13.2.6斜邊直角邊（難點練）一、單選題1．（2019·浙江杭州·八年級期末）已知的周長相等，現有兩個判斷：①若，則；②若，，則，對于上述的兩個判斷，下列說法正確的是（）A．①，②都正確 B．①，②都錯誤C．①錯誤，②正確 D．①正確，②錯誤【答案】A【分析】根據即可推出△△，判斷①正確；根據相似三角形的性質和判定和全等三角形的判定推出即可．【詳解】解：①△，△的周長相等，，，，△△，①正確；②如圖，延長到，使，，延長到，使，∴，，∵的周長相等，∴，在△和△中，∴△△（SAS）∴，∵，∴，，又∵，，∴，在△和△中，△△（AAS），②正確；綜上所述：①，②都正確．故選：A．【點睛】本題考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性質，能構造全等三角形、綜合運用定理進行推理是解此題的關鍵，注意：全等三角形的判定定理有，，，，而和不能判斷兩三角形全等．2．（2019·浙江杭州·）如圖，中，，的角平分線、相交于點，過作交的延長線于點，交于點，則下列結論：①；②；③；④四邊形，其中正確的個數是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根據三角形全等的判定和性質以及三角形內角和定理逐一分析判斷即可．【詳解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°∵AD、BE分別平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD=，∠ABE=∴∠BAD+∠ABE=∴∠APB=180°-（∠BAD+∠ABE）=135°，故①正確；∴∠BPD=45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB=90°+45°=135°∴∠APB=∠FPB又∵∠ABP=∠FBPBP=BP∴△ABP≌△FBP（ASA）∴∠BAP=∠BFP，AB=AB，PA=PF，故②正確；在△APH與△FPD中∵∠APH=∠FPD=90°∠PAH=∠BAP=∠BFPPA=PF∴△APH≌△FPD（ASA），∴AH=FD，又∵AB=FB∴AB=FD+BD=AH+BD，故③正確；連接HD，ED，∵△APH≌△FPD，△ABP≌△FBP∴，，PH=PD，∵∠HPD=90°，∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD∴HD∥EP，∴∵故④錯誤，∴正確的有①②③，故答案為：B．【點睛】本題考查了三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL，注意AAA和SAS不能判定兩個三角形全等．3．（2021·河南浉河·八年級期末）如圖，在的網格中，每一個小正方形的邊長都是1，點，，，都在格點上，連接，相交于，那么的大小是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】取格點，連接，先證明，得出，再證明得出，最后證明是等腰直角三角形，得出，從而得出即可．【詳解】解：取格點，連接，由已知條件可知：，∴，∴，同理可得：，∴，∴，∴，∵，∴,∴,∴是等腰直角三角形，∴,即，故選：．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，平行線的判定與性質，所求角轉換成容易求出度數的角，合理的添加輔助線是解決本題的關鍵．4．（2020·浙江義烏·八年級期末）如圖，、是的角平分線，、相交于點F，已知，則下列說法中正確的個數是（）①；②；③；④．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】當AF=FC、△AEF≌△CDF時，需要滿足條件∠BAC=∠BCA，據此可判斷①②；在AC上取AG=AE，連接FG，即可證得△AEG≌△AGF，得∠AFE=∠AFG；再證得∠CFG=∠CFD，則根據全等三角形的判定方法AAS即可證△GFC≌△DFC，可得DC=GC，即可得結論，據此可判斷③④．【詳解】解：①假設AF=FC．則∠1=∠4．∵AD、CE是△ABC的角平分線，∴∠BAC=2∠1，∠BCA=2∠4，∴∠BAC=∠BCA．∴當∠BAC≠∠BCA時，該結論不成立；故①不一定正確；②假設△AEF≌△CDF，則∠2=∠3．同①，當∠BAC=∠BCA時，該結論成立，∴當∠BAC≠∠BCA時，該結論不成立；故②不一定正確；③如圖，在AC上取AG=AE，連接FG，∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，在△AEF與△AGF中，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴∠AFE=∠AFG；∵AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，∴∠4+∠1=∠ACB+∠BAC=（∠ACB+∠BAC）=（180°-∠B）=60°，則∠AFC=180°-（∠4+∠1）=120°；∴∠AFC=∠DFE=120°，∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°，則∠CFG=60°，∴∠CFD=∠CFG，在△GFC與△DFC中，，∴△GFC≌△DFC（ASA），∴DC=GC，∵AC=AG+GC，∴AC=AE+CD．故③正確；④由③知，∠AFC=180°-∠ECA-∠DAC=120°，即∠AFC=120°；故④正確；綜上所述，正確的結論有2個．故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質．在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．二、填空題5．（2020·浙江八年級期末）如圖為的角平分線，且，E為延長線上一點，，過E作于F，下列結論：①；②；③；④．其中正確的是________．【答案】①②④【分析】根據SAS易證△ABD≌△EBC，可得∠BCE=∠BDA，AD=EC可得①②正確；再判斷AB∥CE，可得③錯誤；判斷出Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），得出BG=BF，進而判斷出Rt△CEG≌Rt△AEF，即可判斷出④正確．【詳解】解：①∵BD為△ABC的角平分線，∴∠ABD=∠CBD，又∵BD=BC，BD=BC，∴△ABD≌△EBC（SAS），即①正確；②∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE=∠BDA，∴∠BCE+∠BDC=∠BDA+∠BDC=180°，即②正確；③根據已知條件，可得不一定成立，故③錯誤；④如圖，過作于點，是上的點，，在Rt△BEG和Rt△BEF中，，∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），，在Rt△CEG和Rt△AFE中，，∴Rt△CEG≌Rt△AFE（HL），，，即④正確．故答案為：①②④．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的對應邊、對應角相等的性質，本題中熟練求證三角形全等和熟練運用全等三角形對應角、對應邊相等性質是解題的關鍵．6．（2020·沙洋縣紀山中學八年級月考）如圖，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于點H，連接CH，則∠CHE=_______．【答案】65°【分析】先判斷出，再判斷出即可得到平分，即可得出結論．【詳解】解：如圖，，，在和中，；過點作于，于，，，在和中，，，在與中，，平分；，，，，，，故答案為：．【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質以及角平分線的定義．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用．7．（2020·浙江）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，點，點Q在x軸的負半軸上，且分別以、為腰，點C為直角項點在第一、第二象限作等腰、等腰，連接交y軸于P點，則的值為__________．【答案】7．【分析】先過N作NH∥CM，交y軸于H，再△HCN≌△QAC（ASA），得出CH＝AQ，HN＝QC，然后根據點C（0，4），S△CQA＝12，求得AQ＝6，最后判定△PNH≌△PMC（AAS），得出CP＝PH＝CH＝3，即可求得OP．【詳解】解：過N作NH∥CM，交y軸于H，則∠CNH+∠MCN＝180°，∵等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，∴∠MCQ+∠ACN＝180°，∴∠ACQ+∠MCN＝360°﹣180°＝180°，∴∠CNH＝∠ACQ，又∵∠HCN+∠ACO＝90°，∠QAC+∠ACO＝90°，∴∠HCN＝∠QAC，在△HCN和△QAC中，，∴△HCN≌△QAC（ASA），∴CH＝AQ，HN＝QC，∵QC＝MC，∴HN＝CM，∵點C（0，4），S△CQA＝12，∴×AQ×CO＝12，即×AQ×4＝12，∴AQ＝6，∴CH＝6，∵NH∥CM，∴∠PNH＝∠PMC，∴在△PNH和△PMC中，，∴△PNH≌△PMC（AAS），∴CP＝PH＝CH＝3，又∵CO＝4，∴OP＝3+4＝7；故答案為：7．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，三角形的面積計算以及等腰直角三角形的性質的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造全等三角形，根據全等三角形的對應邊相等進行推導計算．三、解答題9．（2021·云南文山·）在中，，，點D為直線BC上的一個動點（不與B、C重合），連結AD，將線段AD繞點D按順時針方向旋轉90°，使點A旋轉到點E，連結EC．（1）如果點D在線段BC上運動，如圖1：求證：（2）如果點D在線段BC上運動，請寫出AC與CE的位置關系．通過觀察、交流，小明形成了以下的解題思路：過點E作交直線BC于F，如圖2所示，通過證明，可推證等腰直角三角形，從而得出AC與CE的位置關系，請你寫出證明過程．（3）如果點D在線段CB的延長線上運動，利用圖3畫圖分析，（2）中的結論是否仍然成若成立，請證明；若不成立，請說明理由．【答案】（1）見解析；（2）垂直，理由見解析；（3）成立，證明見解析【分析】（1）根據直角三角形的性質證明即可；（2）過點E作交直線BC于F，如圖2所示，通過證明，可推證等腰直角三角形，從而得出AC與CE的位置關系；（3）如圖3所示，過點E作于F，證明，進一步可證明【詳解】解：（1）證明：∵∴∵∴∴（2）垂直∵∴∵∴在和中∴∴，∵∴，∴即．∴又∵∴，且∴即．（3）（2）中的結論仍然成立如圖3所示，過點E作于F∵∴在和中∴∴，∴即∴∴∴∴．【點睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，證明是解本題的關鍵．10．（2020·安徽相山·八年級月考）如圖，在中，點M是邊上一動點（不與B，C重合），點N是邊的中點，于點F，于點E，．（1）如圖1，當點N，M重合時，和的數量關系是________；和的位置關系是_________；（2）如圖2，當點N不與點M重合時，延長交于點P，則的面積與的面積的關系為____________，請說明理由；（3）如圖3，當點M在的延長線上時，延長交于點P，（2）中的結論是否仍然成立？請畫出并證明．【答案】（1）ME=MF，CF∥BE；（2），證明見解析；（3）成立，證明見解析．【分析】（1）證明△CMF≌△BME可得ME=MF，根據內錯角相等兩直線平行可得CF∥BE；（2）證明△CFN≌△BPN（AAS），可得FN=NP，根據三角形中線平分三角形的面積可得；（3）證明△CPN≌△BEN，可得PN=NE，根據三角形中線平分三角形的面積可得．【詳解】解：（1）當N，M重合時，BM=MC，∵于點F，于點E，∴∠CFE=∠BEF=90°，∴CF∥BE，∵∠CMF=∠BME，∴△CMF≌△BME（AAS）∴ME=MF，故答案為：ME=MF，CF∥BE；（2）∵于點F，于點E，∴∠CFE=∠BEF=90°，∴CF∥BE，∴∠CFN=∠BPN，∠CBE=∠BCF，∵N為BC的中點，∴BN=NC，∴△CFN≌△BPN（AAS），∴FN=NP，∴；（3）成立，如下圖，∵于點F，于點E，∴∠CFE=∠BEM=90°，∴CF∥BE，∴∠P=∠BEP，∠PCB=∠EBC，∵N為BC的中點，∴BN=NC，∴△CPN≌△BEN（AAS），∴PN=NE，∴．【點睛】本題考查全等三角形的性質和判斷，平行線的性質和判斷，三角形中線有關的面積證明．（2）（3）中理解三角形中線平分三角形面積是解題關鍵．11．（2021·全國八年級期中）如圖1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，點D在AB邊的延長線上，且CD＝AB．（1）求BD的長度；（2）如圖2，將△ACD繞點C逆時針旋轉α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'．①若α＝30°，A'D'與CD相交于點E，求DE的長度；②連接A'D、BD'，若旋轉過程中A'D＝BD'時，求滿足條件的α的度數．（3）如圖3，將△ACD繞點C逆時針旋轉α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'，若點M為AC的中點，點N為線段A'D'上任意一點，直接寫出旋轉過程中線段MN長度的取值范圍．【答案】（1）3﹣3；（2）①6﹣2；②45°或225°；（3）3﹣3≤MN≤6＋3【分析】（1）過點C作CH⊥AB于H，由等腰直角三角形的性質可得CH＝BH＝AB，由勾股定理求出DH，則可求出答案；（2）①由旋轉的性質可得CD＝CD'＝，∠DCD'＝30°＝∠CDA＝∠CD'A'，由等腰三角形的性質和直角三角形的性質可得CF＝D'F＝3，EF＝，CE＝2EF＝2，即可求解；②分兩種情況討論，由“SSS”可證△A'CD≌△BCD'，可得∠A'CD＝∠BCD'，即可求解；（3）當A'D'⊥AC時，N是AC與A'D'的交點時，MN的長度最小，當A'D'⊥AC時，N是AC與A'D'的交點時，MN的長度最小，即可求解．【詳解】解：（1）如圖1，過點C作CH⊥AB于H，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，CH⊥AB，∴AB＝CD＝6，CH＝BH＝AB＝3，∠CAB＝∠CBA＝45°，∴DH＝，∴BD＝DH﹣BH＝3﹣3；（2）①如圖2，過點E作EF⊥CD'于F，∵將△ACD繞點C逆時針旋轉α（0°＜α＜360°）得到△A′CD′，∴CD＝CD'＝6，∵圖1中CD=2CH，∴∠DCD'＝30°＝∠CDA＝∠CD'A'，∴CE＝D'E，又∵EF⊥CD'，∴CF＝D'F＝3，EF＝，CE＝2EF＝2，∴DE＝DC﹣CE＝6﹣2；②如圖2﹣1，∵∠ABC＝45°，∠ADC＝30°，∴∠BCD＝15°，∴∠ACD＝105°，∵將△ACD繞點C逆時針旋轉α（0°＜α＜360°）得到△A′CD′，∴AC＝A'C，CD＝CD'，∠ACA'＝∠DCD'＝α，∴CB＝CA'，又∵A′D＝BD′，∴△A'CD≌△BCD'（SSS），∴∠A'CD＝∠BCD'，∴105°﹣α＝15°＋α，∴α＝45°；如圖2﹣2，同理可證：△A'CD≌△BCD'，∴∠A'CD＝∠BCD'，∴α﹣105°＝360°﹣α﹣15°，∴α＝225°，綜上所述：滿足條件的α的度數為45°或225°；（3）如圖3，當A'D'⊥AC時，N是AC與A'D'的交點時，MN的長度最小，∵∠A'＝45°，A'D'⊥AC，∴∠A'＝∠NCA'＝45°，∴CN＝A'N＝3，∵點M為AC的中點，∴CM＝AC＝3，∴MN的最小值＝NC﹣CM＝3﹣3；如圖4，當點A，點C，點D'共線，且點N與點D'重合時，MN有最大值，此時MN＝CM＋CN＝6＋3，∴線段MN的取值范圍是3﹣3≤MN≤6＋3．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質、勾股定理、等腰直角三角形的性質、旋轉的性質及二次根式的性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質、勾股定理、等腰直角三角形的性質、旋轉的性質及二次根式的性質是解題的關鍵．12．（2021·全國）如圖1，在四邊形ABDC中，，，，，E是AC上一點，F是AB延長線上一點，且．（1）求證：．（2）在圖1中，若G在AB上且，試猜想CE、EG、BG之間的數量關系并證明．（3）運用（1）（2）（3）解答中所積累的經驗和知識，完成下題：如圖2，在四邊形ABCD中，，，E在AB上，，且，若，，求BE的長．（用含a，b的代數式表示，可能用到直角三角形中，30°所對的邊等于斜邊的一半）．【答案】（1）證明見解析；（2）；證明見解析；（3）．【分析】（1）根據已知推出，根據證明，即可得出結論；（2）連接，根據證，可得，根據可證，推出即可得出結論；（3）過C作交的延長線于M，根據全等三角形的性質得出，由（1）（2）可知，分別用含a，b的代數式表示，，最后代入即可得出結論．【詳解】（1）∵，，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴．（2）如圖，連接，在和中，，∴，∴∵，∴，，∵，∴，在和中，∴，∴，∴，∵，∴．（3）如圖，過作交的延長線于，在和中，∴，∴，，由（1）（2）可知：，∵，，，∴，又∵，∴，∴，即．【點睛】本題考查了三角形全等的性質與判定綜合．（1）解題的關鍵是證明全等三角所需對應角相等；（2）證明兩線段和等于一條線段時，通常將兩條線段轉移到同一條已知線段中，再證明已知線段與求和后的線段相等即可；（3）解題關鍵在于構造輔助線證明三角形全等．13．（2021·江蘇東臺·八年級月考）在△ABC中，AB=AC，點D是直線BC上一點（不與B、C重合），以AD為一邊在AD的右側作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，連接CE．（1）如圖1，當點D在線段BC上，如果∠BAC=90°，則∠BCE為多少？說明理由；（2）設∠BAC=α，∠BCE=β．①如圖2，當點D在線段BC上移動，則α，β之間有怎樣的數量關系？請說明理由；②當點D在直線BC上移動，則α，β之間有怎樣的數量關系？請直接寫出你的結論，不需證明．【答案】（1）90°；（2）①α＋β＝180°，理由見詳解；②點D在直線BC上移動，α＋β＝180°或α＝β．【分析】（1）由等腰直角三角形的性質可得∠ABC＝∠ACB＝45°，由“SAS”可證△BAD≌△CAE，可得∠ABC＝∠ACE＝45°，可求∠BCE的度數；（2）①由“SAS”可證△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的內角和即可得出結論；②分兩種情況畫出圖形，由“SAS”可證△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的內角和即可得出結論．【詳解】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）∴∠ABC＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝90°；（2）①α＋β＝180°，理由：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC?∠DAC＝∠DAE?∠DAC．即∠BAD＝∠CAE．在△ABD與△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE．∴∠B＋∠ACB＝∠ACE＋∠ACB．∵∠ACE＋∠ACB＝β，∴∠B＋∠ACB＝β，∵α＋∠B＋∠ACB＝180°，∴α＋β＝180°；②如圖1：當點D在射線BC上時，α＋β＝180°，連接CE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，在△ABC中，∠BAC＋∠B＋∠ACB＝180°，∴∠BAC＋∠ACE＋∠ACB＝∠BAC＋∠BCE＝180°，即：∠BCE＋∠BAC＝180°，∴α＋β＝180°，如圖2：當點D在射線BC的反向延長線上時，α＝β．連接BE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∴∠ABD＝∠ACE＝∠ACB＋∠BCE，∴∠ABD＋∠ABC＝∠ACE＋∠ABC＝∠ACB＋∠BCE＋∠ABC＝180°，∵∠BAC＝180°?∠ABC?∠ACB，∴∠BAC＝∠BCE．∴α＝β；綜上所述：點D在直線BC上移動，α＋β＝180°或α＝β．【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質，三角形的內角和定理，證明△ABD≌△ACE是解本題的關鍵．14．（2020·安徽肥東·八年級期末）如圖，已知中，，點為的中點．如果點在線段上以的速度由點向點運動，同時，點在線段上由點向點運動，設點運動的時間為．（1）用含的式子表示的長為；（2）若點的運動速度與點的運動速度相等，經過秒后，與是否全等？請說明理由；（3）若點的運動速度與點的運動速度不相等，當點的運動速度為多少時，能夠使與全等？【答案】（1）8-3t；（2）全等，理由見解析；（3）cm/s【分析】（1）由運動知，BP=3t，即可得出結論；（2）先求出BP=3，CP=5，CQ=3，得出BP=CQ，再判斷出CP=BD，即可得出結論；（3）分兩種情況，利用全等三角形的對應邊相等建立方程求解即可得出結論．【詳解】解：（1）由運動知，BP=3t，∵BC=8，∴PC=BC-BP=8-3t；（2）全等，理由：當t=1時，BP=3，CP=5，CQ=3，∴BP=CQ，∵點D是AB的中點，∴BD=AB=5，∴CP=BD，在△BPD和△CQP中，，∴△BPD≌△CQP（SAS）；（3）∵BP=3t，CP=8-3t，設點Q的運動速度為xcm/s，∴CQ=xt，當△BPD≌△CQP時，∴BP=CQ，∴3t=xt，∴x=3（不符合題意），當△BPD≌△CPQ時，∴BP=CP，BD=CQ，∴3t=8-3t，5=xt，∴t=，x=，∴點Q的運動速度為cm/s時，能使△BPD與△CQP全等．【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質，中點的定義，用方程的思想解決問題是解本題的關鍵．15．（2020·平山縣外國語中學八年級期末）已知：在中，，，是過點的一條直線，且于，于．（1）當直線處于如圖①的位置時，有，請說明理由；（2）當直線處于如圖②的位置時，則、、的關系如何？請說明理由．【答案】（1）見解析；（2）BD=DE-CE，理由見解析【分析】（1）根據直角三角形的性質得到∠1=∠2，證明△ABD≌△CAE，根據全等三角形的性質證明；（2）利用與（1）相同的證明方法證明即可．【詳解】解：證明：（1）∵∠BAC=90°，∴∠2+∠3=90°，∵BD⊥AE，∴∠1+∠3=90°，∴∠1=∠2，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE，∴BD=AE，AD=CE，∵AE=AD+DE，∴BD=DE+CE；（2）BD=DE-CE，理由如下：∵∠BAC=90°，∴∠2+∠3=90°，∵BD⊥AE，∴∠1+∠3=90°，∴∠1=∠2，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE，∴BD=AE，AD=CE，∵AE=DE-AD，∴BD=DE-CE．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質，掌握全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．16．（2020·浙江八年級單元測試）在中，，直線經過點C，且于D，于E，（1）當直線繞點C旋轉到圖1的位置時，顯然有：（不必證明）；（2）當直線繞點C旋轉到圖2的位置時，求證：；（3）當直線MN繞點C旋轉到圖3的位置時，試問、、具有怎樣的等量關系？請直接寫出這個等量關系．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）DE=BE-AD【分析】（1）由于△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，由此即可證明△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性質即可解決問題；（2）由于△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，由此仍然可以證明△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性質也可以解決問題；（3）當直線MN繞點C旋轉到圖（3）的位置時，仍然△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性質可以得到DE=BE-AD．【詳解】解：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，又直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°∴∠ACD+∠DAC=90°，∴∠BCE=∠DAC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CD=BE，CE=AD，∴DE=CD+CE=AD+BE；（2）∵△ABC中，∠ACB=90°，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD+∠BCE=∠BCE+∠CBE=90°，而AC=BC，∴△ADC≌△CEB，∴CD=BE，CE=AD，∴DE=CE-CD=AD-BE；（3）如圖3，∵△ABC中，∠ACB=90°，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD+∠BCE=∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE，∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB，∴CD=BE，CE=AD，∴DE=CD-CE=BE-AD；DE、AD、BE之間的關系為DE=BE-AD．【點睛】此題需要考查了全等三角形的判定與性質，也利用了直角三角形的性質，是一個探究性題目，對于學生的能力要求比較高．17．（2021·全國）如圖，在中，，點P為邊上的一點，將線段繞點A順時針方向旋轉（點P對應點）．當旋轉至時，點恰好在同一直線上，此時作于點E．（1）求證：；（2）若，求的面積；（3）在（2）的條件下，點N為邊上一動點，點M為邊上一個動點，連接，求的最小值．【答案】（1）見解析；（2）9；（3）4.8【分析】（1）根據旋轉的性質可得，根據等邊對等角的性質可得，再根據等角的余角相等證明即可；（2）過點作于，根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得，然后求出，利用“角角邊”證明和△全等，根據全等三角形對應邊相等可得，然后求得PC的長，再根據三角形面積公式計算即可；（3）過D作DH⊥BC，交BP于M，交BC于H，此時H點即為N點，連接CM，再由等積法即可求出DN，即為MC+MN的最小值．【詳解】解：（1）證明：是旋轉得到，，，，，，，又；（2）如圖，過點作于，又，，，，，又，，在和△中，，△，，，，，，，設，則，，在中，，解得，，∴△PBC的面積==9；（3）∵BP平分∠ABC，且PD⊥AB，∴點D為C點關于BP的對稱點，連接CD，過D作DH⊥BC，交BP于M，交BC于H，此時H點即為N點，連接CM，∴CM=DM，MC+MN=MN+MD=DN，由等面積法得：，∴，即，∴，∴，∴．【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定與性質，旋轉的性質，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，勾股定理，（2）作輔助線構造出過渡線段DP并得到全等三角形是解題的關鍵．18．（2021·全國八年級專題練習）在中，，，為直線上一點，連接，過點作交于點，交于點，在直線上截取，連接．（1）當點，都在線段上時，如圖①，求證：；（2）當點在線段的延長線上，點在線段的延長線上時，如圖②；當點在線段的延長線上，點在線段的延長線上時，如圖③，直接寫出線段，，之間的數量關系，不需要證明．【答案】（1）見解析；（2）圖②：；圖③：【分析】（1）過點作交的延長線于點．證明，根據全等三角形的性質可得，．再證，由此即可證得結論；（2）圖②：，類比（1）中的方法證明即可；圖③：，類比（1）中的方法證明即可．【詳解】（1）證明：如圖，過點作交的延長線于點．∴．∵，∴，．∵，∴．∴．在和中，∴．∴，．∵，，∴．∴．∴．∵，，∴．在和中，∴．∴．∵，∴．（2）圖②：．證明：過點作交于點．∴．∵，∴，．∵，∴．∴．在和中，∴．∴，．∵，，∴．∴，∵∴．∴．∵，，∴．在和中，∴．∴．∵，∴．圖③：．證明：如圖，過點作交的延長線于點．∴．∵，∴，．∵，∴．∴．在和中，∴．∴，．∵，，∴．∴．∴．∵，，∴．在和中，∴．∴．∵，∴．【點睛】本題是全等三角形的綜合題，正確作出輔助線，構造全等三角形是解決問題的關鍵．19．（2021·全國）定義：若一個三角形中，其中有一個內角是另外一個內角的一半，則這樣的三角形叫做“半角三角形”．例如：等腰直角三角形就是“半角三角形”．在鈍角三角形中，，，，過點的直線交邊于點．點在直線上，且．

（1）如圖1，若，，點在延長線上，圖中是否存在“半角三角形”（除外），若存在，請寫出圖中的“半角三角形”，并證明；若不存在，請說明理由；（2）如圖2，若，保持的度數與（1）中的結論相同，請直接寫出，，滿足的數量關系．【答案】（1）存在，“半角三角形”為，證明見解析；（2）或【分析】（1）延長到，使得，根據邊角關系證出，得出，即可證明為“半角三角形”．（2）由（1）可知，，延長到點，使得，連接BF，構造全等三角形△≌△，進而可得出.因為，所以以為圓心，長為半徑作圓與直線一定有兩個交點，當第一種情況成立時，必定存在一個與它互補的，所以可得出另外一種情況.【詳解】（1）存在，“半角三角形”為，證明：延長到，使得，連接．，，即，在和中，，．，．為“半角三角形”（2）或.①延長到點，使得，連接BF,∵，，∴△≌△.過點分別作于點，于點,可得.∴.②因為，所以以為圓心，長為半徑作圓與直線一定有兩個交點，當第一種情況成立時，必定存在一個與它互補的．可知：.綜上所述，這三個角之間的關系有兩種，或．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質等知識點．正確理解題意，使用分類討論思想是解決本題的關鍵．20．（2021·哈爾濱市第四十七中學八年級開學考試）如圖，己知中，，，分別過、向過的直線作垂線，垂足分別為．（1）如圖1，過的直線與斜邊不相交時，直接寫出線段、、的數量關系是______；（2）如圖2，過的直線與斜邊相交時，探究線段、、的數量關系并加以證明；（3）在（2）的條件下，如圖3，直線交于點，延長交于點，連接、、，若，，，四邊形的面積是90，求的面積．【答案】（1）數量關系為：EF=BE+CF；（2）數量關系為：EF=BE-CF．證明見詳解；（3）S△GHC=15．【分析】（1）數量關系為：EF=BE+CF．利用一線三直角得到∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠FAC，再證△EBA≌△FEC（AAS）可得BE=AF，AE=CF即可；（2）數量關系為：EF=BE-CF．先證∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∠EAB+∠FAC==90°，可得∠EBA=∠FAC，再證△EBA≌△FEC（AAS），可得BE=AF，AE=CF即可；（3）先由（2）結論EF=BE-CF；，求出BE=AF=12，由，可求FH=2，EH=4，利用對角線垂直的四邊形面積可求BG=，再求EG=3，AH=10，分別求出S△ACF=，S△HCF=，S△AGH=，利用面積差即可求出．【詳解】解：（1）數量關系為：EF=BE+CF．∵BE⊥EF，CF⊥EF，∠BAC=90°，∴∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∠EAB+∠FAC=180°-∠BAC=90°，∴∠EBA=∠FAC，在△EBA和△FEC中，∵，∴△EBA≌△FAC（AAS），∴BE=AF，AE=CF，∴EF=AF+AE=BE+CF；（2）數量關系為：EF=BE-CF．∵BE⊥AF，CF⊥AF，∠BAC=90°，∴∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∠EAB+∠FAC==90°，∴∠EBA=∠FAC，在△EBA和△FEC中，∵，∴△EBA≌△FAC（AAS），∴BE=AF，AE=CF，∴EF=AF-AE=BE-CF；（3）∵EF=BE-CF；，∴BE=AF=EF+CF=6+6=12，∵，EH+FH=EF=6，∴2FH+FH=6，解得FH=2，∴EH=2FH=4，S四邊形ABFG==90，∴BG=，∴EG=BG-BE=15-12=3，AH=AE+EH=6+4=10，∵S△ACF=，S△HCF=，S△AGH=，∴S△GHC=S△ACF-S△HCF-S△AGH=36-6-15=15．【點睛】本題考查圖形變換探究線段和差問題，感知，探究以及應用，三角形全等判定與性質，三角形面積，四邊形面積，與三角形高有關的計算，掌握圖形變換探究線段和差問題，感知，探究以及應用，三角形全等判定與性質，三角形面積，四邊形面積，與三角形高有關的計算是解題關鍵．21．（2021·全國八年級課時練習）已知在中，點M為的中點，直線m繞點A旋轉，過點B，M，C分別作于點D，于點E，于點F．當直線m經過點B時，如圖1，可以得到（可以當作已知應用）．（1）當直線m不經過B點，旋轉到如圖2，圖3的位置時，線段之間有怎樣的數量關系，請直接寫出你的猜想．圖2，猜想：___________________；圖3，猜想：___________________；（2）選擇第（1）問中任意一種猜想加以證明．【答案】（1），；（2）證明見解析；【分析】（1）根據題意可以寫出圖2和圖3的猜想，從而本題得以解決；

（2）對于圖2和圖3的猜想可以畫出相應的圖形，利用圖1的結論可以推導出圖2和3猜想，并寫出證明過程．【詳解】（1）圖2的猜想為：，圖3的猜想為；，（2）圖2的猜想證明：如圖2，連接并延長交的延長線于點K，∵，∴，∴，又∵M為的中點，∴，在和中，∴，∴，由（1）知：，∴；驗證圖3的猜想：如圖3，連接并延長交于點K，∵，∴，∴，又∵M為的中點，∴，在和中，∴，∴，由（1）知：，∴．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是利用數形結合的思想、找出所求問題需要的條件．22．（2021·長沙市北雅中學八年級開學考試）在中，點