平行四邊形存在性問題復(fù)習(xí)講義

解題策略

關(guān)于四邊形為平行四邊形的問題，要分以下幾種情況進(jìn)行討論：

1.若三點坐標(biāo)已知，則分別以三點所確定的線段為對角線，利用中點坐標(biāo)公式進(jìn)行解答；或者分別以三點所確

定的線段為邊，利用平行四邊形對邊平行且相等，利用平移進(jìn)行解答.

2.若兩點的坐標(biāo)已知，第三點為已知直線（或曲線）上的動點，則用參數(shù)表示出第三點的坐標(biāo)，然后借助對角線

討論法，利用中點坐標(biāo)公式進(jìn)行解答.

點P（a,b）是點A（xA,yA）與點8（叼g）的中點，也可以說點A、B關(guān)于點P成中心對稱,則P點的坐標(biāo)為

^xA+xByA+yB^即a="4+%Bb—ya+功

如果四邊形ABCD為平行四邊形，4（當(dāng)，%）,8（沖，犯），。（右，%），。（孫，功）因為平行四邊形的對角線互相平分，

X

交占為對角線的中占所以有I2—2，整理za（A+XC=XB+XD,_^CXA=XB+XD-Xc,

乂用-龍口H八、、'尸斤以伯j^+yc=ys+yb年"’1守舊+%=犯+加一%2=%?+%一%,

22'

模型一三點定型

已知二次函數(shù)y=X2-2x-3的圖象與x軸交于A,B兩點（A在左側(cè)，B在右側(cè)），與y軸交于C點,頂點為

如圖，M為平面內(nèi)一點，若A,B,C,M為頂點的四邊形是平行四邊形，直接寫出M點坐標(biāo).

思路分析：平行四邊形存在性問題，且是三點坐標(biāo)已知，求第四個點的問題，只要采用對角線討論法（分別以A

B,BC,AC為對角線作平行四邊形），即可做到不重、不漏.

模型二兩點定型

已知二次函數(shù)y=x2—2x-3的圖象與x軸交于A,B兩點（A在左側(cè)，B在右側(cè)），與y軸交于C點,頂點為

D.

如圖，M是x軸上一動點，N是拋物線上一動點.若以A,C,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形，直接寫

思路分析：平行四邊形存在性問題，目是A、C兩點坐標(biāo)已知，求其余兩個點的問題，只要采用對角線討論法

（分別以AM,MC,AC為對角線作平行四邊形）,即可做到不重、不漏.

模型三一點定型

已知二次函數(shù)y=%2-2%-3的圖象與x軸交于A,B兩點（A在左側(cè)，B在右側(cè)），與y軸交于C點,頂點為

D.

如圖，拋物線對稱軸與x軸交于點E,M是線段AB上一動點，且MNMC交拋物線對稱軸于點N,P是拋物

線上一點.若以M,N,P,E為頂點的四邊形是平行四邊形，直接寫出點P的坐標(biāo).

思路分析：平行四邊形存在性問題，且是E點坐標(biāo)已知，求其余三個動點中的一個點的坐標(biāo)問題，只要采用對

模型四菱形問題

已知二次函數(shù)y=%2-2%-3的圖象與x軸交于A,B兩點（A在左側(cè)，B在右側(cè)）,與y軸交于C點.如圖，P

是拋物線對稱軸上一動點，Q是坐標(biāo)系內(nèi)一點，若四邊形ACQP是菱形，直接寫出點Q的坐標(biāo).

思路分析：將一個等腰三角形沿底邊翻折得到的四邊形就是菱形，所以只需要將菱形存在性問題轉(zhuǎn)化為等腰三

角形存在性問題，再結(jié)合平行四邊形存在性問題的即可解決.

以P為頂點，AC為對角線.

模型五矩形問題

已知二次函數(shù)y=%2-2%-3的圖象與x軸交于A,B兩點（A在左側(cè)，B在右側(cè)），

與y軸交于點C.如圖,P是拋物線對稱軸上一動點,Q是平面內(nèi)一點，若四邊形ACPQ6安

逆時針方向）是矩形，直接寫出點Q的坐標(biāo).

思路分析：矩形問題可轉(zhuǎn)化為直角三角形和平行四邊形問題來解決，可先確定出直角

三角形，再以斜邊為對角線補充平行四邊形，即可得到矩形.注意字母順序哦！

以A為直角頂點，PC為對角線:

以C為直角頂點，PA為對角線：

以P為直角頂點，AC為對角線:

精選例題

例1.如圖，拋物線y=-%2+法+c與x軸交于A,B兩點(A在B的左側(cè))，與y軸交于點N,過點A的直線I:

：y=kx+n與y軸交于點C,與拋物線y=-x^+bx+c的另一個交點為D,已知點A的坐標(biāo)為((—1，0)”點D

的坐標(biāo)為((5,-6),,點P為拋物線y=r2+bx+c上一動點(不與點A,D重合)..

(1)求拋物線和直線I的解析式；JA

(2)當(dāng)點P在直線I上方的拋物線上時，過點P作.PE||x軸交直線I于點E,作PF||y軸\7\

交直線I于點F,求.PE+PF的最大值；'一1

(3)設(shè)M為直線I上的點，探究是否存在點M，使得以點N,C,M,P為頂點的四邊r|\\

形為平行四邊形?若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.；|'''

解析

(1)將點A,D的坐標(biāo)分別代入直線和拋物線的解析式，即可求解；

(2)用字母t表示出點P,F的坐標(biāo)然后由直線l-.y=kx+九的解析式求出PE和PF的關(guān)系然后把PE+PF

轉(zhuǎn)化為用PF表示，即可求解；

(3)分CN,CM,CP分別為對角線，應(yīng)用中點坐標(biāo)公式求解；也可以分NC是平行四邊形的一條邊、NC是

平行四邊形的對角線，兩種情況分別求解即可.

解Q)將點A,D的坐標(biāo)代入直線解析式得

(—k+n=O,解得(k=-1,

l5fc+n==6蝌守In=-1.

故直線I的解析式為y=-x—L

將點A,D的坐標(biāo)代入拋物線解析式，

同理可得拋物線的解析式為y=-x2+3x+4;

(2)直線I的解析式為y=-x-l,則直線I與x軸的夾角為45°,

即PE=PF,如答圖1.

設(shè)點P的坐標(biāo)為(t，-t2+31+4),則點F的坐標(biāo)為

P.E+PF=2,PF=2(一〃+3t+4+t+1)=—2(t—2)?+18.答圖1

-2<0,故PE+PF有最大值，

當(dāng)t=2,即點P的坐標(biāo)為(2,6)時，其最大值為18;

⑶解法一：設(shè)點P的坐標(biāo)為3m+4)?

①當(dāng)NC是平行四邊形的對角線時，如答圖2,

貝LINC的中點坐標(biāo)為(0,|).

NC的中點即為PM的中點，

2

□nnm+n3-m+3m+4-n-l

即0=FG=------2---------

解得m=4或m=0(舍去).

故點P的坐標(biāo)為(4,0),點M的坐標(biāo)為(-4,3).

②當(dāng)CM是平行四邊形的對角線時，如答圖3,

則CM的中點坐標(biāo)為修，二產(chǎn))

CM的中點即為PN的中點，

□PIn_m-n-2_-m2+3m+4+4

2—2，2-2'

解得n=m=2+VTI或n=m=2—V14.

故點M坐標(biāo)為(2+V14--3-a4)或(2一V14,

③同理，當(dāng)CP是平行四邊形的對角線時，

則CP的中點坐標(biāo)為償「叱3M+3)

答圖3

CP的中點即為MN的中點，

日口九_m-m2+3m+3_-n-1+4

2—2，2-2

解得n=m=4或m=0(舍去).

故點M的坐標(biāo)為(4,-5).

綜上所述，點M的坐標(biāo)為(2+V14--3-VH)或(2-V14.-3+舊)或(4,-5)或(-4,3).

解法二:NC=5.

①當(dāng)NC是平行四邊形的一條邊時，

設(shè)點P的坐標(biāo)為(%，-久2+3尤+4)廁點M的坐標(biāo)為((x,-x-1).

2

由題意，得\yM-yp\=5,即|一%+3x+4+x+1|=5.

答圖4

解得x=2±舊或%=0(舍去)或x=4,

則點P的坐標(biāo)為(2+舊，一3-舊)或(2—-3+舊)或(4,一5).

②當(dāng)NC是平行四邊形的對角線時，同解法一.

綜上所述，點P的坐標(biāo)為(2+V14--3-VH)或(2-V14--3+V14)或(4,-5)或(-4-3).

例2.已知拋物線Vy=x2+bx+c的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點O,且與X軸另一交點為(-亭0)

(2)如圖1,直線(y=去+皿㈤0)與拋物線F相交于點4卜月)和點8缶5)(點A在第二象限),求

-力的值(用含m的式子表示)；

⑶在⑵中，若m.設(shè)點不是點A關(guān)于原點O的對稱點，如圖2.

①判斷AAA'B的形狀，并說明理由；

②平面內(nèi)是否存在點P,使得以點A,B,A1,P為頂點的四邊形是菱形?若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存

在，請說明理由.

Z解析

(1)待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；

(2)聯(lián)立直線和拋物線的解析式組成方程組，求出交點坐標(biāo)，即可進(jìn)行求解；

(3)①分別求出三角形三個頂點坐標(biāo)，利用兩點間距離公式求出三邊長度即可判斷三角形的形狀；

②在①的基礎(chǔ)上，可以作如下思考，把等腰三角形沿底邊翻折，則頂點的對應(yīng)點與三角形的三個頂點即可構(gòu)成

菱形，所以只需要確定等腰三角形的底邊為對角線，求頂點關(guān)于對角線的對稱點即可，可以結(jié)合中點坐標(biāo)公式進(jìn)行

求解，又因為A,A',B三點確定，所以此題為三點定型問題.

解(1)..拋物線y=返+bx+c的圖象經(jīng)過點(0,0)和(-爭0),

,=當(dāng)，...

??.卜凈+。=°，解得1，=。.拋物線F的解析式為y=/+fx;

Ic=0.

⑵將y=日％+m代入y=x2+/居得X2—m.

解得=—Vm,x2=Vm.yr=—1V3m+m,y2=|V3m+m

???y2~yi=QV3m+TH)—|V3m+mj=|V3m(m)0);

(3)???771=5.點A的坐標(biāo)為(-爭I),點B的坐標(biāo)為(竽，2).

,?點A是點A關(guān)于原點O的對稱點，，點A的坐標(biāo)為律，-1)

②△AZ》為等邊三角形.理由如下：

???A（-受），B（4"管，一|）,

AJ8yle8Jc8

-'-AA=3'AB=3'AB=3-

AA=AB=AB.

??.MA'B為等邊三角形;

②?"AA'B為等邊三角形,

，存在符合題意的點P,且以點A,B,A,,P為頂點的菱形分三種情況，設(shè)點P

的坐標(biāo)為（x,y）.

（工）當(dāng)AB為對角線時,如答圖1,時PAIIx軸，有

y

_迎=迪

￡x2,x—2V3,

33

2解得

I

.?點P的坐標(biāo)為（2V3>|）.

（n）當(dāng)AB為對角線時,如答圖2,此時PAlly軸，有

26

屋=-空-X=-----

3

22,解得10

。-與=”2.[

.?點P的坐標(biāo)為（-手吟）.

（川）當(dāng)AA'為對角線時,如答圖3,此時PAlly軸，有

X=---2-V-3,，_2V3

3解得

,?22

y，+2=-3----3-.y=-2-

，點P的坐標(biāo)為（-誓，-2）.

綜上所述，平面內(nèi)存在點P,使得以點A,B,A1,P為頂點的四邊形是菱形，點

P的坐標(biāo)為（2痣|），（一竽怖）和（-竽一2）.

例3.如圖拋物線y^ax^+bx-3經(jīng)過點A（2,-3）,與x軸負(fù)半軸交于點B,與y軸

交于點G且0C=30B.

Q）求拋物線的解析式；

⑵點D在y軸上，且NBDO=NBAC,求點D的坐標(biāo)；

（3）點M在拋物線上，點N在拋物線的對稱軸上，是否存在以點A,B,M,N為

頂點的四邊形是平行四邊形?若存在，求出所有符合條件的點M的坐標(biāo)；若不存在，請說

明理由.

解析

（1）待定系數(shù)法即可得到結(jié)論；

⑵連接AC,可以求得.NBAC=45牧口果NBDO=^BAC,NBOD=90測△8。。是等腰直角三角形，即（OD

=OB-,

（3）兩種方法，方法一:分別以AB,BM,BN為對角線分類討論，注意此處有A、B兩個定點，屬于兩點定型；

方法二：分別以AB為邊，以AB為對角線分類討論.

解⑴由y=ax2+bx—3^#C(0,-3),.,.OC=3.

?.-OC=3OB,.-.OB=1..-.^B的坐標(biāo)為(-1,0).

把A(2,-3),B(-1,O)代入y=ax2+bx-3得

[4a+26-3=-3,解彳曰fa=1,

Ia-6-3=0.用旬守lb=-2.

，拋物線的解析式為y=X2-2%-3;

⑵如答圖L連接AC,作BF±AC交AC的延長線于點F.

-.A(2,-3),C(0,-3),.-.AFllxffl.

:點F的坐標(biāo)為(-1,-3)...BF=3,AF=3...NBAC=45°.

答圖

設(shè)點D的坐標(biāo)為(0,m),則OD=|m|.1

?.zBDO=zBAC,.".zBDO=45o.

.■.OD=OB=l..,.|m|=l..,.m=±l.

二點6的坐標(biāo)為(0,1),點D2的坐標(biāo)為(0,-1);

⑶設(shè)點M的坐標(biāo)為((a，a2-2a-3),點N的坐標(biāo)為(l,n).

解法一：①以AB為對角線，如答圖2，則MN為另一條對角線，對角線相交于一點，且為對角線中點.X/+%=

2

xM+xN,+yB=yM+yN,2+(—1)=a+1,—3+0=a-2a—3+n.

解得a=0,n=0.

即點M的坐標(biāo)為(0,-3),點N的坐標(biāo)為(L0).

②以BM為對角線，如答圖3,貝AN為另一條對角線，同①類似可得

xm+%g=翅+瓶,VM+VB=VA+VN>a+(—1)=2+1,a2—2a—3+0=-3+n.

解得a=4,n=8,

即點M的坐標(biāo)為(4,5),點N的坐標(biāo)為(1,8).

③以BN為對角線，如答圖4,則AM為另一條對角線，同①類似可得

X,+%g=久4+^M>VN+VB=X4+VM，1+(-1)=2+a,n+0=—3+a2—2a—3.

解彳導(dǎo)a=-2,n=-2,

即點M的坐標(biāo)為(-2,5),點N的坐標(biāo)為(1,2).

解法二:①以AB為邊，則ABIIMN,AB=MN,如答圖5,過M作ME,對稱軸y于點E,AF±x軸于點F.

.-.zMNE=zBGF=zA.

則AABF%NME.

，NE=AF=3,ME=BF=3;|a-l|=3;a=4或a=-2.

:點M的坐標(biāo)為(4,5)或(-2,5).

②以AB為對角線，BN=AM,如答圖6,

則N在x軸上,M與C重合.

二點M的坐標(biāo)為(0,-3).

綜上所述，存在以點A,B,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形，M(4,5)或((-2,5)或(0--3).

精選練習(xí)

1.如圖，已知二次函數(shù)y=%2+bx+c的圖象與x軸交于點A(l,0),B(3,0),與y軸交于點C.

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)若點P為拋物線上的一點，點F為對稱軸上的一點，目以點A,B,P,F為頂點的四邊形為平行四邊形，

求點P的坐標(biāo).

2.如圖拋物線y=ax2+bx+c(a*0)的圖象經(jīng)過A(l,0),B(3,0),C(0,6)三點

Q)求拋物線的解析式；

(2)拋物線的頂點M與對稱軸I上的點N關(guān)于x軸對稱，直線AN交拋物線于點D,直線BE交AD于點

E,若直線BE將△4BD的面積分為1:2兩部分，求點E的坐標(biāo)；

(3)P為拋物線上的一動點，(^為對稱軸上動點，拋物線上是否存在一點P,使A、D、P、Q為頂點的四邊形

為平行四邊形?若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線：y=-(與x軸交于點A，經(jīng)過點A的拋物線y=ax2-3x+c的對

稱軸是x=l，

(1)求拋物線的解析式；

(2)平移直線I經(jīng)過原點。，得到直線m,點P是直線m上任意一點，PB1x軸于點B,PC1y軸于點C,

若點E在線段0B上，點F在線段0C的延長線上，連接PE,PF,且PF=3PE.求證:PE1PF；

⑶若⑵中的點P坐標(biāo)為(6,2),點E是x軸上的點，點F是y軸上的點，當(dāng).PE1PF時,拋物線上是否存在點Q,

使四邊形PEQF是矩形?如果存在,請求出點Q的坐標(biāo)，如果不存在,請說明理由.

4.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=lx2+bx+C經(jīng)過點2(-4,0),點M為拋物線的頂點，點B在y軸上，

且(0A=0B,,直線AB與拋物線在第一象限交于點C(2,6),如圖1.

(1)求拋物線的解析式；

⑵直線AB的函數(shù)解析式為，點M的坐標(biāo)為,COSNABOJ?連接OC,若過點。的

直線交線段AC于點P,將AAOC的面積分成1:2的兩部分,則點P的坐標(biāo)為；

⑶在V軸上找一點Q,使得△的周長最小.具體作法如圖2，作點A關(guān)于y軸的對稱點！A'，連接MA'交

y軸于點Q,連接AM、AQ,此時△力MQ的周長最小.請求出點Q的坐標(biāo)；

(4)在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點N，使以點A、0、C、N為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出點

N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

圖1圖2

精選練習(xí)

1.解：⑴用交點式函數(shù)解析式得y=(x-l)(x-3)=/—以+3.

故所求二次函數(shù)的解析式為y=d一4》+3；

⑵①當(dāng)AB為平行四邊形一條邊時，如答圖1.

則AB=PF=2,點P坐標(biāo)為(4,3).

當(dāng)點P在對稱軸左側(cè)時，即點C的位置，點A.B,P,F為頂點的四邊形為平行四邊形;

.?.點P的坐標(biāo)為(4,3)或(0,3).

②當(dāng)AB是四邊形的對角線時，如答圖2.

AB中點的坐標(biāo)為(2,0).

設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m,點F的橫坐標(biāo)為2,其中點的橫坐標(biāo)為等，

即等=2,解得m=2,故點P的坐標(biāo)為(2,-1).

.?.點P的坐標(biāo)為(4,3)或(0,3)或(2,-1).

2.解:⑴；拋物線y=ax2+bx+c(a豐0)的圖象經(jīng)過A(l,0),B(3,0),

設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-l)(x-3).

:拋物線y=a(x-l)(x-3)(a#))的圖象經(jīng)過點C(0,6),

.\6=a(0-l)(0-3).

a=2.

???拋物線的解析式為y=2(x-l)(x-3)=2x2-8x+6;

(2):y=2x2-8x+6=2(%-2)2-2,

二頂點M的坐標(biāo)為(2,-2).

??.拋物線的頂點M與對稱軸1上的點N關(guān)于x軸對稱，

二點N的坐標(biāo)為(2,2).

設(shè)直線AN的解析式為y=kx+b(k?0).

由題意,可得?="六

解得｛2=2;

lb=-2.

直線AN的解析式為y=2x-2.

聯(lián)立方程組，得｛,92二：一；6.

解得『￡'￡=4'

???點D的坐標(biāo)為(4,6).

*e?SABD=^x2x6=6,

設(shè)點E的坐標(biāo)為(m,2m-2).

???直線BE將^ABD的面積分為1:2兩部分，

^ABE~^ABD~2或SABE=-SABD=4.

Ix2x(2m-2)=2或|x2x(2m-2)=4.

/.m=2或m=3.

，點E的坐標(biāo)為(2,2)或(3,4);

⑶若AD為平行四邊形的邊，

?.?以A,D,P,Q為頂點的四邊形為平行四邊形，

/.AD=PQ.

-,-xD-xA=xp-久Q或.xD-xA=XQ-Xp,

Xp=4—1+2=5或xp=2-4+l=-l.

???點P的坐標(biāo)為(5,16)或(-1,16).

若AD為平行四邊形的對角線，

?.?以A,D,P,Q為頂點的四邊形為平行四邊形，

；.AD與PQ互相平分.

.XA+XD_XP+XQ

??—■

22

Xp-3.

.?.點P的坐標(biāo)為(3,0).

綜上所述，當(dāng)點P坐標(biāo)為(5,16)或(-1,16)或(3,0)時，以點A,D,P,Q為頂點的四邊形為平行四邊彩

3.解:⑴當(dāng)y=0時，=0,解得x=4.即點A的坐標(biāo)為(4,0),拋物線過點A,對稱軸是x=|得

(16。-12+c=0,

\-33

I-五二7

解得［a=\拋物線的解析式為y=%2-3%-4;

=-4.

⑵：平移直線1經(jīng)過原點O，得到直線m,

，直線m的解析式為y=|x.

:點P是直線1上任意一點，

設(shè)點P的坐標(biāo)為(3a,a),則PC=3a,PB=a.

又：PF=3PE,

PC_PB

??PF-PE'

ARtAPCF^RtAPBE.

???ZFPC=ZEPB.

ZCPE+ZEPB=90°,

???ZFPC+ZCPE=90°.

???FP_LPE;

(3)如答圖1,點E在點B的左側(cè)時，設(shè)點E的坐標(biāo)為(a,0),

貝!]BE=6-a.

VCF=3BE=18-3a,

.*.OF=20-3a,

AF(0,20-3a).

??.四邊形PEQF為矩形,

??2一2，

Qy+Py_Fy+Ey

2~2,

Q,+6=0+a,

Q,+2=20-3a+0.

Q,=a-6,

Qy=18-3a.

將點Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得18-3a=(a-6)2