復變函數(shù)映射歡迎來到復變函數(shù)映射的世界。這門課程將帶您深入探索復平面上的變換和函數(shù)。我們將揭示復變函數(shù)的美妙性質和強大應用。引言復變函數(shù)的重要性在數(shù)學、物理和工程中扮演關鍵角色。課程目標掌握復變函數(shù)的基本概念和應用技巧。學習方法理論與實踐相結合，注重幾何直觀。復變函數(shù)概述定義復變函數(shù)是將復數(shù)映射到復數(shù)的函數(shù)。表示方法可用代數(shù)式、參數(shù)式或幾何方式表示。復平面上的幾何變換平移將點沿直線移動固定距離。旋轉圍繞原點旋轉固定角度。伸縮改變點到原點的距離。等角變換定義保持角度大小不變的變換。性質保持曲線間的夾角，但可能改變長度。應用在地圖制作和流體力學中廣泛應用。雙曲型變換1定義保持雙曲線不變的變換。2特點改變點的位置，但保持某些幾何性質。3應用在相對論和非歐幾何中有重要應用。內接和外接變換內接變換將圓內部映射到圓內部。外接變換將圓外部映射到圓外部。應用在幾何學和復分析中有重要作用。反演變換1定義關于圓的點的映射。2性質保持角度，但改變距離。3應用解決幾何問題和電磁場理論。復平面上的連續(xù)性1ε-δ定義函數(shù)在點處連續(xù)的嚴格數(shù)學定義。2路徑連續(xù)性沿任意路徑趨近時的連續(xù)性。3一致連續(xù)性在整個定義域上的強連續(xù)性。復變函數(shù)的極限∞無窮遠點極限函數(shù)在無窮遠處的行為。0零點極限函數(shù)在接近零點時的行為。a任意點極限函數(shù)在任意點附近的性質。柯西黎曼條件必要條件函數(shù)解析的偏導數(shù)關系。充分條件保證函數(shù)在區(qū)域內解析。有解析性的條件1可微性函數(shù)在點處具有導數(shù)。2連續(xù)性函數(shù)在點處連續(xù)。3滿足柯西黎曼條件偏導數(shù)滿足特定關系。一元復變函數(shù)的導數(shù)定義函數(shù)在點處的變化率。計算方法極限或分析法求導。應用描述函數(shù)的局部性質?？挛?里曼方程方程形式?u/?x=?v/?y,?u/?y=-?v/?x幾何意義保持角度不變的條件。重要性解析函數(shù)的基本特征。初等復變函數(shù)1多項式函數(shù)由復變量的冪和常數(shù)組成。2有理函數(shù)兩個多項式的商。3超越函數(shù)指數(shù)、對數(shù)、三角函數(shù)等。指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)e^z=e^x(cosy+isiny)對數(shù)函數(shù)lnz=ln|z|+iArgz三角函數(shù)和雙曲函數(shù)三角函數(shù)sinz,cosz雙曲函數(shù)sinhz,coshz關系通過歐拉公式聯(lián)系。復變函數(shù)的積分1定義沿曲線的路徑積分。2性質與路徑選擇有關。3應用計算功和能量?？挛鞣e分公式1公式表述解析函數(shù)的積分表示。2意義聯(lián)系函數(shù)值和邊界積分。3應用求解復變函數(shù)問題?？挛鞣e分定理0閉合路徑積分解析函數(shù)在單連通區(qū)域的閉合路徑積分為零。2π奇點外積分繞奇點的積分與繞數(shù)有關?！迲脧V泛在復分析中有重要地位?？挛鱽G勒公式公式內容表示解析函數(shù)的導數(shù)。應用求高階導數(shù)和泰勒展開。留數(shù)定理定義孤立奇點處的留數(shù)。計算方法通過函數(shù)的洛朗級數(shù)展開。應用計算復雜積分和求和。留數(shù)及其應用定積分計算利用留數(shù)快速求解復雜積分。級數(shù)求和計算某些無窮級數(shù)的和。物理應用在電磁學和流體力學中的應用。冪級數(shù)定義形如Σa_n(z-z_0)^n的級數(shù)。收斂半徑級數(shù)收斂的最大圓盤半徑。性質在收斂圓內處處解析。泰勒級數(shù)1定義函數(shù)在點處的冪級數(shù)展開。2系數(shù)由函數(shù)的導數(shù)決定。3應用函數(shù)近似和數(shù)值計算。洛朗級數(shù)定義函數(shù)在環(huán)形區(qū)域的級數(shù)展開。特點包含正負冪項。應用研究函數(shù)在奇點附近的性質。奇點和孤立奇點1定義函數(shù)不解析的點。2類型可去、極點、本質奇點。3重要性決定函數(shù)的局部行為?？扇テ纥c和本質奇點可去奇點通過重新定義可使函數(shù)在此點解析。本質奇點函數(shù)在此點附近表現(xiàn)復雜。留數(shù)理論的應用數(shù)學求解復雜積分和級數(shù)。物理學解決