函數(shù)的實際應(yīng)用復(fù)習(xí)講義

函數(shù)的實際應(yīng)用問題也是近幾年中考的熱點題型之一，解答相關(guān)問題時的關(guān)鍵題意，學(xué)會構(gòu)建方程或函數(shù)；要

正確利用函數(shù)圖象或背景圖形獲取正確的信息；正確語言書寫或表達(dá)不同變量的計算公式.

3.1與利潤有關(guān)的題型

解題策略

解答與利潤有關(guān)的問題時要注意：

1.不同的量表示的意義，如單價、標(biāo)價、售價、折扣、成本、固定成本、變動成本、銷售量等.

2.利潤、成本、收入、利潤率等所表示的意義及計算公式.

3.理解函數(shù)圖象或表格所表示的實際意義，并正確提取有用信息.

4.能正確利用函數(shù)的知識或性質(zhì)進行解答.

精選例題

例1.某駐村扶貧小組實施產(chǎn)業(yè)扶貧，幫助貧困農(nóng)戶進行西瓜種植和銷售.已知西瓜的成本為6元/千克，規(guī)定銷

售單價不低于成本且不高于成本的兩倍.經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，某天西瓜的銷售量y(千克)與銷售單價x(元/千克)的函

數(shù)關(guān)系如下圖所示：

(1)求y與x的函數(shù)解析式；

⑵求這一天銷售西瓜獲得的利潤的最大值.

▲/解析

⑴觀察發(fā)現(xiàn)，圖象分為一條斜線段和一條水平線段，故要分兩部分單獨求解，斜線段表示隨著單價的上漲，銷

售量減小，端點為(6,1000)和(10,200),由這兩點，即可求出斜線段的函數(shù)解析式.水平部分說明銷售量不變，為

常數(shù)200,寫解析式時要注意x的取值范圍；

⑵利潤=總銷售額-總成本(或單位利潤x銷售量),銷售額=銷售量x單價，總成本=單價成本x銷售量，然后分別

用x表示出相關(guān)量，代入關(guān)系式，得到函數(shù)，利用函數(shù)的知識求解即可.由于銷售量與單價是兩種情況，所以分別求

兩種情況下利潤的最大值，取兩個最大值中最大的.

解⑴當(dāng)6<x<10時，設(shè)y與x的解析式為.y=kx+b也手0).

根據(jù)題意，得｛端。=藍(lán)雷懈得｛憶溫：

?1.y=-200%+2200.

當(dāng)10<x<12時,y=200.

_I-200工+2200(6<x<10),

故y與X的函數(shù)解析式為■-(200(10V/412).

⑵由已知，得W=已16)y.當(dāng)6<x<10時,

W=｛x-6)(-200x+2200)=-200(x-5丫+1250.

?.「200<0,拋物線的開口向下，二尢=費時，取最大值，W=1250.

當(dāng)10<x<12時,W=(x-6)?200=200%-1200.

Vy隨x的增大而增大,；.x=12時取得最大值，W=200X12-1200=1200.

綜上所述，當(dāng)銷售價格為8.5元時，取得最大利潤,最大利潤為1250元.

例2.綠色生態(tài)農(nóng)場生產(chǎn)并銷售某種有機產(chǎn)品.假設(shè)生產(chǎn)出的產(chǎn)品能全部售出，如圖，線段EF、折線ABCD分別

表示該有機產(chǎn)品每千克的銷售價yi(元)、生產(chǎn)力成本y2(元)與產(chǎn)量x(kg)之間的函數(shù)關(guān)系.

⑴求該產(chǎn)品銷售價外(元)與產(chǎn)量x(kg)之間的函數(shù)解析式；

⑵直接寫出生產(chǎn)成本yz(元)與產(chǎn)量x(kg)之間的函數(shù)解析式；

(3)當(dāng)產(chǎn)量為多少時，這種產(chǎn)品獲得的利潤最大?最大利潤為多少?

解析

注意圖象中線段EF表示該有機產(chǎn)品每千克的銷售價，折線ABCD分別表示該有機產(chǎn)品每千克的生產(chǎn)成本yz

(元)與產(chǎn)量x(kg)之間的函數(shù)關(guān)系.

⑴根據(jù)線段EF經(jīng)過的兩點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式即可；

(2)由于ABCD不是一條直線，表示在不同的產(chǎn)量時生產(chǎn)成本是不同的，要分段求出；

⑶利用總利潤=每千克利潤x產(chǎn)量，根據(jù)x的取值范圍列出有關(guān)x的二次函數(shù)，求得最值，比較即可.

解⑴設(shè)yi與x之間的函數(shù)解析式為yi=kx+b.

,/圖象經(jīng)過點(0,168)與(180,60),

.fb=168,解彳曰1k=—w，

1180k+b=60.守I=168.

..?產(chǎn)品銷售價%(元)與產(chǎn)量x(kg)之間的函數(shù)解析式為yi=-|x+168(0<x<180);

⑵由題意,可得當(dāng)0<x<50時，y2=70;

當(dāng)130<x<180時,.y2=54;

當(dāng)50Vx<130時，設(shè)y2與x之間的函數(shù)解析式為y?=6刀+n.

:直線y2=mx+n經(jīng)過點(50,70)與(130,54),

.f50m+n=70,碗彳曰fm=

tl30m+n=54.‘守tn=80

_x

當(dāng)50<x<130時，y2—|+80.

c700<x<50),

綜上所述，生產(chǎn)成本y2(元)與產(chǎn)量x(kg)之間的函數(shù)解析式為=卜9+80(50<x<130),

I54(130<%<180).

(3)設(shè)產(chǎn)量為xkg時，獲得的利潤為W元.

①當(dāng)0<x<50時，U=x(―|久+168—70)=一|(%—言了+

.?.當(dāng)x=50時,W的值最大,最大值為3400;

②當(dāng)50Vx<130時，W=*[(-|%+168)-(一如+80)]=-|(x-110)2+4840,

.??當(dāng)x=110時,W的值最大，最大值為4840;

③當(dāng)130<x<180WZ=x(-|x+168-54)=-|(x-95)2+5415,

，當(dāng)x=130時,W的值最大，最大值為4680.

因此當(dāng)該產(chǎn)品產(chǎn)量為110kg時，獲得的利潤最大，最大值為4840元.

例3.某農(nóng)作物的生長率p與溫度；t(。。))有如下關(guān)系：如圖1,當(dāng)10WtW25時，可近似用函數(shù)p=^t-|

刻畫；當(dāng)25WtW37時,可近似用函數(shù)p=-擊(t-江+0.4刻畫.

⑴求h的值；

⑵按照經(jīng)驗，該作物提前上市的天數(shù)m(天)與生長率p滿足函數(shù)關(guān)系：

生長率P0.20.250.30.35

提前上市的天數(shù)m（天）051015

①請運用已學(xué)的知識，求m關(guān)于p的函數(shù)解析式；

②請用含t的代數(shù)式表示m；

（3）天氣寒冷，大棚加溫可改變農(nóng)作物生長速度.在⑵的條件下，原計劃大棚恒溫20。。時，每天的成本為200元，

該作物30天后上市時，根據(jù)市場調(diào)查，每提前一天上市售出（一次售完）,銷售額可增加600元.因此給大棚繼續(xù)加

溫，加溫后每天成本w（元）與大棚溫度.t，C）之間的關(guān)系如圖2.問提前上市多少天時增加的利潤最大?并求出這個最

大利潤（農(nóng)作物上市售出后大棚暫停使用）.

1尸W/元

::二WA煞卜汗

」2!）

圖1圖2

解析

（1）由圖1可知，點（25,0.3）在p=-高（t-h）2+0.4的圖象上，代入后解方程即可求出h,注意h為拋物線的

對稱軸，即％>25;

（2）①由p的增量（第一行依次增加0.05）相同，m的增量（第二行依次增加5）也相同，可猜測滿足一次函數(shù)關(guān)系，

任取兩點（第一行某列數(shù)據(jù)為橫坐標(biāo)，第二行該列數(shù)據(jù)為縱坐標(biāo)）,用待定系數(shù)法求出解析式，然后可用第三點驗證

結(jié)果，如果成立說明求解正確，如果不成立說明不滿足一次函數(shù)關(guān)系，那么需要重新用反比例或二次函數(shù)類似求解；

②用t表示出p,然后代入①中所求的解析式，要分情況分別解答；

（3）根據(jù)圖象用t分別表示出相關(guān)的量，然后利用前面的利潤關(guān)系式，列出函數(shù)關(guān)系，再利用函數(shù)的知識求解即

可.

解(1)把(25,0.3)代入P=-擊(-h)2+。4得

h=29或h=21.

h.>25,h.=29.

(2)①由表格可知m是p的一次函數(shù)，；.m=100p-20;

②當(dāng)10WtW25時，p=景一點

?.皿=10°(象/A20=2?40.

當(dāng)25WtW37時，p=—擊(t-29尸+0.4.

2

???m=100[一*(t-29>+0,4)]-20=-|(t-29)+20

(3)①當(dāng)20<t<25時，由(20,200),(25,300卜得亞=20匕200.

.??增力口利潤為600m+[200x30-w(30-m)]=40t2-600t-400(.

...當(dāng)t=25時增加利潤的最大值為6000元.

②當(dāng)25<t<37時,w=300.

增力口利潤為600m+[200x30-w(30-m)]=900x(-j)x(t-29)2+15000=一等(t-29)2+15000.

..?當(dāng)t=29時增加利潤的最大值為15000元.

綜上所述，當(dāng)t=29時,提前上市20天，增加利潤的最大值為15000元.

精選練習(xí)

1.天水某景區(qū)商店銷售一種紀(jì)念品，這種商品的成本價為10元/件，已知銷售價不低于成本價，且物價部門規(guī)

定這種商品的銷售價不高于16元/件.市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y(件)與銷售價x(元/件)之間的函數(shù)關(guān)系

如圖所示.

⑴求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

(2)求每天的銷售利潤W(元)與銷售價x(元/件)之間的函數(shù)解析式，并求出每件銷售價為多少元時,每天的銷售

2.荊門市政府加大各部門和單位對口扶貧力度.某單位的幫扶對象種植的農(nóng)產(chǎn)品在某月(按30天計)的第x天(x

2

-x+4(0<%<20)

為正整數(shù)）的銷售價格p（元/千克）關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式為P=:，銷售量y(千克)與x之間的

-jx+12(20<x<30)

關(guān)系如圖所示.

⑴求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；

（2）當(dāng)月第幾天，該農(nóng)產(chǎn)品的銷售額最大?最大銷售額是多少?（銷售額=銷售量X銷售價格）

3.某工廠計劃在每個生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)并銷售完某型設(shè)備，設(shè)備的生產(chǎn)成本為10萬元/件.

⑴如圖.設(shè)第%（0<%<20）個生產(chǎn)周期設(shè)備售價z萬元/件,z與x之間的關(guān)系用圖中的函數(shù)圖象表示.求z關(guān)于

x的函數(shù)解析式（寫出x的范圍）.

⑵設(shè)第x個生產(chǎn)周期生產(chǎn)并銷售的設(shè)備為y件，y與x滿足關(guān)系式y(tǒng)=5%+40（0<%<20）.在⑴的條件下,

工廠第幾個生產(chǎn)周期創(chuàng)造的利潤最大?最大為多少萬元?（利潤=收入一成本）

4.某駐村扶貧小組為解決當(dāng)?shù)刎毨栴}，帶領(lǐng)大家致富.經(jīng)過調(diào)查研究，他們決定利用當(dāng)?shù)厣a(chǎn)的甲、乙兩種原

料開發(fā)A,B兩種商品.為科學(xué)決策，他們試生產(chǎn)A,B兩種商品共100千克進行深入研究，已知現(xiàn)有甲種原料293

千克，乙種原料314千克.生產(chǎn)1千克A商品，1千克B商品所需要的甲、乙兩種原料及生產(chǎn)成本如下表所示.

分類甲種原料（單位：千克）乙種原料（單位：千克）生產(chǎn)成本（單位：元）

A商品32120

B商品2.53.5200

設(shè)生產(chǎn)A種商品x千克，生產(chǎn)A,B兩種商品共100千克的總成本為y元根據(jù)上述信息，解答下列問題：

(1)求y與x的函數(shù)解析式(也稱關(guān)系式),并直接寫出x的取值范圍；

(2)x取何值時，總成本y最?。?/p>

5.某賓館有若干間標(biāo)準(zhǔn)房，當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)房的價格為200元時,每天入住的房間數(shù)為80間.經(jīng)市場調(diào)查表明，該賓館

⑴根據(jù)所給數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點，并畫出圖象；

⑵求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

(3)設(shè)客房的日營業(yè)額為w(元)，若不考慮其他因素，問賓館標(biāo)準(zhǔn)房的價格定為多少元時，客房的日營業(yè)額最大?

最大為多少元？

6.在“新冠”疫情期間，全國人民“眾志成城，同心抗疫”，某商家決定將一個月獲得的利潤全部捐贈給社區(qū)用于

抗疫.已知商家購進一批產(chǎn)品，成本為10元件，擬采取線上和線下兩種方式進行銷售.調(diào)查發(fā)現(xiàn)，線下的月銷量y(單

位：件)與線下售價x(單位：元/件，12<x<24)滿足一次函數(shù)的關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：

x/(元/件)1213141516

y/件120011001000900800

⑴求y與x的函數(shù)解析式；

(2)若線上售價始終比線下每件便宜2元，且線上的月銷量固定為400件.試問：當(dāng)x為多少時，線上和線下月

利潤總和達(dá)到最大?并求出此時的最大利潤.

3.1與利潤有關(guān)的題型

精選練習(xí)

1.解:⑴設(shè)y與x的函數(shù)解析式為y=kx+b^(10,30),(16,24^2k^］吃+?=”，解得f=不

??.y與x的函數(shù)解析式為y=-x+40(10<x<16).

⑵根據(jù)題意知,W=(x-10)y

=(x-10)(-x+40)

=—x2+50%—400

=一(％-25)2+225.

Va=-l<0,

???當(dāng)x<25時,W隨x的增大而增大.

V10<x<16,

??.當(dāng)x=16時,W取得最大值，最大值為144.

答：每件銷售價為16元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是144元.

2.解:⑴當(dāng)0<x<20時，設(shè)y與x的函數(shù)解析式為y=ax+b,則。解得P=

即當(dāng)0<x<20即

y與x的函數(shù)解析式為y=-2x+80.

當(dāng)20<x<30時,

設(shè)y與x的函數(shù)解析式為y=mx+n.

則圖叱九=非'解得｛爪=2

130m+n=80.5=—40.

即當(dāng)20<x<30時，

y與x的函數(shù)解析式為y=4x-40,

綜上可得，y與x的函數(shù)關(guān)系式為

(-2,x+80(0<%<20),

V=(4x-40(20<x<30).

(2)設(shè)當(dāng)月第x天的銷售額為w元.

當(dāng)0<x<20時，w=(|久+4)X(-2%+80)=-1(x-15)i2*4+500,

?,.當(dāng)x=15時,w取得最大值，此時w=500.

當(dāng)20<xW30時,w=(-1%+12)X(4%-40)=-1(x-35)2+500,

/.當(dāng)x=30時,w取得最大值，此時w=480.

綜上可得，當(dāng)x=15時，w取得最大值，此時w=500.

答：當(dāng)月第15天，該農(nóng)產(chǎn)品的銷售額最大，最大銷售額是500元.

3.解:⑴由圖可知，當(dāng)0<x<12時,z=16,

當(dāng)12<xW20時,z是關(guān)于x的一次函數(shù)，設(shè)z=kx+b.貝1]]碟+?=解得卜=V

120/c+b=14.(b=19.

i

???z=——x+19.

4

??.Z關(guān)于X的函數(shù)解析式為

(16,(0<%<12),

Z=1-i%+19,(12<%<20).

(2)設(shè)第x個生產(chǎn)周期工廠創(chuàng)造的利潤為0萬元.

①當(dāng)0<x<12時，

(0=(16-10)x(5x+40)=30x+240,

由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)x=12時，W最大值=30x12+240=600(萬元).

②當(dāng)12Vxs20時，

w=(―；久+19-10)(5x+40)

=--x2+35x+360

4

=-|(x-14)2+605,

當(dāng)x=14時,w最大值=605(萬元).

綜上所述，工廠第14個生產(chǎn)周期創(chuàng)造的利潤最大，最大是605萬元;

4.解:⑴由題意，可得y=120x+200(100-x)=-80x+20000,

C3x+2.5(100-%)<293,

(2%+3.5(100-%)<315.

解得72<x<86;

(2)\'y=-80x+20000,

，y隨x的增大而減小.

x=86時,y最小.

貝Uy=-80x86+20000=13120(元).

5.解:⑴如圖.

(2)設(shè)尸叁+6密0)把(200,60)和(220,50)代入,

得(200k+b=60,解得

［守l220/c+b=50月牛1守

b=160.

y=—|x+160(170<x<240);

(3)w=x-y=x?+160)=—|x2+160%.

丁?對稱軸為直線x=-白=160.

2a

:a=W<0,...在170<x<240范圍內(nèi),w隨x的增大而減小.

故當(dāng)x=170時,w有最大值，最大值為12750元.

6.解:(l)：y與x滿足一次函數(shù)的關(guān)系,

設(shè)y=kx+b(kr0).

將x=12,y=l200;x=13,y=l100代入，得

(1200=12k+力鏟彳曰ffc=-100,

11100=13k+b解行tb=2400.

；.y與x的函數(shù)解析式為y=-100x+2400;

(2)設(shè)線上和線下月利潤總和為m元，

貝！Im=400(x-2-10)+y(x-10)=400x-4800+(-100x+2400)(x-10)=-100(x-19)2+7300.

..?當(dāng)x為19元件時，線上和線下月利潤總和達(dá)到最大，此時的最大利潤為7300元.