2024-2025學年北京171中八年級（上）期中數(shù)學試卷

一、選擇題（本題共30分，每題3分）

1.（3分）甲骨文是我國古代的一種文字,是漢字的早期形式，反映了我國悠久的歷史文化，下列甲骨文

中，不是軸對稱圖形的是（）

C.

2.(3分)下列運算正確的是()

A.(2a2b)3=8a6b3B.(a3)3=a6

C.ci~ci—aD.cz3,a2=a6

3.（3分）已知三角形三邊長分別為2,9,x,若x為整數(shù)，則這樣的三角形個數(shù)為（)

A.1個B.2個C.3個D.4個

4.（3分）如圖，在△A2C中，交AC的延長線于點D（）

C.BCD.BD

5.(3分)如圖，AABC^AADE,ZB=110°,那么NA￡D=()

EC

A.30°B.40°C.50°D.60°

6.（3分）如圖所示，小明書上的三角形被墨水污染了，他根據(jù)所學知識畫出了完全一樣的一個三角形（）

7.（3分）已知多邊形的每個內(nèi)角都是108。，則這個多邊形是（）

A.五邊形B.七邊形C.九邊形D.不能確定

8.（3分）觀察下面圖形，從圖1到圖2可用式子表示為（）

圖1圖2

A.(a+6)(a-b)=(T-b1B.a2-b2=(a+b)(a-b)

C.(a+b)~=a1+?.ab+b1D.ci1+2ab+b2=(a+b)2

9.(3分)如圖，△ABC中，D點在2c上，畫出對稱點E、E并連接根據(jù)圖中標示的角度()

10.（3分）如圖，在△A2C中，ZACB=90°,過點。作DELAB交2C于點R交AC的延長線于點E,

ZDCA=ZDAC,則下列結論正確的有（）

①NDCB=NB；

?2CD=AB；

③△ADC是等邊三角形；

④若/E=30°,BiJDE=EF+CF.

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

二、填空題（本題共16分，每題2分）

11.（2分）已知點PGn,-3）與點。（2,”-2）關于x軸對稱.

12.（2分）如圖所示，人字梯中間一般會設計一“拉桿”，這樣做的依據(jù)是

A7V

13.（2分）如圖，已知是△ABC的中線，A3=5,且△A2D的周長為11,則△BCD的周長是

14.（2分）如圖，將一副直角三角板，按如圖所不疊放在一起

15.（2分）如圖，用尺規(guī)作圖作/4。。=/4。8的第一步是以點。為圓心，以任意長為半徑畫?、?，那

么第二步的作圖痕跡?、诘淖鞣ㄊ?

c

①//A

16.（2分）如圖，點M是/AOB平分線上一點，于E,如果P是。2上一動點，則線段的

取值范圍是.

17.（2分）有一程序，如果機器人在平地上按如圖所示的路線行走，那么機器人回到A點處行走的路程

是.

18.（2分）若一個整數(shù)能表示成/+/（°、［是正整數(shù)）的形式，則稱這個數(shù)為“豐利數(shù)”.例如，2是“豐

利數(shù)”2+12.

（1）請你判斷20“豐利數(shù)”.（填“是”或“不是”）

（2）最小的三位數(shù)“豐利數(shù)”是.

三、解答題（19題4分，20-25每題5分，26題6分，27,28題各7分）

19.（4分）計算：

（1）3心?（-2孫③.

（2）2a2⑶2-56）.

20.(5分)先化簡，再求值：(3x+l)(2x-3)-(6x-5)(x-4),其中x=-2.

21.(5分)因式分解：

(1)4a(x-3)+2b(尤-3)；

(2)2r-4.r+2.

22.(5分)如圖，已知CA=CD,Z1=Z2.

(1)請你添加一個條件使△ABC也△￡>￡(7,你添加的條件是；

(2)添加條件后請證明△A2C0ADEC

23.(5分)如圖，在平面直角坐標系中有一個△ABC,點A(-1,3),B(2,0),C(-3,-1).

(1)畫出△ABC關于y軸的對稱圖形4AiBiCi(不寫畫法)；

(2)若網(wǎng)格上的每個小正方形的邊長為1,則△ABC的面積是.

24.(5分)如圖1,△ABC與△DBC全等，且/ACB=/Z)BC=90°，AC=4.如圖2,將△QBC沿射線

8C方向平移得到△ObBiCi,連接ACi，BDi.

圖1圖2

(1)求證：BDi=ACi^.BDi//ACi；

（2）八DBC沿射線BC方向平移的距離等于時，點A與點Di之間的距離最小.

25.（5分）下面是某同學對多項式（*-4x+2）-4x+6）+4進行因式分解的過程

解：設/-4x=y

原式=（j+2）（y+6）+4（第一步）

=y2+8y+16（第二步）

=（y+4）2（第三步）

=（f-4x+4）2（第四步）

（1）該同學第二步到第三步運用了因式分解的.

A.提取公因式

B.平方差公式

C.兩數(shù)和的完全平方公式

D.兩數(shù)差的完全平方公式

（2）該同學在第四步將y用所設中的x的代數(shù)式代換，這個結果是否分解到最后？.（填“是”

或“否”）如果否，直接寫出最后的結果.

（3）請你模仿以上方法嘗試對多項式（X2-2X）（X2-2x+2）+1進行因式分解.

26.（6分）操作實踐：△ABC中，ZA=90°,ZB=22.5°,并寫出兩個等腰三角的頂角度數(shù).（畫出一

種情況即可）

27.（7分）數(shù)學課上，李老師出示了如下的題目：

“在等邊三角形ABC中，點E在上，點。在C3的延長線上，如圖，試確定線段AE與D2的大小

關系

圖1圖2

小敏與同桌小聰討論后,進行了如下解答:

（1）特殊情況，探索結論

當點￡為AB的中點時，如圖1,確定線段AE與DB的大小關系（填或"="）.

（2）特例啟發(fā)，解答題目

解：題目中，AE與的大小關系是否仍然成立：（填“成立”或“不成立”）.

理由如下：如圖2,過點E作EP〃BC,交AC于點尸.（請你完成后續(xù)證明過程）

28.（7分）在平面直角坐標系xOy中，直線/表示過（0,m）且垂直于y軸的直線.對某圖形上的點P（a,

b）,作點尸（a,b）關于直線/的對稱點尸1，稱為/（加）變換；當a>|加時（a,6）關于y軸的對稱點

尸2,稱為〃（相）變換.若某個圖形上既有/（機）變換的點（771）變換的點，則稱此圖形為"L雙變換

圖形.例如（4,1）,8（-1,1）,當％=2時，點A應作〃（2）1（-4,1）；點B對應作/（2）變換

1（-1,3）.

（1）當m=l時，

①已知點尸（-1,0）,則尸作對應變換后的坐標為;

②若點P（a,b）作相應變換后的點的坐標是（-2,-1）,則點尸的坐標是；

（2）已知C（1,5）,D（4,2）,

①若線段CD是m-雙變換圖形，則m的取值范圍為;

②已知點E（-加，機）（/〈0）在第四象限的角平分線上，若△CDE及其內(nèi)部（點E除外），且變換后

所得的圖形記為尸，直接寫出所有圖形產(chǎn)覆蓋的區(qū)域的面積為

2024-2025學年北京171中八年級（上）期中數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本題共30分，每題3分）

1.（3分）甲骨文是我國古代的一種文字,是漢字的早期形式，反映了我國悠久的歷史文化，下列甲骨文

中，不是軸對稱圖形的是（）

<

A.射B.

C.北D.

【解答】解：A、是軸對稱圖形;

B、是軸對稱圖形;

C、是軸對稱圖形;

D、不是軸對稱圖形;

故選：D.

2.（3分）下列運算正確的是（）

(浸)〃

A.(2/b)3=8a6i>3B.3=6

C.a3-?a3=aD.〃3.〃2=〃6

【解答】解：A.(2/b)2=Sa6bJ,故該選項正確，符合題意;

B.結果為故此選項不合題意;

C.結果是1；

D.結果是次,故此選項不合題意;

故選:A.

3.（3分）已知三角形三邊長分別為2,9,x,若無為整數(shù)，則這樣的三角形個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【解答】解：???三角形三邊長分別為2,9,x且x為整數(shù),

A8-2<x<9+3,

???x為8、8、10,

故選：C.

4.（3分）如圖，在△ABC中，8O_LAC交AC的延長線于點O（）

C.BCD.BD

【解答】解：如圖，???在△ABC中,

：.AC邊上的高是5D

故選：D.

ZB=110°，那么NAE0=()

A.30°B.40°C.50°D.60°

【解答】解:VZB=110°,NA4c=30°,

.\ZC=180°-ZB-ZBAC=180°-110°-30°=40°，

△ABC絲ZkAOE,

ZAEZ)=ZC=40°,

故選：B.

6.（3分）如圖所示，小明書上的三角形被墨水污染了，他根據(jù)所學知識畫出了完全一樣的一個三角形（）

C.AASD.ASA

【解答】解：小明書上的三角形被墨水污染了，他根據(jù)所學知識畫出了完全一樣的一個三角形,

他根據(jù)的定理是：兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等（ASA）.

故選：D.

7.（3分）已知多邊形的每個內(nèi)角都是108°,則這個多邊形是（）

A.五邊形B.七邊形C.九邊形D.不能確定

【解答】解：???多邊形的每個內(nèi)角都是108°,

每個外角是180°-108°=72°,

,這個多邊形的邊數(shù)是360°+72°=5,

???這個多邊形是五邊形，

故選：A.

8.（3分）觀察下面圖形，從圖1到圖2可用式子表示為（）

圖1圖2

A.（a+6）（a-b）=cT-b2B.（T-b2=（a+b）（a-b）

C.Ca+b）2=a2+2ab+b2D.cr+2,ab+b2=（o+Z?）2

【解答】解：圖1：長方形的面積為：（a+匕）（a-b）,

圖2：剪掉邊長為b的正方形的面積為：a4-b1,

所以從圖1到圖3可用式子表示為：（a+b）（a-6）=cr-b1.

故選：A.

9.（3分）如圖，ZkABC中，。點在BC上，畫出對稱點E、F,并連接AE、AF.根據(jù)圖中標示的角度（)

E.

人62。51。入

BDc

A.113°B.124°C.129°D.134°

:。點分別以AB、AC為對稱軸、F,

：.ZEAB=ZBAD,ZFAC=ZCAD,

VZB=62°,ZC=51°,

AZBAC=ZBAD+ZDAC=180°-62°-51°=67°,

：.ZEAF=2ZBAC=134°,

故選：D.

10.（3分）如圖，在△ABC中，ZACB=90°,過點。作。E_LAB交BC于點尸，交AC的延長線于點E,

ZDCA=ZDAC,則下列結論正確的有（）

①NDCB=NB；

②2CD=AB；

③△ADC是等邊三角形；

④若/E=30°,KODE=EF+CF.

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

【解答】?：VZACB=90°,

/.ZACD+ZDCB=90°,ZDAC+ZB=90°

.*ZDCA=ZDAC,

：.ZDCB=ZB,

?,?①符合題意；

VZDCA=ZDAC,/DCB=/B,

???AO=C￡>,CD=BD,

：.2CD=AB,

???②符合題意；

VZDCA=ZDAC,AD=CD,

???③不符合題意；

VZE=30°,

AZA=60°,

*：AD=CD,

???△AOC是等邊三角形，

AZADC=ZACD=60°,

VZADE=ZACB=90°,

??./EDF=/BCD=30°,

???CF=DF,

?：DE=EF+DF,

:?DE=EF+CF,

??.④符合題意；

故選：D.

二、填空題（本題共16分，每題2分）

11.（2分）已知點尸（相，-3）與點Q（2,n-2）關于x軸對稱7.

【解答】解：由條件可知：m=2,-3+6=0,

解得：m—2,〃=4,

瓶+〃=2+5=2,

故答案為：7.

12.（2分）如圖所示，人字梯中間一般會設計一“拉桿”，這樣做的依據(jù)是三角形具有穩(wěn)定性

K拉桿卜、?

【解答】解：人字梯中間一般會設計一“拉桿”，是為了形成三角形，

故答案為：三角形具有穩(wěn)定性.

13.（2分）如圖，已知2。是△ABC的中線，AB=5,且△A2D的周長為11,則△BCD的周長是9

【解答】解：是AABC的中線，

：.AD=CD,

「△AB。的周長為11,AB=5,

.?.△BCD的周長是11-（5-3）=9,

故答案為9.

14.（2分）如圖，將一副直角三角板，按如圖所示疊放在一起105°

【解答】解：：一副直角三角板疊放在一起，

AZ（90）=45°,ZBDC=60°,

/COB是△DOC的外角，

?.ZCOB=ZOCD+ZBDC=450+60°=105°,

故答案為：105°.

15.（2分）如圖，用尺規(guī)作圖作的第一步是以點。為圓心，以任意長為半徑畫?、伲?/p>

么第二步的作圖痕跡?、诘淖鞣ㄊ且渣cE為圓心，EP長為半徑畫弧

c

①//A

【解答】解：由題意得，第二步的作圖痕跡?、诘淖鞣ㄊ牵阂渣c￡為圓心.

故答案為：以點E為圓心，E尸長為半徑畫弧.

16.（2分）如圖，點M是NA02平分線上一點，于￡,如果P是上一動點，則線段的

取值范圍是.

【解答】解：過點〃作也，。2于X,如圖:

是/AOB平分線上一點，

：.EM=MH=\,

?.?尸是上一動點，

故答案為：MP22.

17.（2分）有一程序，如果機器人在平地上按如圖所示的路線行走，那么機器人回到A點處行走的路程是

30米.

【解答】解：2X(360°+24°)=30米.

故答案為：30米.

18.(2分)若一個整數(shù)能表示成/+廿(°、b是正整數(shù))的形式，則稱這個數(shù)為“豐利數(shù)”.例如，2是“豐

利數(shù)”2+12.

(1)請你判斷20是“豐利數(shù)”.(填“是”或“不是”)

(2)最小的三位數(shù)“豐利數(shù)”是100.

【解答】解：(1)根據(jù)題意可知，20=4+16=25+42,

.??20是“豐利數(shù)”.

故答案為：是；

(2)根據(jù)題意可知,62=6X4=36,82=3X8=64,62+82=36+64=100,

最小的三位數(shù)“豐利數(shù)”是100.

故答案為：100.

三、解答題(19題4分，20-25每題5分，26題6分，27,28題各7分)

19.(4分)計算：

(1)3/y，(-2孫3).

(2)2a2⑶2-5b).

【解答】解：⑴(-7盯3)=_6尤7y4；

(2)2。8⑶2-86)=6/-iQa^b.

20.(5分)先化簡，再求值：(3x+l)(2x-3)-(6x-5)(x-4),其中x=-2.

［解答］解：原式=6/-2x+2x-3-(7?-24x-5x+20)=4--9x+6x-3-6”+24x+5x-20=22%-

23,

當x=-2時，原式=-44-23=-67.

21.(5分)因式分解：

(1)4。(%-3)+2b(%-3)；

(2)2?-4x+2.

【解答】解：(1)原式=2(x-3)(2。+6)；

(2)原式=2(x2-6x+l)

=2(x-6)2.

22.(5分)如圖，已知CA=CZ),Z1=Z2.

(1)請你添加一個條件使△ABC附△DEC,你添加的條件是CB=CE

(2)添加條件后請證明△A2C0△￡>￡■(3.

【解答】(1)解：添加的條件為：CB=CE；

(2)證明：VZ1=Z2,

Z2+ZACE=Z2+ZACE,

：.ZACB=ZECD,

在AABC和△OEC中

ZCB=CE

'ZACB=ZDCE-

CA=CD

/.AABC^ADEC(SAS).

23.(5分)如圖，在平面直角坐標系中有一個△ABC,點A(-1,3),B(2,0),C(-3,-1).

(1)畫出△ABC關于y軸的對稱圖形△431。(不寫畫法)；

(2)若網(wǎng)格上的每個小正方形的邊長為1,則△ABC的面積是9.

【解答】解：（1）如圖所示;

(2)5AABC=4X5-AX2X6-HxiX4

222

=20-4--5.-A

22

=8.

24.(5分)如圖1,AABC與LDBC全等,且NACB=NZ)3C=90°，AC=4.如圖2,將△D2C沿射線

BC方向平移得到△D1B1C1,連接AC1，BDi.

圖1圖2

(1)求證：BDi=ACiS.BDi//ACi；

(2)ZX-BC沿射線8c方向平移的距離等于6時,點A與點5之間的距離最小.

【解答】(1)證明：由圖1可知，△ABC絲△OBC,

：.AC=BD,

由平移的性質可知，BD=BR,NDBC=NDIBIC8,BB尸CCI,

.\AC=B?,Di，

VZDBC=ZACB=90°,

AZ￡>IB7CI=90°,

AZACCi=ZBB5D1=90°,

在△58104和△GCA中，

'AOBiDg

<NBB]DrNACC4,

BB[=CC[

.\ABB2DI^CICA(SAS),

ZAC5C=ZBIBDI，BDI=ACI，

：.BD\//ACs，

：.BDi=ACi且BD5//ACI；

(2)解：當點C于點B重合，點A與點A之間的距離最小，

4DBC沿射線BC方向平移的距離等于BC=6,

故答案為：6.

25.(5分)下面是某同學對多項式(f-4x+2)(/-4x+6)+4進行因式分解的過程

解：設/-4x=y

原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)

=『+8》+16(第二步)

=(y+4)2(第三步)

=(/-4x+4)2(第四步)

(1)該同學第二步到第三步運用了因式分解的C.

A.提取公因式

B.平方差公式

C.兩數(shù)和的完全平方公式

D.兩數(shù)差的完全平方公式

(2)該同學在第四步將y用所設中的x的代數(shù)式代換，這個結果是否分解到最后？否.(填“是”

或“否”)如果否，直接寫出最后的結果(冗-2)4.

(3)請你模仿以上方法嘗試對多項式(/-2%)(%2-2x+2)+1進行因式分解.

【解答】解：(1)第二步到第三步運用了因式分解的兩數(shù)和的完全平方公式.

故選：C；

(2)否，最終結果為(x-2)4.

故答案為：否，(x-8)4；

(3)設7-6x—yf

則原式=y(y+2)+1

=/+2y+l

=(y+5)2

=(f-2x+l)2

=(x-5)4.

26.(6分)操作實踐：AABC中，ZA=90°,ZB=22.5°,并寫出兩個等腰三角的頂角度數(shù).(畫出一

種情況即可)

【解答】解：VZACB=90°-22.5°=67.5

BD=CD,

：.ZDCB=ZDBC=223°,

AZADC=ZB+ZDCB=45°,ZACD=ZACB-ZDCB=45°,

AZACD=ZADC=45°,

：.AD=AC,

：.AADC,△DBC為等腰三角形,

AZBDC=180°-ADC=135°,

???頂角分別為135。，90°,

；.NEAB=NB=22.5°,

/.ZA￡C=45°,則/AEB=135°,

AZ￡AC=180°-ZACB-ZAEC=180°-67.5°-45°=67.5°,

VZAC￡=90°-22.5°=67.5°,

ZEAC=ZACE,

：.AE=EC,

：.AAEB,△AEC是等腰三角形，

二頂角分別為135°,45°.

27.（7分）數(shù)學課上，李老師出示了如下的題目：

“在等邊三角形ABC中，點E在上，點。在CB的延長線上，如圖，試確定線段AE與OB的大小

關系

圖1圖2

小敏與同桌小聰討論后，進行了如下解答：

（1）特殊情況，探索結論

當點E為AB的中點時，如圖1,確定線段AE與DB的大小關系=DB（填或"=

（2）特例啟發(fā)，解答題目

解：題目中，AE與。3的大小關系是否仍然成立：成立（填“成立”或“不成立”）.

理由如下：如圖2,過點E作E尸〃BC,交AC于點尸.（請你完成后續(xù)證明過程）

【解答】解：（1）如圖b

A

圖1

???點E是等邊AABC的邊A3的中點，

ACELAC,BE=AE,

：.ZBCE=30°,

?：EC=ED,

：.ZBCE=ZD=30°,

AZBED=ZABC-ZD=30°=ZD,

???BE=BD,

：.AE=BD,

故答案為：—.

(2)如圖2,過E作石尸〃BC,

圖2

:△ABC為等邊三角形，

：.AB=AC=BC,ZABC=ZACB=ZA=60°,

■:EF//BC,

：.ZAFE=ZACB=6Q°,ZAEF=ZABC=60°,

即NAM=NAEF=NA=60°,

???△AE尸是等邊三角形，

：.EF=AE=AFf

VZABC=ZACB^ZAFE^60°,

AZD+ZBED=ZFCE+ZECD=60°,ZDBE=ZEFC=120°,

:DE=EC,

：.ZD=ZECD,

：.ZBED=ZECF,

在ADEB和△￡T(7廠中

'/DBE=/EFC

"ZDEB=ZECF-

DE=CE

:.ADEB咨LECF(A4S),

:.BD=EF,

AE=BD,

故答案為：成立