例增加為8名工人，日產(chǎn)量為4、6、6、8、9、12、13、14。中位數(shù)為②標(biāo)志值的個(gè)數(shù)是偶數(shù)

數(shù)列中有兩個(gè)居中的標(biāo)志值，中位數(shù)是這兩個(gè)標(biāo)志值的簡單算術(shù)平均數(shù)。

）。其位置在第四和第五名中間（，（2）由單項(xiàng)數(shù)列確定中位數(shù)，

對各組次數(shù)順序做累計(jì)，確定最中間變量值所在的組，與此對應(yīng)的標(biāo)志值即為中位數(shù)。

例：中位數(shù)為第40名和41名日產(chǎn)量的平均值[]

按日產(chǎn)量分組（件）x工人數(shù)（人）f累計(jì)次數(shù)向上累計(jì)向下累計(jì)20101080221525702430555526258025合計(jì)80——（3）由組距數(shù)列確定中位數(shù)計(jì)算公式例年人均純收入（千元）農(nóng)戶數(shù)（戶）向上累計(jì)次數(shù)5以下2402405—64807206—7110018207—870025208—932028409以上1603000合計(jì)3000—(1)計(jì)算累計(jì)次數(shù)(2)確定中位數(shù)組(6—7)(3)根據(jù)中位數(shù)計(jì)算公式計(jì)算中位數(shù)中位數(shù)位次：

分析：當(dāng)現(xiàn)象總體中有異常值(極大值或極小值)時(shí),宜于計(jì)算和應(yīng)用中位數(shù),因?yàn)樗鼈兛梢韵龢O值的影響,比算術(shù)平均數(shù)更能代表總體的一般水平。三、眾數(shù)、中位數(shù)、和算術(shù)平均數(shù)和的關(guān)系對稱分布左偏分布右偏分布

眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)數(shù)量關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式為：算術(shù)平均數(shù)和眾數(shù)的距離約等于算術(shù)平均數(shù)與中位數(shù)距離的三倍：四、各類數(shù)值平均數(shù)的比較（一）區(qū)別

1.應(yīng)用范圍不同

2.對資料要求不同（二）聯(lián)系按同一資料計(jì)算的數(shù)值平均數(shù)有如下關(guān)系

調(diào)和平均數(shù)≤幾何平均數(shù)≤算術(shù)平均數(shù)五、數(shù)值平均數(shù)與位置平均數(shù)的比較（一）共同點(diǎn)：都用來代表總體的一般水平或分布的集中趨勢。（二）異同點(diǎn)：

1.數(shù)值平均數(shù)對數(shù)據(jù)的概括能力強(qiáng)。位置平均數(shù)對數(shù)據(jù)的概括能力弱。2.數(shù)值平均數(shù)對于數(shù)據(jù)變化的靈敏度高，對極端值的耐抗性差。位置平均數(shù)對于數(shù)據(jù)變化的靈敏度低，對極端值的耐抗性較強(qiáng)。六、正確應(yīng)用平均指標(biāo)時(shí)的原則（一）計(jì)算平均指標(biāo)的社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象必須是同質(zhì)的。（二）用組平均數(shù)補(bǔ)充說明總平均數(shù)。（三）統(tǒng)計(jì)平均數(shù)與變量數(shù)列和典型事例相結(jié)合。（四）平均指標(biāo)與標(biāo)志變異指標(biāo)結(jié)合應(yīng)用。例：某鄉(xiāng)甲、乙兩個(gè)村的糧食生產(chǎn)情況如下：按耕地自然條件分組甲村乙村平均畝產(chǎn)（千克/畝）糧食產(chǎn)量（千克）平均畝產(chǎn)（千克/畝）播種面積（畝）山地丘陵地平原地100150400250001500005000001502004501250500750試分別計(jì)算甲、乙兩個(gè)村的平均畝產(chǎn)。根據(jù)表列資料及計(jì)算結(jié)果，比較分析哪一個(gè)村的生產(chǎn)經(jīng)營管理工作做得好，并簡述作出這一結(jié)論的理由。平均畝產(chǎn)=糧食總產(chǎn)量/播種面積甲：缺分母資料，用加權(quán)調(diào)和平均數(shù)，乙：缺分子資料，用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)，

第五節(jié)標(biāo)志變異指標(biāo)

一、變異指標(biāo)的含義及作用

常見的變異指標(biāo)有：極差、平均差、標(biāo)準(zhǔn)差、方差和變異系數(shù)。

（一）、含義變異指標(biāo)是用來反映總體分布的離散程度或變異狀況的指標(biāo)。變異指標(biāo)越大，表明總體各單位標(biāo)志值的變異程度越大。它是反映總體各標(biāo)志值間差異程度的,且能衡量總體平均數(shù)的代表性。2、反映社會(huì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的均衡性。（二）、變異指標(biāo)的作用1、用于衡量平均指標(biāo)的代表性。3、研究總體標(biāo)志值分布偏離正態(tài)的情況。4、可以反映社會(huì)生產(chǎn)和其它經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的均衡性質(zhì)性和穩(wěn)定性。5、標(biāo)志變異指標(biāo)是科學(xué)地確定必要抽樣單位數(shù)應(yīng)考慮的因素。例某班兩個(gè)小組學(xué)生的英語考試成績?nèi)缦拢旱谝唤M：50，70，80，90，95。第二組：70，72，75，83，85。分析；這兩個(gè)小組的平均考試成績都是77分，但各組同學(xué)的考試成績的變異程度不同。很顯然第一組各個(gè)同學(xué)分?jǐn)?shù)之間的差異要大于第二組，即標(biāo)志變異程度大，因此第二小組的平均數(shù)77分比第一小組平均數(shù)77分的代表性高。

極差是指在總體各單位標(biāo)志值中，最大標(biāo)志值與最小標(biāo)志值的差額，也稱全距，用R表示。二、極差

例：5名學(xué)生的成績?yōu)?0、69、76、88、97則R=97-50=47公式：

R=最大值—最小值如果為組距數(shù)列，則極差通過下式計(jì)算，極差=最高組的上限—最低組的下限但計(jì)算結(jié)果為近似值。優(yōu)點(diǎn)：是描述數(shù)據(jù)離散程度最簡單的測度值，計(jì)算簡單，易于理解。在實(shí)際工作中適用于度量變化比較穩(wěn)定的現(xiàn)象的離中趨勢，常用于檢查工業(yè)產(chǎn)品質(zhì)量。缺點(diǎn)：

易受極端值的影響只反映兩個(gè)極端變量值的差距，未考慮中間數(shù)據(jù)的變異情況。對于開口組則無法計(jì)算，不能準(zhǔn)確描述數(shù)據(jù)的離散程度值

總體各單位的標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)離差絕對值的算術(shù)平均數(shù)。根據(jù)掌握的資料不同，計(jì)算可分為簡單和加權(quán)兩種。

1.簡單平均式——在資料未分組或變量數(shù)列的次數(shù)完全相等時(shí)采用三、平均差

2.加權(quán)平均式當(dāng)掌握的資料是經(jīng)過加工整理的分布數(shù)列，應(yīng)采用加權(quán)平均式。

如果是單項(xiàng)式數(shù)列，X是每一組的變量值，如果是組距數(shù)列，X是每一組的組中值。

例

某地大學(xué)生2002年消費(fèi)情況計(jì)算人月消費(fèi)額的平均差（算術(shù)平均數(shù)458元）月消費(fèi)額（元）組中值x人數(shù)f300以下300~400400~500500~600600~700700以上2503504505506507508018043022070202081088921922921664019440344020420134405840合計(jì)——1000——79040四、方差與標(biāo)準(zhǔn)差方差：各變量值與其均值離差平方的平均數(shù)。（一）數(shù)量標(biāo)志的方差與標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差：。是總體各單位的標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)離差平方的算術(shù)平均數(shù)的平方根，是方差的平方根，也稱均方差1、數(shù)量標(biāo)志的方差與標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算，其計(jì)算公式為：資料未分組：資料已分組：例：日產(chǎn)量（件）209221230241269合計(jì)20例：日產(chǎn)量（公斤）工人數(shù)f組中值x20—301025288030—407035343040—50904581050—6030555070合計(jì)200—12190

（1）變量的方差等于變量平方的平均數(shù)減去變量平均數(shù)的平方。2、方差與標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)學(xué)性質(zhì)即：

（2）變量對算術(shù)平均數(shù)的方差小于對任何常數(shù)的方差。

（3）n個(gè)同性質(zhì)獨(dú)立變量和的方差等于各個(gè)變量方差的和

（4）n個(gè)同性質(zhì)獨(dú)立變量平均數(shù)的方差等于各變量方差平均數(shù)的1/n。

（5）變量線性變換的方差等于變量的方差乘以變量系數(shù)的平方。（二）是非標(biāo)志的方差與標(biāo)準(zhǔn)差如前：是非標(biāo)志的平均數(shù)為P。標(biāo)志值x單位數(shù)f10合計(jì)N由于標(biāo)準(zhǔn)差有良好的數(shù)學(xué)性質(zhì)，相比較而言，它的應(yīng)用最為廣泛。

例：某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品合格率為95％，不合格率為5％，求是非標(biāo)志的方差及標(biāo)準(zhǔn)差。

五、標(biāo)志變異系數(shù)（離散系數(shù)）

為了消除變量值平均水平和計(jì)量單位不同對離散程度的測度值的影響，需要計(jì)算離散系數(shù)

離散系數(shù)通常是就標(biāo)準(zhǔn)差來計(jì)算的。標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)

離散系數(shù)大，說明數(shù)據(jù)的離散程度大，其平均數(shù)的代表性就差；離散系數(shù)小，說明數(shù)據(jù)的離散程度小，其平均數(shù)的代表性就大。銷售額標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)利潤額標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)

例：某公司下屬67家連鎖超市2002年平均銷售額為727.09萬元，銷售額標(biāo)準(zhǔn)差為65.44萬元；同期銷售利潤平均為87.28萬元，銷售利潤額標(biāo)準(zhǔn)差為12.64萬元。比較商品銷售額與銷售利潤的離散程度。甲品種乙品種田塊面積（畝）產(chǎn)量（公斤）田塊面積（畝）產(chǎn)量（公斤）1.26001.58401.14951.47701.04451.25400.95401.05200.84200.9450例兩種不同水稻品種，分別在5個(gè)田塊上試種，其產(chǎn)量如下：⑴分別計(jì)算兩品種的單位面積產(chǎn)量。⑵計(jì)算兩品種畝產(chǎn)量的標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)。⑶假定生產(chǎn)條件相同，確定哪一品種具有較大穩(wěn)定性，宜于推廣。故乙品種具有較大穩(wěn)定性，宜于推廣。

六、偏度與峰度（一）偏度

1.用以測定一個(gè)數(shù)列次數(shù)分布的非對稱程度的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。

變量數(shù)列的