高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)歸納

高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)歸納「篇一」

【(一)、映射、函數(shù)、反函數(shù)】

1、對(duì)應(yīng)、映射、函數(shù)三個(gè)概念既有共性又有區(qū)別，映射是一種特殊的對(duì)應(yīng)，

而函數(shù)又是一種特殊的映射。

2、對(duì)于函數(shù)的概念，應(yīng)注意如下幾點(diǎn)：

(1)掌握構(gòu)成函數(shù)的三要素，會(huì)判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)。

(2)掌握三種表示法一一列表法、解析法、圖象法，能根實(shí)際問題尋求變量間

的函數(shù)關(guān)系式，特別是會(huì)求分段函數(shù)的解析式。

(3)如果y二f(u),u二g(x),那么y=f[g(x)]叫做f和g的復(fù)合函數(shù)，其中g(shù)(x)

為內(nèi)函數(shù)，f(u)為外函數(shù)。

3、求函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)的一般步驟：

(1)確定原函數(shù)的值域，也就是反函數(shù)的定義域；

⑵由y=f(x)的解析式求出x=f-l(y);

⑶將x,y對(duì)換,得反函數(shù)的習(xí)慣表達(dá)式y(tǒng)=f-l(x),并注明定義域。

注意①：對(duì)于分段函數(shù)的反函數(shù)，先分別求出在各段上的反函數(shù)，然后再合并

到一起。

②熟悉的應(yīng)用，求fT(xO)的值，合理利用這個(gè)結(jié)論，可以避免求反函數(shù)的過

程，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算.

【(二)、函數(shù)的解析式與定義域】

1、函數(shù)及其定義域是不可分割的整體，沒有定義域的函數(shù)是不存在的，因

此，要正確地寫出函數(shù)的解析式，必須是在求出變量間的對(duì)應(yīng)法則的同時(shí)，求出函

數(shù)的定義域.求函數(shù)的定義域一般有三種類型：

(1)有時(shí)一個(gè)函數(shù)來自于一個(gè)實(shí)際問題，這時(shí)自變量x有實(shí)際意義，求定義域

要結(jié)合實(shí)際意義考慮；

(2)已知一個(gè)函數(shù)的解析式求其定義域，只要使解析式有意義即可.如：

①分式的分母不得為零；

②偶次方根的被開方數(shù)不小于零；

③對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零；

④指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1；

⑤三角函數(shù)中的正切函數(shù)尸tanx(x￡R,且k￡Z),余切函數(shù)y=cotx(x￡R,

xWkn,k￡Z)等。

應(yīng)注意，一個(gè)函數(shù)的解析式由幾部分組成時(shí)，定義域?yàn)楦鞑糠钟幸饬x的自變量

取值的公共部分(即交集)。

(3)已知一個(gè)函數(shù)的定義域，求另一個(gè)函數(shù)的定義域，主要考慮定義域的深刻

含義即可。

已知f(知的定義域是[a,b],求f[g(x)]的定義域是指滿足aWg(x)Wb的x

的取值范圍，而已知f[g(x)]的定義域[a,b]指的是x￡[a,b\此時(shí)f(x)的定義

域,即g(x)的值域。

2、求函數(shù)的解析式一般有四種情況

(1)根據(jù)某實(shí)際問題需建立一種函數(shù)關(guān)系時(shí)，必須引入合適的變量，根據(jù)數(shù)學(xué)

的有關(guān)知識(shí)尋求函數(shù)的解析式C

(2)有時(shí)題設(shè)給出函數(shù)特征，求函數(shù)的解析式，可采用待定系數(shù)法，比如函數(shù)是

一次函數(shù)，可設(shè)f(x)=ax+b(aWO),其中a,b為待定系數(shù)，根據(jù)題設(shè)條件，列出

方程組，求出a,b即可。

(3)若題設(shè)給出復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的表達(dá)式時(shí)，可用換元法求函數(shù)f(x)的表達(dá)

式，這時(shí)必須求出g(x)的值域，這相當(dāng)于求函數(shù)的定義域。

(4)若己知f(x)滿足某個(gè)等式，這個(gè)等式除f(x)是未知量外，還出現(xiàn)其他未知

量(如f(-x),等)，必須根據(jù)已知等式，再構(gòu)造其他等式組成方程組，利用解方程

組法求出f(x)的表達(dá)式。

[(三)、函數(shù)的值域與最值】

1、函數(shù)的值域取決于定義域和對(duì)應(yīng)法則，不論采用何種方法求函數(shù)值域都應(yīng)

先考慮其定義域，求函數(shù)值域常用方法如下：

(1)直接法：亦稱觀察法，對(duì)于結(jié)構(gòu)較為簡(jiǎn)單的函數(shù)，可由函數(shù)的解析式應(yīng)用

不等式的性質(zhì)，直接觀察得出函數(shù)的值域。

(2)換元法：運(yùn)用代數(shù)式或三角換元將所給的復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化成另一種簡(jiǎn)單函數(shù)

再求值域，若函數(shù)解析式中含有根式，當(dāng)根式里一次式時(shí)用代數(shù)換元，當(dāng)根式里是

二次式時(shí)，用三角換元。

(3)反函數(shù)法：利用函數(shù)f(x)與其反函數(shù)fT(x)的定義域和值域間的關(guān)系，通

過求反函數(shù)的定義域而得到原函數(shù)的值域，形如3W0)的函數(shù)值域可采用此法求

得。

(4)配方法：對(duì)于二次函數(shù)或二次函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域問題可考慮用配方

法。

(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b》［a,be(0,+8)］可以求某些函

數(shù)的值域，不過應(yīng)注意條件“一正二定三相等”有時(shí)需用到平方等技巧。

(6)判別式法：把y=f(x)變形為關(guān)于x的一元二次方程，利用“△》()”求值

域.其題型特征是解析式中含有根式或分式。

(7)利用函數(shù)的單調(diào)性求值域：當(dāng)能確定函數(shù)在其定義域上(或某個(gè)定義域的子

集上)的單調(diào)性，可采用單調(diào)性法求出函數(shù)的值域。

(8)數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)的值域：利用函數(shù)所表示的幾何意義，借助于幾何方法

或圖象，求出函數(shù)的值域，即以數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的值域6

2、求函數(shù)的最值與值域的區(qū)別和聯(lián)系

求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的，事實(shí)上，如果在

函數(shù)的值域中存在一個(gè)最小(大)數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值.因此求函數(shù)的

最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同，因而答題的方式就有所相

異。

如函數(shù)的值域是(0,16],值是16,無最小值.再如函數(shù)的值域是(-8,-

2]U[2,+8),但此函數(shù)無值和最小值，只有在改變函數(shù)定義域后，如x〉0時(shí)，函

數(shù)的最小值為2.可見定義域?qū)瘮?shù)的值域或最值的影響。

3、函數(shù)的最值在實(shí)際問題中的應(yīng)用

函數(shù)的最值的應(yīng)用主要體現(xiàn)在用函數(shù)知識(shí)求解實(shí)際問題上，從文字表述上常常

表現(xiàn)為“工程造價(jià)最低”，“利潤(rùn)”或“面積(體積)(最小)”等諸多現(xiàn)實(shí)問題上，

求解時(shí)要特別關(guān)注實(shí)際意義對(duì)自變量的制約，以便能正確求得最值。

【(四)、函數(shù)的奇偶性】

1、函數(shù)的奇偶性的定義：對(duì)于函數(shù)f(x),如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)

x,都有f(-x)hf(x)(或f(-x)寸(x)),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)(或偶函數(shù))。

正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，要注意兩點(diǎn)：(1)定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)

對(duì)稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件;(2)f(x)=f(x)或f(-x)=f(x)

是定義域上的恒等式.(奇偶性是函數(shù)定義域上的整體性質(zhì))。

2、奇偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)。為了便于判斷函數(shù)的奇偶

性，有時(shí)需要將函數(shù)化簡(jiǎn)或應(yīng)用定義的等價(jià)形式：

注意如下結(jié)論的運(yùn)用；

(1)不論不X)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，f(|x|)總是偶函數(shù);

(2)f(x)、g(x)分別是定義域DI、D2上的奇函數(shù)，那么在D1CW2上，

f(x)+g(x)是奇函數(shù),f(x)?g(x)是偶函數(shù),類似地有“奇士奇二奇”“奇X奇二

偶”，“偶土偶二偶”“偶X偶二偶”“奇X偶二奇”：

⑶奇偶函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的奇偶性通常是偶函數(shù);

⑷奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。

3、有關(guān)奇偶性的幾個(gè)性質(zhì)及結(jié)論

(1)一個(gè)函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;一個(gè)函數(shù)為偶函數(shù)

的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱。

(2)如要函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且函數(shù)值恒為零，那么它既是奇函數(shù)又是

偶函數(shù)。

(3)若奇函數(shù)f(x)在x=0處有意義，則f(0)=0成立。

(4)若f(x)是具有奇偶性的區(qū)間單調(diào)函數(shù)，則奇(偶)函數(shù)在正負(fù)對(duì)稱區(qū)間上的

單調(diào)性是相同(反)的。

(5)若f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則F(x)=f(x)+f(-X)是偶函數(shù)，

G(x)=f(x)-f(-x)是奇函數(shù)。

(6)奇偶性的推廣

函數(shù)y=f(x)對(duì)定義域內(nèi)的任一x都有f(a+x)=f(a-x),則y=f(x)的圖象關(guān)于

直線x二a對(duì)稱，即y=f(a+x)為偶函數(shù).函數(shù)y二f(x)對(duì)定義域內(nèi)的任-x都有

f(a+x)=-f(a-x),則y二f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)成中心對(duì)稱圖形，即y=f(a+x)為

奇函數(shù)。

[(五)、函數(shù)的單調(diào)性】

1、單調(diào)函數(shù)

對(duì)于函數(shù)f(x)定義在某區(qū)間區(qū),b］上任意兩點(diǎn)xl,X2,當(dāng)xl〉x2時(shí),都有不

等式f(xl)>(或<)f(x2)成立,稱f(x)在［a,b］上單調(diào)遞增(或遞減);增函數(shù)或減函

數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。

對(duì)于函數(shù)單調(diào)性的定義的理解，要注意以下三點(diǎn)：

(1)單調(diào)性是與“區(qū)間”緊密相關(guān)的概念,一個(gè)函數(shù)在不同的區(qū)間上可以有不同

的單調(diào)性。

(2)單調(diào)性是函數(shù)在某一區(qū)間上的“整體”性質(zhì)，因此定義中的xLx2具有任

意性，不能用特殊值代替。

(3)單調(diào)區(qū)間是定義域的子集，討論單調(diào)性必須在定義域范圍內(nèi)。

(4)注意定義的兩種等價(jià)形式：

設(shè)xl、x2￡［a,b］>那么：

①在［a、b］上是增函數(shù)；

在［a、b］上是減函數(shù)。

②在［a、b］上是增函數(shù)。

在［a、b］上是減函數(shù)。

需要指出的是：①的幾何意義是：增(減)函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)(xl,f(xl))、

(x2,f(x2))連線的斜率都大于(或小于)零°

(5)由于定義都是充要性命題,因此由f(x)是增(減)函數(shù)，且(或xl>x2),這

說明單調(diào)性使得自變量間的不等關(guān)系和函數(shù)值之間的不等關(guān)系可以“正逆互推”。

5、復(fù)合函數(shù)y二f［g(x)］的單調(diào)性

若u二g(x)在區(qū)間［a,b］上的單調(diào)性，與y=f(u)在［g在)，g(b)］(或g(b),

g(a))上的單調(diào)性相同，則復(fù)合函數(shù)y=f［g(x)］在［a,b］上單調(diào)遞增;否則，單調(diào)遞

減.簡(jiǎn)稱“同增、異減”0

在研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，常需要先將函數(shù)化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化為討論一些熟知函數(shù)的單

調(diào)性。因此，掌握并熟記一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將

大大縮短我們的判斷過程。

6、證明函數(shù)的單調(diào)性的方法

⑴依定義進(jìn)行證明.其步驟為：①任取xl、x2EM且xl(或<)f(x2);③根據(jù)定

義，得出結(jié)論。

(2)設(shè)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。

如果/(x)>0,則f(x)為增函數(shù);如果伊(x)<0,則f(x)為減函數(shù)。

【(六)、函數(shù)的圖象】

函數(shù)的圖象是函數(shù)的直觀體現(xiàn)，應(yīng)加強(qiáng)對(duì)作圖、識(shí)圖、用圖能力的培養(yǎng)，培養(yǎng)

用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決問題的意識(shí)。

求作圖象的函數(shù)表達(dá)式

與f(x)的關(guān)系

由f(x)的圖象需經(jīng)過的變換

y=f(x)±b(b>0)

沿y軸向平移b個(gè)單位

y=f(x+a)(a>0)

沿x軸向平移a個(gè)單位

y=-f(x)

作關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形

y=f(|x|)

右不動(dòng)、左右關(guān)于y軸對(duì)稱

y=|f(x)|

上不動(dòng)、下沿x軸翻折

y=f-l(x)

作關(guān)于直線y=x的對(duì)稱圖形

y=f(ax)(a>0)

橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變

y=af(x)

縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的|a|倍，橫坐標(biāo)不變

y=f(-x)

作關(guān)于y軸對(duì)稱的圖形

【例】定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x),對(duì)任意x,y￡R,有f(x+y)+f(x-

y)=2f(x)-f(y),且f(0)*0。

①求證:f(O)=l;

②求證：y=f(x)是偶函數(shù)；

③若存在常數(shù)c,使求證對(duì)任意xGR,有f(x+c)=-f(x)成立;試問函數(shù)f(x)是

不是周期函數(shù)，如果是，找出它的一個(gè)周期;如果不是，請(qǐng)說明理由6

思路分析：我們把沒有給出解析式的函數(shù)稱之為抽象函數(shù)，解決這類問題,般

采用賦值法6

解答，①令x刊二0,則有2f(0)=2f2(0),因?yàn)閒(答W0,所以f(0)=l。

②令x=0,則有f(x)+f(-y)=2f(0)-f(y)=2f(y),所以f(-y)=f(y),這說明

f(x)為偶函數(shù)。

③分別用(c〉0)替換x、y,有f(x+c)+f(x)二

所以，所以f(x+c)=-f(x)Q

兩邊應(yīng)用中的結(jié)論,得f(x+2c)=-f(x+c)=-[-f(x)]=f(x)o

所以f(x)是周期函數(shù)，2c就是它的一個(gè)周期。

高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)歸納「篇二」

平面向量

向量：既有大小，又有方向的量。

數(shù)量：只有大小，沒有方向的量。

有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度。

零向量；長(zhǎng)度為的向量0

單位向量：長(zhǎng)度等于個(gè)單位的向量。

相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量

&向量的運(yùn)算

加法運(yùn)算

AB+BC=AC＞這種計(jì)算法則叫做向量加法的三角形法則。

已知兩個(gè)從同一點(diǎn)0出發(fā)的兩個(gè)向量OA、0B,以O(shè)A、0B為鄰邊作平行四邊形

OACB,則以0為起點(diǎn)的對(duì)角線0C就是向量OA、0B的和，這種計(jì)算法則叫做向量加

法的平行四邊形法則。

對(duì)于零向量和任意向量a,有；0+a=a+0二a。

Ia+b|WIaI+1b|。

向量的加法滿足所有的加法運(yùn)算定律。

減法運(yùn)算

與a長(zhǎng)度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a,零向量的相

反向量仍然是零向量

(l)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)0

數(shù)乘運(yùn)算

實(shí)數(shù)X與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作Xa,

|Aa|=|A||a|,當(dāng)人〉0時(shí)，入a的方向和&的方向相同，當(dāng)入＜0時(shí)，入a的方向

和a的方向相反，當(dāng)入二。時(shí)，入a=0。

設(shè)入、P是實(shí)數(shù)，那么；

⑴(入u)a=X(ua)(2)(Xu)a=A.aUa(3)入(a+b)=Xa±Xb(4)(-X)a=-

(Aa)=X(-a)o

向量的加法運(yùn)算、減法運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱線性運(yùn)算。

向量的數(shù)量積

己知兩個(gè)非零向量a、b,那么|a||b|cos。叫做a與b的數(shù)量積或內(nèi)積,記作

a?b,。是a與b的夾角，㈤cos0(|b|cos0)叫做向量a在b方向上(b在a方向

上)的投影。零向量與任意向量的數(shù)量積為0。

a?b的幾何意義：數(shù)量積a?b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影

|b|cos。的乘積。

兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。

高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)歸納「篇三」

一：集合的含義與表示

1、集合的含義：集合為一些確定的、不同的東西的全體，人們能意識(shí)到這些

東西，并且能判斷一個(gè)給定的東西是否屬于這個(gè)整體。

把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合，簡(jiǎn)稱為集。

2、集合的中元素的三個(gè)特性：

（1）元素的確定性：集合確定，則一元素是否屬于這個(gè)集合是確定的：屬于

或不屬于6

（2）元素的互異性：一個(gè)給定集合中的元素是的，不可重復(fù)的。

（3）元素的無序性：集合中元素的位置是可以改變的，并且改變位置不影響

集合

3、集合的表示：｛｝

（1）用大寫字母表示集合：A=｛我校的籃球隊(duì)員｝,B=（b2,3,4,5）

（2）集合的表示方法：列舉法與描述法。

a、列舉法：將集合中的元素一一列舉出來｛a,b,c）

b、描述法：

①區(qū)間法；將集合中元素的公共屬性描述出來，寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合。

｛x?R|x—3>2）,｛x|x—3）2｝

②語(yǔ)言描述法：例：｛不是直角三角形的三角形｝

③Venn圖：畫出一條封閉的曲線，曲線里面表示集合。

4、集合的分類；

（1）有限集：含有有限個(gè)元素的集合

（2）無限集：含有無限個(gè)元素的集合

(3)空集：不含任何元素的集合

5、元素與集合的關(guān)系：

(1)元素在集合里,則元素屬于集合，即；a?A

(2)元素不在集合里，見元素不屬于集合，即：aCA

注意：常用數(shù)集及其記法：

非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作：N

正整數(shù)集N—或N+

整數(shù)集Z

有理數(shù)集Q

實(shí)數(shù)集R

6、集合間的基本關(guān)系

(1)o“包含”關(guān)系(D一子集

定義：如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，我們說這兩個(gè)集合有包

含關(guān)系，稱集合A是集合B的子集。

高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)歸納「篇四」

1.函數(shù)的奇偶性

(1)若f(x)是偶函數(shù),那么f(x)"x);

⑵若f(x)是奇函數(shù)，0在其定義域內(nèi),則f(0)二0(可用于求參數(shù))；

(3)判斷函數(shù)奇偶性可用定義的等價(jià)形式：￡(乂)±乳-、)二0或(N乂)工0);

(4)若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先化簡(jiǎn)，再判斷其奇偶性；

(5)奇函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有

相反的單調(diào)性；

2,復(fù)合函數(shù)的有關(guān)問題

(1)復(fù)合函數(shù)定義域求法，若已知的定義域?yàn)椋踑,b］,其復(fù)合函數(shù)f［g(x)］的定

義域由不等式aWg(x)Wb解出即可;若己知f［g(x)］的定義域?yàn)椋?義求f(x)的定

義域,相當(dāng)于x￡［a,b］時(shí)，求g(x)的值域(即f(x)的定義域);研究函數(shù)的問題一

定要注意定義域優(yōu)先的原則。

(2)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由“同增異減”判定；

3.函數(shù)圖像(或方程曲線的對(duì)稱性)

(1)證明函數(shù)圖像的對(duì)稱性，即證明圖像上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心(對(duì)稱軸)的對(duì)

稱點(diǎn)仍在圖像上；

(2)證明圖像C1與C2的對(duì)稱性，即證明C1上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心(對(duì)稱軸)的

對(duì)稱點(diǎn)仍在C2上，反之亦然；

(3)曲線Cl：f(x,y”0,關(guān)于y=x+a(y=-x+a)的對(duì)稱曲線C2的方程為f(y-

a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);

(4)曲線Cl:f(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對(duì)稱曲線C2方程為：f(2a-x,2b-y)=0;

⑸若函數(shù)y二數(shù)x)對(duì)x￡R時(shí)，f(a+x)=f(a-x)恒成立,則y二f(x)圖像關(guān)于直線

X二a對(duì)稱；

(6)函數(shù)y=f(x-a)與y=f(b-x)的圖像關(guān)于直線x二對(duì)稱；

4.函數(shù)的周期性

⑴y二f(x)對(duì)xER時(shí)，f(>:+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a)0)恒成立,則y=f(x)

是周期為2a的周期函數(shù)；

(2)若kf(x)是偶函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則f(x