和函數(shù)圖象變換有關(guān)的問題復(fù)習(xí)講義

函數(shù)的變換是指函數(shù)圖象或圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱變換，解答這類問題關(guān)鍵是能正確畫出變化象，求出變

換前后的函數(shù)解析式.

5.1和函數(shù)圖象平移有關(guān)的題

解題策略二次函數(shù)圖象的平移

對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象平移變換后的解析式的求法，有兩種途徑：

1初中階段主要通過頂點(diǎn)式來實(shí)現(xiàn)的，即把y=ax2+bx+c化為y=a(%—)2+k形式，二次函數(shù)圖象平

移后a的大小不變，求出變換后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，代入到頂點(diǎn)式中即可求出變化后的解析式；

2.如果把一個二次函數(shù)向左(或向右)移動m個單位，再向上(或向下)移動n個單位，則移動后的函數(shù)解析式為

y=±m(xù))2+b(x+m)+c+n,即向左移動時m前的符號為,向右移動時m前的符號為"一"，向上移

動時n前面的符號為,向下移動時n前面的符號為“一"，簡記"左加右減，上加下減".

模型拋物線的平移變換

場景：如圖，紅色拋物線是由黑色拋物線y^ax^+bx+c向左(或右)平移m個單位，再向上(或下)平移n

個單位得到的。

結(jié)論：平移后的紅色拋物線的解析式為：y=a(x+^-+7n)2+竺二±4或者是y=a(x+m)^+b(x±

\LCL/4a

m)+c土n,簡記為左加右減，上加下減.

精選例題

例1.如圖拋物線丫=52+收(公0)過點(diǎn)E(8,0),矩形ABCD的邊AB在線段0E上(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，點(diǎn)

C、D在拋物線上，NB4D的平分線AM交BC于點(diǎn)M,點(diǎn)N是CD的中點(diǎn)，已知。4=2“且OA:AD=1:3.

(1)求拋物線的解析式；

(2)F、G分別為x軸,y軸上的動點(diǎn)，順次連接M、N、G、F構(gòu)成四邊形MNGF,求四邊形MNGF周長的最

小值;

(3)矩形ABCD不動，將拋物線向右平移，當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個交點(diǎn)K、L

形的面積時，求拋物線平移的距離.

由解析

(1)由點(diǎn)E在x軸正半軸且點(diǎn)A在線段0E上得到點(diǎn)A在x軸正半軸上，所以A(2,0);由OA=2,且OA:A

D=l:3得AD=6.由于四邊形ABCD為矩形，故有ADLAB,所以點(diǎn)D在第四象限，橫坐標(biāo)與A的橫坐標(biāo)相同，進(jìn)而

得到點(diǎn)D坐標(biāo).由拋物線經(jīng)過點(diǎn)D、E,用待定系數(shù)法即求出其解析式；

⑵畫出四邊形MNGF,由于點(diǎn)F、G分別在x軸、y軸上運(yùn)動，故可作點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)M：作點(diǎn)N

關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)W得FM=FM：GN=GN1.易得當(dāng)M'、F、G、N'在同一直線上時N'G+GF+FM'=M'N'最小,

故四邊形MNGF周長最小值等于MN+M,N：根據(jù)矩形性質(zhì)、拋物線線性質(zhì)等條件求出點(diǎn)M、M；N、N'坐標(biāo),

即求得答案；

⑶由KL平分矩形ABCD的面積可得K在線段AB上、L在線段CD上，畫出平移后的拋物線可知，點(diǎn)K由

點(diǎn)。平移得到，點(diǎn)L由點(diǎn)D平移得到，故有K(m,0),L(2+m,0)易證KL平分矩形面積時，KL一定經(jīng)過矩形的中心

H且被H平分，求出H坐標(biāo)為(4,-3),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式即求得m的值.

解Q)1?點(diǎn)A在線段OE上,E(8,0)QA=2,

.-.A(2,0),-.OA:AD=l:3,.-.AD=3OA=6.

.?四邊形ABCD是矩形,.?.AD，AB.，D(2,-6).

■:拋物線y=ax2+經(jīng)過點(diǎn)D、E,

.(4a+2b=-6,*nz.

"{64a+8b=0,斛付a'L=-4,

1o.

，拋物線的解析式為y=一行一4x;

2

⑵如答圖L作點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)M：作點(diǎn)N關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)N',連接FM'、GN'、M'N'.

：y=|-4%=|(x—4)2—8,

「?拋物線對稱軸為直線x=4.

??點(diǎn)C、D在拋物線上，且CDllx軸,D(2,-6),

???%=%=-6,即點(diǎn)C、D關(guān)于直線x=4對稱.

:*久c=4+(4—%。)=4+4—2=6”即C(6,-6).

...AB=CD=4,B(6,0).

/AM平分NBAD/BAD=NABM=90。，

.?.zBAM=45°..-.BM=AB=4.

.■.M(6,-4).

?.點(diǎn)M、IVT關(guān)于x軸對稱，點(diǎn)F在x軸上，

.?.M'(6,4),FM=FM'.

?.N為CD中點(diǎn),.小(4,—6).

?.點(diǎn)N、W關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)G在y軸上，

.■.N'(-4,-6),GN=GN'.

.-.C四邊形MNGF=MN+NG+GF+FM=MN+N'G+GF+FM'.

?.當(dāng)M；F、G、N'在同一直線上時,IN'G+GF+FM'=M'N'最小,

'C可逆形NacF=MN+M'N'=J(6—4)2+(-4+6)2+46+4)2+(4+6),

=2V2+10V2=12V2.

二四邊形MNGF周長最小值為12V2;

(3)設(shè)拋物線向右平移m個單位長度后與矩形ABCD有交點(diǎn)K、L.

?；KL平分矩形ABCD的面積，

.■.K在線段AB上,L在線段CD上,如答圖2.

.,.K(m,0),L(2+m,0).

連接AC,交KL于點(diǎn)H.

=

,?*SA,\CD=Swai廄ADLK攵-SnijgAUCD，

???SAHK=SCHI?

?/AKllLQ

/.AAHK△CHL.

.s.K=("Y=

SCHL\CH)

答圖2

??.AH=C"〃即點(diǎn)H為AC中點(diǎn)

.?.H(4,-3)也是KL中點(diǎn).

m+2+m.日

???------=4.???m=3.

2

，拋物線平移的距離為3個單位長度.

精選練習(xí)

1.如圖，拋物線L:y=,2一N-3與x軸正半軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B.

(1)求直線AB的解析式及拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)如圖1,點(diǎn)P為第四象限且在對稱軸右側(cè)拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC1久軸，垂足為點(diǎn)C,PC交A

B于點(diǎn)D,求PD+BD的最大值，并求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖2,將拋物線Ly=3向右平移得到拋物線廠,，直線AB與拋物線廠交于M,N兩點(diǎn)，若

Z4

點(diǎn)A是線段MN的中點(diǎn)，求拋物線廠的解析式.

2.已知拋物線(G：y=mx2-2mx-3有最低點(diǎn).

(1)求二次函數(shù)y-mx2-2mx-3的最小值(用含m的式子表示)；

(2)將拋物線G向右平移m個單位得到拋物線(Gi..經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，隨著m的變化，拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)

y與橫坐標(biāo)x之間存在一個函數(shù)關(guān)系，求這個函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

(3)記(2)所求的函數(shù)為H,拋物線G與函數(shù)H的圖象交于點(diǎn)P,結(jié)合圖象，求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍.

5.2和函數(shù)圖象對稱有關(guān)的題

解題策略拋物線的對稱

1.二次函數(shù)y=ax2+bx+c關(guān)于x軸對稱后的解析式為y=-ax2-bx-c,關(guān)于y軸對稱的解析式為y=

ax2—bx+c;

2.二次函數(shù)y=ax^+bx+c關(guān)于與y軸平行的直線對稱的解析式a不變，關(guān)于與x軸平行的直線對稱的解析

式a變?yōu)?a(即相反數(shù)),初中階段主要還是應(yīng)用頂點(diǎn)式，求出對稱后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)法代入頂點(diǎn)式

即可.

模型拋物線的對稱變換

場景1:如下圖，拋物線y=a1-2+k沿y=m上下翻折時，a的符號改變，頂點(diǎn)關(guān)于紅線翻折后的

頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,2m-k).

結(jié)論1:翻折后的函數(shù)解析式為y=卜-力)2+2m-無

場景2：如下圖，拋物線y=a)2+k沿x=n左右翻折時，a的符號不變，頂點(diǎn)關(guān)于紅線翻折后的頂

點(diǎn)坐標(biāo)為(2n-h,k),

結(jié)論2：翻折后的函數(shù)解析式為y=a(久—2n+力)2+fc；

翻折的關(guān)鍵在于求翻折后的頂點(diǎn)坐標(biāo),水平翻轉(zhuǎn)時頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)關(guān)于對稱軸

x=a對稱，可以考慮中點(diǎn)坐標(biāo)公式求對稱后的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)；豎直翻折時可以同樣處理.

精選例題

例1.如圖方旭物線y=%2+bx+c的對稱軸為直線%=2,,拋物線與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,與v軸交于點(diǎn)G且

點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-L0).

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；w(

(2)將拋物線y=bx+c圖象x軸下方部分沿x軸向上翻折，保留拋物線在x軸上的點(diǎn)和x1HI

軸上方的圖象，得到的新圖象與直線y=t恒有四個交點(diǎn)，從左到右四個交點(diǎn)依次即為D,E,F,G.當(dāng)以E[J/

F為直徑的圓過點(diǎn)Q(2,l)時，求t的值；\I

⑶在拋物線y=/+法+°上，當(dāng)mwxsn時，y的取值范圍是m<y<7,請直接寫出x的取cl1/

值范圍.|Y

▲?懈析

Q)利用對稱軸%=可求出b，代入點(diǎn)A的坐標(biāo)可求出c,即可得到拋物線的函數(shù)解析式；

(2)根據(jù)對稱拋物線的對稱變換可求出翻折后的函數(shù)解析式和函數(shù)圖象，可知點(diǎn)E、F為y=t與翻折部分的交

點(diǎn)，即可求得t的取值范圍，根據(jù)點(diǎn)E、F的對稱性，可知圓心在對稱軸上，根據(jù)半徑相等，利用勾股定理求出圓

心坐標(biāo)即可求出滿足條件的t值；

(3)當(dāng)m<x<ri時，y的取值范圍是m<y<7,由于二次函數(shù)的對稱性，不能確定.x=ni還是x=n時y=7

時，所以需要分類討論，可由函數(shù)的增減性得到兩種對應(yīng)關(guān)系，通過解方程得到m和n的值.

解（1）拋物線y=X2+bx+c的對稱軸為直線x=2,

■?---=2.???b=—4.

2

y=x2—4x+c.

代入點(diǎn)A坐標(biāo)（（-1，0）,可得c=-5,

，函數(shù)解析式為y=X2-4x-5;

(2)如圖，由對稱變換可知，翻折后的拋物線解析式為y=-x2+4x+5,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,9),圖象與直線y=t

恒有四個交點(diǎn)，

0<t<9.

???Q(2,l),設(shè)圓心H(2,t),

二半徑HQ=t-l,EH=t-l.

.■.E(3-t,t).

—(3—t)?+4(3—t)+5=t.

解之，得”誓.

???0<t<9,.-.t

2

⑶令y=7,得7=x-4%-5,解之得Xt=-2,X2=6.

當(dāng)x=6時,y=7,即n=6,

當(dāng)x=m時y=m，即m=m2—4m—5,解之得m=5士

2<m<6,m=史包I.

2

，x的范圍為<x<6；

當(dāng)x=-2時,y=7,

.,.當(dāng)x=n時,y=m=-2.

貝！］—2=n2—4n—5.

解之得：n=2±V7.

???—2<ri<2,幾=2—V7.

?.X的范圍為—2<x<2—V7.

精選練習(xí)

L已知關(guān)于X的一元二次方程x2-(m+l)x+|(m2+l)=。有實(shí)數(shù)根.

⑴求m的值;

(2)先作y=x2-(m+l)x+|(m2+1)的圖象關(guān)于x軸的對稱圖形然后將所作圖形向左平移3個單位長度,

再向上平移2個單位長度，寫出變化后圖象的解析式；

⑶在⑵的條件下,當(dāng)直線y=2x+n(nzm)與變化后的圖象有公共點(diǎn)時，求鈕的最大值和最小值.

5.3和函數(shù)圖象旋轉(zhuǎn)有關(guān)的題

解題策略拋物線的旋轉(zhuǎn)

初中階段，拋物線的旋轉(zhuǎn)一般指繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，也就是旋轉(zhuǎn)前后的拋物線圖象是中心對稱.

1.二次函數(shù)y=ax2+bx+c關(guān)于原點(diǎn)中心對稱后的解析式為y=-ax2+bx-c;

2.二次函數(shù)y=a久2+bx+c關(guān)于不是原點(diǎn)的點(diǎn)對稱時，a變?yōu)?a(即相反數(shù))，利用中點(diǎn)坐標(biāo)求出旋轉(zhuǎn)后的頂點(diǎn)

坐標(biāo)，待定系數(shù)法代入頂點(diǎn)式即可.

模型拋物線的旋轉(zhuǎn)變換

場景：如圖，拋物線y=a\x-h?+k繞某點(diǎn)(m,n)旋轉(zhuǎn)180°

結(jié)論：a的符號改變，旋轉(zhuǎn)后的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2m-h,2n-k),則翻折后的函數(shù)解析式為y

=-ax—2m+4)2+2n-k.

注意：此時求頂點(diǎn)坐標(biāo)時，可根據(jù)原函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)和旋轉(zhuǎn)中心，應(yīng)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式

求旋轉(zhuǎn)后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，具體方法見"中點(diǎn)坐標(biāo)公式”模型;

精選例題

例1已知拋物線L：y=mx2-8x+3nl與x軸交于A,B(—1,0)兩點(diǎn)并與y軸交于點(diǎn)C,拋物線L與L'關(guān)于

坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，點(diǎn)A,B在L'上的對應(yīng)點(diǎn)分別為A.B.

(1)求拋物線L的解析式；

(2)在拋物線L'上是否存在點(diǎn)P,使得APA'A的面積等于ACB'B的面積？若存在求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，

請說明理由.

解析

(1)將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的表達(dá)式，就可以求出拋物線的解析式中的待定系數(shù)的值，從而得到拋物線的解

析式;

(2)先求出拋物線L的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，即可求出拋物線廠的解析式，然后根據(jù)已知條件列一

個一元二次方程即可求出P點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo).

解⑴.?拋物線L:y=mx2-8x+3m與x軸父于A,8(-1，0)兩點(diǎn)，

0=m+8+3m,解得m=-2.

???拋物線L的解析式為y=—2M—8%-6.

(2)解：在拋物線匚上存在點(diǎn)P，使得△pa'4的面積等于△CB'B的面積.

.?,拋物線L的解析式為y=一2久2_8%-6,即y=-2(%+2)2+2,

拋物線L的頂點(diǎn)坐標(biāo)為((一2,2),2(—3,0),B(T，0),C(0，=6),

■:拋物線L與L，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，

，拋物線L'的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-2).

二拋物線L'的解析式為y=2(x-2)2-2,即y=2x2-8x+6.

.-.A'(3,0),B(l,0).

AA=6,BB=2,OC=6.

cBBxOC2x6,

S,=--------=——=6.

CBB22

456x

S,=S,=6.

PAACBB

不妨設(shè)△pa'a以44為底邊的高為h,

AAxh

s,=——=6,

PAA2

???A=—=2.

AA

令y=2,貝?。?x2-8%+6=2,解得x=2-應(yīng)，或x=2+V2.

令y=—2廁2x2—8%+6=—2解得x=2.

，點(diǎn)P的坐標(biāo)為為(2—或，2),(2+魚，2),(2,—2).

精選練習(xí)

1.如圖L在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線(C：y=a—+.+c與x軸相交于A,B兩點(diǎn)頂點(diǎn)為D(0,4)?AB=4

企,設(shè)點(diǎn)F(m,0)是x軸的正半軸上一點(diǎn)，將拋物線C繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)180：得到新的拋物線C.

Q)求拋物線C的函數(shù)解析式；

(2)若拋物線。與拋物線C在y軸的右側(cè)有兩個不同的公共點(diǎn)，求m的取值范圍.

(3)如圖2,P是第一象限內(nèi)拋物線C上一點(diǎn)，它到兩坐標(biāo)軸的距離相等，點(diǎn)P在拋物線(C上的對應(yīng)點(diǎn)P',

設(shè)M是C上的動點(diǎn)，N是C上的動點(diǎn)，試探究四邊形PMPN能否成為正方形?若能，求出m的值；若不能，請

說明理由.

2.如果拋物線的的頂點(diǎn)在拋物線7上,拋物線展2的頂點(diǎn)也在拋物線的上時，那么我們稱拋物線的與C/

'互為關(guān)聯(lián)”的拋物線.如圖1,已知拋物線G：%%與&力=口運(yùn)+%+c是"互為關(guān)聯(lián)”的拋物線，點(diǎn)

A,B分別是拋物線的，展的頂點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)D(6>-1).

(1)直接寫出A,B的坐標(biāo)和拋物線(G的解析式；

(2)拋物線Cz上是否存在點(diǎn)E,使得AABE是直角三角形?如果存在，請求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；如果不存在，請說

明理由；

(3)如圖2,點(diǎn)6,3)在拋物線的上，點(diǎn)M,N分別是拋物線的,上的動點(diǎn)，且但M,N的橫坐標(biāo)相同，

記ANFM面積為Sz(當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A,F重合時，S』=0),A4BN的面積為S?(當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)A,B重合時，S?=0),令S

=Sz+Sz,觀察圖象，當(dāng)為Wyz時，寫出x的取值范圍，并求出在此范圍內(nèi)D的最大值.

圖1圖2

5.1和函數(shù)圖象平移有關(guān)的題

精選練習(xí)

1.解:⑴：拋物線[:y=?一一"一3與X軸正半軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,

N4

?,?點(diǎn)A(4,0),點(diǎn)B(0,-3).

設(shè)直線AB解析式為:y=kx-3,

.?.0=4k-3.

??.k=-.

4

?二直線AB解析式為：y=-3.

12501/5\2121

y=一戶—%—3=-X——------，

J242V4/32

???拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(亍-翳)；

(2),,,點(diǎn)A(4,0),點(diǎn)B(0,-3),

???OA=4,OB=3,

AB=VOA2+OB2=V16+9=5.

設(shè)點(diǎn)p(x-|x2-；x-3)(|<x<4),

則點(diǎn)D^x1^x—3),

BD=J(x-0)2+(|x-3+3)2=%.

PD=(|%-3)-G/_3%—3)=—1x2+2x.

PD+BD=--x2+2%+-%=--(%--)2.

242V4732

V-5<%<44,——1Vc0,

4，2

?,?當(dāng)％=F時,PD+BD有最大值為詈.

432

此時，點(diǎn)p(*-H)；

⑶設(shè)平移后的拋物線口解析式為y=)久一小)2一翳，

(3

Iy=-x—3,

聯(lián)立方程組可得：14,121

[y=-(.x-mY

.?.%2-2(m+|)x+m2-|j=0.

設(shè)點(diǎn)M(xi,yi)，點(diǎn)N(X2,y2),

??,直線AB與拋物線U交于M,N兩點(diǎn)，

***X1,x2是方程-2(m+[)久+-2一H=0的兩根.

/+%2=2(m+[

??,點(diǎn)A是MN的中點(diǎn),

%1+打=8.

???2(TH+[)=8.

???平移后的拋物線L解析式為y=|(%-y)2-

2.解：(1)1y=mx2-2mx-3=m(x-l)2-m-3,拋物線有最低點(diǎn).

???二次函數(shù)y=mx2—2mx—3的最小值為-m-3;

(2”?,拋物線=m(x-l)2-m-3

工平移后的拋物線Gi：y=m(x-1-m)2-m-3.

工拋物線Gi頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m+l,-m-3).

x=m+l,y=-m-3.

/.x+y=m+1-m-3=-2.

即x+y=-2,變形得y=-x-2.

Vm>O,m=x—1,

x-l>0.

/.x>l.

二?y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=-x-2(x>l);

⑶法一：如圖，函數(shù)H:y=-x-2(x>l)圖象為射線，

x=l時,y=-l-2=-3;

x=2時,y=-2-2=-4.

???函數(shù)H的圖象恒過點(diǎn)B(2,-4).

*.*拋物線G:y=m(x—l)2—m—3,

x=l時,y=-m-3;

x=2時,y=m-m-3=-3,

.,?拋物線G恒過點(diǎn)A(2,-3).

由圖象可知，若拋物線與函數(shù)H的圖象有交點(diǎn)P,則獨(dú)<外<以

??.點(diǎn)P縱坐標(biāo)的取值范圍為-4<yp<-3.

、+—.(y=-X-2,

；去--)2nQ

=mx—2mx—3,

整理的：m(x2—2%)=1—x.

?.?x>l,且x=2時,方程為0:1不成立,

x2—2x=x(x—2)W0.

l-x?

???m=———->0.

x(x-2)

Vx>l,

/.l-x<0.

/.x(x-2)<0.

x-2<0.

x<2即l<x<2.

yP=—x—2,

.??-4<yE<-3.

5.2和函數(shù)圖象對稱有關(guān)的題

精選練習(xí)

1.解析：(1)由題意△>0,列出不等式，解不等式即可；

⑵畫出翻折、平移后的圖象，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)即可寫出函數(shù)的解析式；

(3)首先確定n的取值范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題；

解：⑴對于一元二次方程x2-(m+l)x+|(m2+1)=0,

4=(m+l)2—2(m2+1)=—m2+2m-1=—(m—I)2.

???方程有實(shí)數(shù)根，

-(m-l)2>0.

(2)由(1)可知y=x2—2x+1=(x—l)2.

圖象如圖所示：

平移后的解析式為y=一(％+2)2+2=-x2-4x-2;

⑶由｛',y=2x+n,

y——x2—4x—2,

消去y得至Ux2+6x+n+2=0,

由題意△>0,

.?_36-4n-8>0.

：.n<7.

\'n>m,m=l,

l<n<7.

令y'=n2-4n=(n—2)2—4,

*，?n-2時,y，的值最小.最小值為-4.

n=7時,y，的值最大，最大值為21.

足一4九的最大值為21,最小值為-4.

5.3和函數(shù)圖象旋轉(zhuǎn)有關(guān)的題

精選練習(xí)

1.解析：⑴由題意拋物線的頂點(diǎn)C(0,4),以及利用對稱性及AB=4a可求出的A、B點(diǎn)坐標(biāo),應(yīng)用待定系數(shù)

法求解；

(2)利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出旋轉(zhuǎn)后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，應(yīng)用頂點(diǎn)式求出拋物線C的的解析式，與C的解析式聯(lián)立，因

為有兩個交點(diǎn)，所以判別式大于0,注意到交點(diǎn)在y軸的右側(cè)，也就是兩個解都是正數(shù)，聯(lián)立組成不等式組，解之

即可解決問題；

(3)四邊形PMP'N能成為正方形.情形1,根據(jù)正方形的軸對稱和中心對稱性，可知點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)F成中心

對稱，所以只需要△PFM是等腰直角三角形即可，而等腰直角三角形隱含著90。和45。角,可以考慮構(gòu)造一線三等

角全等模型進(jìn)行求解，?作PELx軸于點(diǎn)E,MHLx軸于點(diǎn)H.由題意易知P(2,2),四邊形PMP'N是正方形，推出PF

=FM,NPFM=90。易證△PFE四△FMH,可得PE=FH=2,EF=HM=2-m,可得M(m+2,m-2)，利用待定系數(shù)法即可解決問

題；情形2,同法利用待定系數(shù)法即可解決問題.

解：(1)由題意拋物線的頂點(diǎn)C(0,4),A(-2夜,0),設(shè)拋物線的解析式為yax2+4,

把4(一2/，0)代入可得a=-|,

..?拋物線C的函數(shù)解析式為y=-|%2+4；

(2)由題意拋物線C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2m,-4),設(shè)拋物線C的解析式為y=j(x-2m)2-4,

由|二十+4,

Iy=|(x-2m)2—4,

消去y得到%2—2mx+2m2—8=0,

由題意，拋物線C與拋物線C在y軸的右側(cè)有兩個不同的公共點(diǎn)，

則有［(2根)2-4(2m2-8)>0,

I2m2—8>0,

解得2<小<2vx

...滿足條件的m的取值范圍為2<m<2V2;

⑶結(jié)論:四邊形PMPN能成為正方形.

理由：1情形1,如圖作PE±x軸