直角三角形

知識(shí)梳理

1.直角三角形的性質(zhì)

(1)在直角三角形中，兩個(gè)銳角互余.

⑵直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半.(斜中線(xiàn)定理)

(3)在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30。，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.

(4)如果用字母a,b和c分別表示直角三角形的兩條直角邊和斜邊，那么a2+b2=c2.(勾股定理)

2.直角三角形的判定定理

(1)兩角互余的三角形是直角三角形.

(2)有一邊上的中線(xiàn)等于此邊的一半的三角形是直角三角形.

(3)如果三角形中兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形，第三邊所對(duì)的角是直角.(勾

股定理的逆定理)

3.特殊直角三角形

(1)三個(gè)角度數(shù)為30。,60。,90。,邊長(zhǎng)之比為1:73:2.

(2)等腰直角三角形，邊長(zhǎng)之比為1:1：V2.

4.補(bǔ)充定理

⑴中垂線(xiàn)定理的逆定理：到一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線(xiàn)段的中垂線(xiàn)上.

(2)角平分線(xiàn)定理的逆定理：到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線(xiàn)上.

5.直角三角形全等判定的特殊方式

除一般三角形全等的判定方法外，對(duì)于直角三角形全等的判定，還有：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直

角三角形全等.(HL)

典型例題

例1

已知:如圖4-1所示,RtAABC中,/ACB=9(r,M是AB的中點(diǎn),CH_LAB于H,CD平分NAC

B.

(1)證明NDCH=/MCD.

(2)過(guò)點(diǎn)M作AB的垂線(xiàn)交CD延長(zhǎng)線(xiàn)于E,證明CM=EM.

(3)猜想△AEB是什么三角形?并說(shuō)明理由.

分析RtAABC中,CH,AB,是我們熟悉的“母子型”，再利用直角三角形斜中線(xiàn)的性質(zhì)即可解

決問(wèn)題.

解⑴因?yàn)镹ACB=9(r,AM=MB

所以CM=MA

所以NCAM=NACM

又因?yàn)?ACB=9(T,CH_LAB

所以NCAM=NBCH

所以NACM=NBCH

又因?yàn)镃D平分/ACB

所以/ACD=NBCD

因?yàn)?MCD=NACD-/ACM,/HCD=/BCD-NBCH

所以/DCH=/MCD

(2)因?yàn)镃H±AB,EM±AB

所以ZCHD=90°,ZEMD=90°

所以CH/7ME

所以NMED=/DCH

又因?yàn)?DCH=/MCD(已證)

所以NMED=/MCD

所以CM=EM

(3)直角三角形

因?yàn)镋M=CM=

所以△AEB是直角三角形

例2

如圖4-2所示,AD,BE分別是△ABC的邊BC,AC上的高,F是DE的中點(diǎn),G是AB的中點(diǎn)則FG±DE.

分析G是AB的中點(diǎn)，AB是兩個(gè)直角三角形的斜邊，則聯(lián)想到斜中線(xiàn).

解連接GE,GD

因?yàn)锽E±AC,AD±BC,G是AB的中點(diǎn)

所以GE=\AB,GD=豺以直角三角形斜中線(xiàn)定理）

所以GE=GD

又因?yàn)镕是DE的中點(diǎn)

所以FGLDE（等腰三角形三線(xiàn)合一）

例3

如圖4-3所示，已知四邊形ABCD^,ZA=60°,ZB=ZD=90°,BC=2,CD=*求AB.

分析NA=60o,NB=/D=90。,聯(lián)想到特殊直角三角形.如若分割圖形，則破壞了60°,90。的角，則嘗試補(bǔ)形.

解如圖4-4所示，延長(zhǎng)BC,AD,交于點(diǎn)E.

因?yàn)镹ABC=9(F,/A=60。,所以/E=90。

因?yàn)镹ADC=9(F,NE=30。,所以在RtADCE中，

CF=2CO=2x|=1,所以BE=BC+CE=3.

在R3ABE中,NE=30°,BE=3,tan30°=箓=號(hào)

所以=百

例4圖4-4

如圖4-5所示,有一張RtAABC紙片,AC=6厘米,BC=8厘米，現(xiàn)將直角邊AC沿直線(xiàn)AD折疊，使它落在斜邊

AB上,且與AE重合，求CD的長(zhǎng).

分析由折紙的特點(diǎn)知CD=DE,通過(guò)BD=CB-CD和勾股定理BD2=BE2+。產(chǎn)兩個(gè)等量關(guān)系求解.

A

解令CD=x厘米

J（10—6尸+3+%=8\

所以CD=3厘米CDB

圖4-5

雙基訓(xùn)練

1在4ABC中，若/A=NB+/C,則△ABC是.

2.在△ABC中，若NA:NB:/C=1:2:3JJHUABC是_三角形.

3.直角三角形兩銳角之差是12。，則較大的一個(gè)銳角是—.

4.如果三角形的一個(gè)角等于其他兩個(gè)角的差，那么這個(gè)三角形是（）.

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.以上都錯(cuò)

5.△ABC中，如果兩條直角邊分別為3,4,則斜邊上的高線(xiàn)是（）.

A.|B.￡C.5D.不能確定

6.如圖4-6所示，在△ABC中,NC=9（F,AD平分NBAC,BC=10厘米BD=6厘米，則點(diǎn)D到AB的距離為

7.等腰三角形的底角為15。，腰長(zhǎng)為2a,則三角形的面積為一.

8.已知:如圖4-7所示,NBAC=90o,NC=30o,AD_LBC于D,DE_LAB于E.BE=1,BC=.

9.在△ABC中，如果/A+/B=NC,且AC=例8廁/8=.

10.已知等腰三角形一腰上的高線(xiàn)等于腰長(zhǎng)的一半，那么這個(gè)等腰三角形的一個(gè)底角等于（）.

A.15。或75°B.15°C.75°D.150?；?0°

11.如圖4-8所示,EA_LAB,BC_LAB,AB=AE=2BC,D為AB的中點(diǎn)，有以下判斷:①DE=AC;②DE_LAC;③/CAB=

30。;④/EAF=/ADE；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）.

A.lB.2

C.3D.4

______圖4_8_

12.如圖4-9所示，已知BD±AE于B,C是BD上一點(diǎn)，且BC=BE,要使RtAABC^RtADBE,應(yīng)補(bǔ)充的條件是/A

=/D或或___或.

13.如圖4-10所示,在△ABC中,AD_LBC于D,AD與BE相交于H,且BH=AC,DH=DC,那么/ABC=

圖4-9圖4-10圖4-11

14.如圖4-11所示，點(diǎn)P是NBAC內(nèi)一點(diǎn)且P到AC,AB的距離PE=P噂bPEA^APFA的理由是

15.下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（）.

A.三角形全等的判定方法對(duì)判定直角三角形全等也適用

B.已知兩個(gè)銳角不能確定一個(gè)直角三角形

C.已知一個(gè)銳角和一條邊不能確定一個(gè)直角三角形

D.已知一個(gè)銳角和一條邊可以確定一個(gè)直角三角形

16.如圖4-12所示,△ABC和4ABD中,NACB=NADB=9（r,E是AB邊上的中點(diǎn).請(qǐng)你說(shuō)明CE=DE的理由.

圖4-12

17.已知:如圖4-13所示,BD,CE交于O,OA平分/BOCAABD的面積和4ACE的△ACE面積相等.請(qǐng)你說(shuō)明B

D=CE的理由.

圖4-13

18.如圖4-14所示在.A4BC中,AB=AC,AD1BD,AE1CE,且AD=2E,=AE,BD和CE交于點(diǎn)O,請(qǐng)說(shuō)明OB

=。。的理由.

BC

S4-14

19.如圖4-15所示,AD〃:BC,/A=9(T,E是AB上一點(diǎn)N1=N2,AE=BC.請(qǐng)你說(shuō)明/DEC=90。的理由.

20.如圖4-16所示,AD=BC,DE_LAC,BF_LAC,E,F是垂足,DE=BF.證明:

(1)ZDAE=ZBCF;

(2)AB〃CD.

能力提升

2L如圖4-17所示,△ABC中,/ACB=90。,在AB上截取AE=AC,BD=BC,則/DCE等于().

A.45°B.60°C.50°D.65°

22.如圖4-18所示,△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)D是BC邊上的任意點(diǎn),DELAB于點(diǎn)E,DF±AC于點(diǎn)F.

則DE+DF=

圖4-19

23.如圖4-19所示，已知:在△ABC中,AB=AC,NB=70o,BD=CF,BE=CD以!J/EDF=

24.已知:如圖4-20所示,NB=NE=90°,XC=DF,FB=EC,,則AB=DE.請(qǐng)說(shuō)明理由.

B

ffl4-20

25.已知:如圖4-21所示,等邊.A4BC中,BD=CE,AD與BE相交于點(diǎn)P,求乙1PE的度數(shù)

S4-21

26.已知:如圖4-22所示,NABD=ZXCD=90。,且乙CBD=NBCD.求證:AD平分Z.BAC.

ffl4-22

27.已知:如圖4-23所示,AC14B于A,DB14B,點(diǎn)P在AB上，且AC=PB,AP=BD.求證:APCD為等腰直角三

角形.

圖4-23

28.如圖4-24所示,在等腰△ABC中=BC,,CD是底邊上的高線(xiàn)，點(diǎn)P是線(xiàn)段CD上不與端點(diǎn)重合的任意

一點(diǎn)，連接AP交BC于點(diǎn)E,連接BP交AC于點(diǎn)F.

⑴證明:NC4E=乙CBF.

(2)證明:AE=BF.

29.如圖4-25所示,P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn),PH=2,PB=2舊,PC=4,求△ABC的邊長(zhǎng).

c

30.如圖4-26所示,在等腰RtAABC中,/ACB=90。,,D是斜邊AB上任一點(diǎn),AE1CD于點(diǎn)E,BF_LCD交CD

的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F,（CH148于點(diǎn)H,交AE于點(diǎn)G,求證:BD=CG.

拓展資源

31.如圖4-27所示,CD是Rt△ABC斜邊AB上的高，將△BCD沿CD折疊點(diǎn)B恰好落在AB的中點(diǎn)E處，則

乙4等于（）.

425。B.30。

C.45°D.600

B04-27

32.在直線(xiàn)1上依次擺放著7個(gè)正方形（如圖4-28所示）.已知斜放置的3個(gè)正方形的面積分別是1,2,3,正放

置的4個(gè)正方形的面積依次是Si、Sz、S3、S4,則51+$2+53+54等于（）.

圖4-28

33.如圖4-29所示，滑桿在機(jī)械槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)，ZACB為直角，已知滑桿AB長(zhǎng)2.5米，頂端A在AC上運(yùn)動(dòng)，量

得滑桿下端B到C點(diǎn)的距離為1.5米，當(dāng)端點(diǎn)B向右移動(dòng)0.5米時(shí),求滑桿頂端A下滑多少米？

A

圖4-29

34.如圖4-30所示,A,E,F,C在一條直線(xiàn)上,AE=CF,過(guò)E,F分別作DE±AC,BF1AC若AB=CD.請(qǐng)回答下列問(wèn)

⑴BD平分EF;

⑵若將△DEC的邊EC沿AC方向移動(dòng)變?yōu)閳D4-31所示圖形時(shí)其余條件不變，上述結(jié)論是否成立，請(qǐng)說(shuō)明理

GEC

ffl4-30圖4-31

35.如圖4-32所示,△A8C和△CEF是兩個(gè)大小不等的等邊三角形，且有一個(gè)公共頂點(diǎn)C,連接AF和BE.

⑴線(xiàn)段AF和BE有怎樣的大小關(guān)系?請(qǐng)證明你的結(jié)論.

⑵將圖4-32所示的.△CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到圖4-33所示的圖形，⑴中的結(jié)論還成立嗎?作出判

斷并說(shuō)明理由.

圖4-32圖4-33

1.直角三角形2.直角3.51。4.B5.B6.4厘米

7.a28.89.30°10.C11.C

12.AC=DE,BD=BA,NACB=NDEB

13.45°14.HL15.D

16提示：斜中線(xiàn)定理.

17提示:因?yàn)镺A平分NBOC,所以點(diǎn)A到CE,BD的距離相等，而△ABD的面積和4ACE的面積相等，則底相

等.

18.提示:△AECgZkADB,則/ABD=NACE.

19.提示:△ADE四△BEC,則NAED=NBCE