2024-2025學(xué)年上海交大附中浦東實(shí)驗(yàn)高中高一（上）第二次段考數(shù)學(xué)試

卷（12月份）

一,填空題（本大題共12題，滿分36分）

1.（3分）已知集合4=0-1＜尤＜3},8=[0,3],則ACB=.

2.（3分）函數(shù)/（x）=&"的定義域是.

3.（3分）對(duì)于正數(shù)a,向^可以用有理數(shù)指數(shù)幕的形式表示為.

4.（3分）“x22”是“尤＞1”的條件.

5.（3分）若正實(shí)數(shù)尤,y滿足x+y=4,則孫的最大值為.

6.（3分）函數(shù)/（x）=logax+2（a＞0,aWl）恒過定點(diǎn)的坐標(biāo)為.

7.（3分）已知keZ,設(shè)幕函數(shù)y=/2-6k的圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，且與x軸及＞軸均無交點(diǎn)，則k的值

為.

8.（3分）方程Iog2x+log2（x+3）=2的解集為.

9.（3分）若/g2=a,10"=3,則log524=（用。力表示）.

11

10.（3分）已知方程/-X-2=0的兩根分別為尤1,尤2,嘗試構(gòu)造一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)為1,且兩根分別為一,一的

X1久2

一元二次方程.

11.（3分）已知a€R,若不等式婷-ax+i有解，則a的取值范圍是.

12.（3分）某同學(xué)向王老師請(qǐng)教一題：若不等式尤一4，-出初》彳+1對(duì)任意比。,+8）恒成立，求實(shí)數(shù)。的

取值范圍.王老師告訴該同學(xué)：恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)%=0時(shí)取等號(hào)，且g（x）=x-Mnx在（1,+

8）有零點(diǎn)”.根據(jù)王老師的提示，可求得該問題中a的取值范圍是.

二,選擇題（本大題共4題，滿分12分）

13.（3分）方程組憑+:=\的解集是（）

{x—y=—i

A.{x=0,y=l}B.{0,1）

C.{（0,1）}D.{（xj）|x=0或y=l}

14.（3分）下列關(guān)系式錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為：（）

①060.

②峋0}.

③0CN.

@{0}￡{0}.

A.1B.2C.3D.4

21

15.(3分)已知。＞0力＞0,且2〃+b=l,則一+二的最小值為()

ab

A.7B.8C.9D.10

(x—2)2,0＜x＜4

16.(3分)已知函數(shù)＞=/(%),xWO關(guān)于y軸對(duì)稱，且當(dāng)工20時(shí),/(%)=，，則方程/(%)=

2/—4),x〉4

解的個(gè)數(shù)為()

A.14B.16C.18D.20

三,解答題

17.(8分)求下列不等式的解集：

(1)\x-1|^4.

18.(10分)已知函數(shù)/(無)=1-24-依在區(qū)間［-1,1］上的最小值為8(a)(a>0).

(1)求函數(shù)y=g(a)的表達(dá)式.

(2)若g(a)=求。的值及此時(shí)函數(shù)>=/(尤)的最大值.

19.(10分)某公司欲將一批貨物從A地運(yùn)往B地，現(xiàn)有汽車，火車兩種運(yùn)輸工具可供選擇,設(shè)兩地距離為S,

汽車速度50妊/〃，途中每千米費(fèi)用為8元，裝卸貨物需2小火車速度100fo?//z,途中每千米費(fèi)用為4元，裝卸

貨物需4爪若這批貨物在運(yùn)輸過程中(含裝卸時(shí)間)的損耗為300元/瓦

(1)請(qǐng)寫出汽車運(yùn)輸?shù)淖罱K費(fèi)用？

(2)請(qǐng)問采用哪種運(yùn)輸工具比較合適(即運(yùn)輸過程中的費(fèi)用與損耗之和最小)？

20.(7分)已知函數(shù)y=/(x)的表達(dá)式為/'(x)=(?。?小一1)乂向+機(jī)是幕函數(shù)，且當(dāng)xe(0,+oo)時(shí)，函數(shù)

y=/(無)是嚴(yán)格增函數(shù)，求/(%)的解析式.

21.(7分)已知關(guān)于x的方程&尸=7-a的解為負(fù)數(shù)，求a的取值范圍.

22.(10分)已知非空集合AUR,函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)槿魧?duì)任意怎4且無6。,不等式/(x)W/(x+f)

恒成立，則稱函數(shù)/(x)具有A性質(zhì).

(1)當(dāng)A={-1},判斷/(x)=-x,g(x)=2%是否具有A性質(zhì).

1

(2)當(dāng)4=(0,1)/(x)=x+，若/(x)具有A性質(zhì)，求〃的取值范圍.

(3)當(dāng)A={-2,M}〃EZ,若D為整數(shù)集且具有A性質(zhì)的函數(shù)均為常值函數(shù)，求所有符合條件的m的值.

2024-2025學(xué)年上海交大附中浦東實(shí)驗(yàn)高中高一（上）第二次段考數(shù)學(xué)試

卷（12月份）

參考答案與試卷解析

題號(hào)13141516

答案CBCA

一,填空題（本大題共12題，滿分36分）

1.（3分）已知集合4=（尤|-1<尤<31.8=10.31則AC8=[0,3）.

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合交集的定義，即可求解.

【解答】解：集合A={尤|-l<x<3},8=[0,3].

則AC8=[0,3）.

故答案為：[0,3。

2.（3分）函數(shù)/（%）=VIF的定義域是3尤W2}.

【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式,列出使函數(shù)解析式有意義的不等式，求出解集即可.

【解答】解：/（x）=V2^.

則2-x20,解得后2.

故函數(shù)無）的定義域?yàn)閧尤|xW2}.

故答案為：{x|xW2}.

3.（3分）對(duì)于正數(shù)。,7^后可以用有理數(shù)指數(shù)哥的形式表示為_腐_.

【分析】利用有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)求解.

【解答】解：：。>0.

/—I1ri.13

Vay[a=?a?成=個(gè)成=a2x2=a4.

3

故答案為：a4.

4.（3分）“尤22”是“x>l”的充分不必要條件.

【分析】結(jié)合不等式的范圍檢驗(yàn)充分及必要性即可判斷.

【解答】解：當(dāng)了>2時(shí)￡>1一定成立，即充分性成立.

當(dāng)x>l時(shí),x22不一定成立，即必要性不成立.

故答案為：充分不必要.

5.(3分)若正實(shí)數(shù)尤,y滿足尤+y=4,則孫的最大值為4.

【分析】直接利用基本不等式，即可得解.

【解答】解：因?yàn)橛饄為正實(shí)數(shù).

所以孫W史?X=(=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時(shí)，等號(hào)成立.

所以孫的最大值為4.

故答案為：4.

6.(3分)函數(shù)/(x)=logax+2(a>O,aWl)恒過定點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2).

【分析】令真數(shù)等于1,求得尤/(X)的值,可得函數(shù)的圖象經(jīng)過定點(diǎn)的坐標(biāo).

【解答】解：函數(shù)/(無)=logax+2(。>0且aWl)，令x=l,得/(I)=2.

可得它的圖象恒過定點(diǎn)(1,2)

故答案為：(1,2).

7.(3分)已知髭Z,設(shè)幕函數(shù)y=必z-6k的圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，且與x軸及曠軸均無交點(diǎn)，則卜的值為」

或3或5.

【分析】由題意，令好-6fc<0求出匕再根據(jù)％eZ,以及基函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，且與x軸及y

軸均無交點(diǎn)，由此求出左的值.

【解答】解：由題意,令必-6左<0,解得0<左<6,因?yàn)榉室宜宰?1,2,3,4,5.

當(dāng)k=l時(shí),F-6k=-5,幕函數(shù)為y=x?圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，且與x軸及y軸均無交點(diǎn)，滿足題意.

當(dāng)k=2時(shí),F-6k=-8,幕函數(shù)為>=/8,圖像關(guān)于y軸成軸對(duì)稱，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,不滿足題意.

當(dāng)k=3時(shí)，必-6k=-9,幕函數(shù)為y=x"，圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，且與x軸及y軸均無交點(diǎn)，滿足題意.

當(dāng)％=4時(shí)，武-6k=-8,幕函數(shù)為y=/%,圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，不關(guān)系原點(diǎn)對(duì)稱,不滿足題意.

當(dāng)％=5時(shí),F-6k=-5,累函數(shù)為y=/5,圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，且與x軸及y軸均無交點(diǎn).

綜上內(nèi)的值為1或3或5.

故答案為：1或3或5.

8.(3分)方程Iog2%+log2(x+3)=2的解集為⑴.

(x>0

【分析】根據(jù)題意，由對(duì)數(shù)的定義可得，求出X的取值范圍，原方程變形可得10g2[x(x+3)]=2,

(%+3>0

即有x(x+3)=4,求出x的值，驗(yàn)證可得答案.

(x>0

【解答】解：根據(jù)題意,log“+log2(%+3)=2,必有，解可得x>0.

(%+3>0

原方程變形可得log2[%（X+3）]=2,即有x（x+3）=4.

解可得：％=1或-4.

又由％>0,則X—1.

故方程log2X+log2(x+3)=2的解集為{1}.

故答案為：{1}.

…jb+3a

9.（3分）右/g2=a,10"=3,貝ijlog524=_^-----（用。力表示）.

【分析】把指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式求出b的值,再利用換底公式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解.

【解答】解：；10》=3,二6=收3.

?102524=應(yīng)竺=S3+S8=Ig3+3lg2=b+3a

"當(dāng)~國51—lg21-lg21―CL°

b+3a

故答案為:

1—(1

11

10.（3分）已知方程X2-X-2=0的兩根分別為XI,X2,嘗試構(gòu)造一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)為1,且兩根分別為一,一的

X1%2

一元二次方程+%一

【分析】先求出已知方程的根，結(jié)合題意即可求解.

【解答】解：因?yàn)閤2-x-2=0的兩根分別為2,-1.

不妨設(shè)％1=-1,X2=2.

111

則—=-1,一=

%iX22

故二次項(xiàng)系數(shù)為1,且兩根分別為工，工的一元二次方程為/+ix-i=0.

%1%2NN

故答案為：x2+1x-1=0.

11.（3分）已知a€R.若不等式4"V&等z-ax+i有解，則a的取值范圍是（-8,-2）U（2,+8）.

【分析】將不等式4axV&）/-ax+i有解轉(zhuǎn)化為/+6+1<0有解，結(jié)合判別式大于0,解不等式即可求得答

案.

【解答】解：由題意得有解.

222

即4ax<（ly-ax+l022axy-l+ax-/2ax<-1+ax-X<=>X+ax+1VO有解.

即2亦<-\+ax-x2有解，即x2+ax+l<0有解.

所以△=/-4>0,解得a<-2或a>2.

即〃的取值范圍為（-8,-2）U（2,+8）.

故答案為：(-8,-2)U(2,+°°).

12.(3分)某同學(xué)向王老師請(qǐng)教一題：若不等式阮c》尤+1對(duì)任意在(1,+8)恒成立，求實(shí)數(shù)a的

取值范圍.王老師告訴該同學(xué)：恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)尤=0時(shí)取等號(hào)，且g(x)=x-4歷x在(1,+

8)有零點(diǎn)”.根據(jù)王老師的提示.可求得該問題中。的取值范圍是(-8,-4].

【分析】根據(jù)函數(shù)6(x)=x-4/nx在(1,+8)有零點(diǎn)，設(shè)為孫得到xo=4配《,/=刈4,根據(jù)函數(shù)/?⑴

的單調(diào)性求出尤o的范圍，根據(jù)/(尤o)=-Q+4)加優(yōu)20,得到關(guān)于。的不等式，解出即可.

x

【解答】解：x4e^-alnx^x+\^——alnx^x+1.

x4

令/(x)=%一"濃-X-l，(X>1).

函數(shù)/z(x)=冗-4/心在(1,+8)有零點(diǎn)，設(shè)為X0.

4

貝ljh(xo)=xo-4加xo=O,貝Uxo=4歷xo,貝！Je^=x0.

jiz\14x—4

h(%)=1——=-----.

xx

令〃(x)〉0,解得：x>4,令"(x)VO,解得：l<x<4.

故/z(%)在(1,4)遞減，在(4,+8)遞增.

ffffh(1)=l,fi(4)=4-4/〃4〈0,故1＜如＜4.

e%0x4

故/(xo)=-4—alruco-xo-1=—alnxo-4lnxo-1=-(a+4)Inxo^O.

xoxo

九xo>O,???a+4W0,故-4.

故a的取值范圍是(-°°,-4].

故答案為：(-°°,-4].

二,選擇題(本大題共4題，滿分12分)

13.(3分)方程組『+'=11的解集是(

)

(x-y=-1

A.{x=O,y=l}B.{0,1}

C.{(0,1)}D.{(x,y)|尤=0或y=l}

【分析】運(yùn)用加減消元法，求出方程組的解，最后運(yùn)用集合表示.

【解答】解:方程組忙+廠\.

兩式相加得,x=0.

兩式相減得,y=l.

...方程組的解集為{(0,1)}.

故選：C.

14.(3分)下列關(guān)系式錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為：()

?OG0.

②01{0}.

③06N.

@{0}￡{0}.

A.1B.2C.3D.4

【分析】根據(jù)元素與集合,集合與集合的關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.

【解答】解：空集不含任何元素,060錯(cuò)誤，①錯(cuò)誤.

空集是任何集合的子集,0U{0}正確，②正確.

0是自然數(shù),06N正確，③正確.

0圖0},；.{0}={0}錯(cuò)誤，④錯(cuò)誤.

???錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為2.

故選：B.

21

15.(3分)已知〃>0力>0,且2〃+b=1,則一+二的最小值為()

ab

A.7B.8C.9D.10

【分析】利用“乘1法”，基本不等式的性質(zhì)即可得出.

【解答】解：力>0,2a+b=l.

.[+[=⑵+6)。+》=5+沿裂5+2X2后=9,當(dāng)且僅當(dāng)片V時(shí)取等號(hào).

21

+工的最小值為9.

ab

故選：C.

(%—2)2,0<%<4

16.(3分)已知函數(shù)y=/(x),xW0關(guān)于y軸對(duì)稱，且當(dāng)工20時(shí),/(%)=/，則方程/(%)=

2f(x—4),x>4

解的個(gè)數(shù)為()

A.14B.16C.18D.20

【分析】求得了(尤)在區(qū)間(0,16]上的解析式，畫出y=/(x)與y=*的圖象，根據(jù)圖象確定正確答案.

【解答】解：依題意一(X)是偶函數(shù)，定義域?yàn)閧x|x#0}.

0<xW4時(shí)/(尤)=(%-2)2.

11

當(dāng)4V%W8時(shí),0<x-4W4,/(%)=]/(%—4)=2(%—6)2.

11

當(dāng)8VxW12時(shí),4Vx-4W8,/(%)=—4)=(x-10)2.

當(dāng)12VxW16時(shí),8Vx-4W12/(%)=./(%—4)=(—14)2.

當(dāng)16<x^20,12<x-4416/(%)=1/(x-4)=含—18)2.

11

-2<x-18^2,0<("18)2<4,0<yg(x-18)2<J.

以此類推可知當(dāng)x>16時(shí),/(久)<1.

由此畫出了(x)在區(qū)間(0,16］上的圖象,如下圖所示：

又因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù).

所以y=f(x)與y=翹圖象在［-16,0)上也有7個(gè)交點(diǎn).

所以y=fG)與y=/的圖象在L16,16］上有14個(gè)父點(diǎn).

所以方程f(x)=拂的個(gè)數(shù)為14.

故選：A.

三,解答題

17.(8分)求下列不等式的解集：

(1)|尤-1|24.

【分析】(1)根據(jù)題意，原不等式等價(jià)于x-124或x-1W-4,解可得答案.

(2)根據(jù)題意，原不等式等價(jià)于(龍-3)(2x+l)<0,解可得答案.

【解答】解：(1)仇-1|24,即I-124或1-1W-4.

解可得了25或xW-3.

即不等式的解集為{%僅三5或xW-3}.

x—3

(2)-------V0,變形可得(x-3)(2x+l)<0.

2x+l

解可得：一方?3.

即不等式的解集為(-去3).

18.(10分)已知函數(shù)/(x)=1-2a-6在區(qū)間［-1,1］上的最小值為gQ)(a>0).

(1)求函數(shù)y=g(。)的表達(dá)式.

(2)若g(a)=:,求〃的值及此時(shí)函數(shù)>=/(%)的最大值.

【分析】(1)由〃>0可得函數(shù)/(%)單調(diào)遞減，可得函數(shù)的最小值g(。)的解析式.

(2)由gQ)=*可得。的值，進(jìn)而可得函數(shù)/(尤)的解析式，再求出函數(shù)/(x)在［-1,1］上的最大值.

【解答】解：(1)因?yàn)椤?gt;0.

所以/(x)=1-2a-or在［-1,1］上單調(diào)遞減.

所以g(a)=f(1)=1-2a-a=-3a+\.

(2)因?yàn)間(a)=.，即-3a+l=*，解得a=去

所以f(x)—1_2x,-1=.+:在［T，l］上單調(diào)遞減，所以/(x)\X￡_］)+'=看.

即f(x)的最小值為丁

19.(10分)某公司欲將一批貨物從A地運(yùn)往B地，現(xiàn)有汽車，火車兩種運(yùn)輸工具可供選擇,設(shè)兩地距離為S,

汽車速度505班,途中每千米費(fèi)用為8元，裝卸貨物需2/i,火車速度100加/丸,途中每千米費(fèi)用為4元，裝卸

貨物需4人若這批貨物在運(yùn)輸過程中(含裝卸時(shí)間)的損耗為300元力.

(1)請(qǐng)寫出汽車運(yùn)輸?shù)淖罱K費(fèi)用？

(2)請(qǐng)問采用哪種運(yùn)輸工具比較合適(即運(yùn)輸過程中的費(fèi)用與損耗之和最小)？

【分析】(1)設(shè)汽車運(yùn)輸?shù)淖罱K費(fèi)用為"根據(jù)題意列出yi關(guān)于S的函數(shù)表達(dá)式即可.

(2)設(shè)火車運(yùn)輸?shù)淖罱K費(fèi)用為y2則>2=75+1200,再比較JI,J2的大小關(guān)系即可.

【解答】解：(1)設(shè)汽車運(yùn)輸?shù)淖罱K費(fèi)用為yi.

S

則yi=8S+(―+2)X300=145+600.

(2)設(shè)火車運(yùn)輸?shù)淖罱K費(fèi)用為

,s

貝U〉2=4S+(—+4)X300=7S+1200.

,100

當(dāng)"=y2時(shí),145+600=75+1200.

解得s=竽.

所以當(dāng)0<SV竿時(shí),yi<K，此時(shí)汽車運(yùn)輸較合適.

當(dāng)S=竽時(shí),yi=”,此時(shí)兩種運(yùn)輸工具最終費(fèi)用相同.

當(dāng)S>竿時(shí),yi>",此時(shí)火車運(yùn)輸較合適.

綜上所述，當(dāng)0<SV竽時(shí),選擇汽車運(yùn)輸較合適，當(dāng)5=竿時(shí),兩種運(yùn)輸工具最終費(fèi)用相同，當(dāng)S>竿時(shí),

選擇火車運(yùn)輸較合適.

20.(7分)已知函數(shù)y=/(%)的表達(dá)式為f(%)=()712—血—1)%癥+血是嘉函數(shù)，且當(dāng)(0,+8)時(shí)，函數(shù)

y=f(x)是嚴(yán)格增函數(shù)，求/(x)的解析式.

【分析】由幕函數(shù)的定義和性質(zhì)求解即可.

【解答】解：由已知可得扇-機(jī)-1=1,所以m=-1或m=2.

當(dāng)機(jī)=-1時(shí)，函數(shù)/(x)=x°,當(dāng)xC(0,+°°)時(shí)，函數(shù)y=/(x)不是嚴(yán)格增函數(shù).

當(dāng)機(jī)=2時(shí)，函數(shù)/(九)=￡當(dāng)在(0,+°°)時(shí)，函數(shù)>=/(%)是嚴(yán)格增函數(shù).

所以f