2024學(xué)年第一學(xué)期徐匯區(qū)學(xué)習(xí)能力診斷(高考一模)卷

高三數(shù)學(xué)試卷

(考試時(shí)間120分鐘滿(mǎn)分150分)2024.12

一、填空題(本大題共有12題，滿(mǎn)分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分)

考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫(xiě)結(jié)果.

1.不等式4x+3<0的解集為.

...,In%,%>0,

2.已知函數(shù)y=/(x)淇中/(%)=，則/(I)=_______.

-1,x<0

3.在(1+x)n的二項(xiàng)展開(kāi)式中，若各項(xiàng)系數(shù)和為32,則正整數(shù)孔的值為.

4.已知向量￡=(2,5,1),5=(4,m,5)，若。=3,則實(shí)數(shù)加的值為.

5.設(shè)￡R,/(x)=x3+3sinx+b.若函數(shù)y=/(%)是定義在［一。,2。一1］上的奇函數(shù).

則a+b=.

6.已知加、〃為空間中兩條不同的直線，。、為兩個(gè)不同的平面，若根ua,an4=〃，則

加〃〃是加〃夕的條件.(填：“充分非必要”，“必要非充分”，

“充要”，“既非充分又非必要”中的一個(gè))

125

7.某景點(diǎn)對(duì)30天內(nèi)每天的游客人數(shù)(單位：萬(wàn)人)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到20233

樣本的莖葉圖(如右圖所示)，則該樣本的第75百分位數(shù)是.3124489

455577889

50011479

6178

8.已知復(fù)數(shù)Z］和復(fù)數(shù)Z2滿(mǎn)足Z1+Z2=3+4i,1—［=—2+i(i為虛數(shù)單位).

則|Z：-Z22|=.

9.設(shè)aeR,/(x)=x2+ar+lnx,若函數(shù)y=/(%)存在兩個(gè)不同的極值點(diǎn),則a的

取值范圍為.

10.已知橢圓三+=?=1（。〉6〉0）的左，右焦點(diǎn)分別為k,工，P為橢圓上一點(diǎn)，且

ab

NPF2F1=（,若此橢圓的離心率為6—1,則NP4心的大小為.

11.徐匯濱江作為2024年上海國(guó)際鮮花展的三個(gè)主會(huì)場(chǎng)之一，吸引了廣大市民前往觀展并拍

照留念.圖中的花盆是種植鮮花的常見(jiàn)容器,它可視作兩個(gè)圓臺(tái)的組合體,上面圓臺(tái)的上、下底

面直徑分別為30。加和26cm,下面圓臺(tái)的上、下底面直徑分別為24c/n和18c〃z,且兩個(gè)圓臺(tái)

側(cè)面展開(kāi)圖的圓弧所對(duì)的圓心角相等.若上面圓臺(tái)的高為8。加，則該花盆上,下兩部分母線長(zhǎng)

的總和為cm.

W

12.已知定義域?yàn)锳={1,2,3}的函數(shù)y=/（x）的值域也是A,所有這樣的函數(shù)y=f（x）形

成全集B.設(shè)非空集合。口3且不中的每一個(gè)函數(shù)都是C中的兩個(gè)函數(shù)（可以相同）的復(fù)合函

數(shù),則集合C的元素個(gè)數(shù)的最小值為.

二、選擇題（本大題共有4題，滿(mǎn)分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）

每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng).考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.

13.下列拋物線中，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,工）的是（）

8

21?12121

A.=—XB.V=—XC.X"——VD.X=一V

-2424'

14.一個(gè)不透明的盒子中裝有若干個(gè)紅球和5個(gè)黑球，這些球除顏色外均相同.每次將球充分

攪勻后,任意摸出1個(gè)球記下顏色后再放回盒子.經(jīng)過(guò)重復(fù)摸球足夠多次試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn),摸到黑球

的頻率穩(wěn)定在0」左右，則據(jù)此估計(jì)盒子中紅球的個(gè)數(shù)約為（）

A.40個(gè)B.45個(gè)..C.50個(gè)D.55個(gè)

15.已知函數(shù)y=〃尤）與它的導(dǎo)函數(shù)y=/'（x）的定義域均為R.若函數(shù)y=/（x）是偶函數(shù)且

y=7'（x）在（-00,0）上是嚴(yán)格增函數(shù),則下列各表中，可能成為y=〃尤）取值的是（）

A.B.C.D.

X“X)XX“X)X/W

12.818810.758012.413210.8664

21.000021.000021.000021.0000

30.364431.318831.588531.1188

40.246841.797944.111641.2240

16.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，設(shè)4='（〃為正整數(shù)）.若存在常數(shù)c,使得任意兩兩不相

n

等的正整數(shù)i,j,k，都有（Z-JX+（J-k）t,+（k-i）tj=c,則稱(chēng)數(shù)列｛4｝為“輪換均值數(shù)列”.

現(xiàn)有下列兩個(gè)命題：

①任意等差數(shù)列｛%｝都是“輪換均值數(shù)列”.

②存在公比不為1的等比數(shù)列｛〃｝是“輪換均值數(shù)列”.

則下列說(shuō)法正確的是（）

A.①是真命題，②是假命題B.①是假命題，②是真命題

C.①,②都是真命題D.①,②都是假命題

三,解答題（本大題共有5題，滿(mǎn)分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫(xiě)出必要的

步驟.

17.（本題滿(mǎn)分14分，第1小題滿(mǎn)分6分，第2小題滿(mǎn)分8分）

已知/（x）=asins:+bcos0x（0>O）,若定義在R上的函數(shù)y=/（x）的最小正周期為

冗

n，且對(duì)任意的xeR，都有/（%）</（—）=4.

（1）求實(shí)數(shù)。力的值.

（2）設(shè)e（0,%），當(dāng)%,時(shí),/（芯）=/（々上筌球王+%的值.

18.（本題滿(mǎn)分14分，第1小題滿(mǎn)分6分，第2小題滿(mǎn)分8分）

JT1

如圖，在四棱錐P—ABCD中，AD//BC,ZADC=ZPAB=-,BC=CD=-AD.

22

77

E為棱A。的中點(diǎn)，異面直線P4與。。所成角的大小為。.

2

(1)求證：CD〃平面PBE.

(2)若二面角尸-CD-A的大小為巴7T，求直線E4與平面PCE所成角的正弦值.

4

19.(本題滿(mǎn)分14分，第1小題滿(mǎn)分8分，第2小題滿(mǎn)分6分)

某企業(yè)招聘員工，指定“英語(yǔ)聽(tīng)說(shuō)”，“信息技術(shù)”，“邏輯推理”作為三門(mén)考試課程，有兩種

考試方案.

方案一：參加三門(mén)課程的考試，至少有兩門(mén)及格為通過(guò).

方案二：在三門(mén)課程中，隨機(jī)選取兩門(mén),并參加這兩門(mén)課程的考試，兩門(mén)都及格為通過(guò).

假設(shè)某應(yīng)聘者參加三門(mén)指定課程考試及格的概率分別是0,必，。3(Qe(0』),，=l,2,3),且

三門(mén)課程考試是否及格相互之間沒(méi)有影響.

(1)分別求該應(yīng)聘者選方案一考試通過(guò)的概率7；和選方案二考試通過(guò)的概率T2.

(2)試比較該應(yīng)聘者在上述兩種方案下考試通過(guò)的概率的大小,并說(shuō)明理由.

20.(本題滿(mǎn)分18分，第1小題滿(mǎn)分4分，第2小題滿(mǎn)分6分，第3小題滿(mǎn)分8分)

已知過(guò)點(diǎn)P(3,、歷)的雙曲線C的漸近線方程為x±百》=0.如圖所示,過(guò)雙曲線。的右

焦點(diǎn)F作與坐標(biāo)軸都不垂直的直線/交C的右支于A,5兩點(diǎn).

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

3

(2)已知點(diǎn)Q(Q,O),求證：ZAQF=ZBQF.

3

(3)若以AB為直徑的圓被直線x=-截得的劣弧為MN，則MN所對(duì)圓心角的大小是否為定

2

值？若是，求出該定值，若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.(本題滿(mǎn)分18分，第1小題滿(mǎn)分4分，第2小題滿(mǎn)分6分，第3小題滿(mǎn)分8分)

已知定義域?yàn)镈的函數(shù)y=/(x)，其導(dǎo)函數(shù)為y=/'(x)，若點(diǎn)(%,%)在導(dǎo)函數(shù)

y=/'(%)圖像上，且滿(mǎn)足了'(%)"'(%)20,則稱(chēng)％為函數(shù)y=/(x)的一個(gè)“T類(lèi)數(shù)”，函數(shù)

y=/(x)的所有“T類(lèi)數(shù)”構(gòu)成的集合稱(chēng)為“T類(lèi)集”.

(1)若/(x)=sinx,分別判斷2和四是否為函數(shù)y=/(x)的“T類(lèi)數(shù)”，并說(shuō)明理由.

24

(2)設(shè)y=f\x)的圖像在R上連續(xù)不斷，集合M={x\fXx)=0}.記函數(shù)y=f(x)的“T類(lèi)

集”為集合S,若SuR,求證：M^0.

(3)已知/(x)=—工cos(ox+夕)(。＞0),若函數(shù)y=/(x)的“T類(lèi)集”為R時(shí)。的取值構(gòu)

CD

成集合A,求當(dāng)夕￡A時(shí)。的最大值.

2024學(xué)年第一學(xué)期徐匯區(qū)學(xué)習(xí)能力診斷（高考一模）卷

高二數(shù)學(xué)參考答案

2024.12

一,填空題（本大題共有12題，滿(mǎn)分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應(yīng)在答

題紙的相應(yīng)位置直接填寫(xiě)結(jié)果.

1.(1,3)2.03.54.-2

5.16.充要7.518.5A/5

9.(-OO,-2A/2)10.—11.571712.2

6

二,選擇題（本大題共有4題，滿(mǎn)分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且

只有一個(gè)正確選項(xiàng).考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.

13.C14.B15.B16.A

三,解答題（本大題共有5題，滿(mǎn)分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫(xiě)出必要的

步驟.

17.（本題滿(mǎn)分14分，第1小題滿(mǎn)分6分，第2小題滿(mǎn)分8分）

解：（1）由/（幻的最小正周期為萬(wàn)可知：0=2

717171

/（—）=￡zsin—+Zjcos—=4,/（x）<4,

1266

1同,

-a-\------b-4

<22

/+/=16

(2)由(1)可得：/(%)=2sin2x+2^3cos2x=4sin(2x+y)

...7C、人..7C、1

.?4sinz(2x+y)=-2nsinz(2x+y),

/.2x+—=2左》一工或2x+乙=2k7i+—7c.

3636

35

又???凡,元之￡（0,乃）,'Xi=-7i,x2=—

7

/.玉+%2=—7T.

18.（本題滿(mǎn)分14分，第1小題滿(mǎn)分6分，第2小題滿(mǎn)分8分）

解：（1）?.??1￡>〃為棱AZ）的中點(diǎn).

2

BC//ED且BC=ED,;.四邊形BCDE是平行四邊形.

CD//BE,又BEu平面尸BE,CD不在平面PBE上，

由線面平行的判定定理知,CO//平面PBE.

（2）

JT

NPAB=—，即E4LAB.

2

且異面直線與CO所成的角為王，即9，CD.

2

又ABnCD=M，AB,CDu平面ABCRr.AP，平面ABCZ）.

又CD_LA￡）,由三垂線定理,.?.CD，P￡）.

TT

因此NPDA是二面角尸—CD—A的平面角，ZPDA=-.

4

:.PA=AD.

不妨設(shè)AD=2a,則3。=8=工40=。.

2

以A為坐標(biāo)原點(diǎn),平行于CO的直線為x軸，A。所在直線為y軸，AP所在直線為z軸,

M

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，P(0,0,2a),￡(0,0),C(—42a,0),(其中〃>0)

則EC=(-a,。,。),PE=(0,a,-2a),AP=(0,0,2。).

設(shè)平面PCE的一個(gè)法向量為n=(x,y,z).

n-PE=0{y-2z=Q

則.，可得：5,

n?EC=0[~x+y=°

令y=2,則x=2,z=1,「.〃二(2,2,1).

設(shè)直線F4與平面PCE所成角為e.

nl._.——；一,|AP-n\21

貝!Jsin0=|cos<AP,n>|=——=------二—

\AP\\n\3x23

法二：過(guò)A作AHJ_CE,交CE的延長(zhǎng)線于H,連接PH.

由(1)知：CD//BE,\-PA±CD,:.PA±BE.

7T

?：ZADC=ZPAB=-,gpB4±AB.

2

又ABn3E=B,AB,3Eu平面ABC￡),，K4,平面ABCD.

C￡u平面ABCD,PALCE,又AH是PH在平面ABCD上的射影.

由三垂線定理知,PH±CE,又PAAPH=P,：.CE±平面PAH.

再過(guò)A作交于/.

CE_L平面上,A/u平面A/_LCE,又。CE=H.

4，平面PCEZAPI即為直線Q4與平面PCE的所成角.

CD，">,1以，平面ABCD.由三垂線定理,.?.CD,尸￡>.

77

因此/PDA是二面角尸—CD—A的平面角，NPDA=—.

4

設(shè)3C=CD=；AD=x（x〉0）,則AD=B4=2x.

jr

BC=CD,CD±AD,/.四邊形BCDE為正方形,ZCED=NAEH=

4

q

AH—tanZAPI=tanZAPH=型=j—=—sinZAPI=

2PA2x43

直線PA與平面PCE所成角的正弦值為

3

19.（本題滿(mǎn)分14分，第1小題滿(mǎn)分8分，第2小題滿(mǎn)分6分）

解：記該應(yīng)聘者對(duì)三門(mén)指定課程考試及格的事件分別為A,B,C.

則尸（A）=p「尸（3）=p2,尸（C）=P3.

（1）應(yīng)聘者選方案一考試通過(guò)的概率

z=P（AHBnc）+p（AnBnc）+p（AQBAQ+PCAHBno

=P1P2（1-03）+P2P3（1-P1）+P1P3（1-P2）+P1P2P3

=P1P2+P2P3+P3Pl-2Plp2P3?

應(yīng)聘者選方案二考試通過(guò)的概率

T2=；p（An3）+；pcBnc）+gp（Anc）

=§(。也+。2。3+。3。1).

(2)因?yàn)閜”P(pán)2，P3e(O,l),所以

=*。也+。2P3+。3。1)-2Plp2P3

TX-T2

=g[PlP2(1-P3)+P2P3(1-Pl)+P3Pl(1-^2)]>°，

故(即選方案一，該應(yīng)聘者考試通過(guò)的概率較大.

20.(本題滿(mǎn)分18分，第1小題滿(mǎn)分4分，第2小題滿(mǎn)分6分，第3小題滿(mǎn)分8分)

解:(1)因?yàn)殡p曲線C的漸近線方程為x±gy=0.

所以設(shè)雙曲線方程為3y2=X(XwO),

又雙曲線過(guò)點(diǎn)P(3,0).

2

則；1=9—3x2=3,所以雙曲線的方程為d—3y2=3,,即—9;丁

(2)由(1)可知尸(2,0),/的斜率存在且不為0,設(shè)/的方程為y=k(x-2).

y=k(x—2)

聯(lián)立《,,,7肖去y得(1—3左2)工2+12左2》—12左2—3=0,

x—3y=3

1-342Ho

A>0,

設(shè)4(%,％),3(々,丁2)，由題意得,=>KG(-00,,+oo).

石+%>0

-%2>0

-nic

121-3左2

則

—12r—3

121—3嚴(yán)

7

左[2%入2—萬(wàn)(芯+4)+6]

所以左4°+凝0=與j+一%—左(玉一2)左(9—2)_

一3~3+T=39

%一/X2九2----再龍2-萬(wàn)(&+X2)+^

212-2

7

—2(—12左2—3)+，x12己+6(1—3k

________________2_________________

93,99

—12尸-3+-X12^2+-(1-3^2)

24

所以七°=~kBQ,NAQb=/BQF得證.

y=k(x-2)

(3)《,,=(1一3/)％2+12/%一(12/+3)=0.

x2-3y2=3

_1?p

A=12左2+12>0恒成立,玉+%=----7-

-L/C

36k233代+3

所以圓心到的距離d=

23^-122(3產(chǎn)一1)

nd_3(左2+1)31力

設(shè)MN所對(duì)圓心角為氏則cos?=2(3左2-1)|

2r6(1+F)一3

07TT[TT

2=。，所以e=即MN所對(duì)圓心角的大小為定值2.

2633

21.(本題滿(mǎn)分18分，第1小題滿(mǎn)分4分，第2小題滿(mǎn)分6分，第3小題滿(mǎn)分8分)

7T

,f