專題一次函數(shù)背景下的

將軍飲馬問題

rim

僦j模型介紹

D方法點(diǎn)撥

一、求線段之和的最小值

1、在一條直線m上，求一點(diǎn)P,使PA+PB最小;

(1)點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè):

(2)點(diǎn)A、B在直線同側(cè):

A、A'是關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)。

2、在直線m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q,使PA+PQ+QB最小。

(1)兩個(gè)點(diǎn)都在直線外側(cè):

A

A

m

(2)一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)在外側(cè):

(4)、臺(tái)球兩次碰壁模型

變式一：已知點(diǎn)A、B位于直線m,n的內(nèi)側(cè)，在直線n、m分別上求點(diǎn)D、E點(diǎn)，使得圍成的

四邊形ADEB周長(zhǎng)最短.

變式二：已知點(diǎn)A位于直線m,n的內(nèi)側(cè)，在直線m、n分別上求點(diǎn)P、Q點(diǎn)PA+PQ+QA周長(zhǎng)最

需例題精講

【例1】.矩形048c在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點(diǎn)8的坐標(biāo)為（3,4）,。是

OA的中點(diǎn)，點(diǎn)E在A8上，當(dāng)△CDE的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3,&）

3-

解：如圖,作點(diǎn)。關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)連接C8與的交點(diǎn)為E,此時(shí)△CDE的

周長(zhǎng)最小.

(2,0),A(3,0),

2

：.H(旦,0),

2

直線CH解析式為尸-肉+4,

；.x=3時(shí)，y=—,

-3

二點(diǎn)E坐標(biāo)（3,—）,

3

故答案為：（3,A）.

3

A變式訓(xùn)練

【變17].已知菱形OABC在平面直角坐標(biāo)系的位置如圖所示，頂點(diǎn)A（5,0）,OB=4疾,

點(diǎn)尸是對(duì)角線02上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，。（0,1）,當(dāng)CP+DP最短時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（）

解：如圖，連接AC交于K,作KHJ_OA于凡

:四邊形ABC。是菱形，

：.ACLOB,A、C關(guān)于對(duì)角線。8對(duì)稱,

：.PC=PA,

：.PC+PD^PA+PD,

...當(dāng)Q、P、A共線時(shí)，PC+尸。的值最小，

在Rt/XOAK中，，：OK=2疵,0A=5,

；?AK=VOA2-OK2=遙，

'：KH±0A,

...KH=Q^L=2,O//=>/QK2_KH2=4,

：.K(4,2),

直線OK的解析式為y=/x，

直線AD的解析式為尸--1x+l,

f_if10

y至xx^-

由(1，解得｛u，

■Lt0

y="Fx+ly=v

ID(

與AQ的交點(diǎn)P且），

77

:.當(dāng)點(diǎn)、P與P'重合時(shí)，CP+QP最短時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（①，—

77

【變1-2].如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABC。的頂點(diǎn)8在原點(diǎn)，點(diǎn)A、C在坐標(biāo)軸

上，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（6,4）,E為CZ）的中點(diǎn)，點(diǎn)、P、。為BC邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且PQ=2,

要使四邊形APQE的周長(zhǎng)最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)應(yīng)為（型，0）.

3

解：點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位到點(diǎn)E關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)R連接交3c于0,

此時(shí)MQ+EQ最小，

,:PQ=2,DE—CE—2,AE=q$2+22=2V10'

要使四邊形APQE的周長(zhǎng)最小，只要AP+E。最小就行，

即AP+EQ=MQ+EQ,過M作MNLBC于N,

F

設(shè)CQ=x,貝INQ=6-2-x=4-x,

,/AMNQs/\FCQ,

.MNNQ

*'CF'CQ

?：MN=AB=4,CF=CE=2,CQ=x,QN=4-x,

.44-x

>?1=

2x

：.BP=6-2-

33

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（色,0）.

3

故答案為：（&，0）.

3

【例2].如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（1,3）,點(diǎn)8坐標(biāo)為（4,1）,點(diǎn)C在

無軸上，點(diǎn)。在y軸上，則以為頂點(diǎn)的四邊形的周長(zhǎng)的最小值是_'/1§±歷_.

y

解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)4,，點(diǎn)B關(guān)于無軸的對(duì)稱點(diǎn)8',連接A'B'交

無軸于C,交〉軸于。，連接A￡>,CD,BC,AB,四邊形ABC。的周長(zhǎng)最小.

由作圖可知：AD^DA',BC=CB，,A'(-1,3),B'(4,-1)

四邊形ABCD的周長(zhǎng)=AB+BC+C￡)+A。

=AB+B'C+CD+DA'

=AB+A'B1

=V32+22+V52+42

=A/13+V41-

故答案為后

A變式訓(xùn)練

【變2-1].如圖所示，已知點(diǎn)C(l,0),直線y=-x+7與兩坐標(biāo)軸分別交于A,B兩點(diǎn),

D,E分別是線段A3,上的動(dòng)點(diǎn)，則△COE的周長(zhǎng)的最小值是()

C.4A/2+4D.12

解：作點(diǎn)C關(guān)于〉軸的對(duì)稱點(diǎn)C,作點(diǎn)C關(guān)于y=-X+7的對(duì)稱點(diǎn)C,連接CC,則4

CDE的周長(zhǎng)的最小值為的長(zhǎng);

VC(1,0),

：.C(-1,0),

設(shè)CCm,w),則有

—=-"1+7,n=],

22m-l

??m=7,幾=6,

：.CU(7,6),

ACC^IO；

故選：B.

【變2-2].如圖，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)y*awo)在第一象限的圖象

交于A點(diǎn)，過A點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為已知的面積為1.如果2為反比例

函數(shù)在第一象限圖象上的點(diǎn)(點(diǎn)B與點(diǎn)A不重合)，且3點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,在x軸上求一

解：設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,b),則b*，

?*ctb~~k.f

:鼻=1，

'.k=2,

...反比例函數(shù)的解析式為產(chǎn)2.

根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示:

二2

聯(lián)立得，

1

y=Ix

x=2

解得

y=l

為(2,1),

設(shè)A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C,則C點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,-1）.

令直線BC的解析式為y=rwc+n

■:B為(1,2),

將B和C的坐標(biāo)代入得:

fm=-3

解得:

ln=5

...BC的解析式為y=-3x+5,

當(dāng)y=0時(shí)，x而，

???尸點(diǎn)為（9,0）.

3

故答案為：&o）.

X

1.如圖，一次函數(shù)y=x+4的圖象與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A,8,點(diǎn)C(-2,0)是無軸上

一點(diǎn)，點(diǎn)E,尸分別為直線y=x+4和y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)E,F

的坐標(biāo)分別為()

解：作C(-2,0)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)G(2,0),作C(2,0)關(guān)于直線y=x+4的對(duì)稱

CE+CF+EF=DE+GF+EF=DG,止匕時(shí)△CEF周長(zhǎng)最小,

由y=x+4得A(-4,0),B(0,4),

：.OA=OB,△AO8是等腰直角三角形，

：.ZBAC=45°,

VC,。關(guān)于AB對(duì)稱，

：.ZDAB=ZBAC=45

：.ZDAC=90°,

VC(-2,0),

：.AC=OA-OC=2=ADf

：.D(-4,2),

由。（-4,2）,G（2,0）可得直線OG解析式為y=-gx+弓，

在丁=-上了+當(dāng)中，令x=0得y=2,

333

：.F（0,2）,

3

（5

fy=x+4x=?

由」12得，Q,

y=-7x-^y

33[y2

：.E（-2旦），

22

的坐標(biāo)為（-9,旦），尸的坐標(biāo)為（0,2）,

223

故選：C.

2.如圖所示，直線y=x+4與兩坐標(biāo)軸分別交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，D,E分

別是直線AB和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，則△CDE周長(zhǎng)的最小值是2A/W.

解：如圖，作點(diǎn)C關(guān)于A2的對(duì)稱點(diǎn)R關(guān)于4。的對(duì)稱點(diǎn)G,連接。尸，EG,

?..直線y=x+4與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是。2的中點(diǎn)，

AA(0,4),8(-4,0),C(-2,0),

：.BO=4,OG=2,BG=6,OA=OB,

：.ZABC=45°,

ABCF是等腰直角三角形，

：.BF=BC=2,

由軸對(duì)稱的性質(zhì)，可得。廣=DC,EC=EG,

當(dāng)點(diǎn)F,D,E,G在同一直線上時(shí)，的周長(zhǎng)=CD+DE+C￡=Z>/+￡>E+EG=PG,

此時(shí)△OEC周長(zhǎng)最小，

VRtABFG中，PG=VBF2+BG2=2Vl0，

△CDE周長(zhǎng)的最小值是2百5.

故答案為：2行.

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=x+3&的圖象與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)

B,點(diǎn)P在線段上，PCLx軸于點(diǎn)C,則△2(%)周長(zhǎng)的最小值為3+3J5.

解：設(shè)點(diǎn)PGw,m+3近),則PC=〃2+3&,OC=-m,

△PCO周長(zhǎng)=OP+OC+PC=OP+〃z+3&-m=3近+PO,

即△PC。周長(zhǎng)取得最小值時(shí)，只需要。尸最小即可，

設(shè)：OD=a,則￡>。=8￡>=°,

由勾股定理得：2a2=(3&)2,解得：a=3=OD=OP,

故△尸CO周長(zhǎng)的最小值=3&+尸。=3+3加，

故答案為：3+3&.

4.如圖所示，已知點(diǎn)C(l,0),直線y=-x+7與兩坐標(biāo)軸分別交于A,B兩點(diǎn)，D,￡分

解：如圖，點(diǎn)C關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)C'(-1,0),點(diǎn)C關(guān)于直線A8的對(duì)稱點(diǎn)C〃，

直線AB的解析式為y=-x+7,

直線CC〃的解析式為y=x-1,

由卜“X+7解得卜=4,

ly=x-lIy=3

直線AB與直線CC〃的交點(diǎn)坐標(biāo)為K(4,3),

是CC"中點(diǎn)，

可得C"(7,6).

連接C'C"與A。交于點(diǎn)E,與AB交于點(diǎn)E),此時(shí)△￡)￡(7周長(zhǎng)最小，

=22=10

△DEC的周長(zhǎng)=￡>E+EC+CD=EC'+ED+DC"=C'C"VS+6-

5.如圖，在RtZxABO中，ZOBA=9Q°,A(4,4),點(diǎn)C在邊48上，且&=?1,點(diǎn)、D

CB3

為08的中點(diǎn)，點(diǎn)P為邊OA上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在。4上移動(dòng)時(shí)，使四邊形PD8C周長(zhǎng)

最小的點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(3，旦).

3-3―

解：：在RtzXAB。中，NO2A=90°,A(4,4),

：.AB=0B=4,ZAOB=45°,

?.?螞=工，點(diǎn)。為。8的中點(diǎn)，

CB3

：.BC=3,0D=BD=2,

：.D(2,0),C(4,3),

作D關(guān)于直線OA的對(duì)稱點(diǎn)E,連接EC交OA于P,

則此時(shí)，四邊形PC8C周長(zhǎng)最小，E(0,2),

?.?直線的解析式為y=x,

設(shè)直線EC的解析式為y=kx+b,

.(b=2

"14k+b=3，

解得：［4,

b=2

，直線EC的解析式為y=lx+2,

8

y=x

解I1得，，

y7+28

y=r

直線y=生計(jì)8分別交無軸，y軸于A,2兩點(diǎn)，點(diǎn)、C為OB

-3

的中點(diǎn)，點(diǎn)D在第二象限，且四邊形AOC。為矩形.動(dòng)點(diǎn)尸為CD上一點(diǎn)，PHLOA,

垂足為H,點(diǎn)。是點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，當(dāng)BP+PH+HQ值最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

4,4）.

解：BP+PH+”。有最小值，

理由是：?..直線y='x+8分別交x軸，y軸于A,8兩點(diǎn)，點(diǎn)C為的中點(diǎn),

：.OB=S,OA=6,OC=4,

連接尸B,CH,HQ,則四邊形PHCB是平行四邊形，如圖，

：.PB=CH,

：.BP+PH+HQ^CH+HQ+4,

'：BP+PH+HQ有最小值，即CH+HQ+4有最小值,

只需C//+HQ最小即可，

?..兩點(diǎn)之間線段最短，

當(dāng)點(diǎn)C,H,。在同一直線上時(shí)，CH+H。的值最小,

過點(diǎn)Q作。軸，垂足為

:點(diǎn)Q是點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，

C.OA是的中位線，

：.QM=2OA=12,0M=0B=8,

：.Q(-12,-8),

設(shè)直線C。的關(guān)系式為：y=kx+b,

將C(0,4)和Q(-12,-8)分別代入上式得：

(b=4

I-12k+b=-8

解得：(b=4,

lk=l

.?.直線C。的關(guān)系式為：y—x+4,

令y=0得：x=-4,

：.H(-4,0),

軸，

：.P(-4,4),

故答案為：(-4,4).

7.如圖，在長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A,B,C在小正方形

的頂點(diǎn)上.

(1)在圖中畫出與△ABC關(guān)于直線/成軸對(duì)稱的△A8C；

(2)在直線I上找一點(diǎn)P,使PA+PB的長(zhǎng)最短.

解：(1)如圖,Z\A'B'C即為所求.

(2)如圖，點(diǎn)尸即為所求.

8.如圖，已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(0,4),8(-2,-2),C(3,0),點(diǎn)P在

線段AC上移動(dòng).當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為(1,機(jī))時(shí)，請(qǐng)?jiān)趛軸上找點(diǎn)。，使△PQC周長(zhǎng)最小.

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,

f_4

/Jb=4，解得“=萬，

13k+b=0卜=4

直線AC的解析式為y=-削+4；

:點(diǎn)尸在線段AC上移動(dòng)，點(diǎn)尸坐標(biāo)為(1,小)，

.,.m—-—X1+4=—,

33

：.P(1,區(qū)),

3

作尸點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P,連接尸,C交y軸于。，此時(shí)PQ+QC=PC,根據(jù)兩點(diǎn)

之間線段最短，。就是使△PQC周長(zhǎng)最小的點(diǎn)；

則P(-1,旦)，

3

設(shè)直線P'C的解析式為y=mx+n,

_8.2

~m+n-y,解得，血一石,

3m+n=0n=2

9.如圖，直線/i的解析表達(dá)式為y=-3x+3,且/1與無軸交于點(diǎn)￡),直線/2經(jīng)過點(diǎn)A、B,

直線/1、/2交于點(diǎn)C.

(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)求直線/2的解析表達(dá)式；

(3)在x軸上求作一點(diǎn)使BM+CM的和最小，直接寫出M的坐標(biāo).

解：(1)1?直線A的解析表達(dá)式為y=-3x+3,且/i與x軸交于點(diǎn)D

當(dāng)y=0時(shí)，x=l,

：.D(1,0).

2

3k+b=-互

(2)設(shè)直線/2的解析式為>=丘+6,則有，O9

4k+b=0

—

33

17

y=-3x+3

(3)如圖,由，解得，

_28,18

一方

直線的解析式為>=至,

1212

：.M(里0).

19

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-2x+10與x軸交于點(diǎn)8,與y軸交于點(diǎn)C,與

直線y=￡x交于點(diǎn)A,點(diǎn)M是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)M(0,m).

(1)若MA+MB的值最小，求m的值；

(2)若直線AM將△ACO分割成兩個(gè)等腰三角形，請(qǐng)求出機(jī)的值，并說明理由.

備用圖

解：(1)直線y=-2x+10與x軸交于點(diǎn)8,與y軸交于點(diǎn)C,

：.B(5,0),C(0,10),

y=-2x+10

解；i得(x=4

Iy=2

.*.A(4,2),

點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A'(-4,2),

如圖1,連接A'B,交y軸的交點(diǎn)為M,

此時(shí),MA+MB^MA'+MB^A'B,MA+Affi的值最小,

設(shè)直線A'2的解析式為y=Ax+b,

把A'(-4.2),B(5,0)代入得［-4k+b=2,

I5k+b=0

解得左=-2,》=獨(dú)，

99

直線A'2的解析式為尸-尹號(hào)

把M(0,m)代入得，

(2)如圖2,VA(4,2),B(5,0),C(0,10),

：.OA2=42+22=20,AC2=(4-0)2+(2-10)2=80,OC2=102=100,

.\OA2+AC2^OC2,

.?.△OAC是以O(shè)C為斜邊的直角三角形,

若w點(diǎn)是OC的中點(diǎn)，則AM=」OC,此時(shí)直線AW將△AC。分割成兩個(gè)等腰三角形,

2

：.M(0,5),

??"2=5.

圖2

11.如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1,4）和（3,0）,點(diǎn)C是y軸上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且4B、C三點(diǎn)不在同一條直線上.

（1）求A8的長(zhǎng)；

（2）求△ABC的周長(zhǎng)的最小值；

（3）若。（3,4）,連接AD、CD,是否存在點(diǎn)C,使得△AC。的面積與6?若存在，

求出點(diǎn)C,若不存在，說明理由.

圖1

則/AQ8=90°,OD=1,AD=4,。8=3,

：.BD=3-1=2,

'-AB=422+d=2?

（2）如圖2中,

要使AABC的周長(zhǎng)最小，A3一定，

則AC+BC最小，

作A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A',連接BA'交y軸于點(diǎn)C,

點(diǎn)C即為使AC+BC最小的點(diǎn)，

作A'E_Lx軸于E.

由對(duì)稱的性質(zhì)得：AC=A'C,

則AC+BC=A'B,A'E=4,OE=1,

；.BE=4,

由勾股定理得：A'B=742+42=4V2.

.'.△ABC的周長(zhǎng)的最小值為2遙+4&.

（3）存在.如圖3中，設(shè)C（機(jī)，0）.

解得m=10或-2,

???滿足條件的點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,10）或（0,-2）.

12.如圖，一次函數(shù)y=《x+2的圖象分別與X軸、y軸交于4B,以線段AB為邊在第一

象限內(nèi)作等腰Rt^ABC,使/BAC=90°.

（1）分別求點(diǎn)A、C的坐標(biāo)；

（2）在x軸上求一點(diǎn)P,使它到8、C兩點(diǎn)的距離之和最小.

,：ZOAB+ZCAD=90°,ZCAD+ZACD=90°,

：.ZOAB=ZACD,

在△ABO和△C4。中，

，ZA0B=ZCDA=90°

<Z0AB=ZACD,

AB=AC

.?.△ABO也△CAO(AAS)

：.AD=OB,CD=OA,

,；y=-系：+2與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B,

：.A(3,0),B(0,2),

.?.點(diǎn)C坐標(biāo)為(5,3)；

則E點(diǎn)坐標(biāo)為(5,-3),將(0,2)(5,-3),代入y=ar+c中,

(5a+c=-3

Ic=2

解得：，a=-l

1c=2

直線BE解析式為y=-x+2,

設(shè)點(diǎn)尸坐標(biāo)為(x,0),

則(尤，0)位于直線BE上，

二點(diǎn)尸坐標(biāo)為(2,0).

13.如圖，一次函數(shù)y=fcc+6的圖象與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A(4,0),B(0,2).

(1)求該一次函數(shù)的表達(dá)式.

(2)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。為42的中點(diǎn)，0c=1,點(diǎn)尸為y軸上的動(dòng)點(diǎn)，求PC+尸。的最

小值，并求出此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)(用兩種不同的方法求解).

解：(1)設(shè)一次函數(shù)表達(dá)式為>=日+6,

將A(4,0)B(0,2)代入得

I2=b

解得：2,

b=2

所以一次函數(shù)表達(dá)式為>=--1x+2；

(2)法1：過點(diǎn)D作DELOA,交OA于點(diǎn)E,

VA(4,0),B(0,2),

；.OA=4,08=2,

又?.,。為AB中點(diǎn)，DE//OB,

:.DE為ABOA的中位線，

；.DE=—OB^1,0￡=工。4=2,

22

：.D(2,1),

作點(diǎn)。關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)。'，連接O'C交y軸于點(diǎn)P',即為所求,

：.D'(-2,1),

VZD'=ZP'CO,ZD'HP'=ZP'OC,

；.△?HP'OC,

.D'H_HP'—

??----------;--乙，

OCOP'

：.OP'=」，

3

??P'坐標(biāo)為(0,—),最小值為,(1+2)2+12=小10;

3

法2：求點(diǎn)的坐標(biāo)部分同方法一，也可用中點(diǎn)坐標(biāo)公式直接可得,

設(shè)直線O的表達(dá)式為丁=妙+及，

把。'(-2,1),C(1,0)代入得：(A2mtn,

I0=m+n

f1

m二萬

解得：],

,喝

??y~---x+--，

33

當(dāng)尤=0時(shí)，y=l,

-3

14.已知一次函數(shù)y=fcc+6的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(-1,-1)和點(diǎn)8(1,-3).求:

(1)求一次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)求直線A8與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

(3)請(qǐng)?jiān)跓o軸上找到一點(diǎn)P,使得PA+PB最小，并求出P的坐標(biāo).

解：(1)設(shè)y與尤的函數(shù)關(guān)系式為y=fcr+6,

把A(-l,-1)B(1,-3)代入得：-k+b=-1,k+b=-3,

解得：k=-1,b=-2,

，一次函數(shù)表達(dá)式為：y=-x-2；

(2)設(shè)直線與x軸交于C,與y軸交于。,

把y=0代入y=-x-2,

解得x=-2,

：.OC=2,

把x=0代入y=-x-2,

解得：y=~2,

：?0D=2,

.".5ACOD=—XOCXOD=Ax2X2=2；

22

(3)作A與4關(guān)于x軸對(duì)稱，連接A1B交x軸于P,則P即為所求,

由對(duì)稱知：Ai(-1,1),

設(shè)直線A15解析式為y="x+c,得-〃+c=l,a+c=-3,

解得：a=-2,c=-1,

-2x-1,

令y=0得-2x-1=0,

解得：x=-—,

2

：.P(-工，0).

2

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形A8C的頂點(diǎn)A在x軸上，AB=AC,Z

BAC=90°,且A(2,0)、B(3,3),BC交y軸于

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)連接AM,求的面積；

(3)在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)P,當(dāng)尸B+PM的值最小時(shí)，求此時(shí)尸的坐標(biāo).

解：(1)如圖1,作CD_L無軸于。，軸于

：.ZCAD+ZDCA^90°,

VZBAC=90°,

：.ZCAD+ZBAE^9Q°,

：.ZBAE=ZACD,

在△CDA和△AE8中，

,ZACD=ZBAE

-ZADC=ZBEA,

CA=AB

.?.△CDA^AAEB(A4S),

ACD=AE,AD=BE,

VA(2,0)、B(3,3),

：.OA=2,OE=BE=3,

：.CD=AE=1,OD=AD-OA=1,

；.C的坐標(biāo)是（-1,1）；

（2）如圖2,作BE_Lx軸于E,

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,

點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,3）,C點(diǎn)的坐標(biāo)是（-1,1）,

3k+b=3

-k+b=l

k4

解得，

b=2

直線BC的解析式為尸獷|，

當(dāng)尤=0時(shí)，y=—,

-2

2

/.LAMB的面積二梯形MOEB的面積-△AOM的面積-4AEB的面積

=_Lx(旦+3)X3--X2X-2-Ax1X3

22222

=叵

V

(3)如圖3,作/關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)AT(0,-3),連接8以，交x軸于點(diǎn)P,此時(shí)

2

PB+PM的值最小，

設(shè)直線BM'的解析式為

3mtn=3

則3，

n=~~2

f3

m=y

解得，dQ，

n=^2

直線2"的解析式為y=_|x-_|,

點(diǎn)尸在x軸上，當(dāng)y=0時(shí)，x=\,

???點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(1,0).

圖3

16.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=fcr+8分別交x軸，y軸于A、B兩點(diǎn),已

知A點(diǎn)坐標(biāo)(6,0),點(diǎn)C在直線上，橫坐標(biāo)為3,點(diǎn)。是無軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

連接CD,以CD為直角邊在右側(cè)構(gòu)造一個(gè)等腰RtZkCDE,且NCQE=90°.

(1)求直線AB的解析式以及C點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m,試用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(3)如圖2,連接OC,OE,請(qǐng)直接寫出使得周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)石的坐標(biāo).

解：(1)把A(6,0)代入y=fcv