③過(guò)圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.技巧二.過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線過(guò)圓外一點(diǎn)M(x0，y0)的圓的切線求法：可用點(diǎn)斜式設(shè)出方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求出斜率k，從而得切線方程；若求出的k值只有一個(gè)，則說(shuō)明另一條直線的斜率不存在，其方程為x＝x0.技巧.解決有關(guān)弦長(zhǎng)問(wèn)題的常用方法及結(jié)論幾何法如圖所示，設(shè)直線l被圓C截得的弦為AB，圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，則有關(guān)系式：|AB|＝2eq\r(r2－d2)代數(shù)法若斜率為k的直線與圓相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)兩點(diǎn)，則|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(xA＋xB2－4xAxB)＝eq\r(1＋\f(1,k2))·|yA－yB|(其中k≠0)．特別地，當(dāng)k＝0時(shí)，|AB|＝|xA－xB|；當(dāng)斜率不存在時(shí)，|AB|＝|yA－yB|，當(dāng)直線與圓相交時(shí)，半徑、半弦、弦心距構(gòu)成直角三角形，在解題時(shí)，要注意把它和點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合起來(lái)使用技巧三.切線長(zhǎng)①?gòu)膱Ax2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一點(diǎn)M(x0，y0)引圓的兩條切線，切線長(zhǎng)為eq\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F).②兩切點(diǎn)弦長(zhǎng)：利用等面積法，切線長(zhǎng)a與半徑r的積的2倍等于點(diǎn)M與圓心的距離d與兩切點(diǎn)弦長(zhǎng)b的積，即b＝eq\f(2ar,d).注意：過(guò)一點(diǎn)求圓的切線方程時(shí)，要先判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，以便確定切線的條數(shù)．技巧四.圓與圓相交時(shí)1.公共弦直線的方程：兩個(gè)交點(diǎn)所在的直線即公共弦，其方程等于兩個(gè)圓方程相減2.圓與圓相交時(shí)，求交點(diǎn)坐標(biāo):(1)聯(lián)立兩個(gè)圓的方程，相減得到公共弦的直線(2)公共弦直線與其中一個(gè)圓的方程再進(jìn)行聯(lián)立，解出交點(diǎn)的坐標(biāo)3.求公共弦的弦長(zhǎng)方法一：求出交點(diǎn)，利用兩點(diǎn)間的距離方法二：求出公共弦直線方程，利用其中一個(gè)圓的圓心，求其圓心到公共弦直線的距離d，再利用弦長(zhǎng)公式題型1圓上一點(diǎn)求圓的切線問(wèn)題【例題1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)M(1??,3)在圓C:x2+yA．30° B．60° C．120°【答案】D【分析】根據(jù)直線垂直的斜率關(guān)系，即可由斜率與傾斜角的關(guān)系求解.【詳解】圓心為0,0，所以kCM=3,所以過(guò)M的切線l設(shè)傾斜角為θ，則tanθ=?由于θ∈0,π，故故選：D【變式1-1】1.（2023秋·全國(guó)·高二期中）圓x2+yA．x+3y?2=0 C．x?3y+4=0 【答案】D【分析】容易知道點(diǎn)P1,3為切點(diǎn)，圓心2,0，設(shè)切線斜率為k，從而【詳解】將圓的方程x2+y∵點(diǎn)P1,3在圓x?22從而圓心與點(diǎn)P的連線應(yīng)與切線垂直．又∵圓心為2,0，設(shè)切線斜率為k，∴0?32?1?k=?1∴切線方程為x?3故選：D.【變式1-1】2.（2023秋·全國(guó)·高二期中）圓x2+yA．x+3y?2=0 C．x?3y+4=0 【答案】D【分析】容易知道點(diǎn)P1,3為切點(diǎn)，圓心2,0，設(shè)切線斜率為k，從而【詳解】將圓的方程x2+y∵點(diǎn)P1,3在圓x?22從而圓心與點(diǎn)P的連線應(yīng)與切線垂直．又∵圓心為2,0，設(shè)切線斜率為k，∴0?32?1?k=?1∴切線方程為x?3故選：D.【變式1-1】3.（2023秋·河北滄州·高二泊頭市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x,y滿足曲線C的方程x2A．x2+B．y+1x+1的最大值是C．x?y+3的最小值是2D．過(guò)點(diǎn)0,2作曲線C的切線，則切線方程為【答案】C【分析】選項(xiàng)A轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離公式的平方即可求解；選項(xiàng)B轉(zhuǎn)化為斜率即可求解；選項(xiàng)C轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離的2倍即可求解；選項(xiàng)D設(shè)出切線方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離為半徑即可求解【詳解】C的方程x2+y它表示圓心1,0，半徑為3的圓.對(duì)選項(xiàng)A：x2+y2表示圓故它的最大值為1?02對(duì)選項(xiàng)B：y+1x+1表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)P?1,?1的連線的斜率由圓心1,0到直線y+1=k(x+1)的距離d=|2k+1|可得2?6對(duì)選項(xiàng)C：x?y+3表示圓上任意一點(diǎn)到直線x?y+3=0的距離的2倍，圓心到直線的距離d=4所以其最小值為22對(duì)選項(xiàng)D：設(shè)過(guò)點(diǎn)0,2作曲線C故可設(shè)切線方程為y=mx+2由|2+m|m故切線方程為x?2故選：C.【變式1-1】4.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)P1,1作圓E:A．x+y?2=0 B．2x?y?1=0C．x?2y+1=0 D．x?2y+1=0或2x?y?1=0【答案】C【分析】由題意可得點(diǎn)P在圓E上，根據(jù)切線的性質(zhì)求切線斜率，進(jìn)而求切線方程.【詳解】由題意可知：圓E:x2+y2∵12∴點(diǎn)P在圓E上，又∵kPE=?1?1∴切線方程為y?1=12x?1故選：C.【變式1-1】5.（多選）（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．過(guò)點(diǎn)(1,3)，在x軸上的截距與在y軸上的截距相等的直線有兩條B．過(guò)點(diǎn)P(2,1)作圓x2+C．經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,1)，傾斜角為θ的直線方程為y?1=D．直線2x?y?1=0的一個(gè)方向向量為(1,2)【答案】ABD【分析】求出過(guò)點(diǎn)1,3，在x軸上的截距與在y軸上的截距相等的直線的方程，可判斷A選項(xiàng)；求出圓x2+y2=5【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線方程為y=3x；當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為xa+ya=1，代入點(diǎn)(1,3)，得1所以過(guò)點(diǎn)(1,3)，在x軸上的截距與在y軸上的截距相等的直線有兩條，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，由于22+12=5，所以P(2,1)在圓x2+y2=5上，圓心為所以切線方程為y?1=?2(x?2)，即2x+y?5=0，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，當(dāng)θ=π2時(shí)，D選項(xiàng)，直線2x?y?1=0的斜率為2，一個(gè)方向向量為(1,2)，所以D選項(xiàng)正確，故選：ABD．題型2圓外一點(diǎn)求圓的切線問(wèn)題【例題2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)(?4,3)的圓(x+3)2+(y?1)【答案】x=?4或3x+4y=0【分析】根據(jù)切線斜率存在和不存在分類討論，斜率存在時(shí)設(shè)直線方程，由圓心到切線距離等于半徑求解．【詳解】當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切線的方程為x=?4，圓心(?3,1)到該直線的距離等于半徑1，符合題意，當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)(?4,3)的切線方程為y?3=k(x+4)，即kx?y+4k+3=0，∵圓心到直線kx?y+4k+3=0的距離等于半徑，∴|?3k?1+4k+3|k2+1∴切線方程為3x+4y=0，綜上所述，切線方程為x=?4或3x+4y=0．故答案為：x=?4或3x+4y=0．【變式2-1】1.（2023秋·廣西貴港·高二統(tǒng)考期末）已知圓C:(x?2)(1)若過(guò)點(diǎn)P(?1,1)向圓C作切線l，求切線l的方程；(2)若Q為直線m:2x?y+5=0上的動(dòng)點(diǎn)，M是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)N(?2,6)，求QM?【答案】(1)x=?1或5x?12y+17=0(2)8【分析】（1）分類討論，當(dāng)切線l的斜率不存在，易求l的方程為x=?1（2）根據(jù)圓的性質(zhì)QM?【詳解】（1）若切線l的斜率不存在，則l的方程為x=若切線l的斜率存在，設(shè)切線l的方程為y?1=k(x+1)，即kx?y+k+1=0.因?yàn)橹本€l與圓C相切，所以圓心(2,?1)到l的距離為3，即|3k+2|k2+1所以切線l的方程為y?1=512(x+1)綜上，切線l的方程為x=?1（2）因?yàn)镼M≤QC+3設(shè)N(?2,6)關(guān)于直線m對(duì)稱的點(diǎn)為N'(x,y)，則2×x?22?y+62因?yàn)镼N=QN'，所以因?yàn)镼C?QN'≤所以(QC?QN)max【變式2-1】2.（2023秋·高二課前預(yù)習(xí)）過(guò)點(diǎn)P(2,1)作圓O:x【答案】y=1或4x?3y?5=0【分析】易得切線的斜率存在，設(shè)切線方程為y?1=k(x?2)，解法1：根據(jù)圓心到切線的距離等于半徑求出k即可.解法2：聯(lián)立直線與圓的方程，根據(jù)Δ=0求出k【詳解】解法1：當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，方程為x=2，與圓不相切，所以切線斜率存在，設(shè)切線方程為y?1=k(x?2)，即kx?y+1?2k=0，由圓心(0,0)到切線l的距離等于圓的半徑1，得|1?2k|k2+1=1，解得所以所求切線l的方程為y=1或4x?3y?5=0.解法2：當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，方程為x=2，與圓不相切，所以切線斜率存在，設(shè)切線方程為y?1=k(x?2)，因?yàn)橹本€l與圓相切，所以方程組y?1=k(x?2)x消y得k2則Δ=4k2(1?2k)2所以所求切線l的方程為y=1或4x?3y?5=0.【變式2-1】3.（2023秋·云南大理·高二云南省下關(guān)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)A4,4,B0,3(1)若圓C的圓心坐標(biāo)為C3,2，過(guò)點(diǎn)A作圓C(2)若圓C的圓心C在直線l:y=x?1上，且圓C上存在點(diǎn)M，使MB=2MO，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求圓心C的橫坐標(biāo)【答案】(1)x=4或3x?4y+4=0(2)22≤a≤3【分析】（1）根據(jù)圓心到直線的距離分直線斜率存在與不存在求解；（2）由條件求出M所在圓，利用兩圓相交求出a的取值范圍.【詳解】（1）由題意得圓C標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?3)2當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y?4=kx?4由d=2?kk2當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切線方程為x=4，滿足題意；所以切線的方程為x=4或3x?4y+4=0.（2）由圓心C在直線l:y=x?1上，設(shè)Ca,a?1設(shè)點(diǎn)Mx,y，由MB得：x2化簡(jiǎn)得：x2所以點(diǎn)M在以D0,?1又點(diǎn)M在圓C上，所以圓C與圓D有交點(diǎn)，則1≤CD≤3，即解得：22≤a≤3【變式2-1】4.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,1)，B(1,4)，且________.從下列3個(gè)條件中選取一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線處，并解答.①過(guò)直線x?5y?5=0與直線x?2y?8=0的交點(diǎn)C；②圓E恒被直線l:(m+1)x+(m?3)y?6m?2=0(m∈R)平分；③與y軸相切.(1)求圓E的方程；(2)求過(guò)點(diǎn)P(10,11)的圓E的切線方程.【答案】(1)選擇見(jiàn)解析，(x?5)(2)x=10或3x?4y+14=0【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)出圓的一般方程或標(biāo)準(zhǔn)方程，對(duì)①②③逐個(gè)分析，求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；（2）先判斷點(diǎn)P在圓外，知切線有兩條，分情況討論求解即可.【詳解】（1）選擇①：聯(lián)立x?5y?5=0x?2y?8=0，解得x=10y=1，所以設(shè)圓E的方程為x2+y因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)均在圓上，所以1+E+F=017+D+4E+F=0101+10D+E+F=0，解得所以圓E的方程為x2+y選擇②：直線l的方程可化為m(x+y?6)+(x?3y?2)=0，因?yàn)閙∈R上式恒成立，所以x+y?6=0x?3y?2=0，解得x=5所以直線l恒過(guò)定點(diǎn)(5,1)，且(5,1)為圓心E，所以r=|EA|=(5?0)所以圓E的方程為(x?5)2選擇③：設(shè)圓E的方程為(x?a)2由題可得a2+(1?b)故圓E的方程為(x?5)2（2）因?yàn)?10?5)2①若直線斜率不存在，直線方程為x=10，圓心E5,1到直線x=10②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)切線的斜率為k，則切線方程為y?11=k(x?10)，即kx?y?10k+11=0，因?yàn)橹本€與圓E相切，所以圓心E到直線的距離d=|5k?1?10k+11|所以k=34，所以直線的方程為綜上可得：過(guò)點(diǎn)P(10,11)的圓E的切線方程為x=10或3x?4y+14=0.

題型3平行垂直與切線問(wèn)題【例題3】（2022秋·廣東潮州·高二統(tǒng)考期末）在圓(x?1)2+y2=5上一點(diǎn)P(A．2 B．12 C．?12【答案】A【分析】結(jié)合圓方程,計(jì)算切線斜率,利用直線相互垂直滿足的斜率關(guān)系,計(jì)算,即可.【詳解】該圓的圓心坐標(biāo)為1,0,則切線的斜率為y=?12?02?1=?1【點(diǎn)睛】考查了直線垂直的判定,關(guān)鍵利用垂直滿足斜率之積為-1,計(jì)算參數(shù),即可.【變式3-1】1.（2020秋·甘肅武威·高二民勤縣第一中學(xué)?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中，圓C的方程為x2+y2?4x=0，若直線y=kx+1上存在一點(diǎn)A．?22,22C．?22,22【答案】C【詳解】分析：首先確定圓的圓心和半徑，然后結(jié)合幾何關(guān)系得到關(guān)于k的不等式，求解不等式即可求得最終結(jié)果.詳解：C的方程為x2+y2?4x=0，故圓心為C(2,0)，半徑R=2.設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)分別為A，B，則由題意可得四邊形PACB為正方形，故有PC=2R=2∴圓心到直線y=k(x+1)的距離小于或等于PC=22即2k?0+kk2+1則實(shí)數(shù)k的取值范圍是?22本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：處理直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達(dá)，則用幾何法；若方程中含有參數(shù)，或圓心到直線的距離的表達(dá)較繁瑣，則用代數(shù)法．【變式3-1】2.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）點(diǎn)M0,2為圓C:x?42+y+12=25上一點(diǎn)，過(guò)M作圓的切線l，且直線lA．2 B．45 C．85 【答案】B【分析】先求得l，然后利用兩直線平行求得a，再結(jié)合兩平行直線間的距離公式求得正確答案.【詳解】圓C:x?42+由題意可得：kCM∴kl=43，直線l∵直線l與直線l':4x?ay+2=0平行，∴直線l與直線l'之間的距離是6?2故選：B【變式3-1】3.（多選）（2023秋·山東菏澤·高二山東省鄄城縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2+yA．3 B．1 C．2 D．?2【答案】BCD【分析】先由題意得出PC=2r=22，然后根據(jù)點(diǎn)到直線的距離與【詳解】圓C的方程可化為x?22+y2=4因?yàn)檫^(guò)P所作的圓的兩條切線相互垂直，所以點(diǎn)P、圓心C以及兩切點(diǎn)構(gòu)成正方形，所以PC=∵P在直線y=kx+1∴圓心到該直線的距離d=2k?0+k1+k對(duì)照選項(xiàng)，可知BCD均有可能．故選：BCD.【變式3-1】4.（2022·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)點(diǎn)P(?2,4)作圓O:(x?2)2+(y?1)2=25的切線l，直線m:ax?3y=0與直線l平行，則直線【答案】4【分析】判斷P在圓O上，求出直線OP的斜率，確定出切線l的斜率，求出l的方程，得出a=4，根據(jù)直線m與直線l平行，利用平行線的距離公式求出l與m的距離即可.【詳解】解：將P?2,4代入圓方程左邊得4左邊=右邊，即P在圓O上，∵直線OP的斜率為4?1?2?2∴切線l的斜率為43，即直線l的方程為y?4=整理得4x?3y+20=0，∵直線m:ax?3y=0與直線l平行，∴a3=∴直線m方程為4x?3y=0，即4x?3y=0，直線l與m的距離為0?203故答案為：4.【變式3-1】5.（2022秋·山東菏澤·高二山東省鄆城第一中學(xué)校考階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)M?2,4作圓C:x?22+y?12=25的切線l，且直線l【答案】12【分析】先求出切線l的方程，利用直線l1:ax+3y+2a=0與【詳解】∵點(diǎn)M?2，4在圓C∴切線l的方程為?2?2即4x?3y+20=0∵直線l與直線l1∴?a3∴直線l1的方程為?4x+3y?8=0，即∴l(xiāng)1與l故答案為12【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩條平行直線間的距離以及圓的切線方程，過(guò)點(diǎn)作圓的切線方程則首先要確定點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，然后考慮斜率問(wèn)題【變式3-1】6.（2020秋·湖南邵陽(yáng)·高二湖南省邵東市第三中學(xué)?？紝W(xué)業(yè)考試）已知直線l1與直線l2:3x+4y+1=0平行且與圓C:x2【答案】3x+4y+14=0，3x+4y?6=0.【詳解】圓x2∴圓心為（0，﹣1），半徑r=2，∵直線l1∥l2，∴設(shè)直線l1的方程為3x+4y+c=0，由題意得?4+c9+16則直線l1的方程為3x+4y﹣6=0或3x+4y+14=0．故答案為3x+4y+14=0，3x+4y?6=0點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查的是直線和圓的位置關(guān)系，一般直線和圓的題很多情況下是利用數(shù)形結(jié)合來(lái)解決的，聯(lián)立的時(shí)候較少；還有就是在求圓上的點(diǎn)到直線或者定點(diǎn)的距離時(shí)，一般是轉(zhuǎn)化為圓心到直線或者圓心到定點(diǎn)的距離，再加減半徑，分別得到最大值和最小值．題型4切點(diǎn)弦相關(guān)問(wèn)題【例題4】（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高二揚(yáng)州中學(xué)校考階段練習(xí)）已知圓C：(x?2)2+(y?3)2=4，若點(diǎn)P在直線x?y?4=0上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作圓C的兩條切線PAA．115,145 B．125,【答案】D【分析】求出(x?2)2+(y?3)2=4的圓心和半徑，由幾何關(guān)系得到P,A,C,B四點(diǎn)共圓，設(shè)Pm,m?4，得到P,A,C,B的圓的方程，與【詳解】圓C：(x?2)2+(y?3)2過(guò)點(diǎn)P作圓C的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，故P,A,C,B四點(diǎn)共圓，其中PC的中點(diǎn)為該圓心，PC為直徑，設(shè)Pm,m?4，則PC的中點(diǎn)為m+2PC=故過(guò)P,A,C,B的圓的方程為x?m+2變形得到x2?由①②相減可得直線AB的方程，即m?2x+整理得mx+y?5令x+y?5=0?2x?7y+21=0，解得x=故直線過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)145故選：D【變式4-1】1.（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）過(guò)點(diǎn)3,1作圓x?12【答案】2x+y?3=0【分析】根據(jù)圓心和半徑及切線所過(guò)點(diǎn)確定y=1為一條切線，進(jìn)而得到對(duì)應(yīng)切點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求kCD及直線垂直關(guān)系求k【詳解】由題設(shè)，圓心D(1,0)且半徑為1，過(guò)C3,1的切線必有一條為y=1令切線y=1與圓切于A(1,1)，而kCD=1?03?1=所以直線AB:y?1=?2(x?1)，即AB:2x+y?3=0.

【變式4-1】2.（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）過(guò)原點(diǎn)O作圓x2【答案】4【分析】由圓的方程確定圓心C、半徑r，根據(jù)切線段長(zhǎng)與半徑r、OC的幾何關(guān)系，求切線段長(zhǎng)，利用等面積法求切點(diǎn)弦PQ的長(zhǎng)即可.【詳解】

由題意，x2+y∴圓心C(3,4)，半徑r=5，則有OC=5，故切線段長(zhǎng)若線段PQ的長(zhǎng)為x，則x2?OC=【變式4-1】3.（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）直線l1和l2是圓x2+y2=2的兩條切線，若l1與【答案】4【分析】設(shè)直線l1與l2的夾角為2α，由題意求得點(diǎn)(1,?3)到圓心(0,0)的距離d=10，從而可得點(diǎn)(1,?3)到切點(diǎn)的距離l=2【詳解】設(shè)直線l1與l2的夾角為由題意可知，圓x2+y點(diǎn)(1,?3)到圓心(0,0)的距離d=1從而點(diǎn)(1,?3)到切點(diǎn)的距離l=d從而有tanα=所以tan2α=2tanα1?tan2

【變式4-1】4.（2023秋·貴州·高二貴州省興義市第八中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓C:x2+y2=1，直線l:x+3y?10=0,P為直線l上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C的兩條切線(1)求直線AB的方程；(2)Q為圓C與x軸正半軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線l'與圓C交于兩點(diǎn)M,N，設(shè)QM，QN的斜率分別為k1,【答案】(1)x+3y?1=0(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由直線與圓相切的性質(zhì)，當(dāng)OP⊥l時(shí)，PA最小，由O,A,P,B四點(diǎn)共圓，則AB即為兩圓公共弦，兩圓方程相減可得直線AB的方程；（2）設(shè)直線l'的方程，與圓的方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理用k表示x1+x2【詳解】（1）圓C:x2+y2已知PA?PB是圓C的兩條切線，則所以當(dāng)PO最小時(shí)，PA最?。甈O最小值即為點(diǎn)O到直線l的距離d=?10此時(shí)OP⊥l，且直線l:x+3y?10=0，直線l的斜率kl設(shè)P(a,b)，則有ba??13由OA⊥AP,OB⊥BP，得O,A,P,B四點(diǎn)共在以O(shè)P為直徑的圓上，圓心為OP的中點(diǎn)，設(shè)為D，坐標(biāo)為12,3則圓D的方程為x?122又圓C:x則兩圓方程相減得公共弦AB的方程，即由②?①得，x+3y?1=0，即直線AB的方程為x+3y?1=0.

（2）由題意知，過(guò)點(diǎn)P(1,3)的直線l'故可設(shè)方程為y?3=k(x?1)，即y=kx+3?k，設(shè)M(x1,由題意QM的斜率k1=y1x則k1聯(lián)立x2+y則Δ=4k2由韋達(dá)定理知，x1則x1(x故k1故k1+k

【變式4-1】5.（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）由動(dòng)點(diǎn)P向圓x2+y2=1引兩條切線PA【答案】x【分析】先設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，則可得PO，根據(jù)∠APB=π3可得∠APO=π6，判斷出【詳解】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，則PO=∵∠APB=π∴PO=2OB所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2

【變式4-1】6.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)圓x2(1)求過(guò)點(diǎn)P的圓的切線方程；(2)若過(guò)點(diǎn)P的直線截圓所得的弦長(zhǎng)為43(3)若過(guò)P點(diǎn)引圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為P1、P2，求過(guò)切點(diǎn)P1【答案】(1)x＝4或3x+4y?20=0(2)y＝2或4x?3y?10=0(3)2x+y?8=0【分析】（1）分k不存在和k存在兩種情況討論，利用圓心到直線距離等于半徑，求解即可；（2）由弦長(zhǎng)可得，圓心到直線距離等于16?12=2（3）由題意P,O,P1,P2四點(diǎn)共圓，且PO為直徑，寫出圓的方程，過(guò)切點(diǎn)P1、【詳解】（1）當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，過(guò)點(diǎn)P（4，2）的直線為x＝4，圓心到直線距離等于半徑，故x＝4為切線；當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y?2=kx?4，即kx?y?4k+2=0．由?4k+2k解得：k=?34，此時(shí)切線方程為∴過(guò)點(diǎn)P的圓的切線方程為x＝4或3x+4y?20=0；（2）由（1）知，所求切線斜率存在，設(shè)直線方程為kx?y?4k+2=0．∵r＝4，且弦長(zhǎng)為43，∴圓心到直線kx?y?4k+2=0的距離d=即3解得k＝0或k=4∴所求直線方程為y＝2或4x?3y?10=0；（3）由題意，O故P,O,P∵P（4，2），∴以PO為直徑的圓圓心為(2,1)，半徑r=|PO|故圓的方程為x?22由于P1,P故過(guò)切點(diǎn)P1、P2的直線為圓x2兩圓方程作差可得過(guò)P1、P2的直線方程為題型5圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題【例題5】（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考期中）在x,y軸上的截距分別為4,?3的直線l被圓C:xA．3 B．6 C．23 D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，求得直線l的方程為3x?4y?12=0，結(jié)合圓的弦長(zhǎng)公式，即可求解.【詳解】由題意得，直線l的方程為x4+y又由C:x2+可得圓C的圓心為(5,2)，半徑為10，則圓心到直線l的距離d=15?8?12所以直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為2(故選：B.【變式5-1】1.（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）與圓x2+y2?4y=0相交所得的弦長(zhǎng)為2，且在y【答案】±【分析】先求出圓心和半徑，再根據(jù)題意設(shè)直線方程為y=kx?1，然后求出圓心到直線的距離，再根據(jù)圓心距，弦和半徑的關(guān)系列方程可求出k，從而可求出直線方程.【詳解】由x2+y2?4y=0，得x由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線方程為y=kx?1，則圓心到直線的距離為d=0?2?1因?yàn)榕c圓x2所以12+3所以直線方程為y=±2x?1，即直線方程為故答案為：±【變式5-1】2.（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知直線x?y?1=0與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A(2,1)，若|AB|=22，且圓C與y軸相切，則圓C【答案】(x?2)2+(y?3)2=4【分析】設(shè)Bx0,y0，由弦長(zhǎng)公式求出B點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)圓C的方程為：(x?a)【詳解】圓C與y軸相切，所以設(shè)圓C的方程為：(x?a)2設(shè)Bx0,y0，則|AB|=則B0,?1或當(dāng)B4,3時(shí)，因?yàn)锳，B兩點(diǎn)都在圓C4?a2+3?b2當(dāng)B0,?1時(shí)，因?yàn)锳，B兩點(diǎn)都在圓C0?a2+?1?b所以圓C的方程為(x?2)2+(y?3)2=4故答案為：(x?2)2+(y?3)2=4【變式5-1】3.（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線x?y+m=0與圓C:x2+y2+4y=0相交于A．?4或0 B．?4或4 C．0或4 D．?4或2【答案】A【分析】由圓的方程可得圓心和半徑，根據(jù)CA⊥CB可確定AB長(zhǎng)，從而得到圓心到直線距離，由點(diǎn)到直線距離公式可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由圓C方程知：圓心C0,?2，半徑r=∵CA?CB=0，∴圓心C到直線x?y+m=0的距離d=1即0+2+m1+?12=m+2故選：A.【變式5-1】4.（2023秋·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知A，B是圓C：x?32+y?12=9A．2 B．3 C．4 D．7【答案】D【分析】設(shè)P、C到直線AB的距離分別為d1,d2，根據(jù)題意結(jié)合垂徑定理可得【詳解】由題意可知：圓C：x?32+y?12=9則PC=設(shè)P、C到直線AB的距離分別為d1因?yàn)锳B=2r2分別過(guò)P、C作CM⊥AB,PN⊥AB，垂足分別為M,N，再過(guò)C作CD⊥PN，垂足為D，顯然當(dāng)P、C位于直線AB的同側(cè)時(shí)，點(diǎn)P到直線AB的距離較大，

則d2當(dāng)且僅當(dāng)CD=0所以點(diǎn)P到直線AB距離的最大值為7.故選：D.【變式5-1】5．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知直線x?y?1=0與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A(2,1)，若|AB|=22，且圓C與y軸相切，則圓C【答案】(x?2)2+(y?3)2=4【分析】設(shè)Bx0,y0，由弦長(zhǎng)公式求出B點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)圓C的方程為：(x?a)【詳解】圓C與y軸相切，所以設(shè)圓C的方程為：(x?a)2設(shè)Bx0,y0，則|AB|=則B0,?1或當(dāng)B4,3時(shí)，因?yàn)锳，B兩點(diǎn)都在圓C4?a2+3?b2當(dāng)B0,?1時(shí)，因?yàn)锳，B兩點(diǎn)都在圓C0?a2+?1?b所以圓C的方程為(x?2)2+(y?3)2=4故答案為：(x?2)2+(y?3)2=4題型6弦長(zhǎng)最短問(wèn)題【例題6】（2022秋·山西·高二長(zhǎng)治市上黨區(qū)第一中學(xué)校校聯(lián)考期中）已知直線l:λx?y?λ+1=0和圓C:x2+y2A．2 B．2 C．4 D．2【答案】D【分析】求出直線l過(guò)定點(diǎn)1,1，再利用弦長(zhǎng)公式即可得到最小值.【詳解】l:λx?1?y+1=0，令x=1，則y=1，所以直線l過(guò)定點(diǎn)當(dāng)x=1,y=1得12+12?4×1=?2<0因?yàn)閳A心0,2到直線l的距離d≤1?02+故選：D.【變式6-1】1.（2022秋·山東淄博·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線y=kx+m（m為常數(shù)）與圓x2+y2=5交于點(diǎn)M、N，當(dāng)kA．±1 B．±2 C．±3 D．±【答案】D【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式、直線被圓截得的弦長(zhǎng)公式求解.【詳解】由題可得，圓心為(0,0)，半徑為5，則圓心到直線y=kx+m的距離為d=m所以MN=2則當(dāng)k=0時(shí)，MN最小，最小值為MN=2解得m=±2，故選:D.【變式6-1】2.（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知圓C:(x?2)2+(y?4)2=35，直線A．5 B．45 C．10 D．25【答案】C【分析】先判定直線l過(guò)定點(diǎn)，再由弦長(zhǎng)公式計(jì)算即可.【詳解】由l:(2m+1)x+(m+1)y?7m?4=0?m2x+y?7x+y?4=02x+y?7=0?x=3y=1，即由C:(x?2)2+(y?4)2則當(dāng)AC⊥l時(shí)，C到l的距離最遠(yuǎn)，此時(shí)l被圓C截得的弦長(zhǎng)最小，最小值為2r故選：C

【變式6-1】3.（2023秋·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）直線x+y?2cosθ=0被圓A．2105 B．1010 C．2【答案】A【分析】根據(jù)題意可求出圓心坐標(biāo)和半徑大小，利用弦長(zhǎng)公式可知求出圓心到直線距離的最小值即可計(jì)算得出弦長(zhǎng)的最大值.【詳解】將圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)式可得x+32+y2根據(jù)弦長(zhǎng)公式可知，當(dāng)圓心到直線距離最小時(shí)，截得的弦長(zhǎng)最大，易知圓心?3,0到直線x+y?2cos由三角函數(shù)值域可知當(dāng)cos2θ=1時(shí)，此時(shí)弦長(zhǎng)為2r故選：A【變式6-1】4.（多選）（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）已知直線l:kx?y?k=0，圓M:x2+A．直線l恒過(guò)點(diǎn)1,0B．D=?4,E=?2C．直線l被圓M截得的最短弦長(zhǎng)為2D．當(dāng)k=1時(shí)，圓M上存在無(wú)數(shù)對(duì)點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱【答案】ABD【分析】求解直線系結(jié)果的定點(diǎn)判斷A；圓的圓心求解D、E判斷B；求解直線被圓截的弦長(zhǎng)判斷C，利用圓的圓心到直線的距離判斷D．【詳解】直線l:kx?y?k=0，恒過(guò)點(diǎn)(1,0)，所以A正確；圓M:x2+y2+Dx+Ey+1=0的圓心坐標(biāo)為圓M:x2+直線l:kx?y?k=0，恒過(guò)點(diǎn)(1,0)，圓的圓心到定點(diǎn)的距離為：2，直線l被圓M截得的最短弦長(zhǎng)為24?2當(dāng)k=1時(shí)，直線方程為：x?y?1=0，經(jīng)過(guò)圓的圓心，所以圓M上存在無(wú)數(shù)對(duì)點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，所以D正確．故選：ABD．【變式6-1】5.（多選）（2023秋·河北滄州·高二泊頭市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓C:x2+y?12=5，直線A．四邊形PACB的面積最小值為5B．M為圓C上一動(dòng)點(diǎn)，則MP最小值為2C．PA最短時(shí)，弦AB直線方程為2x?4y?1=0D．PA最短時(shí)，弦AB長(zhǎng)為15【答案】ACD【分析】根據(jù)已知，結(jié)合圖形，利用直角三角形、圓的性質(zhì)、直線方程以及點(diǎn)到直線的距離公式、勾股定理計(jì)算求解.【詳解】對(duì)于A，由切線長(zhǎng)定理可得PA=PB，又因?yàn)镃A=所以四邊形PACB的面積S=2S因?yàn)镻A=CP2?CA2=所以四邊形PACB的面積的最小值為S=5對(duì)于B，因?yàn)镃Pmin=0?2?85=2對(duì)于C，由題意可知點(diǎn)A，B，在以CP為直徑的圓上，設(shè)P(2a+8,a)，其圓的方程為：x?a?42化簡(jiǎn)為x2?2a+8x+y則直線AB的方程為(2a+8)x+(a?1)y?(a+4)=0，當(dāng)PA最短時(shí)，CP⊥l，則a?12a+8解得a=?3，故直線AB的方程為2x?4y?1=0，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)PA最短時(shí)，圓心C到直線2x?4y?1=0的距離d=0?4?1所以弦AB長(zhǎng)為2r故選：ACD.

【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的難點(diǎn)在于C的判斷，解答時(shí)要注意結(jié)合圓的公共弦方程的求解，求出直線AB方程，然后利用垂徑定理求出弦長(zhǎng).【變式6-1】6.（2022秋·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┲本€l過(guò)M(?1,1)且與圓C:x2+y2=4交于【答案】x+y=0【分析】根據(jù)給定條件，利用圓的性質(zhì)求解作答.【詳解】因?yàn)橄褹B是過(guò)M(?1,1)的圓C的最長(zhǎng)弦，則直線l過(guò)圓心O(0,0)，所以直線l的方程為y=?x，即x+y=0.故答案為：x+y=0題型7取值范圍相關(guān)問(wèn)題【例題7】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知圓C:x?22+(1)若P的坐標(biāo)為P?1,1(2)直線x?y+m=0與圓C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求OE?【答案】(1)y?1=0或3x+4y?1=0.(2)2,5+2【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P設(shè)直線方程，然后由圓心到直線的距離等于半徑構(gòu)建方程，即可求出切線；（2）聯(lián)立圓與直線，利用韋達(dá)定理構(gòu)建OE?【詳解】（1）∵P的坐標(biāo)為P?1,1∴當(dāng)斜率不存在時(shí)可設(shè)線為x=

此時(shí)圓心C2,0當(dāng)斜率不存在時(shí)可設(shè)線為y?1=kx+1，即kx?y+k+1=0

此時(shí)圓心C2,0到直線的距離d=可得k=0或?34，∴過(guò)點(diǎn)P的切線方程為y?1=0或（2）設(shè)Ex1

聯(lián)立x?y+m=0x?22+y2化簡(jiǎn)可得：2x則Δ=2m?42解得?2?2由韋達(dá)定理可得x1+xOE=2x又?2?2OE?【變式7-1】1.（2022·高二課時(shí)練習(xí)）我們知道：當(dāng)P(x0,y0)是圓O：x2+y2=r2上一點(diǎn)，則圓O的過(guò)點(diǎn)P的切線方程為x0x+y0y=r2；當(dāng)(1)求圓C的方程；(2)當(dāng)P(3,3)時(shí)，求線段AB的長(zhǎng)；(3)當(dāng)點(diǎn)P在直線2x+y=9上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段AB長(zhǎng)度的最小值.【答案】(1)x2(2)32(3)4.【分析】(1)根據(jù)圓的圓心和半徑設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?a)2(2)根據(jù)題意寫出AB的方程，根據(jù)垂徑定理即可求出弦長(zhǎng)；(3)根據(jù)題意求出AB經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)Q，當(dāng)CQ垂直于AB時(shí)，AB最短.（1）由題，設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?a)2則a?0+3212故圓C方程為x2（2）根據(jù)題意可知，直線AB的方程為3x+3y=9，即圓心C到直線AB的距離為d=0+0?3故弦長(zhǎng)AB=（3）設(shè)P(x0,y0)，則故直線AB過(guò)定點(diǎn)Q(2,1)，設(shè)圓心C到直線AB的距離為d，則AB=故當(dāng)d最大時(shí)，AB最短，而d≤CQ，故AB與CQ垂直時(shí)d最大，此時(shí)d=CQ=∴線段AB長(zhǎng)度的最小值4.【變式7-1】2.（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高二揚(yáng)州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓H:x2+(y?3)2=10，點(diǎn)(1)若直線l過(guò)點(diǎn)C，且被圓H截得的弦長(zhǎng)為2，求直線l的方程；(2)對(duì)于線段BH上的任意一點(diǎn)P，若在以C為圓心的圓上都存在不同的兩點(diǎn)M，N，使得點(diǎn)M是線段PN的中點(diǎn)，求圓C的半徑r的取值范圍．【答案】(1)x=3或4x?3y?6=0；(2)r∈【分析】（1）根據(jù)題意，求得圓心到l的距離d=3，分當(dāng)直線的斜率不存在和直線的斜率存在，兩種情況討論，即可求解；（2）設(shè)Pm,n，得到n=3?3m，再設(shè)Nx,y，得到Mm+x2,3?3m+y2，設(shè)圓C：x?32+設(shè)fm=10m2?12m+10，求得f【詳解】（1）解：由圓H:x2+(y?3)2因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)C的直線被圓H截得的弦長(zhǎng)為2，則圓心到l的距離d=10當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為x=3，滿足題意．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)l:y=k(x?3)+2，即kx?y?3k+2=0，則d=?3?3k+2k2+1=3，可得k=綜上，直線l的方程是x=3或4x?3y?6=0.（2）解：因?yàn)锽1,0，H0,3，所以直線BH的方程為x+y設(shè)Pm,n，因?yàn)辄c(diǎn)P在線段BH上，所以3m+n?3=0且m∈0,1，所以設(shè)Nx,y，因?yàn)镸為PN的中點(diǎn)，所以M設(shè)圓C：x?32由M，N在圓C上得x?32整理得x?32+y?22=即圓心為C3,2，半徑為r的圓與圓心為C'6?m,3m+1根據(jù)兩圓位置關(guān)系可知2r?r≤C即r≤3?6?m2所以r2整理得r2≤10m2?12m+10設(shè)fm=10m2?12m+10=10所以r2≤325若M為PN的中點(diǎn)，則點(diǎn)P在圓C外，所以m?32即m?32+1?3m所以r2<10綜上所述，實(shí)數(shù)r的取值范圍為103【變式7-1】3.（2023秋·河北邢臺(tái)·高二河北南宮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓C:x(1)證明：圓C過(guò)定點(diǎn).(2)當(dāng)λ=2時(shí)，求直線y=x被圓C截得的弦長(zhǎng).(3)當(dāng)λ=2時(shí)，若直線l:y=kx?1與圓C交于M,N兩點(diǎn)，且OM?ON<?2，其中O【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)2(3)?1,1【分析】（1）對(duì)式子變形為x2?2x+1+y（2）求出圓心到直線距離，再結(jié)合垂徑定理求解弦長(zhǎng)即可；（3）聯(lián)立直線與圓的方程，韋達(dá)定理，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算列不等式，求解即可.【詳解】（1）由x2得x2令x+2y?1=0，得(x?1)2+y所以圓C過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)的坐標(biāo)為1,0.（2）當(dāng)λ=2時(shí)，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2則圓C的圓心0,?2到直線y=x的距離d=2所以直線y=x被圓C截得的弦長(zhǎng)為25?（3）將y=kx?1代入x2+(y+2)則Δ=4設(shè)Mx1,所以O(shè)M=?41+k21+所以k的取值范圍是?1,1.【變式7-1】4.（2022秋·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）已知圓C：x2+y2?2x?6=0和定點(diǎn)A(1)當(dāng)m=1時(shí)，求直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)；(2)若直線l上存在點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作圓C的切線，切點(diǎn)為B，滿足MA=【答案】(1)26(2)0,【分析】（1）利用點(diǎn)到直線的距離公式、勾股定理以及圓的幾何性質(zhì)求得弦長(zhǎng).（2）先求得M點(diǎn)的軌跡方程，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系列不等式，由此求得m的取值范圍.【詳解】（1）圓C：x?12+y2=7當(dāng)m=1時(shí)，直線l的方程為x?y?2=0，所以圓心C到直線l的距離d=1?0?2故弦長(zhǎng)為2r

（2）設(shè)Mx,y，則MB由A?4,0，MA=2化簡(jiǎn)得x?62所以點(diǎn)M的軌跡是以D6,0又因?yàn)辄c(diǎn)M在直線l：mx?y+6m?8=0上，所以l與圓D有公共點(diǎn)，所以6m+6m?8m解得0≤m≤12所以m的取值范圍是0,12

【變式7-1】5.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C的方程為：x2+y2?4x=0．若Ax1,y【答案】4+4【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量將x1x2+y1y【詳解】x2+y設(shè)AB中點(diǎn)為M，所以x=====|而由題可知|CM|=2即M在以點(diǎn)C為圓心，半徑為r=2故|OM所以|故x1x2題型8切線長(zhǎng)問(wèn)題【例題8】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知直線l:x+ay?1=0(a∈R)是圓C:x2+y2A．2 B．±43 C．210【答案】D【分析】根據(jù)題意，得到直線l過(guò)圓心C(3,1)，求得a=?2，得到P(?4,?2)，結(jié)合圓的弦長(zhǎng)公式，即可求解.【詳解】由圓C:x2+所以圓心C(3,1)，半徑為r=3，又由直線l:x+ay?1=0是圓C的對(duì)稱軸，即直線l過(guò)圓心C(3,1)，即3+a?1=0，解得a=?2，即P(?4,?2)，則PC=所以切線長(zhǎng)為PA=故選：D.【變式8-1】1.（2022秋·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）設(shè)P是直線l：x+y+1=0上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作圓C：x?32A．4 B．42 C．25 【答案】D【分析】由題意得當(dāng)PQ最小時(shí)，CP連線與直線l:x+y+1=0垂直，由點(diǎn)到直線的距離公式和勾股定理可求得答案.【詳解】圓C:x?32+y?42=4由題意得當(dāng)PQ最小時(shí)，CP連線與直線l:x+y+1=0垂直，所以|CP|=|3+4+1|由勾股定理得|PQ|=|CP所以PQ的最小值為27故選：D.【變式8-1】2.（2022秋·福建漳州·高二?？计谥校┤魣AC：x2+y2+2x?4y+3=0上任意一點(diǎn)關(guān)于直線2ax+by+6=0的對(duì)稱點(diǎn)都在圓CA．2 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】由題意得直線2ax+by+6=0過(guò)圓心，轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)a,b與圓心的距離最小值．【詳解】x2+y2+2x?4y+3=0為(x+1)由題意得直線2ax+by+6=0過(guò)C(?1,2)，得?2a+2b+6=0，即b=a?3，點(diǎn)a,b到圓心C(?1,2)可表示為(a+1)2當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)取最小值18，此時(shí)切線段長(zhǎng)為18?2=4故選：B【變式8-1】3.（2023秋·江蘇泰州·高二泰州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x?12+yA．－1 B．?22 C．－3 【答案】D【分析】根據(jù)四邊形PMCN為正方形可得PC=22，轉(zhuǎn)化為圓心C到直線l的距離為2【詳解】由x?12+y2=4

因?yàn)樗倪呅蜳MCN為正方形，且邊長(zhǎng)為圓C的半徑2，所以PC=22所以直線l：x+y+m=0上有且只有一個(gè)點(diǎn)P，使得PC=22，即PC⊥l所以圓心C到直線l的距離為22所以|1+0+m|1+1=22，解得m=3或m=?5故選：D.【變式8-1】4.（2023秋·廣東珠?！じ呷楹Ｊ械诙袑W(xué)?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)直線2x?y?3=0上一點(diǎn)P作圓C:x2+2x+y2A．265 B．255 C．【答案】A【分析】由題意圓C:x2+2x+y2=1的標(biāo)準(zhǔn)方程為C:x+1+y【詳解】如下圖所示：

由題意圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為C:x+1+y又因?yàn)閟inα=ACCP所以sin∠APB=2又圓心C?1,0到直線2x?y?3=0的距離為d=所以CP≥d=5，所以不妨設(shè)則sin∠APB=2又因?yàn)閒t在0,15單調(diào)遞增，所以當(dāng)且僅當(dāng)t=15即CPsin∠APB有最大值sin故選：A.【變式8-1】5.（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知圓C與直線x?2y?2=0相切于點(diǎn)M2,0，且圓心C在直線y=?x【答案】2【分析】設(shè)出圓心的坐標(biāo)(t,?t)，用兩種角度表示出半徑的表達(dá)式，列方程即可求出圓心坐標(biāo)還有半徑，然后求切線長(zhǎng)即可.【詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)為(t,?t)，圓的半徑為r，由題意，圓心(t,?t)到x?2y?2=0的距離為r，即r=3t?2又圓心到M2,0的距離也是r，即r=(t?2)2整理得(t?4)2=0，即t=4，則圓心坐標(biāo)為(4,?4)，半徑為25于是過(guò)原點(diǎn)作圓的切線長(zhǎng)為：42故答案為：2【變式8-1】6.（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知⊙M：x?12+y?12=4，直線l：2x+y+2=0【答案】1【分析】由已知求得圓心坐標(biāo)與半徑，再求出圓心到直線l的距離，利用勾股定理得答案．【詳解】⊙M：(x?1)2+(y?1)

|MA|=2，且PA2故要使|PA|最小，則|PM|最小，此時(shí)PM⊥l，因?yàn)閳A心M到直線l：2x+y+2=0的距離為|2×1+1+2|2∴|PA|的最小值為(故答案為：1．題型9兩圓公共弦長(zhǎng)（方程）問(wèn)題【例題9】（2023春·全國(guó)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若圓x2+y2=4與圓xA．±2 B．±4 C．2 D．4【答案】A【分析】利用兩圓方程相減求出公共弦所在直線方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，利用幾何法求弦長(zhǎng)列出方程，解方程即可.【詳解】圓x2+y整理得公共弦所在直線方程為2x+ay?4=0，又x2+y2=4則圓心O0,0到直線2x+ay?4=0d=4化簡(jiǎn)得2a解得：a=±2．驗(yàn)證知符合題意.故選：A.

【變式9-1】1.（2022秋·福建漳州·高二?？计谥校┮阎獔AC1:x2+y2?4x?4y+4=0與圓A．2 B．3 C．2 D．2【答案】D【分析】先求得相交弦AB所在直線方程，然后根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式求得AB．【詳解】圓C1:x將兩圓的方程相減整理得直線AB:x+y?2=0，圓C2:x2+點(diǎn)C20,0到直線AB:x+y?2=0的距離所以|AB|=2故選：D．【變式9-1】2.（多選）（2022秋·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┮阎獔AC1：(x?1)2+(y?3)2A．若圓C2與x軸相切，則B．若m=?3，則圓C1與圓CC．若圓C1與圓C2D．直線kx+y?2k?1=0與圓C1【答案】BD【分析】求出兩圓的圓心和半徑，再逐項(xiàng)分析判斷作答.【詳解】圓C1：(x?1)2+(y?3)2=11的圓心C1(1,3)，半徑r1對(duì)于A，圓C2與x軸相切，則|m|=2，解得m=±2對(duì)于B，當(dāng)m=?3時(shí)，|C1C2|=對(duì)于C，當(dāng)圓C1與圓C2有公共弦時(shí)，公共弦所在的直線方程為對(duì)于D，直線kx+y?2k?1=0，即k(x?2)+y?1=0恒過(guò)點(diǎn)(2,1)，而點(diǎn)(2,1)在圓C1因此直線kx+y?2k?1=0與圓C1故選：BD【變式9-1】3.（多選）（2023秋·貴州·高二貴州省興義市第八中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓M:(x?a)2+(y?a)2=1（a為實(shí)數(shù)），點(diǎn)A．若Q?1,2，過(guò)點(diǎn)Q可以作圓NB．當(dāng)a=0時(shí)，圓M與圓N的公共弦長(zhǎng)為15C．圓M上始終存在兩點(diǎn)與點(diǎn)B的距離為1，則a的取值范圍為?1?D．PA?PB【答案】ACD【分析】對(duì)于A，只需判斷點(diǎn)Q與圓的位置關(guān)系即可；對(duì)于B，先求公共弦所在直線方程，進(jìn)而可求圓心M(0,0)到直線的距離；對(duì)于C，只需|MB|<2即可；對(duì)于D，將P點(diǎn)坐標(biāo)用三角函數(shù)表示，再用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可.【詳解】圓M的圓心M(a,a)，半徑r1=1，圓N的圓心N(?2,0)，半徑對(duì)于A，QN=所以點(diǎn)Q在圓外，過(guò)點(diǎn)Q可以作圓N的兩條切線，A正確；對(duì)于B，當(dāng)a=0時(shí)，圓M:x兩圓方程相減得公共弦所在直線方程為4x+1=0，則圓心M(0,0)到直線的距離為d=1所以公共弦長(zhǎng)為21對(duì)于C，|MB|=(a+1)2+a即(a+1)2+a解得?1?7對(duì)于D，設(shè)P(2cosPA∴=4?10cos∵cos∴PA故選：ACD【變式9-1】4．（2023秋·山東泰安·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知圓A:x2+y2?4y=0與圓B:x2+y2?2x=0相交于A．?45 B．45 C．?【答案】D【分析】求出直線OC的方程，繼而可求得點(diǎn)A到直線OC的距離，根據(jù)勾股定理可求得線段OC的長(zhǎng)度，在△OAC中，利用余弦定理可求得所求.【詳解】如圖所示：過(guò)點(diǎn)A,作AD⊥OC,因?yàn)锳O=AC，則D為線段OC的中點(diǎn)，聯(lián)立x2+y故直線OC的方程為x?2y=0，又A:x2+y2?4y=0化為則點(diǎn)A到直線OC的距離為0?2×21則OC=2A則△OAC中，cos故選：D【變式9-1】5.（2023春·浙江·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）若圓C1：x2+y2=4與圓C2：x?a2+【答案】855【分析】畫出已知兩個(gè)圓的圖象，利用圓的性質(zhì)可以得到兩切線互相垂直時(shí)，滿足過(guò)對(duì)方的圓心，再利用直角三角形進(jìn)行求解.【詳解】如圖，

由兩圓在A點(diǎn)處的切線互相垂直可知，兩條切線分別過(guò)兩圓的圓心，由相交圓公共弦的性質(zhì)可知AB⊥OO由切線性質(zhì)可知OA⊥AO1，在Rt△OA所以|OO又Rt△OAO1由等面積法可知，12即2×4=12|AB|×2故答案為：8題型10公切線相關(guān)問(wèn)題【例題10】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）圓C1:xA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)圓的一般式判斷圓心與半徑，利用幾何法判斷兩圓位置關(guān)系，進(jìn)而確定公切線的數(shù)量.【詳解】∵兩個(gè)圓C1:x∴圓C1圓心為?1,?1，半徑為2，圓C2圓心為2,1，半徑為∴兩圓圓心距為?1?22∵2?2<13∴兩圓相交，有2條公切線.故選：B.【變式10-1】1.（2023秋·全國(guó)·高二階段練習(xí)）圓M:x?22+A．x+2y=0 B．4x+3y=0C．x?2y+5=0 【答案】C【分析】由圓與圓位置關(guān)系的判斷可知兩圓外離，得公切線條數(shù)；根據(jù)兩圓半徑相同可確定兩條公切線過(guò)0,0，兩條公切線平行于MN，假設(shè)公切線方程，利用圓心到直線距離等于半徑可構(gòu)造方程求得公切線.【詳解】由兩圓方程得：圓心M2,1，N?2,?1，半徑∵兩圓圓心距d=2+22+1+12∵兩圓半徑相同，∴兩圓兩條公切線經(jīng)過(guò)MN中點(diǎn)0,0，兩條公切線與MN平行，∵經(jīng)過(guò)MN中點(diǎn)的公切線斜率顯然存在，可設(shè)為：y=kx，∴2k?1k2+1=1，解得：k=0或k=∵kMN=1??12??2=1∴2t1+4=1，解得：t=±52綜上所述：兩圓的公切線方程為：y=0或4x?3y=0或x?2y+5=0或故選：C.【變式10-1】2.（多選）（2023秋·遼寧朝陽(yáng)·高二建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）已知⊙C1:A．⊙C1與B．當(dāng)θ=π4時(shí)，直線x+y?2=0是C．若M,N分別是⊙C1與⊙CD．過(guò)點(diǎn)C1作⊙C2的兩條切線，切點(diǎn)分別是P,Q，則四邊形【答案】BD【分析】根據(jù)圓心距和半徑之間的關(guān)系可判斷A；計(jì)算圓心到直線的距離可判斷B；結(jié)合兩圓外切求得MN的最大值判斷C；求出弦長(zhǎng)即可求得四邊形C1【詳解】由題意知⊙C1的圓心C10,0，半徑r1=1,⊙C所以⊙C1與⊙C當(dāng)θ=π4時(shí)，點(diǎn)C1到直線x+y?即⊙C點(diǎn)C2到直線x+y?2=0即⊙C所以直線x+y?2=0是⊙C1與由于⊙C1與⊙C2相外切，故連接C2P,C根據(jù)勾股定理可得C1

所以四邊形C1PC故選：BD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是明確兩圓的位置關(guān)系，即判斷出兩圓外切，則圓的公切線問(wèn)題即可解決【變式10-1】3.（多選）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓O:x2+y2A．所有過(guò)點(diǎn)A,B的圓系的方程可以記為x2+y2?4B．直線AB的方程為y=2x+4C．線段AB的長(zhǎng)為4D．兩圓有兩條公切線y=?【答案】CD【分析】根據(jù)圓系方程的條件，可判定A錯(cuò)誤；利用兩圓相減，求得公共弦的方程，可判定B錯(cuò)誤；利用圓的弦長(zhǎng)公式，求得弦長(zhǎng)，可判定C正確；根據(jù)得到y(tǒng)=?2【詳解】對(duì)于A中，圓系方程x2+y2?4對(duì)于B選項(xiàng)，聯(lián)立方程組x2兩式相減得到直線AB的方程為y=2x?4，所以B錯(cuò)誤．對(duì)于C中，原點(diǎn)O到直線AB的距離為0?0?42根據(jù)勾股定理得AB=2對(duì)于D中，由圓M:x2+可得圓M的圓心坐標(biāo)為M(2,?1)，半徑為r2又由圓O:x2+y2可得直線y=?2與兩圓相切，即y則y=?2由O(0,0)和M(2,?1)，可得兩圓心所在直線為y=?12x聯(lián)立方程組y=?2x+2y=0，解得x=4,y=?2，即交點(diǎn)坐標(biāo)為在直線y=?2上任取一點(diǎn)1,?2設(shè)點(diǎn)1,?2關(guān)于直線x+2y=0對(duì)稱點(diǎn)為(x,y)，可得y+2x?1解得x=?1,y=2，即對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為?1,2，所求的另一條切線過(guò)點(diǎn)?1,2，4,?2，可得其方程為4x+3y?10=0，故所求切線方程為y=?2故選：CD.

【變式10-1】4.（2023秋·全國(guó)·高二階段練習(xí)）過(guò)P(x,y)作圓C1:x2+y2?2x=0與圓C2:x【答案】4913/【分析】利用圓切線的性質(zhì)，結(jié)合代入法、二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】圓C1:x圓C2:x因?yàn)镻A,PB是分別是圓C1，圓C所以AC因?yàn)閨PA|=PB∣，所以有|PC即x2+y化簡(jiǎn)，得2x+3y=7?y=7?2x3代入得x2所以當(dāng)x=1413時(shí)，x2故答案為：49

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用圓的切線性質(zhì)得到等式2x+3y=7.【變式10-1】5.（2023秋·河南焦作·高二?？茧A段練習(xí)）已知圓C1：x2+y(1)求經(jīng)過(guò)圓C1與圓C(2)求圓C1與圓C【答案】(1)x+y?1=0；(2)2.【分析】（1）判斷兩圓的相交，再把兩圓方程相減即可.（2）利用弦長(zhǎng)公式，借助點(diǎn)到直線的距離求解即可.【詳解】（1）圓C1：x2+y2=1的圓心C1(0,0)，半徑r1于是|C1C2|=則A，B的坐標(biāo)是方程組x2+y則A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足x+y?1=0，所以AB所在直線方程為x+y?1=0．（2）對(duì)于圓C1：x2+y2=1，圓心所以圓C1與圓C2的公共弦長(zhǎng)為【變式10-1】6．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）證明圓C1:x【答案】證明見(jiàn)解析，切線方程為2x+y+6=0【分析】根據(jù)兩圓圓心距與半徑的關(guān)系即可求證，求解切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)向量垂直關(guān)系即可求解切線方程.【詳解】將圓C1的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得x?2則圓心坐標(biāo)為2,0，半徑r1將圓C2的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得x則圓心坐標(biāo)為0,?1，半徑r2兩圓心之間的距離d=2

為求公切線方程，需要求切點(diǎn)坐標(biāo)．切點(diǎn)是兩圓唯一的公共點(diǎn)，其坐標(biāo)即為方程組x2②－①，得4x+2y+12=0，

③即y=?2x?6．

④將④代入②，整理得x2解此方程，得唯一解x=?2，代入④，得y=?2切點(diǎn)?2,?2到圓C1的圓心2,0的方向向量為2?故向量4,2是切線的法向量，因此可設(shè)切線的一般式方程為4x+2y+C=0．將切點(diǎn)?2,?2的坐標(biāo)代入上述方程，解得C=12．因此，所求切線方程為2x+y+6=0．題型11中點(diǎn)弦問(wèn)題【例題11】（2023·湖南郴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知A，B是⊙C：x?22+y?42=25A．x?42+y?2C．x?22+y?4【答案】C【分析】由圓的垂徑定理得CP⊥AB，利用勾股關(guān)系求得CP=4【詳解】因?yàn)锳B中點(diǎn)為P，所以CP⊥AB，又AB=6，所以CP所以點(diǎn)P在以C為圓心，4為半徑的圓上，其軌跡方程為x?22故選：C.【變式11-1】1.（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)半徑為3的圓C被直線l:x+y?4=0截得的弦AB的中點(diǎn)為P3,1，且弦長(zhǎng)AB=27，則圓C【答案】(x?4)2+(y?2)【分析】設(shè)所求的圓的方程，根據(jù)弦心距和弦的中點(diǎn)，建立方程，即可求得圓C的方程．【詳解】由題意設(shè)所求的圓的方程為：(x?a)2圓心到直線的距離為d=9?7∵圓C被直線l：x+y?4=0截得的弦AB的中點(diǎn)為P3,1，∴解得a=4,b=2或a=2,b=0，即所求的圓的方程為：(x?4)2+(y?2)故答案為：(x?4)2+(y?2)【變式11-1】2.（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）點(diǎn)A(3,5)是圓x2+y【答案】x+y?8=0【分析】先求出圓的圓心B(2,4)，半徑r=10，設(shè)這條弦所在直線為l，則AB⊥l，求出直線AB的斜率，從而可求出直線l的斜率，進(jìn)而可求出直線l的方程.【詳解】圓的方程可化為(x?2)2+(y?4)2=設(shè)這條弦所在直線為l，則AB⊥l，因?yàn)閗AB=5?43?2=1所以所求直線為y?5=?(x?3)，即x+y?8=0.故答案為：x+y?8=0【變式11-1】3.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知圓M:(x?4)2+y2=16，過(guò)點(diǎn)N2,0的直線l與圓M交于A,B兩點(diǎn)，D【答案】x?3【分析】由圓的垂徑定理可得MD⊥DN，結(jié)合向量垂直的條件：數(shù)量積為0，化簡(jiǎn)可得所求軌跡方程，即可求得答案.【詳解】圓M:(x?4)所以圓心為M4,0，半徑為4，設(shè)D由線段AB的中點(diǎn)為D，可得MD⊥DN，即有MD?即x?32所以點(diǎn)D的軌跡是以3,0為圓心，1為半徑的圓；故答案為：x?32【變式11-1】4.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓O:x2+y2=1，直線l:x+y?2=0，過(guò)l上的點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B，則弦【答案】x?【分析】由題意得弦AB中點(diǎn)M為直線OP和AB的交點(diǎn)，設(shè)Pp,2?p,p≠0,2，則可表示出直線OP的方程，由已知可得O,A,B,P四點(diǎn)共圓，得OP為直徑的圓的方程，兩圓方程相減可得直線AB的方程，然后直線AB的方程與直線OP聯(lián)立，消去p，可得弦AB中點(diǎn)【詳解】由題意得弦AB中點(diǎn)M為直線OP和AB的交點(diǎn)，設(shè)Pp,2?p,p≠0,2，則直線OP的方程為又PA,PB均與圓O:x2+故O,A,B,P四點(diǎn)共圓，且AB為以O(shè)P為直徑的圓與圓O的公共弦.又以O(shè)P為直徑的圓的方程為x?0x?p+y?0故AB的方程為x2?px+y2?又y=2?ppx代入1?px?2?py=0有化簡(jiǎn)得x?1當(dāng)P0,2時(shí)，M0，12又當(dāng)M0，0綜上點(diǎn)M的軌跡方程為x?1故答案為：x?【變式11-1】5.（2023秋·浙江金華·高三階段練習(xí)）已知圓C的直徑AB=6，點(diǎn)M滿足MA=2MB.記點(diǎn)M的軌跡為W，設(shè)W與C交于P,Q兩點(diǎn)，則【答案】24【分析】首先建立坐標(biāo)系，分別求圓C和圓W的方程，兩圓相減后求直線PQ的方程，再根據(jù)弦長(zhǎng)公式求解弦長(zhǎng).【詳解】以線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，以AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則圓C的方程為x2A?3,0，B3,0，設(shè)由題意可知，x+32整理為x?52則圓W的方程為x?52兩圓相減得直線PQ的方程為x=9圓心0,0到直線x=95的距離所以線段PQ=2故答案為：24題型12面積相關(guān)問(wèn)題【例題12】（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）若直線3x?y?3=0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在圓x2+A．[2,32] B．[3,2【答案】C【分析】先求得點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而求得|AB|，再求出圓上的點(diǎn)P到直線距離的最值，代