空間向量知識點歸納總結(jié)

知識要點。

1.空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。

注(1)向量一般用有向線段表示洞向等長的有向線段表示同一或相等的向量。

(2)空間的兩個向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示。

2.空間向量的運算。

定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運算如下(如圖)。

OB-OA+AB=a+5；=C?=a—6；OP=Xa(XGR)

運算律：⑴加法交換律：a+b=b+a

⑵加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)

⑶數(shù)乘分配律：九信+6)=入+力

3,共線向量。

(1)如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線

向量或平行向量，a平行于b,記作a〃b。

當(dāng)我們說向量3、6共線(或WiTa6方0ab共面向量

(1)定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。

說明：空間任意的兩向量都是共面的。

(2)共面向量定理：如果兩個向量方6不共線，萬與向量瓦彳共面的條件是存在實數(shù)

x,y使7=xa+yb0

5空間向量基本定理：如果三個向量不共面，那么對空間任一向量力，存在一個

唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y,z,使戶=X^+〉，5+ZF。

若三向量不共面，我們把他,5?叫做空間的一個基底，4了一叫做基向量，空間

任意二個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底。

推論：設(shè)0,4SC是不共面的四點，則對空間任一點P,都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)

羽Xz,他尸=xOA+yOB+zOC。

6空間向量的直角坐標(biāo)系：

(1)空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：

在空間直角坐標(biāo)系。-孫z中，對空間任一點A,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使

0A=xF+y7+zir,有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫作向量A在空間直角坐標(biāo)系。-孫z中的坐標(biāo)，記作

AQ,y,z),x叫橫坐標(biāo)，y叫縱坐標(biāo)，z叫豎坐標(biāo)。

(2)若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為1,這個基底叫單位正交基底,

用"5%｝表示。

(3)空間向量的直角坐標(biāo)運算律：

①若石=(a,a,a),5=(b,b,b),貝!]?+萬=(a+b,a+匕，。+b),

123123I12233

a-b=(a-bya-b,a-b),九。二(入a,貓，九)(XeR),

a

112233123

al)=ah-\-ab-\-ab,

112233

a〃7oa=＞匕，a=Xb、a=Xb(XG/?),

112233

ciah+ab+ah=0。

112233

輻W，)M),HR。則麗=%彳匕712—小

一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點

的坐標(biāo)。

(4)模長公式：若,=(〃，〃，Q),5=(b,b,b),

123123

貝ij|a|=a=業(yè)：+”+&；，15|=小?萬=也2+b；+b：

、?4八一u/-r\abab+ab+ab

(5)央角公式：C0S(a?/?)=-=——一--‘'-

'9|a||b|&2+a2+a2jb2+b2+b2

▼123▼123

(6)兩點間的距離公式：若4(x,y,z),B(x,y,z),

111222

貝U|AB|=JA伴=J(x-x)2+(y-y)2+(z-z)2,

▼212121

或狐二J(%_\)2+億_Ng+K_\)2

7空間向量的數(shù)量積。

。)空間向量的夾角及其表示：己知兩非零向量a.b,在空間任取一點。，作

==S,則NA08叫做向量々與Z的夾角，記作＜0,%＞；且規(guī)定0＞0叫顯

然有＜°涉＞=＜尻b＞；若＜%5＞=1,則稱/與/T互相垂直，記作：alb.

2

0向量的模：m=a,貝J有向線段次的長度叫做向量方的長度或模，記作：|d|o

0向量的數(shù)量積：己知向量,貝|J/?1cos之2,人>叫做出人的數(shù)量積，記作〃?/?,

———一

即萬b二|a||"coscatb>。

Q空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：

①。下二|2|COS<(T,e>o②a工b"ab=O。?|a\^=0.a°

6空間向量數(shù)量積運算律：

①(九萬)5=九(廳.5)=0.(九萬)。②一?%=%%(交換律)。

③1?(5+Z)=2?％+z%(分配律)。

6：空間向量的坐標(biāo)運算：

1.向量的直角坐標(biāo)運算

設(shè)□=(〃，〃，〃)，5=(6,b,b)則

123123

(1)4+b=(a+b,a+b,ci+b)；(2)d-b—(tz—btu—b,ci~b)；

112233112233

(3)Xa=(入4,入〃，入a)(A.ER)；(4)cr?7?=ab-ab+abi

123112233

2設(shè)A(x,y,z),B(x,y,z),則==(x-x,y-y,z-z).

111222212121

3、設(shè)Z=(x,y,z),5=(x,y,z),則

111222

=￡二九氏方H①；aA-ba■b=Qxx+yy+zz=0.

"121212

ab+ab+ab

4夾角公式設(shè)。=(〃M),/尸=(b/力)，則COSv杼>=

123123^2+a2+02^2

5異面直線所成角

向量，A到平面a的距離為："士竺M

㈤

【典型例題】

例1.已知平行六面體ABCD—ABCD，化簡下列向量表達(dá)式，標(biāo)出化簡結(jié)果的向量。

(DAB+BC；⑵A5+A3+44；

(3)M+m+lcC；(4)1(XB+XD+樹)o

23

AB

例2.對空間任一點。和不共線的三點A,B,C，問滿足向量式：

OA+ydB+zOC(其中x+y+z=1)的四點P,A,8,C是否共面

例3.己知空間四邊形048C,其對角線03,AC,M,N分別是對邊。41c的中點，點G

在線段MN上，且MG=2GN,用基底向量而，瓦,OC表示/

向量53。小

例4.如圖，在空間四邊形OABC中，0A=8,A3=6,AC=4,BC=5,ZOAC=45,

N0A3=60,求04與3c的夾角的余弦值。

說明：由圖形知向量的夾角易出錯，如<方,Z>=135。易錯寫成OA,>=45°,切

記!

例5.長方體ABC?！狝BC。中，AB=BC=4,E為AC與BZ)的交點，F(xiàn)為BC與BC

1111111111

的交點，又—，求長方體的高隼。

空間向量與立體幾何練習(xí)題

%

一、選擇題

1如圖，棱長為2的正方體ABCD-ABCD在空間直角坐標(biāo)

1111

系中，若只尸分別是8C,。。中點，則訪的坐標(biāo)為（

1

A.(1,2-1)

C.(-1-2,1)D.(1-2,-1)

AB

2如圖，ABCD—ABCD是正方體，BE=DF=11!，貝IJBE與DF

4

所成角的余弦值是（)

1

B.

2

8

C._D.

172

3在四棱錐尸-ABC。中，底面ABC。是正方形，E為PD中點、,若

D.

PA=a,PB=b,PC=cf則而=()

A.J_3-

222222

c.la--b+-cD.la--b+-c

222222

二、填空題

4.若點41,2,3),8(-3,2,7),且■衣詼1=6,則點C的坐標(biāo)為

5.在正方體ABCD-ABCD中，直線AD與平面ABC夾角的余弦值為

111111

三、解答題

1、在正四棱柱ABCD-ABCD中，AB與底面ABCD所成的角為一

iiiii4

(1)求證3"面ABC(2)求二面角B—AC—8的正切值

111

2在三棱錐P—ABC中，AB=AC=3

AP=4,PA1,Z^C=90c,。是PA中點，點E在BC

上，且6石=2CE,(1)求證：AC.LBD；(2)求直線。七與FC夾

角。的余弦值；(3)求點A到平面的距離d的值.

3在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，ZBAI>90°,AD/7BC,AB=BC=a,AD=2a,

且PA底面ABCD,PD與底面成30°角.

①若AEJ_PD,E為垂足，求證：BE1PD；

0求異面直線AE與CD所成角的余弦值.

4、己知棱長為1的正方體AC,E、F分別是BC、CD的中點.（1）求證：E、F、D、B共

1I11

面（2）求點A到平面的BDEF的距離；（3）求直線AD與平面BD*所成的角.

11.

5、己知正方體ABCD-ABCD的棱長為2,點E為棱AB的中點，求：

1111

(I)DE與平面BCD所成角的大??；(H)二面角D—BC—C的大小；

I11

【模擬試題】

1已知空間四邊形A3CQ,連結(jié)設(shè)M,G分別是BCCO的中點，化

簡下列各表達(dá)式，并標(biāo)出化簡結(jié)果向量：(1)AB-^-BC+CD；(2)

AB+一(B/)+xC)；

2

③A<3r)--(A—+a

2

2已知平行四邊形ABCD,從平面AC外一點。引向量。

^=i^AfiF=kOB^OG=kOC^OH=~kdD.(1)求證：四點E,￡G,H共面；

(2)平面AC〃平面EG。

3如圖正方體A8CO-ABC。中，BE=DFBt

i-ii11ii4i1

求8E與。尸所成角的余弦。

11

4.已知空間三點A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5)。

⑴求以向量言,次為一組鄰邊的平行四邊形的面積S；

⑵若向量1分別與向量而，而垂直，且求向量a的坐標(biāo)。

5.已知平行六面體ABCD-ABCD中

AB=4,AD=3,AA'=5,ZR4D=90。，

ZBAAf=ZDAA，=60。，求AC'的長。

［參考答案］

1.解：如圖，

(1)AB+BC+CD=AC+CD=AD；

(2)而+1碇)二加+「加J加。

222

=池?麗?~MG=AG；

(3)AG——(A1B.At?)=A(J—AKi-MCJ。

2

2.解：(1)證明：