專題4-1實數(shù)

（8個考點梳理+15種題型解讀+9種方法解讀）

考曼卷單

【清單01】算術(shù)平方根

定義：如果一個正數(shù)x的平方等于。，即x2=a,那么這個正數(shù)無叫做。的算術(shù)平方根，記

為祈，讀作“根號。叫做被開方數(shù).

【補充】算術(shù)平方根等于它本身的數(shù)只有。和1.

性質(zhì)：正數(shù)只有一個算術(shù)平方根，且恒為正；0的算術(shù)平方根為0;負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根.

算術(shù)平方根正（壯0）具有雙重非負(fù)性：1）被開方數(shù)具有非負(fù)性，即壯0;

2）算術(shù)平方根本身具有非負(fù)性，即血之0；

【小結(jié)】即在式子五中，d0且GK）.

【清單02】平方根

定義：如果一個數(shù)X的平方等于°,即，那么這個數(shù)X就叫做。的平方根或二次方根.正數(shù)

。的兩個平方根記作士而，讀作“正、負(fù)根號

試卷第1頁，共16頁

【補充】平方根等于本身的數(shù)只有0.

性質(zhì)：正數(shù)有兩個平方根，且它們互為相反數(shù)；0的平方根為0；負(fù)數(shù)沒有平方根.

【清單03】開平方

定義：求一個非負(fù)數(shù)的平方根的運算叫做開平方.非負(fù)數(shù)。開平方用符號“士表示，

是一個運算符號.

【注意】1）開平方是求一個非負(fù)數(shù)的平方根，因此被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)；

2）平方根是數(shù)，是開平方的結(jié)果；而開平方和加、減、乘、除、乘方一樣，是求平方根的

過程；

3）平方和開平方互為逆運算，我們可以用平方運算來檢驗開平方的結(jié)果是否正確.

【清單04】立方根

定義：如果一個數(shù)x的立方等于a,即Y=a,那么這個數(shù)x叫做a的立方根或三次方根.數(shù)

a的立方根記作“標(biāo)”，讀作“三次根號a”.

【補充】1）立方根等于本身的有0和士1.

2）互為相反數(shù)的兩個數(shù)，它們的立方根也互為相反數(shù).

性質(zhì)：正數(shù)只有一個正的立方根；0的立方根是0；負(fù)數(shù)只有一個負(fù)的立方根.

【清單05】開立方

定義：求一個數(shù)的立方根的運算叫做開立方.

【注意】

1）求帶分?jǐn)?shù)的立方根時，要先將帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，再求它的立方根.

2）開立方與立方互為逆運算，可以利用開立方求一個數(shù)的立方根，也可以利用立方來檢驗

一個數(shù)是不是某個數(shù)的立方根.

3）開立方時，先把根號下的數(shù)化簡，看是不是一個數(shù)的立方，再求值；另外，開立方時，

要先根據(jù)被開方數(shù)的符號確定其立方根的符號.

【清單06】無理數(shù)

無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).

【補充】無限不循環(huán)小數(shù)不能化成分?jǐn)?shù)，因此無限不循環(huán)小數(shù)不是有理數(shù).

【清單07】實數(shù)及其分類

實數(shù)的定義：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).

實數(shù)與數(shù)軸上的點的關(guān)系：每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示，反之，數(shù)軸上的每

試卷第2頁，共16頁

一個點都表示一個實數(shù)，實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng).

【清單08】實數(shù)的運算

實數(shù)的四則運算：當(dāng)數(shù)從有理數(shù)擴(kuò)充到實數(shù)以后，實數(shù)之間不僅可以進(jìn)行加、減、乘、除（除

數(shù)不為0）、乘方運算，又增加了非負(fù)數(shù)的開平方運算，任意實數(shù)可以進(jìn)行開立方運算.進(jìn)

行實數(shù)運算時，有理數(shù)的運算法則及性質(zhì)等同樣適用.

運算順序：先進(jìn)行乘方和開方運算，再算乘除，最后算加減，如果遇到括號，則先進(jìn)行括號

里的運算.

【注意】

1.有理數(shù)的運算定律在實數(shù)范圍內(nèi)都適用，常用的運算定律有加法結(jié)合律、加法交換律、

乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法分配律.

2.在實數(shù)混合運算中不注意運算順序?qū)е陆Y(jié)果錯誤，所以要牢記運算順序避免出錯：

①先算乘方，再算乘除，最后算加減；

②有括號先算括號里面的，再算括號外面的；先算小括號，再算中括號，最后算大括號.

小型帳單

【考點題型一】利用算術(shù)平方根的非負(fù)性求解

加題方法：任怠小負(fù)數(shù)”的。術(shù)平方根是正負(fù)數(shù),即、

I）若、匚~i+41-0.Mx-l,y-1,反之亦然.

2）若、G+b|首先想到ceO.例：vx-4+y|=4-x.則x=4.y0.

（23-24八年級上?江蘇鹽城?期中）

1.已知”-打3與|2x+y-6|互為相反數(shù),求（x+#2的平方根是.

（23-24八年級上?江蘇泰州?期末）

2.已知直角三角形的兩直角邊。、6滿足向^+性-12|=0,則斜邊c上的中線長為—.

（24-25八年級上?江蘇宿遷?期中）

3.已知a,b,c滿足+Q—4|+（c+3y=0,貝！Ja+b+c的平方根是.

【考點題型二】算術(shù)平方根的實際應(yīng)用

（2022?北京海淀?模擬預(yù)測）

4.一個正方形的面積是22.73,估計它的邊長大小在（）

試卷第3頁，共16頁

A.2與3之間B.3與4之間C.4與5之間D.5與6之間

（22-23八年級上?河北石家莊?期末）

5.如圖，從一個大正方形中可以裁去面積為8cm2和32cm2的兩個小正方形，則大正方形的

（20-21七年級下?河北滄州?期中）

6.如圖，用兩個邊長為的小正方形剪拼成一個大的正方形,

0N嘔

（1）大正方形的邊長是____cm；

（2）若沿此大正方形邊的方向剪出一個長方形，能否使剪出的長方形紙片的長寬之比為3：2且

面積為12cm2,若能，試求出剪出的長方形紙片的長寬；若不能，試說明理由.

（22-23七年級下?湖北武漢?期中）

7.已知一塊面積為400cn?的正方形畫布.

（1）求該正方形畫布的邊長。；

（2）甲乙兩名同學(xué)想沿著該正方形畫布邊的方向裁下一塊長方形畫布.其中，甲的方案是：

長方形的面積為300cm2,且長寬之比為3：2；乙的方案是：長方形的面積為150cmz,且

長寬之比為5：3.問甲乙兩人的方案是否可行？并說明理由.

【考點題型三】求一個數(shù)的平方根

【常考/易錯】有時候題目會故意沒有把去根號，這時候就要注意千萬不要把近的平方根當(dāng)

作。的平方根，要先把正去根號，再求平方根.

（22-23七年級下?河北承德?期末）

8.實數(shù)-而的值為（）

A.0.9B.-0.9C.0.3D.-0.3

試卷第4頁，共16頁

（22-23八年級上?江蘇南京?期末）

9.下列說法正確的是（）

A.3；是9^的平方根B.0.3是0.9的平方根

C.-3是-9的平方根D.6是囪的平方根

（23-24八年級上?重慶沙坪壩?期末）

10.、聲的平方根是

V36

（23-24八年級上?山東青島?階段練習(xí)）

H.瘋的算術(shù)平方根是,獷后=，的平方根是.

【考點題型四】已知一個數(shù)的平方根，求這個數(shù)

解題方法：正數(shù)有兩個平方根，且它們互為相反數(shù).

（23-24八年級上?河南洛陽?期中）

12.若加■的兩個平方根是3a-5與2.-10,則M+a的值為（）

A.16B.17C.18D.19

（23-24七年級下?遼寧大連?期末）

13.已知一個正數(shù)的兩個平方根分別是。+3和2a-15,則。=

（23-24八年級上?江蘇南京?期中）

14.若一個正數(shù)的兩個平方根是24-2和-〃+3,則。=,這個正數(shù)是.

（23-24八年級上?江蘇鹽城?期中）

15.已知一個正數(shù)x的兩個平方根分別為。+1和2a-13.

（1）求。的值，并求這個正數(shù)x；

⑵求50-11的算術(shù)平方根.

【考點題型五】利用平方根/立方根的概念解方程

解題方法：

1）利用平方根的概念解方程時，先將方程轉(zhuǎn)化x?=“（a20）的形式，再利用開平方法求

解.當(dāng)時，其平方根有兩個，所以對應(yīng)方程有兩個根.

2）在解方程時，常需將方程轉(zhuǎn)化為/=〃或（x+b）3=。（將x+6看作一個整體）的形式，再

利用立方根的定義開立方，從而求出未知數(shù)的值.

（23-24八年級上?湖南郴州?期末）

試卷第5頁，共16頁

16.求下列各式中x的值：

(1)(X-4)2=4；

1

⑵#+3)9=3.

(23-24八年級上?重慶北倍?期中)

17.(1)計算：2a(a-2b)-(2a-

⑵解方程：(X-1)3-3=:

o

(23-24八年級上?江西九江?期中)

18.已知一個正數(shù)心的兩個不相等的平方根是。+5與2a-ll.

(1)求。及加的值；

(2)求關(guān)于x的方程ax2-16=0的解.

(22-23八年級下?天津河西?期末)

19.【思路回顧】我們知道a(x+y)=ax+ay①，所以當(dāng)計算O+〃)(x+y)時，可以令

m+n=a,使問題轉(zhuǎn)化回到①后再完成計算.即：

(加+〃)(％+y)=a(x+y)=ax+ay=(m+n)x+(m+n)y

=mx+nx+my+ny.

【拓展嘗試】在以上解決問題過程中，我們用到了換元的方法.同樣的，我們知道當(dāng)加2=9

時，機(jī)的值為3或-3,請你試著解下面的方程：

(1)(X+1)2=9；

⑵V+2x+l=9.

【考點題型六】平方根的應(yīng)用

(23-24八年級下?遼寧大連?期中)

20.小明同學(xué)每次回家進(jìn)入電梯時，總能看見物業(yè)在電梯內(nèi)張貼的提示“高空拋物，害人害

己，嚴(yán)禁高空拋物”，為進(jìn)一步研究高空拋物的危害，小明請教了物理老師，得知高空拋物

下落的時間I(單位：秒)和高度九(單位：米)近似滿足公式〃=其中g(shù)為重力加

速度，g^lO米/平方秒.物體落地時產(chǎn)生的動能=物體質(zhì)量x重力加速度x高度，動能的單

位名稱為焦耳，例如：一個1千克重的花盆從30米高空墜落到地面產(chǎn)生的動能為：

1x10x30=300焦耳.

(1)一個物品從80米的高樓墜落到地面需要幾秒？

試卷第6頁，共16頁

（2）一個0.5千克的物品墜落到地面產(chǎn)生了200焦耳的動能，請推算該物品墜落到地面用了

幾秒？（結(jié)果精確到01秒，V2?1,41）

（23-24八年級上?吉林長春?期末）

21.一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù).例如：若/=9,則尤=3或x=-3.

（1）根據(jù)上述平方根的意義，試求方程（x-1）。=49的解.

（2）自由下落物體的高度力（單位：米）與下落時間f（單位：秒）的關(guān)系是/7=4.9/,若有

一個物體從離地10米高處自由落下，求這個物體到達(dá)地面所需的時間.

（21-22七年級下?河北衡水?期末）

22.某市在招商引資期間，把已倒閉的油泵廠出租給外地某投資商，該投資商為減少固定資

產(chǎn)投資，將原來400m2的正方形場地改建成3151n2的長方形場地，且其長、寬的比為5：3.

（1）求原來正方形場地的周長；

（2）如果把原來正方形場地的鐵柵欄圍墻全部利用，圍成新場地的長方形圍墻，那么這些鐵

柵欄是否夠用？試?yán)盟鶎W(xué)知識說明理由.

（22-23七年級下?陜西渭南?期末）

23.母親節(jié)，是一個感恩母親的節(jié)日.哥哥小宇和弟弟小旭準(zhǔn)備自制節(jié)日禮物送給母親.小

旭自制了一張面積為lOOcn?的正方形賀卡，小宇自制了一個面積為200cm2的長方形信封,

其長寬之比為5:4.小旭自制的賀卡不折疊能完全放入小宇自制的信封中嗎？請通過計算說

明你的判斷.

【考點題型七】立方根的應(yīng)用

⑵-24八年級上?貴州貴陽?期中）

24.已知一個正方體的體積是985cm3,現(xiàn)在要在它上底面的4個角上分別截去4個大小相

同的小正方體，使截去后余下的體積是729cm3,問所截每個小正方體的棱長是多少？

（23-24八年級上?江西撫州?期中）

25.已知一個正方體的體積是lOOOcn?,在它的8個角上分別截去一個大小相同的小正方體，

剩下的部分是488cm3,則截去的每個小正方體邊長是多少？截去的正方體邊長可以是6cm

嗎？

（23-24八年級上?陜西西安?期中）

26.要生產(chǎn)一種容積為288萬L的球形容器，這種球形容器內(nèi)部的半徑是多少分米？（球的

4,,

體積公式％=］打尺/L=ldm3）

試卷第7頁，共16頁

(23-24八年級上?山西晉中?期中)

27.某地氣象資料表明，當(dāng)?shù)乩子瓿掷m(xù)的時間小h)可以用下面的公式“產(chǎn)=京”來估計，其

中d(km)是雷雨區(qū)域的直徑.

(1)如果雷雨區(qū)域直徑為4km,那么這場雷雨大約持續(xù)多長時間？(結(jié)果精確到01h)

(2)如果一場雷雨持續(xù)了lh,那么這場雷雨區(qū)域的直徑是否超過10km?

【考點題型八】與平方根、立方根有關(guān)的規(guī)律問題

(23-24八年級上?河北滄州?期中)

28.探索與應(yīng)用：先觀察表格，再回答問題.

a0.00010.01110010000

\J'a0.01X1y100

(1)表格中無=;>=;

⑵從表格中探究a與&變化的規(guī)律：；

(3)利用規(guī)律解決問題：

①已知加”3.16,則J1000"；

②已知"^=1.8,若右=180,則。=;

(4)拓展：已知協(xié)工仁2.289，若石=0.2289，則2=.

(23-24八年級上?山西長治?階段練習(xí))

29.完善下面表格，發(fā)現(xiàn)平方根和立方根的規(guī)律，并運用規(guī)律解決問題.

X0.0640.6464640064000

Vx0.252980.88m252.98

n0.8618418.56640

⑴表格中的加=,〃=.

(2)從表格數(shù)字中可以發(fā)現(xiàn)：開算術(shù)平方根時，被開方數(shù)的小數(shù)點每向左(或向右)移動兩

位，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點隨即向左(或向右)移動一位.請用文字表述立方根的變化規(guī)

律：.

試卷第8頁，共16頁

(3)若&al4.142,標(biāo)5求6的值.

（參考數(shù)據(jù)：V2?1.4142,V20x4.4721,5?1.9129,^/07。0.8879）

（23-24八年級上?河南鄭州?階段練習(xí)）

30.（1）觀察被開方數(shù)。的小數(shù)點與算術(shù)平方根夜的小數(shù)點的移動規(guī)律:

a0.00010.01110010000

yfa0.01X1y100

填空：x=_,k

（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空:

①己矢口加71.414，貝！IV^U=_,Vo^2=_；

②J￡=O.274,記Ji0000%的整數(shù)部分為x,則產(chǎn)

（23-24八年級上?遼寧沈陽?期中）

31.請觀察下列式子：

Vi=1；

Jl+3=V4=2；

Jl+3+5=?=3；

J1+3+5+7=716=4.

根據(jù)閱讀解決下列問題：

⑴計算：J1+3+5+7+9=_；V1+3+5+7+9+11=_；

⑵猜想規(guī)律：J1+3+5+7+9+11+…+（21）=_（〃為正整數(shù)）；

（3）利用規(guī)律計算J3+9+15+21+27+33+-+603的值.

【考點題型九】平方根、立方根綜合

（23-24八年級上?江蘇鹽城?期中）

32.已知4a+3的立方根是3,36+1的算術(shù)平方根是5,求2a+36的平方根.

（23-24八年級上?江蘇蘇州?期中）

33.已知2a-1的平方根為±3,“-26+1的立方根為2,求。2a+b的值.

試卷第9頁，共16頁

（20-21八年級上?江蘇揚州?階段練習(xí)）

34.已知一個正數(shù)的平方根是。+3和2°-6,6的立方根是-2,求的平方根.

（21-22七年級下?江西贛州?期末）

35.已知5a+2的立方根是3,3a+6-1的算術(shù)平方根是4,c是而的整數(shù)部分，求3a-6+c

的平方根.

【考點題型十】無理數(shù)的判斷

常見的無理數(shù)：

1）一般的無限不循環(huán)小數(shù)，如0.43241...,7.6385661…等

2）開方開不盡的數(shù)，如：五、店等.

［易錯］帶根號的數(shù)并不都是無理數(shù)，而開方開不盡的數(shù)才是無理數(shù).

TT

3）與圓周率兀有關(guān)的數(shù)，如5%，3+兀，1等.

4）看似有規(guī)律循環(huán)實際上是無限不循環(huán)的小數(shù)，如0.1010010001（兩個1之間依次增加1

個0）...

5）某些三角函數(shù)，如sin60。、cos20°.

【注意】無理數(shù)都是無限小數(shù)，但無限小數(shù)不一定是無理數(shù)，只有無限不循環(huán)小數(shù)才是無理

數(shù).

（23-24八年級上?江蘇鹽城?期中）

36.下列各數(shù)中為無理數(shù)的是（）

2r-

A.2023B.-C.-3.14D.J7

3

（23-24八年級上?江蘇淮安?期中）

2

37.下列實數(shù)血，2,-兀，其中，無理數(shù)共有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

（23-24八年級上?寧夏銀川?期中）

38.下列各數(shù)：V27-J—>L幣,當(dāng)■，0.030030003--?（每兩個3之間增加1個0）

V100n11

中，無理數(shù)的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【考點題型十一】無理數(shù)的估算

試卷第10頁，共16頁

解題方法：確定一個無理數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分的方法：把這個無理數(shù)夾在相鄰的兩個

整數(shù)之間，則較小的整數(shù)就是這個數(shù)的整數(shù)部分，用這個數(shù)減去整數(shù)部分就得到它的小數(shù)部

分.

（23-24八年級上?江蘇蘇州?期中）

39.若石的整數(shù)部分是a,小數(shù)部分是6,則2a+6=.

（23-24八年級上?江蘇南通?期中）

40.已知JTT-l的整數(shù)部分為。，小數(shù)部分為6,貝+伍+1）的值是.

（23-24八年級上?江蘇蘇州?期中）

41.閱讀下面的文字，解答問題：

大家知道也是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此V2的小數(shù)部分我們不可能全部

地寫出來，于是小明用血-1來表示0的小數(shù)部分，你同意小明的表示方法嗎？

事實上，小明的表示方法是有道理，因為近的整數(shù)部分是1,將這個數(shù)減去其整數(shù)部分，

差就是小數(shù)部分.

又例如：?.?"＜77＜回即2＜療＜3,

,近的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為（近-2）.

請解答：

（1）如果加的小數(shù)部分為。，屬的整數(shù)部分為6,求a+b-而的值；

（2）己知：12+VI=x+y,其中x是整數(shù)，且0＜y＜l,求的相反數(shù).

（23-24八年級上?江蘇泰州?期末）

42.【閱讀材料】?.?"＜行＜百，即2〈退＜3,.?」〈右一1＜2,??.布一1的整數(shù)部分為1,

???石-1的小數(shù)部分為石-1-1=布-2.

【解決問題】

⑴填空：皰的小數(shù)部分是二

（2）己知。、6分別是屈-4的整數(shù)部分、小數(shù)部分，求代數(shù)式通意+（6+9）2的值.

【考點題型十二】實數(shù)的分類

實數(shù)的分類：

試卷第11頁，共16頁

正整數(shù)

自然數(shù)

寫成分?jǐn)?shù)的形式)0

有理數(shù)負(fù)整數(shù)

正分?jǐn)?shù)"(有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù))

分?jǐn)?shù)

按定義分類I負(fù)分?jǐn)?shù)

正無理數(shù)

無理數(shù)

負(fù)無理數(shù)

正整數(shù)

正有理數(shù)

正分?jǐn)?shù)

正無理數(shù)

負(fù)整數(shù)

負(fù)有理數(shù)

負(fù)分?jǐn)?shù)

負(fù)無理數(shù)

(23-24八年級上?寧夏銀川?期中)

43.把下列各數(shù)分別填入所屬的集合中：

__1___兀

①G；②十2］；④0；⑤-?。虎轜-64；?o34;@-11010010001--；@—

有理數(shù)：{};

無理數(shù)：{};

正實數(shù)：［):

負(fù)實數(shù)：{}.

⑵-24八年級上?山西臨汾?期中)

44.從下列各數(shù)中，選擇合適的數(shù)填空.

-4.1,"008,0,卜閩，肛遍;-病.

⑴無理數(shù)有.

(2)如圖，被陰影覆蓋的數(shù)有.

iiii,)I???

~~HI0~~45

(3)平方根等于本身的數(shù)有.

(4)將一個長，寬，高分別為3米，2米，2米的長方體鐵塊熔化，制成兩個一樣的正方體鐵

塊，則該正方體鐵塊的棱長為米.

(23-24八年級上?河南鄭州?期中)

45.把下列各數(shù)的序號寫入相應(yīng)的集合中：

試卷第12頁，共16頁

①-3,②，③病，④年萬萬，⑤0,@-0.5050050005（相鄰兩個5之間0的個數(shù)

逐次加1）.

（1）負(fù)數(shù)集合｛…｝；

⑵有理數(shù)集合｛

⑶無理數(shù)集合｛

【考點題型十三】實數(shù)與數(shù)軸

（2022?福建?模擬預(yù)測）

46.如圖，數(shù)軸上的點P表示下列四個無理數(shù)中的一個，這個無理數(shù)是（）

噌刊期魅苫/

A.-72B.,/2C.V5D.71

（23-24八年級上?江蘇蘇州?期中）

47.在如圖所示的數(shù)軸上表示而'-2的點在（）

ABCDE

——?------1------1——i—?——i-

-2-101234

A.點/和點3之間B.點8和點C之間

C.點C和點。之間D.點。和點E之間

（23-24八年級上?江西撫州?階段練習(xí)）

48.實數(shù)。在數(shù)軸上的對應(yīng)位置如圖所示，則77+1+1。-1|的化簡結(jié)果是.

a

-1012

（21-22八年級下?江蘇南通?階段練習(xí)）

49.實數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡+|a+c|+J（C_?2一卜耳.

0~~K

（22-23八年級上?江蘇淮安?期末）

50.勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，是用代數(shù)思想解決幾何問題的最

重要的工具之一，它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，更因為應(yīng)用廣泛而使人著迷.

試卷第13頁，共16頁

cB

-----------14

圖1圖2

（1）應(yīng)用場景1—在數(shù)軸上畫出表示無理數(shù)的點.如圖1,在數(shù)軸上找出表示2的點/,過

點/作直線/垂直于在/上取點2,使/8=1,以原點。為圓心，。2為半徑作弧，則

弧與數(shù)軸負(fù)半軸的交點C表示的數(shù)是；

（2）應(yīng)用場景2——解決實際問題.如圖2,有一個小朋友拿著一根竹竿要通過一個長方形的

門，如果把竹竿豎放就比門高出2尺，斜放就恰好等于門的對角線（5。），已知門寬6尺,

求竹竿長.

【考點題型十四】實數(shù)的比較大小

解題方法：實數(shù)比較大小的常用方法

1）兩個負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的數(shù)反而?。?/p>

2）將實數(shù)在數(shù)軸上表示出來，左邊的數(shù)小于右邊的數(shù)；

3）作差或作商法：作差后與0進(jìn)行比較，作商后與1進(jìn)行比較；

4）估算法：常見我目⑷%73=1.732,75=2.236；

5）乘方法：符號相同的兩個根式，利用乘方法來比較大小.

（22-23七年級下?廣東廣州?期中）

51.如圖，數(shù)軸被墨跡污染了，被覆蓋的數(shù)不可熊是（）

^10123

A.V3B.V5C.y/6D.V7

（23-24八年級上?江蘇宿遷?期中）

52.比較大?。篤17-13.9（填“〈”或“=

（23-24八年級上?北京昌平?期中）

53.閱讀理解，并回答問題.

閱讀材料1：

?.-4<5<9,.-.V4<V5<V9,即2c石<3.

試卷第14頁，共16頁

.-.V5的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為遙-2.

閱讀材料2：

對于任意實數(shù)。和6比較大小，有如下規(guī)律：若。-6>0,則a>b；若a-b=O,貝!]“=8；

若a-6<0,貝lja<b.我們把這種比較兩個數(shù)大小的方法稱為作差法.

例如：比較變與士的大小時，可以計算正一L得立二1,

22222

（1）請表示出M的整數(shù)部分和小數(shù)部分；

⑵試判斷巫二1與（的大小，并說明理由.

【考點題型十五】實數(shù)的混合運算

運算順序：先進(jìn)行乘方和開方運算，再算乘除，最后算加減，如果遇到括號，則先進(jìn)行括號

里的運算.

【注意】

1）有理數(shù)的運算定律在實數(shù)范圍內(nèi)都適用，常用的運算定律有加法結(jié)合律、加法交換律、

乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法分配律.

2）在實數(shù)混合運算中不注意運算順序?qū)е陆Y(jié)果錯誤，所以要牢記運算順序避免出錯：

①先算乘方，再算乘除，最后算加減；

②有括號先算括號里面的，再算括號外面的；先算小括號，再算中括號，最后算大括號.

（23-24八年級上?江蘇南京?期中）

54.計算：

（1）（X-1）2-9=0；

=2

（2）V3+|V3-2|-V8+A/（-2）.

（23-24八年級上?江蘇無錫?期中）

55.計算與化簡：

（1）764-（-3>+舛；

⑵小干再+卜閩.

（23-24八年級上?江蘇無錫?期中）

56.計算：

試卷第15頁，共16頁

(1)79-(-3)2+^；

(2)V16+V=27+|1-V2|.

(23-24八年級上?江蘇連云港?期中)

57.計算:

(1)781+^27

(2)計算：V9+|A/3-2|-22

試卷第16頁，共16頁

1.±5

【分析】根據(jù)非負(fù)性求出工和〉的方程組，求出工和〉的值，再根據(jù)平方根的性質(zhì)即可求解.

x—y+3=0x=1

【詳解】依題意可得,解得

2x+y-6=0y=4

.-.(x+y)2=25,25的平方根是±5

故答案為±5.

【點睛】此題主要考查二次根式的非負(fù)性與平方根的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程

組求解.

2.上

2

【分析】本題考查了算術(shù)平方根的非負(fù)性、絕對值的非負(fù)性、直角三角形斜邊上的中線等于

斜邊的一半的性質(zhì)，勾股定理，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.利用非負(fù)性的性質(zhì)求出。、b的值,

再用勾股定理列式求出斜邊，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答.

【詳解】解：??-V^5+|Z>-12|=0,7^5>0,|6-12|>0,

.■.yJa-5=\b-n\=0

二.Q—5=0,6—12=0,

..〃=5,b=12,

由勾股定理得，斜邊=VF石尹=13，

113

所以，斜邊中線長=1X13=￡.

13

故答案為：—■

3.±2

【分析】本題考查了絕對值，算術(shù)平方根的非負(fù)性，平方根的定義，根據(jù)非負(fù)性可以得到

a=3,6=4,c=-3,帶入求出a+6+c的結(jié)果，從而得出結(jié)果.

【詳解】解：,??V^+M-4|+(C+3)2=0,V^3>0,|6-4|>0,(c+3)>0,

二.Q—3=0,b—4=0,c+3=0,

a=3,b=4,c=—3,

a+b+c=3+4+(—3)—4,

:.a+b+c的平方根是±2.

答案第1頁，共26頁

故答案為：±2.

4.C

【分析】設(shè)正方形的邊長為。，根據(jù)其面積公式求出。的值，估算出。的取值范圍即可.

【詳解】解：設(shè)正方形的邊長為。，

??,正方形的面積是22.73,

a=J22.73，

?■-16<22.73<25,

V16<V22.73<V25,即4<J22.73<5,

??.它的邊長大小在4與5之間，

故選：C.

【點睛】本題考查的是估算無理數(shù)的大小及算術(shù)平方根，估算無理數(shù)的大小時要用有理數(shù)逼

近無理數(shù)，求無理數(shù)的近似值.

5.6&cm

【分析】根據(jù)兩個小正方形的面積分別求出其邊長，從而得出大正方形的邊長.

【詳解】解：,??兩個小正方形的面積為8cm②和32cm2,

兩個小正方形的邊長分別為2J5cm和4V2cm，

二大正方形的邊長為（2C+4A②cm=6&cm,

故答案為：6V2cm.

【點睛】本題考查了算術(shù)平方根的實際應(yīng)用，讀懂題意，運用算術(shù)平方根的知識解題是關(guān)鍵.

6.（1）4

（2）不能，理由見解析

【分析】（1）根據(jù)已知正方形的面積求出大正方形的邊長即可；

（2）先求出長方形的邊長，利用長與正方形邊長比較大小再判斷即可.

【詳解】（1）大正方形的邊長是，2x（.丁=4（cm）；

故答案為：4；

（2）設(shè)長方形紙片的長為3xcm,寬為2xcm,

則2x-3x=12,

解得：x=V2，

答案第2頁，共26頁

3x=3啦＞4,

所以沿此大正方形邊的方向剪出一個長方形，不能使剪出的長方形紙片的長寬之比為3:2,

且面積為12cm2.

【點睛】本題考查了算術(shù)平方根，能根據(jù)題意列出算式是解此題的關(guān)鍵.

7.（1）該正方形畫布的邊長為20cm

（2）甲方案不可行，乙方案可行，理由見解析

【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根的定義即可求解；

（2）甲方案中，設(shè)長方形紙片的長為3xcm,寬為2xcm,乙方案中，設(shè)長方形紙片的長為

5xcm,寬為3xcm,分別列出方程，解方程即可求解.

【詳解】（1）??,正方形畫布的面積為400cm2

???該正方形畫布的邊長為V400=20cm.

（2）甲的方案不可行，乙方案可行

甲方案中，設(shè)長方形紙片的長為3xcm,寬為2xcm,

則3x-2x=300,即6/=300,

%2=50,

解得：x=5收（負(fù)值舍去），

長方形的長為15J5cm.

；15點＞20,但正方形紙片的邊長只有20cm,故甲方案不可行；

乙方案中，設(shè)長方形紙片的長為5xcm,寬為3久cm,

則3x-5x=150,即15/=150,

解得：x=V10（負(fù)值舍去），

，長方形的長為5而＜20,故乙方案可行，

綜上，甲方案不可行，乙方案可行.

【點睛】本題考查了算術(shù)平方根的實際應(yīng)用，熟練掌握算術(shù)平方根的定義是解題的關(guān)鍵.

8.B

【分析】直接根據(jù)平方根的定義解題即可.

【詳解】解：-?-0,92=0.81,

—Jo.81=—0.9，

答案第3頁，共26頁

故選：B.

【點睛】本題主要考查了平方根、算術(shù)平方根概念的運用，理解其含義是解題的關(guān)鍵.

9.D

【分析】根據(jù)平方根的定義求解即可，平方根：如果一個數(shù)的平方等于。，那么這個數(shù)就叫

a的平方根.

【詳解】解：A、竿，9：=鼻，故該選項不正確，不符合題意;

B、0.32=0.09,故0.3不是0.9的平方根，故該選項不正確，不符合題意；

C、-9沒有平方根，故該選項不正確，不符合題意；

D、亞=3,(V3)2=3,故6是囪的平方根，故該選項正確，符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查了平方根的定義，理解平方根的定義是解題的關(guān)鍵.

10.+典

6

【分析】本題考查了算術(shù)平方根和平方根，掌握算術(shù)平方根和平方根的定義，根據(jù)定義計算

是解題關(guān)鍵.一個正數(shù)有兩個平方根，且他們互為相反數(shù).

【詳解】解：戶=2,

V366

我的平方根為土《土駕,

故答案為：士叵.

6

11.3-5±3

【分析】本題考查了算術(shù)平方根、立方根和平方根的應(yīng)用，熟練掌握各自的定義是解本題的

關(guān)鍵.

依據(jù)算術(shù)平方根，平方根和立方根的定義解答即可.

【詳解】：病=9,V9=3

V81的算術(shù)平方根是3

???(-5)3=-125

???V-125=-5

9『=9,(±3『=9

答案第4頁，共26頁

故答案為：3,-5,±3.

12.D

【分析】本題主要考查了平方根的知識，掌握一個正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)是關(guān)鍵.

【詳解】解：的兩個平方根是3a-5與2a-10,

*'?3cl-5+2Q—10—0f

解得：a=3,

??.M=(3Q-5)2=42=16,

???M+a=16+3=19,

故選D.

13.4

【分析】本題考查了平方根；

根據(jù)一個正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)列式計算即可.

【詳解】解：?.一個正數(shù)的兩個平方根分別是。+3和2.-15,

。+3+2?！?5—0,

???〃=4,

故答案為：4.

14.-116

【分析】本題考查了平方根的性質(zhì)，熟練掌握平方根的和為零是解題的關(guān)鍵.根據(jù)正數(shù)的兩

個平方根和為0計算即可.

【詳解】解：一個正數(shù)的兩個平方根是2a-2和-a+3,

*t?2〃—2—。+3—0,

解得：a--\,

則-。+3=4,

那么這個正數(shù)是4?=16,

故答案為：-1；16.

15.(1)6Z=4,x=25

(2)3

【分析】本題主要考查了平方根的概念，求一個數(shù)的平方根，熟知平方根和算術(shù)平方根的定

答案第5頁，共26頁

義是解題的關(guān)鍵：若兩個實數(shù)。、6,滿足/=/；,那么。就叫做6的平方根，若。為非負(fù)數(shù),

那么。就叫做6的算術(shù)平方根.

(1)根據(jù)一個正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)得到a+1+2。-13=0,解方程求出。的值，進(jìn)

而求出2a-13的值，再根據(jù)平方根的定義求出x的值即可；

(2)先求出50-11的值，再根據(jù)算術(shù)平方根的定義求解即可.

【詳解】(1)解：???一個正數(shù)x的兩個平方根分別為。+1和2a-13,

Q+1+2a—13—0,

???a=4,

/.2?！?3=2x4—13=—5,

,?,x=(2a-13)2=(-5)2=25；

(2)解：=4,

???5q—ll=5x4—11=9,

???32=9,

??.9的算術(shù)平方根是3,

???5a-11的算術(shù)平方根是3.

16.(l)x=6或x=2

(2)x=-6或x=0

【分析】本題主要考查了求平方根的方法解方程：

(1)根據(jù)求平方根的方法解方程即可；

(2)根據(jù)求平方根的方法解方程即可.

【詳解】(1)解：???(X—4)2=4,

x—4=±2,

???x=6或x=2；

(2)解：V-(X+3)2=3,

??.(％+3『=9,

?,?x+3=±3,

???x=-6或x=0.

17.(1)-2a2-b2;(2)x=j

2

答案第6頁，共26頁

【分析】本題考查整式的乘法，運用立方根的定義解方程.

(1)運用單項式乘以多項式法則，完全平方公式計算，最后合并同類項即可解答;

(2)運用立方根的定義即可解答.

【詳解】(1)2a(a-26)-(2a

=(2a2—4a6)-(44-4ab+Z>2)

—2〃——44+4Q6—b2

=-2a2-b2.

⑵(x-1)-3=6，

o

移項并合并同類項，得(Al)：3,

o

3

開立方，得X-l=],

移項并合并同類項，得x=g.

18.(1)<2=2,m=49

(2)x=±2^/2

【分析】本題主要考查了平方根的定義，利用平方根解方程；

(1)根據(jù)一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)解答；

(2)根據(jù)平方根的定義解方程即可.

解題的關(guān)鍵是熟練掌握一個正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù).

【詳解】(1)解：由題意得：a+5+2a-ll=0,

解得：a=2,

m=(a+5)*=49；

(2)解:原方程為：2/-16=0,

x2=8,

解得：%=±272.

19.⑴x=2或x=-4

⑵x=2或x=-4

【分析】(1)利用題干中的換元法，結(jié)合當(dāng)病=9時，加的值為3或-3求解即可;

(2)將方程變形為(x+以=9,再同⑴求解.

答案第7頁，共26頁

【詳解】（1）解：設(shè)a=x+l,

二a=±3,即x+1=3或x+1=—3,

解得：x=2或x=-4；

(2)X2+2X+1=9,

(x2+x)+(x+l)=9,

x（x+l）+（尤+1）=9,

（x+1）2=9,

同（1）可得：x=2或x=-4.

【點睛】本題考查了平方根的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，利用換元法求解.

20.⑴大約需要4秒

（2）大約2.8秒

【分析】本題考查了平方根的應(yīng)用，理解公式，正確代入求值是解此題的關(guān)鍵.

（1）將〃=80米代入%=得：80=1xl0/2,即計算即可得解；

（2）先求出力=40米，再將〃=40米代入6=gg?得40=gxl0/，即/=±菖|1,計算即

可得出答案.

【詳解】（1）解：把人=80米代入〃=〃得：80=|xl0r,即汗土悝氾,

22V10

解得：（=4（負(fù)值舍去），

答：一個物品從80米的高樓墜落到地面大約需要4秒；

（2）解:由題意得：0.5x10/1=200,

解得力=40,

把人=40代入=得：40=-xl0f2,即公土J竺氾,

22V10

解得/=2后（負(fù)值舍去），

:?tx2.8秒，

答：該物品墜落地面用了大約2.8秒.

21.⑴x=8或%二一6

答案第8頁，共26頁

10

⑵z7秒XI

【分析】本題考查平方根及應(yīng)用，

(1)由平方根的知識可得X-1=±7,從而求出方程的解；

(2)將〃=10代入/2=4.9”，得到4.9/=10,再根據(jù)平方根的定義求出,的值即可；

熟練掌握平方根的定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：(、-以=49,

x-l=±7,

???x=8或x=-6；

(2)根據(jù)題意，得：fi=10,

2100

t----,

49

??"=?或(負(fù)值不符合題意，舍去)，

77

答：這個物體到達(dá)地面所需的時間為T秒.

22.(1)80米

(2)這些鐵柵欄夠用，見解析

【分析】(1)正方形邊長=面積的算術(shù)平方根，周長=邊長x4,由此解答即可；

(2)長、寬的比為5：3,設(shè)這個長方形場地寬為3am,則長為5am,計算出長方形的長與

寬可知長方形周長，同理可得正方形的周長，比較大小可知是否夠用.

【詳解】(1)解：V400=20(m),4x20=80(m),

答：原來正方形場地的周長為80m.

(2)解：設(shè)這個長方形場地寬為3am,則長為5am,

由題意有：3ax5a=315,

解得：a=+V2T，

■■3a表示長度，

?,?〃=，

???這個長方形場地的周長為2(3G+5Q)=16q=16d(m),

?■-80=16x5=16x725>16^/21-

答案第9頁，共26頁

.??這些鐵柵欄夠用.

答：這些鐵柵欄夠用.

【點睛】本題主要考查了算術(shù)平方根的簡單應(yīng)用，根據(jù)題意設(shè)出合適未知數(shù)是基礎(chǔ)，依據(jù)相

等關(guān)系列出方程求出各自周長，是解題的關(guān)鍵.

23.能，理由見解析

【分析】本題主要考查了平方根的應(yīng)用.先求出正方形的邊長為麗=10cm,然后設(shè)長方

形的信封的長為5xcm,寬為4xcm,根據(jù)題意可得20/=200,從而確定長方形的長寬即可

得出結(jié)果.

【詳解】解：能，理由如下：

???正方形賀卡的面積為lOOcn?,

??.正方形的邊長為=10cm,

設(shè)長方形的信封的長為5xcm,寬為4xcm,依題得：

5xx4x=200,

即20,=200,

X2=10,

;x=或一(舍去)，

4x=4>/l()cin>10cm,

，能將這張賀卡不折疊地放入此信封中.

24.4cm

【分析】本題考查正方體的體積公式及立方根計算，根據(jù)題中描述，結(jié)合空間想象能力，設(shè)

所截每個小正方體的棱長是x,找到等量關(guān)系列方程求解即可得到答案.

【詳解】解：設(shè)所截每個小正方體的棱長是x,

4x3=985-729,解得x=4,

答：所截每個小正方體的棱長是4cm.

25.截得的每個小正方體的棱長是4cm.截去的正方體邊長不可以是6cm.

【分析】此題主要考查了立方根的應(yīng)用，由于一個正方體的體積是lOOOcn?,現(xiàn)在要在它的

8個角上分別截去8個大小相同的小正方體，使截去后余下的體積是488cm3,設(shè)截得的每

個小正方體的棱長xcm,根據(jù)已知條件可以列出方程1000-8/=488,解方程即可求解，再

答案第10頁，共26頁

求解大正方體的邊長為10cm,而截取的兩個正方體的邊長之和大于10cm了，可得結(jié)論.

【詳解】解：設(shè)截得的每個小正方體的棱長xcm,依題意得

1000-8/=488,

??-8x3=512，

解得：x=4.

.?.截得的每個小正方體的棱長是4cm.

???正方體的體積是lOOOcn?,

二正方體的邊長為10cm,

當(dāng)截去的正方體邊長是6cm時，

6+6>10,

,截去的正方體邊長不可以是6cm.

26.球形容器內(nèi)部的半徑是6dm.

4

【分析】本題考查了立方根的應(yīng)用，利用球的體積公式/=§)代計算出球的半徑R,熟練

掌握立方根的概念是解題的關(guān)鍵.

4,

【詳解】解：設(shè)球形容器內(nèi)部的半徑是R,根據(jù)題意，得§乃&=288萬，

.--7?3=216,

R=6,

答：球形容器內(nèi)部的半徑是6dm.

27.(1)如果雷雨區(qū)域直徑為4km,那么這場雷雨大約能持續(xù)大約持續(xù)0.3h

(2)如果一場雷雨持續(xù)了lh,那么這場雷雨區(qū)域的直徑?jīng)]有超過10km

【分析】本題主要考查了平方根，立方根的應(yīng)用.

對于(1),將d=4代入關(guān)系式，根據(jù)平方根的定義解答；

對于(