第五講定積分內(nèi)容提要與典型例題一、主要內(nèi)容問(wèn)題1:曲邊梯形的面積問(wèn)題2:變速直線運(yùn)動(dòng)的路程定積分存在定理反常積分定積分的性質(zhì)牛頓-萊布尼茨公式定積分的計(jì)算法二、內(nèi)容提要1定積分的定義定義的實(shí)質(zhì)幾何意義物理意義2可積和可積的兩個(gè)充分條件3定積分的性質(zhì)線性性可加性非負(fù)性積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

牛頓—萊布尼茨公式定積分的計(jì)算法（1）換元法換元積分公式（2）分部積分法分部積分公式微積分基本公式利用對(duì)稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的性質(zhì)簡(jiǎn)化定積分的計(jì)算廣義積分(1)無(wú)窮限的廣義積分(2)無(wú)界函數(shù)的廣義積分三、典型例題例求極限（1）解解練習(xí):

求極限解：原式如果能把數(shù)列的通項(xiàng)寫成的形式，就可以利用或把數(shù)列極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為定積分的計(jì)算問(wèn)題.與數(shù)列的極限有著密切聯(lián)系。由以上兩例可見(jiàn)，連續(xù)函數(shù)f(

x)的定積分例

證明證:令則令得故例解例.

求解:令則原式例.

求解:解是偶函數(shù),例例.

設(shè)解:

例設(shè)求解這是型未定式的極限解由L’Hospital法則a=0或b=1將a=0代入知不合題意,故b=1.例試確定a,b的值使19例已知兩曲線在點(diǎn)處的切線相同,寫出此切線方程,并求極限解故所求切線方程為例設(shè)在上是單調(diào)遞減的連續(xù)函數(shù)，試證都有不等式證明：顯然時(shí)結(jié)論成立.(用積分中值定理)當(dāng)時(shí),故所給不等式成立.明對(duì)于任何例設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，且滿足條件例設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且證明：方程有且只有一個(gè)根。例設(shè)f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù)，證明證關(guān)鍵在于作出輔助函數(shù)F(x)則F(a)、F(b)的符號(hào)不易判別，得不出結(jié)論則F(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)且F(a)=F(b)=0由Rolle定理知：

輔助函數(shù)法證明定積分等式——主要適用于證明在積分限中至少存在一點(diǎn)使等式成立的命題。①移項(xiàng)使一端為0另一端即為②驗(yàn)證F(x)滿足介值定理或Rolle定理

注：

例.設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且(1)在(a,b)內(nèi)f(x)>0;(2)在(a,b)內(nèi)存在點(diǎn)

,使

證:

(1)

由f(x)在[a,b]上連續(xù),知f(a)=0.所以f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增,因此即