14.1勾股定理（難點(diǎn)練）一、單選題1．（2021·黑龍江香坊·八年級期末）如圖，以△ABC的邊AB、AC為邊向外作等邊△ABD與等邊△ACE，連接BE交DC于點(diǎn)F，下列結(jié)論：①CD=BE；②FA平分∠DFE；③∠BFC=120°；④．其中正確的有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個2．（2020·浙江浙江·八年級期中）如圖，中，，角平分線交于點(diǎn)交于F，下列結(jié)論：①；②：③若，則．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③3．（2020·湖北新洲·八年級期末）如圖，在中，，，平分交于，于，交的延長線于，連接，給出四個結(jié)論：①；②；③；④；其中正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．（2020·浙江浙江·八年級期末）如圖，已知，線段，點(diǎn)為射線上一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）①當(dāng)，時，可得到形狀唯一確定的；②當(dāng)，時，可得到形狀唯一確定的；③當(dāng)時，在射線上存在三個點(diǎn)使得為等腰三角形；④當(dāng)時，在射線上存在三個點(diǎn)使得為等腰直角三角形．A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④5．（2020·浙江浙江·八年級期末）如圖，在等腰直角三角形中，是斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)分別在直角邊上，且交于點(diǎn)P，有下列結(jié)論：①圖形中全等的三角形只有兩對；②的面積等于四邊形的面積的2倍；③；④．其中正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．（2020·江蘇蘇州·八年級期中）如圖，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，連結(jié)AD，把△ACD沿AD翻折，得到△AD，D與AB交于點(diǎn)E，連結(jié)B，若BD＝B＝2，AD＝3，則點(diǎn)D到A的距離()A． B． C． D．7．（2020·廣東·育才三中八年級期中）如圖，透明的圓柱形玻璃容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為，在容器內(nèi)壁離容器底部的點(diǎn)處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在容器外壁，位于離容器上沿的點(diǎn)處，若螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最短路徑為，則該圓柱底面周長為（）A． B． C． D．8．（2021·江蘇·蘇州科技城外國語學(xué)校八年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，，若將△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ADE，連接BE，則BE的長為（）A． B． C． D．9．（2021·山西運(yùn)城·八年級期中）如圖，在中，，，是斜邊上兩點(diǎn)，且，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°后，得到，連接，下列結(jié)論：①；②；③；④。其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個10．（2019·浙江浙江·八年級期中）在中，，點(diǎn)D為中點(diǎn)，繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，、分別與邊、交于E、F兩點(diǎn)．下列結(jié)論：①；②始終為等腰直角三角形；③；④．其中正確的是（）A．①②③④ B．①④ C．②③ D．①②③11．（2021·浙江浙江·八年級期中）在中，，點(diǎn)D為中點(diǎn)，，繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，分別與邊，交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，下列結(jié)論：①；②；③；④始終為等腰直角三角形，其中正確的是（）A．①②④ B．①②③ C．③④ D．①②③④12．（2021·廣東福田·八年級期中）等邊三角形ABC的邊長為6，點(diǎn)O是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，∠FOG＝120°，∠FOG的兩邊OF，OG與AB，BC分別相交于D，E，∠FOG繞O點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)時，下列四個結(jié)論：①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③S四邊形ODBE＝；④△BDE周長最小值是9．其中正確個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題13．（2020·江蘇·宿遷市鐘吾初級中學(xué)八年級期中）如圖，在銳角△ABC中，AB=2，∠BAD=22.5°．∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M，N分別是AD和AB上的動點(diǎn)，則BM+BN的最小值為____．14．（2021·江西南城·八年級期中）在中，，，，過點(diǎn)的直線把分割成兩個三角形，使其中只有一個是等腰三角形，則_____________________．15．（2020·浙江浙江·八年級期末）如圖，在中，，M是的中點(diǎn)，點(diǎn)D在上，，垂足分別為E，F(xiàn)，連接．則下列結(jié)論中：①；②；③；④；⑤若平分，則；正確的有_____．（只填序號）16．（2020·浙江浙江·八年級期末）如圖，，，，點(diǎn)，為邊上的兩點(diǎn)，且，連接，，則下列結(jié)論正確的是________．①；②為等腰三角形；③；④．17．（2021·重慶江北·八年級期末）如圖，中，點(diǎn)在邊上，，，垂直于的延長線于點(diǎn)，，，則邊的長為______．18．（2021·陜西渭濱·八年級期末）如圖△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，D、E為BC上兩點(diǎn)，且∠DAE＝45°，那么BD、CE、DE之間滿足的關(guān)系式是________．19．（2020·江蘇·泰興市洋思中學(xué)八年級期中）如圖，四邊形ABCD中，AC、BD是對角線，是等邊三角形，∠ADC＝30°，AD＝4，BD＝5，則CD的長為______．20．（2021·江蘇江陰·八年級期中）如圖所示，直線，垂足為點(diǎn)O，A、B是直線上的兩點(diǎn)，且OB＝，AB＝1，直線繞點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度為．當(dāng)＝________時，直線上僅存在一點(diǎn)P，使得△BPA是以為頂角的等腰三角形，此時OP＝_________．21．（2021·山西運(yùn)城·八年級期中）如圖，是正內(nèi)一點(diǎn)，，，，將線段以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段，下列結(jié)論：①可以由繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到；②點(diǎn)與距離為4；③；④；⑤．其中正確的結(jié)論是________．三、解答題22．（2021·山東嶗山·八年級期末）[實(shí)際問題]小明家住16樓．一天，他要把一根3米長的竹竿放入電梯帶回家中．如果竹竿做好剛能放入電梯中（如圖①示），那么，電梯的長、寬、高和的最大值是多少米？[類比探究]為了解決這個實(shí)際問題，我們首先探究下面的數(shù)學(xué)問題．探究1：如圖②，在△ABC中，AC⊥BC．若BC=a，AC=b，AB=c，則a+b與c之間有什么數(shù)量關(guān)系？解：在△ABC中，∵AC⊥BC∴BC2+AC2=AB2，即a2+b2=c2∵（a-b）2≥0∴a2+b2-2ab≥0∴a2+b2≥2ab∴c2≥2ab∴c2+a2+b2≥2ab+a2+b2∴2c2≥（a+b）2∵a，b，c均大于0∴a+b與c之間的數(shù)量關(guān)系是a+b≤c．探究2：如圖③，在四邊形ABCD中，AC是對角線，AB⊥BC，AC⊥CD．若AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，則a+b+c與d之間有什么數(shù)量關(guān)系？解：∵AB⊥BC，AC⊥CD∴BC2+AB2=AC2，AC2+CD2=AD2∴a2+b2+c2=d2∵（a-b）2≥0，（a-c）2≥0，（b-c）2≥0∴a2+b2≥2ab，a2+c2≥2ac，b2+c2≥2bc將上面三式相加得，2a2+2b2+2c2≥2ab+2ac+2bc∴2d2≥2ab+2ac+2bc∴2d2+a2+b2+c2≥2ab+2ac+2bc+a2+b2+c2∴____d2≥（a+b+c）2∵a，b，c，d均大于0∴a+b+c與d之間有這樣的數(shù)量關(guān)系：a+b+c≤_________d．探究3：如圖④，仿照上面的方法探究，在五邊形ABCDE中，AC，AD是對角線，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE．若AB=a，BC=b，CD=c，DE=d，AE=e，則a+b+c+d與e之間的數(shù)量關(guān)系是_________．[歸納結(jié)論]當(dāng)a1>0，a2>0，…an>0，m>0時，若a12+a22+…+an2=m2，則a1+a2+…+an，與m之間的數(shù)量關(guān)系是_________．[問題解決]小明家住16樓．一天，他要把一根3米長的竹竿放入電梯帶回家中．如果竹竿恰好剛能放入電梯中（如圖①示），那么，電梯的長、寬、高和的最大值是_________米．[拓展延伸]公園準(zhǔn)備修建一個四邊形水池，邊長分別為a米，b米，c米，d米．分別以水池四邊為邊向外建四個正方形花圃，若花圃面積和為400平方米，則水池的最大周長為_________米．23．（2021·四川新都·八年級期末）如圖1，在等邊的邊和邊上分別取點(diǎn)、，使得，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，得到圖2所示的圖形．（1）求證：≌；（2）如圖3，若，，且旋轉(zhuǎn)角為45°時，求的度數(shù)；（3）如圖4，連接，并延長交于點(diǎn)，若旋轉(zhuǎn)至某一位置時，恰有，，求的值．24．（2021·山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級期末）綜合與實(shí)踐問題情境：數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們以等腰直角三角形為背景探究圖形變化中的數(shù)學(xué)問題．如圖1，將兩張等腰直角三角形紙片重疊擺放在桌面，其中，，，點(diǎn)，在的同側(cè)，點(diǎn)，在線段上，連接并延長交于點(diǎn)，已知．將從圖1中的位置開始，繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)（保持不動），旋轉(zhuǎn)角為．?dāng)?shù)學(xué)思考：（1）“求索小組”的同學(xué)發(fā)現(xiàn)圖1中，請證明這個結(jié)論；操作探究：（2）如圖2，當(dāng)時，“篤行小組”的同學(xué)連接線段，．請從下面A，B兩題中任選一題作答．我選擇________題．A．①猜想，滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②若，請直接寫出時，，兩點(diǎn)間的距離；B．①猜想，滿足的位置關(guān)系，并說明理由；②若，請直接寫出點(diǎn)落在延長線時，，兩點(diǎn)間的距離．25．（2021·廣東南海·八年級期末）如圖，兩個全等的等邊三角形△ABC與△ACD，拼成的四邊形ABCD中，AC＝6，點(diǎn)E、F分別為AB、AD邊上的動點(diǎn)，滿足BE＝AF，連接EF交AC于點(diǎn)G，連接BD與CE、AC、CF分別交于點(diǎn)M、O、N，且AC⊥BD．（1）求證：△CEF是等邊三角形．（2）△AEF的周長最小值是．（3）若BE＝3，求證：BM＝MN＝DN．26．（2021·湖北武漢·八年級期中）如圖，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”．（1）性質(zhì)探究：如圖1．己知四邊形ABCD中，AC⊥BD．垂足為O，求證：AB2+CD2＝AD2+BC2；（2）解決問題：已知AB＝5．BC＝4，分別以△ABC的邊BC和AB向外作等腰Rt△BCE和等腰Rt△ABD；①如圖2，當(dāng)∠ACB＝90°，連接DE，求DE的長；②如圖3．當(dāng)∠ACB≠90°，點(diǎn)G、H分別是AD、AC中點(diǎn)，連接GH．若GH＝2，則S△ABC＝．27．（2021·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)八年級期中）（1）如圖①，點(diǎn)P為直線l上一個動點(diǎn)，點(diǎn)A，B是直線l外同側(cè)的兩個定點(diǎn)，連接PA，PB，AB．若AB＝2，則PA﹣PB的最大值為．（2）如圖②，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，對角線AC⊥BD，垂足為點(diǎn)O，OA＝2OC，點(diǎn)E為OC中點(diǎn)，點(diǎn)F在AB上，且BF＝3AF，點(diǎn)P為BD上一動點(diǎn)，連接PE，PF，若AC＝6，求PF﹣PE的最大值．（3）如圖③，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝150°，點(diǎn)P為平面內(nèi)一動點(diǎn)，連接PA，PB，PC．若PA＝2，求PB﹣PC的最大值．28．（2021·陜西新城·八年級期中）已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)P為射線AD上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合）．連接CP，將線段CP繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CQ，連接QB并延長交直線AD于點(diǎn)E．（1）如圖1．當(dāng)∠DAC＝90°時，試猜想BC與QE的位置關(guān)系，并說明理由．（2）如圖2．當(dāng)∠DAC是銳角時．求∠QEP的度數(shù)．（3）如圖3．當(dāng)∠DAC＝120°，且∠ACP＝15°，點(diǎn)E恰好與點(diǎn)A重合．若AC＝6．求BQ的長．29．（2