PAGEPAGE11．1.1命題1.了解命題的概念．2.理解命題的結(jié)構(gòu)3.駕馭命題真假的推斷．1．推斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)并非任何語句都是命題，只有能推斷真假的陳述句才是命題．()(2)一個命題不是真命題就是假命題．()(3)有的命題只有結(jié)論沒有條件．()答案：(1)√(2)√(3)×2．下列命題是真命題的是()A．全部素數(shù)都是奇數(shù)B．若a>b，則a－6>b－6成立C．對隨意的x∈N，都有x3>x2成立D．方程x2＋x＋1＝0有實根答案：B3．有下列命題：①若a·b＝0，則a⊥b；②若|a|＝|b|，則a＝b；③梯形的對角線相等．其中假命題有________(填序號)．答案：②③命題推斷下列語句是否為命題，并說明理由．(1)f(x)＝3x(x∈R)是指數(shù)函數(shù)；(2)集合{a，b，c}有3個子集；(3)這盆花長得太好了！【解】(1)“f(x)＝3x(x∈R)是指數(shù)函數(shù)”是陳述句并且它是真的，因此它是命題．(2)“集合{a，b，c}有3個子集”是陳述句，并且它是假的，所以它是命題．(3)“這盆花長得太好了！”是感嘆句，它不是命題．eq\a\vs4\al()推斷語句是否是命題的策略(1)命題是可以推斷真假的陳述句，因此，疑問句、祈使句、感嘆句等都不是命題．(2)對于含變量的語句，要留意依據(jù)變量的取值范圍，看能否推斷其真假，若能，就是命題；若不能，就不是命題．推斷下列語句是否是命題，并說明理由．(1)求證π是無理數(shù)；(2)若x∈R，則x2＋4x＋5≥0；(3)一個數(shù)的算術(shù)平方根肯定是負數(shù)；(4)你是高三學(xué)生嗎？解：(1)是祈使句，不是命題；(2)是陳述句，并且可以推斷真假，故為命題；(3)是命題，并且是假命題，因為一個數(shù)的算術(shù)平方根為非負數(shù)；(4)不是命題，因為它不是陳述句．命題真假的推斷推斷下列命題的真假．(1)若a>b，則a2>b2；(2)x＝1是方程(x－2)(x－1)＝0的根；(3)若a、b都是奇數(shù)，則ab必是奇數(shù)；(4)直線y＝x與圓(x－1)2＋y2＝1相切．【解】(1)為假命題，如a＝1，b＝－2時，有a>b，但a2<b2.(2)為真命題，由方程的根的定義，將x＝1代入方程，即可作出推斷．(3)為真命題，令a＝2k1＋1，b＝2k2＋1(k1，k2∈Z)，則ab＝2(2k1k2＋k1＋k2)＋1，明顯2k1k2＋k1＋k2是一個整數(shù)，故ab是奇數(shù)．(4)為假命題，圓心到直線的距離d＝eq\f(\r(2),2)小于圓的半徑1，直線與圓相交．若將本例(3)中“ab”改為“a＋b”，則結(jié)果如何？解：取a＝3，b＝7，則a＋b＝10為偶數(shù)，故命題錯誤，為假命題．eq\a\vs4\al()推斷命題真假的方法(1)真命題的判定方法要推斷一個命題是真命題，一般要有嚴格的證明或有事實依據(jù)，比如依據(jù)已學(xué)過的定義、公理、定理證明或依據(jù)已知的正確結(jié)論推證．(2)假命題的判定方法通過構(gòu)造一個反例否定命題的正確性，這是推斷一個命題為假命題的常用方法．推斷下列命題的真假，并說明理由．(1)正方形既是矩形又是菱形；(2)當x＝4時，2x＋1＜0；(3)若x＝3或x＝7，則(x－3)(x－7)＝0.解：(1)是真命題．由正方形的定義知，正方形既是矩形又是菱形．(2)是假命題．x＝4時，不滿意2x＋1＜0.(3)是真命題．x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.命題的推斷與命題真假的推斷推斷下列語句中哪些是命題，是真命題還是假命題？(1)末位是0的整數(shù)能被5整除；(2)平行四邊形的對角線相等且平分；(3)兩直線平行，則斜率相等；(4)余弦函數(shù)是周期函數(shù)嗎？【解】(1)是陳述句，且為真，故是命題且為真命題；(2)是命題．因為平行四邊形的對角線不肯定相等，故是假命題；(3)是命題．因兩直線平行時，可能直線的斜率都不存在，故是假命題；(4)因為該語句不是陳述句，所以該語句不是命題．推斷下列語句是否為命題，是真命題還是假命題？(1)若平行四邊形的邊都相等，則它是菱形；(2)對頂角相等嗎？(3)6>3；(4)x>3.解：(1)是陳述句，能推斷真假，是真命題；(2)不是陳述句，不是命題；(3)是陳述句，能推斷真假，是真命題；(4)是陳述句，但不能推斷真假，故不是命題．1．推斷一個語句是不是命題的關(guān)鍵要看是否是可以推斷真假的陳述句．2．推斷命題真假的思想(1)一個命題要么是真的，要么是假的，不能模棱兩可．給出一個命題，推斷它是真命題，需經(jīng)過嚴格的推理．而要說明它是假命題，只需舉一反例即可．(2)數(shù)學(xué)中的定義、定理、公理、公式都是真命題．1.對于含有變量的語句，要留意依據(jù)變量的取值范圍，看能否推斷其真假，若能，就是命題；若不能，就不是命題.2．我們在通過舉例子驗證命題真假時，優(yōu)先考慮特別情形，如探討集合中的空集、數(shù)列中的n＝1及公比q＝1、向量中的零向量、直線中的斜率為零或不存在等狀況．1．下列語句中命題的個數(shù)是()①地球是太陽的一顆行星；②0?N；③|x＋a|>0；④x2>3.A．1 B．2C．3 D．4解析：選B．①②是命題，③④不是命題．2．下列命題是真命題的是()A．{?}是空集B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈N||x－1|<3))是無限集C．π是有理數(shù)D．x2－5x＝0的根是自然數(shù)解析：選D．x2－5x＝0的根為x1＝0，x2＝5，均為自然數(shù)．3．命題“△ABC是等腰三角形，則它的隨意兩個內(nèi)角不相等”中的條件是________，結(jié)論是________，它是________命題(填“真”或“假”)．答案：△ABC是等腰三角形△ABC的隨意兩個內(nèi)角不相等假4．下列語句中是命題的有________，其中是假命題的有________．(填序號)①垂直于同一條直線的兩條直線必平行嗎？②一個數(shù)不是正數(shù)就是負數(shù)；③大角所對的邊大于小角所對的邊．解析：①是疑問句，不是命題；②是假命題，因為0既不是正數(shù)也不是負數(shù)；③是假命題，沒有考慮到“在兩個三角形中”的狀況．答案：②③②③[A基礎(chǔ)達標]1．下列語句中，不能成為命題的是()A．5＞12B．x＞0C．已知a、b是平面對量，若a⊥b，則a·b＝0D．三角形的三條中線交于一點解析：選B．A是假命題；C、D是真命題，B中含變量x，未指定x的取值范圍，無法推斷真假，故不是命題．2．下列說法正確的是()A．命題“直角相等”的條件和結(jié)論分別是“直角”和“相等”B．語句“最高氣溫30℃時我就開空調(diào)”不是命題C．命題“對角線相互垂直的四邊形是菱形”是真命題D．語句“當a＞4時，方程x2－4x＋a＝0有實根”是假命題解析：選D．對于A，改寫成“若p，則q”的形式應(yīng)為“若有兩個角是直角，則這兩個角相等”；B所給語句是命題；C的反例可以是“用邊長為3的等邊三角形與底邊為3，腰為2的等腰三角形拼成的四邊形不是菱形”來說明．故選D．3．下列命題中真命題的個數(shù)為()①面積相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，則|x|＋|y|＝0；③若a＞b，則a＋c＞b＋c；④矩形的對角線相互垂直．A．1 B．2C．3 D．4解析：選A．①錯；②中x＝3，y＝0，則xy＝0，但|x|＋|y|≠0，故②錯；③正確；④中矩形的對角線相等不肯定相互垂直．4．下列命題正確的是()A．若a>b，則ac2>bc2B．若a>－b，則－a>bC．若ac>bc，則a>bD．若a>b，則a－c>b－c解析：選D．當c＝0時選項A不正確；a>－b時，－a<b，選項B不正確；當c<0時，選項C不正確；由不等式的性質(zhì)知選項D正確，故選D．5．給出命題：方程x2＋ax＋1＝0沒有實數(shù)根，則使該命題為真命題的a的一個值可以是()A．4 B．2C．0 D．－3解析：選C．方程無實數(shù)根時，應(yīng)滿意Δ＝a2－4<0，故當a＝0時符合條件．6．下列語句：①eq\r(2)是無限循環(huán)小數(shù)；②x2－3x＋2＝0；③當x＝4時，2x>0；④一個數(shù)不是合數(shù)就是質(zhì)數(shù)；⑤把門關(guān)上．其中不是命題的是________．(填序號)答案：②⑤7．給出下列命題：①在△ABC中，若A＞B，則sinA＞sinB；②函數(shù)y＝x3在R上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)；③函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝a至多有一個交點；④若將函數(shù)y＝sin2x的圖象向左平移eq\f(π,4)個單位，則得到函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的圖象．其中真命題的序號是________．解析：①A＞B?a＞b?sinA＞sinB.②③易知正確．④將函數(shù)y＝sin2x的圖象向左平移eq\f(π,4)個單位，得到函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))的圖象．答案：①②③8．給出下列命題：①若直線l⊥平面α，直線m⊥平面α，則l⊥m；②若a，b都是正實數(shù)，則a＋b≥2eq\r(ab)；③若x2＞x，則x＞1；④函數(shù)y＝x3是指數(shù)函數(shù)．其中假命題的序號為________．解析：①明顯錯誤，所以①是假命題；由基本不等式，知②是真命題；③中，由x2＞x，得x＜0或x＞1，所以③是假命題；④中函數(shù)y＝x3是冪函數(shù)，不是指數(shù)函數(shù)，④是假命題．答案：①③④9．推斷下列命題的真假：(1)若xy＝1，則x、y互為倒數(shù)；(2)對角線垂直的平行四邊形是正方形；(3)平行四邊形是梯形；(4)若ac2>bc2，則a>b.解：(1)由倒數(shù)的定義知，為真命題．(2)對角線垂直的平行四邊形不肯定為正方形，如菱形，故為假命題．(3)由梯形定義知，為假命題．(4)由不等式的性質(zhì)知，為真命題．10．推斷下列語句是否是命題，若是，推斷其真假．(1)一個等比數(shù)列的公比大于1時，該數(shù)列為遞增數(shù)列；(2)當x＝3時，x＋4<0；(3)求證：若x∈R，方程x2－x＋1＝0無實根．解：(1)是命題，因為當?shù)缺葦?shù)列的首項a1<0，公比q>1時，該數(shù)列為遞減數(shù)列，因此是一個假命題．(2)是命題，它是一個假命題．(3)不是命題，它是祈使句．[B實力提升]11．下列語句：①3>2；②π是有理數(shù)嗎？③sin30°＝eq\f(1,2)；④x2－1＝0有兩個根，其中一個根為x＝－1；⑤x>eq\r(5).其中是命題的有()A．①②③ B．①③④C．③ D．②⑤解析：選B．①是真命題；②是疑問句不是命題；③是真命題；④也是真命題；⑤不能推斷真假，不是命題．故選B．12．關(guān)于平面對量a，b，c，下列三個命題：①若a·b＝a·c，則b＝c；②若a＝(1，k)，b＝(－2，6)，a∥b，則k＝－3；③非零向量a和b滿意|a|＝|b|＝|a－b|，則a與a＋b的夾角為60°.其中真命題的序號為________．解析：對于①，向量在等式兩邊不能相消，也可舉反例：當a⊥b且a⊥c時，a·b＝a·c＝0，但此時b＝c不肯定成立；對于②，有eq\f(1,－2)＝eq\f(k,6)，得k＝－3；對于③，依據(jù)平行四邊形法則，畫圖可知a與a＋b的夾角應(yīng)為30°，而不是60°.答案：②13．推斷下列命題的真假：(1)函數(shù)y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；(2)函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))在[0，π]上是減函數(shù)．解：(1)y＝sin4x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＝sin2x－cos2x＝－cos2x.T＝eq\f(2π,2)＝π，故為真命題．(2)y＝sineq\b\lc\(\rc\