第七章平行線的證明7.5三角形內(nèi)角和定理第2課時(shí)1．掌握三角形內(nèi)角和定理的兩個(gè)推理，并能運(yùn)用這些定理解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題．2．經(jīng)歷探索與證明的過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展推理能力．3．在一題多解、一題多變中，積累解決幾何問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，提升解決問(wèn)題的能力．三角形的內(nèi)角和定理及其常見(jiàn)變形是什么?

三角形的內(nèi)角和等于180°.即在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.常見(jiàn)變形：∠A=180°–(∠B+∠C).∠B+∠C=180°-∠A.∠B=180°–(∠A+∠C).∠A+∠C=180°-∠B.∠C=180°–(∠A+∠B).∠A+∠B=180°-∠C.ABC

△ABC內(nèi)角的一條邊與另一條邊的反向延長(zhǎng)線組成的角，稱為△ABC的外角.如圖，∠1是△ABC的∠ABC的外角.

想一想：一個(gè)三角形的外角應(yīng)具備哪些條件呢？1324學(xué)生活動(dòng)一

【一起探究】

三角形的外角應(yīng)具備的條件：

(1)角的頂點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)；(2)角的一邊是三角形的一邊；(3)另一邊是三角形中一邊的延長(zhǎng)線.

問(wèn)題1

如圖，延長(zhǎng)AC到E，延長(zhǎng)BC到D，∠BCE是不是△ABC的一個(gè)外角?∠DCE是不是△ABC的一個(gè)外角?ECBAD

∠BCE是△ABC的一個(gè)外角，∠DCE不是△ABC的外角.學(xué)生活動(dòng)二

【一起探究】

問(wèn)題2

如圖，∠ACD與∠BCE有什么關(guān)系？在三角形的每個(gè)頂點(diǎn)處有多少個(gè)外角？

在三角形每個(gè)頂點(diǎn)處都有兩個(gè)外角.

∠ACD與∠BCE為對(duì)頂角，∠ACD=∠BCE；ECBAD

問(wèn)題3

你能畫出△ABC的所有外角嗎?

每一個(gè)三角形都有6個(gè)外角．

每一個(gè)頂點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的外角都有2個(gè)，且這2個(gè)角為對(duì)頂角.ABC∠1+∠4=180°；∠1>∠2，∠1>∠3；∠1=∠2+∠3.在下圖中，∠1與其他角有什么關(guān)系？能證明你的結(jié)論嗎？學(xué)生活動(dòng)三

【一起探究】

證明:∵∠2+∠3+∠4=180°(三角形內(nèi)角和理)，∠1+∠4=180°(平角的定義)，

∴∠1=∠2+∠3(等量代換).∴∠1>∠2，∠1>∠3(和大于部分).三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.三角形內(nèi)角和定理的推論：

注：由一個(gè)基本事實(shí)或定理直接推出的定理，叫做這個(gè)基本事實(shí)或定理的推論.推論可以當(dāng)做定理使用.例1已知：如圖，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC.

求證：AD∥BC

要證明AD∥BC，只需證明“同位角相等”或“內(nèi)錯(cuò)角相等”或“同旁內(nèi)角互補(bǔ)”.

ACDBE對(duì)于例1，你還有其他證明方法嗎？方法二證明：由例題推理同樣可得:∠DAC=∠C(已證)，∵∠BAC+∠B+∠C=180°(三角形內(nèi)角和定理).∴∠BAC+∠B+∠DAC=180°(等量代換).∴AD∥BC(同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行).ACDBE

證明：∵∠EAC=∠B+∠C(三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和)，∠B=∠C(已知)，∴∠C=∠EAC(等式的性質(zhì)).∵AD平分∠EAC(已知).∴∠DAC=∠EAC(角平分線的定義).∴∠DAC=∠C(等量代換).∴AD∥BC(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行).ACDBE1．如圖，∠1，∠2，∠3是△ABC的三個(gè)外角，那么∠1，∠2，∠3的和是多少度?

解：由三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和得:

∠1=∠ABC+∠ACB，

∠2=∠BAC+∠ACB，

∠3=∠ABC+∠BAC.

又∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°(三角形內(nèi)角和定理)，∴∠1+∠2+∠3=2(∠BAC+∠ABC+∠ACB)=360°(等式的性質(zhì)).例2

已知：如圖，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PB、PC.

求證：∠BPC＞∠A.ABCP

要證明兩個(gè)角的不等關(guān)系，可以利用定理“三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角”.

本題的解題關(guān)鍵是畫出輔助線，找到三角形的外角與和它不相鄰的內(nèi)角的不等關(guān)系.DABCP想一想，你還有其他的證明方法嗎？

證明：如圖，延長(zhǎng)BP，交AC于點(diǎn)D.∵∠BPC是△PDC的一個(gè)外角(外角的定義)，∴∠BPC>∠PDC(三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角).∵∠PDC是△ABD的一個(gè)外角(外角定義)，∴∠PDC>∠A

(三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角).∴∠BPC>∠A(不等式的性質(zhì)).方法二證明：連接AP并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)E.∵∠BPE是△ABP的一個(gè)外角(外角的定義)，∴∠BPE＞∠BAP(三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角).∵∠EPC是△ACP的一個(gè)外角(外角的定義)，∴∠EPC

＞∠PAC(三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角).∴∠BPE+∠EPC

＞∠BAP+∠PAC(不等式的性質(zhì))，即∠BPC

＞∠BAC.ABCPE1．如圖，AB//CD，∠A＝37°，∠C＝63°，那么∠F等于

(

)

A.26°B.63°C.37°D.60°

FABECDA2.如圖，試求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠