2023年春九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《圓?？紵狳c(diǎn)題型分類匯編》綜合練習(xí)題(附答案)

圓周角定理

1.如圖，AB為。。的直徑，CD為弦，CDLAB于點(diǎn)E,連接DO并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)F,

連接“尸交于點(diǎn)G,CG=AG,連接4C.

(1)求證：AC//DF-,

(2)若42=12,求ZC和GD的長(zhǎng).

二.三角形的外接圓與外心

2.如圖，是△48C的外接圓，是。。的直徑，4D_LBC于點(diǎn)E.

(1)求證：ABAD=ZCAD-,

(2)連接2。并延長(zhǎng)，交NC于點(diǎn)尸，交。。于點(diǎn)G,連接GC.若。。的半徑為5,OE

=3,求GC和的長(zhǎng).

三.切線的性質(zhì)

3.如圖，N8為。。的直徑，C為A4延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CD是的切線，。為切點(diǎn)，OFL

4D于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)、F.

(1)求證：ZADC=ZAOF；

(2)若sinC=4,BD=8,求斯的長(zhǎng).

3

15

C0

4.如圖，為。。的直徑，C為。。上一點(diǎn)，和過(guò)點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為D

(1)求證：4c平分/D4B；

求CD的長(zhǎng).

5.如圖1,4B是。。的直徑，點(diǎn)C是O。上不同于4,8的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作。。的切線與A4

的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)。，連結(jié)/C,BC.

(1)求證：/DCA=/B；

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)C作CEL/3于點(diǎn)E,交。。于點(diǎn)尸，R9的延長(zhǎng)線交C8于點(diǎn)G.若

。。的直徑為4,Zr>=30°

D

6.如圖，BE是直徑，點(diǎn)/是外一點(diǎn)，OALOB,/P切。。于點(diǎn)P,連接交

/。于點(diǎn)C.

(1)求證：ZPAO=2ZPBO；

(2)若。O的半徑為5,tanZPAO=—,求BP的長(zhǎng).

4

B

7.如圖，N3是的直徑，點(diǎn)￡在。。上，/A=2/BDE、過(guò)點(diǎn)E作。。的切線EC,

交AB的延長(zhǎng)線于C.

(1)求證：NC=/ABD；

8.如圖，是。。的直徑，C是。。上一點(diǎn)，過(guò)C作。。的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

連接4C、BC,過(guò)。作。尸〃/C,交.BC于E,交DC于F.

(1)求證：ZDCB=ZDOF；

求。尸、。尸的長(zhǎng).

四.切線的判定

9.如圖，是OO的直徑，CD是。。的一條弦，ABLCD,連接/C,0D.

(1)求證：/B0D=2/A；

(2)連接D8,過(guò)點(diǎn)C作CELOB,交。8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,延長(zhǎng)。O,交NC于點(diǎn)?若

尸為4C的中點(diǎn)，求證：直線CE為。。的切線.

五.切線的判定與性質(zhì)

10.如圖，是的直徑，弦CDL/8于點(diǎn)E,點(diǎn)尸在函上，AF與CD交于■點(diǎn)、G,點(diǎn)、H

在。C的延長(zhǎng)線上，旦HG=HF,延長(zhǎng)坂交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M.

(1)求證：是O。的切線；

(2)若sinA/=&,BM=\,求NF的長(zhǎng).

5

11.如圖，為的直徑，C,。為。。上兩點(diǎn)，BD=AD，連接/c,BC,AD,BD,過(guò)

點(diǎn)D作DE//AB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)求證：直線DE是。。的切線；

(2)若/8=10,BC=6,求/。，8E的長(zhǎng).

12.如圖，在△/BC中，ZC=90°,BC,/C與。。交于點(diǎn)尸，D,BE為。0直徑,點(diǎn)、E

在48上，連接3D,DE,/ADE=/DBE.

(1)求證：NC是。。的切線；

(2)若siir4=^,。。的半徑為3,求8c的長(zhǎng).

5

六.圓與相似三角形綜合

13.如圖，是△4BC的外接圓，是的直徑，點(diǎn)。為血的中點(diǎn)，。。的切線?！?/p>

交OC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)求證：DE//AC-,

(2)連接8。交NC于點(diǎn)P,若NC=8,cos^=—,求。E和3P的長(zhǎng).

5

14.如圖，48是。。的直徑，C是。。上一點(diǎn)，連接4C.過(guò)點(diǎn)8作。。的切線，交/C的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，在/。上取一點(diǎn)E,使/連接BE,交于點(diǎn)尸，連接/足

(1)求證：/BAF=NEBD；

(2)過(guò)點(diǎn)￡作EG_LAD于點(diǎn)G.如果43=5,BE=2近,求EG,20的長(zhǎng).

15.如圖，四邊形48co內(nèi)接于O。，4B為。。的直徑，點(diǎn)。為標(biāo)的中點(diǎn)，對(duì)角線/C,

BD交于■點(diǎn)、E,的切線N尸交2。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R切點(diǎn)為4.

(1)求證：AE=AF；

(2)若"=6,BF=T3求的長(zhǎng).

C

16.如圖，在△N8C中，AB=AC,以48為直徑作。。，交BC于點(diǎn)、D,交AC于點(diǎn)、E,過(guò)

點(diǎn)B作的切線交OD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

(1)求證：NA=/BOF；

(2)若43=4,DF=\,求/￡的長(zhǎng).

17.如圖，是。。的直徑，CB,CD分別與。。相切于點(diǎn)8,D,連接。C,點(diǎn)E在48

的延長(zhǎng)線上，延長(zhǎng)ND,EC交于點(diǎn)F.

(1)求證：FA//CO；

(2)若E4=FE,CD=4,BE=2,求處的長(zhǎng).

18.如圖，為。。的直徑，BD=CD，過(guò)點(diǎn)/作。。的切線，交。O的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)求證：AC//DE；

(2)若4C=2,tan￡=-i,求的長(zhǎng).

19.如圖，四邊形43co內(nèi)接于。。，對(duì)角線/C是O。的直徑，BD平分NABC,BD交AC

于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)。作。尸，。尸交A4延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸.

(1)求證：AF=BC；

(2)如果/2=3/尸，求還■的值；

BE

(3)過(guò)點(diǎn)尸作尸G〃AD交。延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,求證：AG=CE.

?！瓴㈦p向延長(zhǎng)，交CD于點(diǎn)尸，交O。于點(diǎn)P,點(diǎn)0.

(1)如圖2,當(dāng)/8〃CZ)時(shí)，且?！?3,跖=2時(shí)，求。。的半徑；

(2)如圖3,當(dāng)與CD不平行(假設(shè)/N3C</D48),過(guò)點(diǎn)尸作N8的平行線，交

2c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)交4D于點(diǎn)N.

①求證：AMCFsADNF；

②若OE=4,EF=3,求。。的半徑；

(3)在(2)②的條件下，連接NC,BD.若/DEB=45°,求四邊形NCD6的面積.

圖1圖2圖3圖4

參考答案

一.圓周角定理

1.(1)證明：°：AG=CG,

：.ZDCA=ZCAF,

：.ZCAF=ZCDF,

：.ZACD=ZCDF,

：.AC//DF；

(2)解：如圖，連接CO,

9：AB±CD,

AAC=AD,CE=DE,

???ZDCA=ZCAF,

.,府=E,

???菽=舒=諦

ZAOD=ZAOC=ZCOF,

???。尸是直徑，

AZAOD=ZAOC=ZCOF=60°,

??Q=OC,

是等邊三角形，

：.AC=AO=6,ZCAO=60°,

9：CELAO,

:?AE=EO=3,ZACD=30°,

:?CE=3\[^=DE,

"：AG2=GE2+AE^,

：.AG2=U北-AG)2+9,

.?./G=2g,

：.GE=n，

：.DG^4-^3.

二.三角形的外接圓與外心

2.(1)證明：是。。的直徑，ADVBC,

BD=CD,

???ZBAD=ZCAD；

(2)解：在RtZXBQE中，08=5,OE=3,

A^=7OB2-OE2=4,

是O。的直徑，ADLBC,

:.BC=2BE=8,

是的直徑，

.?.N3CG=90°,

.".GC=^BQ2_BC2=6,

'：AD±BC,ZBCG=90°,

J.AE//GC,

：./\AFO^^CFG,

.OA=OF即5—UF

"GCFG’65-0F'

3.解：(1)連接OZ),

9：OFLAD,

：.ZAOF+ZDAO=90°,

???CD是OO的切線，。為切點(diǎn),

：.ZCDO=90°,

AZADC+ZADO=90°,

9：OA=OD,

：.ZDAO=ZADO,

：.NAOF=ZADC；

(2)OFLAD,BDLAD,

：.OF//BD,

OF//BD,AO=OB,

:?AE=DE,

：.OE=—BD=—X8=4,

22

二設(shè)OD=x,0C=3x,

'.OB=x,

>?CB=4x,

,：OF//BD,

:.△COFsACBD,

.OC=0F

"而一麗’

?.?3x_QF,

4x8

：.OF=6,

4.(1)證明：連接。C,如圖,

?.?CD為切線,

：.OCLCD,

^ADLCD,

：.OC//AD,

：.ZOCA=ZDAC,

：.ZOAC=ZOCA,

：.ZDAC=ZOAC,

???/C平分NZMB；

(2)解：連接5C,如圖,

?：AB為OO的直徑,

AZACB=90°,

4

cosZOAC—cosZCAD——,

5

,AC4

在RtZ\/C5,,：cosZOAC=—=—

AB5

44

：.AC=—AB=—X5=4,

55

5.(1)證明：連接。C,如圖1,

???cz)為切線,

OCXCD,

：.ZOCD=90°,

即NZ)G4+NOG4=90°,

TAB是。。的直徑，

AZACB=90°,

即NOC4+NOC5=90°,

JZDCA=ZOCB,

YOB=OC,

：?/OCB=/B,

：./DCA=NB；

(2)解：如圖2,

VZD=30°,

???NCQD=60°,

AZB=—ZCOD=30°,

2

9：CELAB.

AC=AF,

AZAOF=ZCOA=60°,

???N5OG=60°,

：.ZOGB=9Q°,

：.OG=—OB=1,

2

：.FG=OF+OG=2+l=3.

圖1

6.(1)證明：連接。尸，如圖,

,?Z尸切。。于點(diǎn)尸，

：.OP±AP,

：.ZPAO+ZAOP^90°,

*：OA±OBf

???NAOE=90

即//QP+N尸OE=90°,

：./PAO=NPOE,

???ZPOE=2ZPBO,

：.NB4O=2/PBO；

(2)解：過(guò)尸點(diǎn)作尸于77點(diǎn)，如圖，

ZPAO=ZPOH,

Q

tanZ.POH—tan/PAO=一，

4

在Rt△尸?！ㄖ?，tanZPO//=—=—,

OH4

設(shè)尸H=3x,OH=4x,

：?OP=5x,

即5x=5,

解得x=L

:.PH=3,OH=4,

在RtZ^O/7/中，YPH=3,BH=OB+OH=5+4=9,

BP=d32+g2=3v13.

E

B

7.(1)證明：連接O￡,

則N5OE=2NBD￡,又/A=2NBDE,

???NBOE=/A,

又,?Z5是直徑，CE與。。相切，

：.ZOEC=ZADB=90°,

JAABDSAOCE,

：?NC=NABD；

(2)解：,:BF=2,。。的半徑為5,

：?OF=3,

設(shè)4BDE=a,

：.ZADF^90°-a,N4=2a,/DBA=90°-2a,

在△/0尸中，ZDE4=1SO°-2a-(90°-a)=90°-a,

ZADF=ZDE4,

：.AD=AF=AO+OF=5+3=8,

???40=4F=8,

?：/ADF=/AFD,ZADF=ZFBE,ZAFD=ZBFE,

：.NBFE=ZFBE,

：.BE=EF,

由(1)知，NA=2NBDE=NBOE,

*：ZBED=ZA,

：.ZBEF=/BOE,

NFBE=/OBE,

：.ABEFsABOE,

,EFBF

??=,

OBBE

?.?-E--F-=--L-Q---8--,

5EF

:.EF=4W,

故E尸的長(zhǎng)為JU.

8.(1)證明：連接。C,如圖，

?；DC為O。的切線，

OCLDC,

：.ZOCD^90°,

即NOC5+N5co=90°,

,:AB是。。的直徑，

AZACB=90°,

即N5CO+NOG4=90°,

???NDCB=NOCA,

9：OA=OC,

：.ZA=ZOCA,

：.NDCB=NA,

'JOF//AC,

：./DOE=NA,

：.ZDCB=ZDOF；

(2)解：在RtZX/BC中，：tan//=^=上,

AC2

：.AC=2BC=2X4=S,

?'?^=VBC2+AC2=Vi2+82=4點(diǎn),

■:/DCB=NA,ZBDC=ZCDA,

：.ADBC^ADCA,

?DC=DB=BC=1

*'DADCAC~2

設(shè)。8=x,則DC=2x,

在RtZ\ODC中，(2x)2+(2A/5)2=(x+2V5)2,

解得修=0（舍去），X[=,

3

nR_W5_

?DD---------,UC----------

33

'：OF//AC,

10-

,OF=DF=0D即亞-DF_3

"AC-DC-AD,8—8“一isVi'

33

：.OF=5,DF=^^.

3

B

四.切線的判定

9.證明：（1）如圖，連接力。,

：.ZCAB=ZBAD,

9：ZBOD=2ZBAD,

：.NB0D=2NA；

(2)如圖，連接OC,

???尸為ZC的中點(diǎn),

：.DFLAC,

：.AD=CD,

：.ZADF=/CDF,

,/BC=BD,

：.ZCAB=ZDAB,

,：OA=OD,

：.ZOAD=ZODAf

：.ZCDF=ZCAB,

???OC=OD,

：.ZCDF=ZOCD,

：.ZOCD=ZCAB,

VBC=BC.

：.ZCAB=ZCDE,

：.ZCDE=ZOCD,

VZE=90°,

:?/CDE+NDCE=90°,

：.ZOCD+ZDCE=90°,

即OC_LCE,

???。。為半徑，

?,?直線CE為。。的切線.

五.切線的判定與性質(zhì)

10.(1)證明：連接。尸,

9：CDLAB,

：.ZAEG=90°,

AZA+ZAGE=90°,

■:HG=HF,

???/HFG=ZHGF,

*：ZHGF=/AGE,

：.NHFG=/AGE,

9：OA=OF,

：.NA=/OE4,

：.ZOE4+ZHFG=90°,即NOFH=90°,

???HF是。。的切線；

（2）解：連接5廠，

由（1）得，ZOFM^90C

：.ZBFO+ZBFM=90°,

,:AB是。。的直徑，

；?NAFB=90°,

AZA+ZABF=90°,

*：OB=OF,

：.ZABF=ZBFO,

：./BFM=N/,

*.*/M=/M,

：.ABFMS/\E4M,

,BFFM

??一，

AFAN

4

smM=——,

5

.OF4

OM5

■:BM=\,OB=OF,

OB+15

???。尸=4,

*.OM=5,AM=9,AB=8,

?=，0"卅2=3,

?.?B?F,—FM~1,

AFAN3

：.BF=—AF,

3

"：AF2+BF2=AB2,

?X尸。白財(cái)產(chǎn)=82,

o

.12VIU

??Ar-----------.

5

11.(1)證明：連接0。，

,JAB//DE,

：.ZAOD=ZODE=90°,

是。。的半徑，

直線。E是。。的切線；

(2)解：連接CD,

?.ZB為。。的直徑,

：?NACB=NADB=90°,

*：AB=10,BC=6,

.-.^C=7AB2-BC2=\/102-62=8;

VBD=AD,

：.AD=BD=^=5\[2,

V2

ZABD=ZBAD=45°,

ZACD=ZABD=45°,

,JAB//DE,

：.ZABD=ZBDE=45°,

：.ZBDE=ZACD,

,/四邊形/D2C是圓內(nèi)接四邊形，

：.ZCAD+ZCBD^1SO0,

■:NCBD+/EBD=18Q°,

ZEBD=ZCAD,

：.△BDEs”CD,

.BD=BE

"AC-AD'

.5^2_BE

.工一近

：.BE=—,

4

的長(zhǎng)為5近，BE的長(zhǎng)為空.

4

12.(1)證明：連接。。，

?：OB=OD,

：./DBE=NODB,

,?ZADE=ZDBE,

：.ZODB=ZADE.

???5￡為。。直徑，

：?/BDE=90°,

即NOD8+N0DE=9O°,

AZADE+ZODE=90°.

：.ODLAC.

???。。是0。的半徑，

，直線NC是的切線；

⑵解:「。。的半徑為3,

13.(1)證明：連接?！?,

與相切于點(diǎn)

：.OD±DE,

:點(diǎn)。為AC的中點(diǎn),

：.ODLAC,

：.DE//AC；

(2)解：連接。。與/C交于點(diǎn)H連接4。,

?■-5C=VAB2-AC2=6"

:點(diǎn)。為踴的中點(diǎn),

：.AH=CH=4,OD//BC,

，。"=聶=3,

\'0D=—AB=5,

2

：.DH=OD-OH=5-3=2,

?■?^=VAH2+DH2=742+22=班,

'：AB為直徑，

ZADB=90°,

?■?^=VAB2-AD2=V102-(2A/5)2=475,

"：OD//BC,

:.叢HPDs叢CBP,

.DP_DH即空叵理衛(wèi)

"BP-BC'BP-6，

:?BP=3近,

,:HC〃DE,

:?△OHCSXODE,

14.(1)證明：,?ZB是直徑,

AZAFB=90°,

；?NBAF+NABF=90°,

???B。是。。的切線，

AZABD=90°,

VZABF+ZEBD=90°,

：.ZBAF=ZEBD；

(2)解：如圖，

:/BAF=/EBD,ZAFB=ZBGE=90°,

?.△ABFsXBEG,

：EG//AB,

.EG=DG

*AB-BD，

?BG=^(2^5)2-22=4,

：.BD=BG+DG=—.

3

15.(1)證明：?.?點(diǎn)。為標(biāo)的中點(diǎn),

CD=AD,

:./CBD=/ABD,

?.18為。。的直徑，

：./4CB=9Q°,

ZAEF=ZBEC=90°-ZCBD,

是OO的切線，48為OO的直徑，

ZBAF^90°,

：.ZF=90°-AABD,

：.ZAEF=ZF,

:.AE=4F；

(2)解：VZBAF=90°,AF=6,BF=10,

=8,

為O。的直徑，

:./ADB=90°,

???2SAABF=4B?AF=BF?AD,

./n_AB?AF_8義6_24

BF105

在中，

5Z)=AJAB2_^D2=32,；

由⑴^\AE=AF=6,

I-----------1Q

在R&OE中，^=VAE2-AD"=TL>

J

14

：.BE=BD-DE^—.

5

答：BE的長(zhǎng)為羋?.

5

?:AB是。O的直徑,

???ZADB=90

??Z5=/C,

；?/CAB=2/DAB,

?.?/DOB=2/DAB,

：.ZCAB=ZBOF；

(2)解：連接BE,

■:AB是。。的直徑,

???N4EB=90°

,?Z5=4,

：.0B=0D=LB=2,

2

'：DF=\,

：.OF=OD+DF=3,

???2尸與O。相切于點(diǎn)￡

：.ZOBF=90°,

：.ZAEB=ZOBF=90°,

'：ZCAB=ZBOF,

:.△EABs^BOF,

.AE=AB

"BOOF'

.AE_4

??,

23

：.AE=—,

3

：.AE的長(zhǎng)為

3

17.(1)證明：如圖1,連接AD,OD,

■:CD,C5均為。。的切線，

:?CD=CB,ZODC=ZOBC=90°,

在RtAODC和RtZXOBC中，

[oc=oc

10D=0B，

ARtAODC^RtAO5C(HL),

：?/OCD=/OCB,

???△CQB為等腰三角形，

???OCLBD,

■:AB為直徑，

：?/ADB=90°,

：.AF±BD,

：.E4//CO；

(2)解：如圖2,

圖2

???CD=4,

:?CB=CD=4,

9：ZOBC=90°,

；?/EBC=90°,

?:BE=2,

???C-TCB2+BE2=山2+22=2近,

,:FA=FE,

/./A=/E,

U：FA//CO,

：./A=/COE,

：.ZCOE=ZEf

：.CO=CE,

?：CB_LOE,

：?OB=BE=2,

：.OA=2f

：.AE=6,0E=4,

OC//FA,

?,?EC=EO,

EFEA

.2V54

??—，

EF6

:?EF=3疵,

:?E4=EF=3立.

18.(1)證明：VBD=CD,

???/BAD=/CAD,

■:DO=DA,

：.ZODA=ZOADf

：.ZODA=ZCAD,

：.DE//AC；

(2)解：如圖，連接OC,過(guò)點(diǎn)。作。/，ZC于點(diǎn)R

：.ZOE4=90

由(1)知，DE//AC,

：.ZOFA+ZFOE^1?,0°,

ZFOE=ZFOA+ZAOE=90°,

為OO的直徑，NE為OO的切線，切點(diǎn)為N,

J.ABLAE,

：.ZOAE=90°,

VZAOE+ZE+ZOAE=180°,

：.ZAOE+ZE^90°,

ZFOA=ZE,

在△FOAAAEO中，

ZFOA=ZE,ZOFA=ZEAO=90°,

:.4E40sAAOE,

.OF_AF

"AE"OA"

.AF_0A

"'OF"AE)

tans'——-，

2

.0A1

"AEV

AE=2OA,

OF2

"：OA=OC,OFLAC,

：.AF=CF=—AC=\,

2

：.OF=2,

在Rt/XON/中，OA2=AF2+OF^,

.?Q2=12+22=1+4=5,

/.OA=J'5,

：.AE=2AO=2\[5,

°￡=VOA2+AE2=V(V5)2+(2A/5)2=^25=5.

19.(1)證明；..ZC是O。的直徑,

AZABC=ZADC^90°,

又,.?BD平分/ABC,

：?/ABD=NCBD=45°,

：.AD=CD,

■:DF1BD,

:?/BDF=/ADC=90°,

：.ZADF=ZCDB,

???四邊形/BCD內(nèi)接于。。,

???N3Cr)+NA4Q=180°,

又?：/BAD+/DAF=180°,

：.ZDAF=ZDCB,

：.ADAF^ADCB(ASA)f

：?AF=BC；

(2)解：設(shè)/b=a,AB=3AF=3a,

由(1)ADAF會(huì)ADCB,

：.BC=AF=a,

在RtA^^C中，/C=JAB2+Be2=VT5a,

在RtZ\4。。中，AD=CD=AC9sm45°5”號(hào)國(guó)

過(guò)點(diǎn)B作BMLAC于點(diǎn)M,

連接OD,則OD=—AC=^^-

22

???△/CD是等腰直角三角形,

：.OD±AC,

J.OD//BM,

:.AODEs^MBE,

V10

.DEOD2"5

"'BE"BN393；

10a

(3)證明：設(shè)。尸交O。于點(diǎn)N,在。尸上截取。尸=DE,連接Ri,AN,PG,

由(1)知：NADF=NCDB,4D=CD,

：./\DAP^ADCE⑶S),

:?AP=CE,/DAP=/DCE=45°,

AZPAC=ZDAP+ZDAC=90°,

AZR4G=90°,

四邊形ZBQN內(nèi)接于OO,

AZABD+ZAND=1SO°,

乂?；/ANF+/AND=180°,

：?NANF=/ABD=45°,

VZBDF=90°,NABD=45°,

:./BFD=45°,

:?/FAN=90°,AF=AN,

：./PAN=/GAF,

又?：FG〃BD,

:?NGE1=FBD=45°