第1頁/共1頁江西省2024年“三校生”對口升學考試試題（回憶版）數(shù)學注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，這出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本卷無效.3．考試結(jié)來后，將本試卷和答題卡一并交回.第I卷（選擇題共70分）一、是非選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.對每小題的命題做出判斷.1.（）【答案】錯誤【解析】【分析】利用三角函數(shù)的誘導公式，結(jié)合特殊角的三函數(shù)值即可得解.【詳解】因為，所以錯誤.故答案為：錯誤.2.已知集合，則（）【答案】正確【解析】【分析】先根據(jù)求解不等式求出集合A與集合B，然后根據(jù)交集的定義求出，即可求解【詳解】在集合A中，，解得，在集合B中，，解得x>1，故集合A與集合B的交集為.故答案為：正確.3.與直線垂直的直線的斜率為．（）【答案】錯誤【解析】【分析】先將已知直線方程轉(zhuǎn)化為斜截式，再利用兩條直線垂直的性質(zhì)即可得解.【詳解】因為直線可化為，則其斜率為，所以與直線垂直的直線的斜率為.故答案為：錯誤.4.的解集為．（）【答案】正確【解析】【分析】利用絕對值不等式的解法求解即可.【詳解】因為，所以或，解得或，所以解集為.故答案為：正確.5.若橢圓的離心率為，則其長軸長為．（）【答案】正確【解析】【分析】根據(jù)離心率與橢圓的性質(zhì)求得與的值，進而求長軸長.【詳解】根據(jù)橢圓的離心率為，可得，則①，因為在橢圓中，，即②，根據(jù)①②兩式解得：，長軸長為.故答案：正確.6.i是虛數(shù)單位，則．（）【答案】錯誤【解析】【分析】由復數(shù)的乘法運算分析即可.【詳解】.故答案為：錯誤.7.“且”是“”的必要不充分條件（）【答案】錯誤【解析】【分析】根據(jù)必要條件、充分條件的概念分析即可.【詳解】若“且”，可得出“”，故充分性成立，若“”，有可能，，或，，故必要性不成立，故“且”是“”的充分不必要條件．故答案為：錯誤．8.函數(shù)的最大值等于2．（）【答案】錯誤【解析】【分析】化簡函數(shù)，進而求解.【詳解】因為，故函數(shù)的最大值為2.故答案為：錯誤.9.正四面體相鄰的兩個面的夾角是．（）【答案】錯誤【解析】【分析】根據(jù)正四面體的性質(zhì)求解二面角分析答案即可.【詳解】如圖，四面體為正四面體，設正四面體的棱長為a，過P作面ABC，則O為底面三角形中心，連接CO并延長，交AB于E，連接PE，則，為二面角的平面角，，，在中，，所以正四面體相鄰的兩個面的夾角不是．故答案為：錯誤.10.若A，B，C不共線，且．則（）【答案】正確【解析】【分析】由模長計算出，即可得到.【詳解】，，因為，所以，即，所以.故答案為：正確.二、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.11.在平行四邊形ABCD中．已知點A坐標為1,2．向量，則頂點D的坐標為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設，根據(jù)平行四邊形的對邊相等，列式求解點D的坐標即可.【詳解】設，∵在平行四邊形ABCD中，點A坐標為，向量，∴，即，∴，解得，．故選：A．12.等差數(shù)列的前n項和為，若，則（）A.30 B.28 C.40 D.42【答案】C【解析】【分析】由數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)與的關系,進而求的值.【詳解】因為為等差數(shù)列，又根據(jù)，可得,，解得，根據(jù)等差數(shù)列前項公式可得：.故選：C.13.將4個人分成A、B兩組，每組2人，不同的分法共有（）A.3種 B.6種 C.8種 D.12種【答案】A【解析】【分析】由分組的組合數(shù)計算即可.【詳解】將個人分成兩組，每組人，有種不同的分法.故選：.14.若圓與x軸、y軸都有公共點，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用直線與圓的位置關系列式計算即可得解.【詳解】因為圓的圓心為，半徑為，又圓與x軸、y軸都有公共點，所以，則.故選：A15.為了解某職業(yè)學校師資情況，將全校教師按年齡段分成4組：，得到頻數(shù)分布表如下：年齡段教師人數(shù)15201510現(xiàn)采用分層抽樣的方式抽取若干人進行周查，若在兩個年齡段中共抽取了6人，則在中抽取了（）A.1人 B.2人 C.3人 D.4人【答案】B【解析】【分析】由題意可得，先求出抽取比例，再由的人數(shù)即可求出抽取的人數(shù).【詳解】由題意可得，全校教師人數(shù)為人，再根據(jù)在兩個年齡段中共抽取了6人，可得抽取比例為，故在中抽取了人.故選：B.16.已知二項式，展開式中含項的系數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出二項式的展開通項公式，再由的冪指數(shù)為確定項數(shù)，從而得解.【詳解】二項式的展開式的通項公式為：，當，即時，，所以展開式中含項的系數(shù)是.故選：D.17.函數(shù)的定義域為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由根號的性質(zhì)得到，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)解不等式即可得解.【詳解】要使有意義，則，即，由三角函數(shù)的性質(zhì)可得，所以的定義域為.故選：A.18.《九章算術》是我國數(shù)學歷史上的經(jīng)典名著，書中記載了底面為梯形的直棱柱體積的算法：并上下廣而半之，以高若深乘之，又以袤乘之，即積尺．即：將直棱柱底面梯形上下底（古謂“上下廣”）和的一半乘以高，再乘以縱向長度（古謂“家”），即為所求直棱柱的體積．若一個底面為等腰梯形的直棱柱形城墻，梯形的下底長4丈，上底長2丈，縱向長126丈5尺（注：1丈等于10尺），該城墻的體積為1897500立方尺，則該城墻的高為（）A.2.5丈 B.4丈 C.5丈 D.6丈【答案】C【解析】【分析】根題題意，結(jié)合丈尺的轉(zhuǎn)化得到關于該城墻的高的方程，解之即可得解.【詳解】依題意，設該城墻的高為，又4丈等于40尺，2丈等于20尺，126丈5尺等于1265尺，所以該城墻的體積為，解得尺，即5丈.故選：C.第Ⅱ卷（非選擇題共80分）三、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.19._______【答案】【解析】【分析】利用兩角和的正弦公式計算求解.【詳解】.故答案為：.20.如圖為圓柱與圓錐的組合體，已知圓柱與圓錐的底面半徑都為1，高分別為2和，則此組合體的表面積為_________．【答案】【解析】【分析】利用圓柱與圓錐的表面積公式即可得解.【詳解】依題意，設圓柱與圓錐的母線分別為，高分別為，半徑為，則，，，所以該組合體的表面積為.故答案為：.21.設雙曲線的焦距為12，則此雙曲線的離心率為_________．【答案】【解析】【分析】先利用雙曲線的關系與焦距求得，進而得到該雙曲線的離心率，從而得解.【詳解】因為雙曲線的焦距為12，所以，則，又，所以，解得，則，得，所以此雙曲線的離心率為.故答案為：.22.若函數(shù)值域為．則實數(shù)a的取值范圍為_________．【答案】【解析】【分析】分析二次函數(shù)的大致圖象，再數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】因為的對稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，在0,+∞上單調(diào)遞增，又，，令，得，解得或，所以的大致圖象如圖，結(jié)合圖象可知，，則實數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.23.諾沃爾在1740年發(fā)現(xiàn)了一顆彗星，并推算出在1823年、1906年、1989年、……人類都可以看到這顆彗星，即該彗星每隔83年出現(xiàn)一次．則從2024年到3000年之間人類可以看到這顆彗星的次數(shù)為_________次．【答案】12【解析】【分析】根據(jù)題意，得出一個等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列求解次數(shù)即可.【詳解】由題意可知：彗星出現(xiàn)的年份構(gòu)成一個公差為，首項為的等差數(shù)列，所以，令，即，解得，又，所以，所以從2024年開始到年，人類可以看到這顆彗星的次數(shù)為次.故答案為：.24.某年級共有4個班，每個班男女比例均為，現(xiàn)從每個班隨機抽取一位同學參加座談會，則抽到的4位同學中，恰好為兩男兩女的概率是_________．【答案】【解析】【分析】先求得每班抽取一位同學，該同學為男同學的概率，假設4個班抽到的男同學個數(shù)為，判斷得，從而利用二項分布的概率公式即可得解.【詳解】因為每個班男女比例均為，所以每班抽取一位同學，該同學為男同學的概率為，為女同學的概率為，設從每個班隨機抽取一位同學，4個班抽到的男同學個數(shù)為，則，所以抽到的4位同學中，恰好為兩男兩女的概率.故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，25-28小題每小題8分，29~30小題每小題9分，共50分．解答應寫出過程或步驟．25.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求；（2）求AB邊上的高．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角形面積公式代入計算即可.（2）先由余弦定理求解邊c，再由面積相等即可求解高.【小問1詳解】.【小問2詳解】由余弦定理可得，，所以,設邊上的高為則：，解得，即：邊上的高是.26.已知函數(shù)．（1）求；（2）解不等式．【答案】（1）19（2）【解析】【分析】（1）將代入函數(shù)解析式求解即可.（2）先判斷出的單調(diào)性，再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解不等式即可.【小問1詳解】因為函數(shù)，所以.【小問2詳解】函數(shù)的定義域為，令，所以，因為，所以，因為，所以，所以，所以，即，所以函數(shù)在內(nèi)為增函數(shù)，因為，所以，即，所以，解得或，因為，所以，即解得，所以不等式的解集為.27.在國際志愿者日（12月5日）即將到來之際，某校于11月5日舉辦“志愿者活動月”啟動儀式．高一年級200名學生積極響應學校倡議，利用課余及節(jié)假日時間參加志愿者活動，他們這一個月參加志愿者活動次數(shù)統(tǒng)計如圖所示．（1）求該校高一年級學生參加志愿者活動的平均次數(shù)；（2）在這200名學生中隨機抽取2名學生，求他們參加志愿者活動次數(shù)恰好相差1次的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由圖中的數(shù)據(jù)，根據(jù)平均數(shù)的求法，計算即可.（2）先求出其中名學生參加次，另一名參加次的事件數(shù)；再求出其中名學生參加次，另一名參加次的事件數(shù)；最后由古典概型的概率公式計算即可.【小問1詳解】由圖中數(shù)據(jù)可知，參加活動次、次和次的學生人數(shù)分別是；所以該校高一年級學生參加志愿者活動的平均次數(shù)為【小問2詳解】在這200名學生中隨機抽取2名學生，他們參加志愿者活動次數(shù)恰好相差1次；即抽出的2名學生其中名學生參加次，另一名參加次；或抽出的2名學生其中名學生參加次，另一名參加次；其中名學生參加次，另一名參加次的事件數(shù)為，其中名學生參加次，另一名參加次的事件數(shù)為，所以他們參加志愿者活動次數(shù)恰好相差1次的概率.28.已知數(shù)列為等比數(shù)列，．（1）求的值；（2）求．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）利用等比數(shù)列的通項公式即可得解；（2）利用（1）中結(jié)論得到，，分類討論的值，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式即可得解.【小問1詳解】因為數(shù)列為等比數(shù)列，，設其公比為，則，則，所以.【小問2詳解】由（1）得，，，，當時，；當時，；綜上，當時，；當時，.29.已知正方體棱長為1，點E，F(xiàn)，G分別為和的中點．（1）證明：平面平面；（2）求點C到平面的距離．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用中位線定理、平行四邊形的性質(zhì)與平行線的傳遞性，結(jié)合線面平行與面面平行的判定定理即可得證；（2）利用棱錐的體積公式，結(jié)合等體積法即可得解.【小問1詳解】連接，如圖，因為點E，F(xiàn)，G分別為和的中點，所以，因為在正方體中，，所以四邊形是平行四邊形，則，所以，同理，，因為平面，平面，所以平面，同理，平面，又平面，所以平面平面.【小問2詳解】因為正方體棱長為1，所以，，則是邊長為的等邊三角形，其高為，所以，設點C到平面的距離為，則由，得，解得.所以點C到平面的距離為.30.已知拋物線的準線為.（1）求拋物線C的標準方程及焦點F的坐標；（2）設O為坐標原點，點A是拋物線C上異于O的一點，直線AO與準線交于點P，過點P作平行于y軸的直線交C于點B，證明：A、F、B三點共線.【答案】（1）拋物線C的標準方程為，焦點F的坐標為