突破05平移'旋轉(zhuǎn)'折疊等操作探究問題

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中考解密（分析考察方向，精準(zhǔn)把握重難點(diǎn)）

重點(diǎn)考向（以真題為例，探究中考命題方向）

A考向一操作探究型（不含圖形變化）

A考向二圖形平移型

A考向三圖形旋轉(zhuǎn)型

A考向四圖形折疊型

中考解密

綜合與實(shí)踐題是山西中考的必考題，這類題型屬于過程探究題，旨在引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作、自主探索、小組

合作、交流共享.通過圖形的變化考查學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐、推理論證、幾何直觀和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.在實(shí)踐過程

中，學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，提高解決問題的能力.

3重點(diǎn)考向

A考向一操作探究型（不含圖形變化）

1.（2023?大慶）在綜合與實(shí)踐課上，老師組織同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng).有一張矩形

紙片A8C。如圖所示，點(diǎn)N在邊上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為BN,點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的點(diǎn)記為點(diǎn)若點(diǎn)M

恰好落在邊。C上，則圖中與ANDM一定相似的三角形是.

2.（2023?蘭州）綜合與實(shí)踐：

問題探究：（1）如圖1是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9"平分一個(gè)已知

角，”即：作一個(gè)已知角的平分線，如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在

04和上分別取點(diǎn)C和。，使得0c=0。，連接CO,以CD為邊作等邊三角形CDE,則0E就是

ZAOB的平

分線.請(qǐng)寫出0E平分NAOB的依據(jù)：；

類比遷移：（2）小明根據(jù)以上信息研究發(fā)現(xiàn)：ACOE不一定必須是等邊三角形，只需CE=OE即可，

他查閱資料；我國(guó)古代已經(jīng)用角尺平分任意角，做法如下：如圖3,在/AOB的邊0A,上分別取

OM=ON,移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同刻度分別與點(diǎn)M,N重合，則過角尺頂點(diǎn)C的射線0C是

的平分線，請(qǐng)說明此做法的理由；

拓展實(shí)踐：（3）小明將研究應(yīng)用于實(shí)踐.如圖4,校園的兩條小路AB和AC,匯聚形成了一個(gè)岔路口

A,現(xiàn)在學(xué)校要在兩條小路之間安裝一盞路燈E,使得路燈照亮兩條小路（兩條小路一樣亮），并且路

燈E到岔路口A的距離和休息椅D到岔路口A的距離相等,試問路燈應(yīng)該安裝在哪個(gè)位置？請(qǐng)用不帶

刻度的直尺和圓規(guī)在對(duì)應(yīng)的示意圖5中作出路燈E的位置.（保留作圖痕跡，不寫作法）

00

圖1圖2

V

D

IB呼圖5

3.（2023?鹽城）綜合與實(shí)踐

【問題情境】

如圖1,小華將矩形紙片A8C。先沿對(duì)角線8。折疊，展開后再折疊，使點(diǎn)B落在對(duì)角線8。上，點(diǎn)8

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為玄，折痕與邊A。，分別交于點(diǎn)E,F.

【活動(dòng)猜想】

（1）如圖2,當(dāng)點(diǎn)夕與點(diǎn)。重合時(shí)，四邊形8瓦正是哪種特殊的四邊形？答:

【問題解決】

（2）如圖3,當(dāng)AB=4,AD=8,8尸=3時(shí)，求證：點(diǎn)4,B',C在同一條直線上.

【深入探究】

（3）如圖4,當(dāng)與BC滿足什么關(guān)系時(shí)，始終有AE與對(duì)角線AC平行？請(qǐng)說明理由.

（4）在（3）的情形下，設(shè)AC與BD,所分別交于點(diǎn)O,P,試探究三條線段AP,B'D,E尸之間滿

足的等量關(guān)系，并說明理由.

4A，

4.（2023?淮安）綜合與實(shí)踐

定義：將寬與長(zhǎng)的比值為2n（"為正整數(shù)）的矩形稱為〃階奇妙矩形.

（1）概念理解：

當(dāng)”=1時(shí)，這個(gè)矩形為1階奇妙矩形，如圖（1）,這就是我們學(xué)習(xí)過的黃金矩形，它的寬（AD）與

長(zhǎng)（CD）的比值是.

（2）操作驗(yàn)證：

用正方形紙片ABC。進(jìn)行如下操作（如圖（2））：

第一步：對(duì)折正方形紙片，展開，折痕為ER連接CE；

第二步：折疊紙片使C￡＞落在CE上，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)X,展開，折痕為CG；

第三步：過點(diǎn)G折疊紙片，使得點(diǎn)A、8分別落在邊A。、8C上，展開，折痕為GK.

試說明：矩形GDCK是1階奇妙矩形.

（3）方法遷移：

用正方形紙片ABC。折疊出一個(gè)2階奇妙矩形.要求：在圖（3）中畫出折疊示意圖并作簡(jiǎn)要標(biāo)注.

（4）探究發(fā)現(xiàn):

小明操作發(fā)現(xiàn)任一個(gè)〃階奇妙矩形都可以通過折紙得到.他還發(fā)現(xiàn)：如圖（4），點(diǎn)E為正方形A8CD

邊A8上（不與端點(diǎn)重合）任意一點(diǎn)，連接CE,繼續(xù)（2）中操作的第二步、第三步，四邊形AGHE

的周長(zhǎng)與矩形GOCK的周長(zhǎng)比值總是定值.請(qǐng)寫出這個(gè)定值，并說明理由.

圖⑴圖(2)圖(3)圖⑷

5.（2023?淄博）在數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，小紅以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展探究活動(dòng).

（1）操作判斷

小紅將兩個(gè)完全相同的矩形紙片ABC。和CEFG拼成“L”形圖案，如圖①.試判斷：△ACE的形狀

為.

（2）深入探究

小紅在保持矩形ABCD不動(dòng)的條件下，將矩形CEPG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，若AB=2,AD=4.

探究一：當(dāng)點(diǎn)尸恰好落在AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)CG與。/相交于點(diǎn)M,如圖②.求△例/的面積.

探究二：連接AE,取AE的中點(diǎn)X,連接。X,如圖③.求線段08長(zhǎng)度的最大值和最小值.

6.（2023?寧夏）綜合與實(shí)踐：

問題背景

數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)國(guó)旗上五角星的五個(gè)角都是頂角為36。的等腰三角形，對(duì)此三角形產(chǎn)生了極大興趣并展

開探究.

探究發(fā)現(xiàn)

如圖1,在AABC中，ZA=36°,AB=AC.

（1）操作發(fā)現(xiàn)：將AABC折疊，使邊落在邊54上，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E,折痕交AC于點(diǎn)。，連

接DE,DB,則°,設(shè)AC=1,BC=x,那么AE=（用含尤的式子表

示）；

底BC炳-1底BC

（2）進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)：腰AC=2,這個(gè)比值被稱為黃金比.在（1）的條件下試證明：腰AC=

煙-1

拓展應(yīng)用

當(dāng)?shù)妊切蔚牡着c腰的比等于黃金比時(shí)，這個(gè)三角形叫黃金三角形.例如，圖1中的AABC是黃金

三角形.

如圖2,在菱形ABC。中，ZBAD=72°,AB=1.求這個(gè)菱形較長(zhǎng)對(duì)角線的長(zhǎng).

A

圖2

7.（2023?蘭州）綜合與實(shí)踐：

【思考嘗試】（1）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問題：如圖1,在矩形A8C。中，E是邊A8上一

點(diǎn)，DFLCE于點(diǎn)F,GD1DF,AGA,DG,AG=CF,試猜想四邊形ABC。的形狀，并說明理由；

【實(shí)踐探究】（2）小睿受此問題啟發(fā)，逆向思考并提出新的問題：如圖2,在正方形A3。中，E是

邊上一點(diǎn)，_LCE于點(diǎn)凡AaJ_CE于點(diǎn)"，可以用等式表示線段

AH,CT的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你思考并解答這個(gè)問題；

【拓展遷移】（3）小博深入研究小睿提出的這個(gè)問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點(diǎn)：如圖3,在正方形

ABCD

中，E是邊AB上一點(diǎn)，AH工CE于點(diǎn)H,點(diǎn)M在S上，且連接AM,BH,可以用等式表

示線段CM,的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你思考并解答這個(gè)問題.

8.（2023?齊齊哈爾）綜合與實(shí)踐：

數(shù)學(xué)模型可以用來(lái)解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑.通過探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)

學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并將其運(yùn)用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地.

（1）發(fā)現(xiàn)問題：如圖1,在AABC和AAEF中，AB^AC,AE^AF,ZBAC^ZEAF^30°,連接BE,

CF,延長(zhǎng)BE交C尸于點(diǎn)D則BE與b的數(shù)量關(guān)系：,NBDC=°;

（2）類比探究：如圖2,在AABC和AAEP中，AB=AC,AE^AF,ZBAC^ZEAF^120°,連接

BE,CF,延長(zhǎng)BE,FC交于點(diǎn)、D.請(qǐng)猜想BE與C尸的數(shù)量關(guān)系及/BOC的度數(shù)，并說明理由；

（3）拓展延伸：如圖3,AABC和AAE尸均為等腰直角三角形，ZBAC^ZEAF^90°,連接BE,

CF,且點(diǎn)2,E,尸在一條直線上，過點(diǎn)A作垂足為點(diǎn)M.則BECF,AM之間的數(shù)量關(guān)

系：;

（4）實(shí)踐應(yīng)用：正方形ABCD中，AB=2,若平面內(nèi)存在點(diǎn)尸滿足48尸。=90。，PD=1,則S^ABP

圖1圖2圖3備用圖

9.(2023?大連)綜合與實(shí)踐

問題情境

數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師發(fā)給每名同學(xué)一個(gè)等腰三角形紙片ABC,AB^AC,ZBA09Q0,要求同學(xué)們將

紙片沿一條直線折疊，探究圖形中的結(jié)論.

問題發(fā)現(xiàn)

奮進(jìn)小組在邊AC上取一點(diǎn)。，連接2D,將這個(gè)紙片沿3。翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E,如圖1所示.

如圖2,小明發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)E落在邊8C上時(shí)，NDEC=2NACB.

如圖3,小紅發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)時(shí)，連接CE,若已知A8和CE的長(zhǎng)，則可求8。的長(zhǎng).

問題提出與解決

奮進(jìn)小組根據(jù)小明和小紅的發(fā)現(xiàn)，討論后提出問題1,請(qǐng)你解答.

問題I：在AABC中，AB=AC,ZBA0900,點(diǎn)。是邊AC上一點(diǎn)，將AAB。沿8。翻折得至

(1)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上時(shí)，求證：NDEC=2/ACB.

(2)如圖3,當(dāng)點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)時(shí)，連接CE,若45=4,CE=3,求8。的長(zhǎng).

拓展延伸

小剛受到探究過程的啟發(fā)，將等腰三角形的頂角改為銳角，嘗試畫圖，并提出問題2,請(qǐng)你解答.

問題2：如圖4,點(diǎn)。是A48C外一點(diǎn)，AB=AC=BD=4,CD=1,ZABD=2ZBDC,求的長(zhǎng).

A考向二圖形平移型

1.（2023?德州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形O43C是矩形，點(diǎn)8的坐標(biāo)為（6,3）,。是。4

二ax+b

的中點(diǎn)，AC,8。交于點(diǎn)E,函數(shù)x-3的圖象過點(diǎn)B.E.且經(jīng)過平移后可得到一個(gè)反比例函數(shù)的

A.尸-xB.2xC.xD.x

2.（2023?鞍山）如圖，在矩形A8CD中，對(duì)角線AC,8。交于點(diǎn)。，AB=4,BC=4日，垂直于BC的

直線MN仄AB出發(fā)，沿方向以每秒加個(gè)單位長(zhǎng)度的速度平移，當(dāng)直線MN與CD重合時(shí)停止運(yùn)

動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中分別交矩形的對(duì)角線AC,BD于點(diǎn)E,F,以EF為邊在MN左側(cè)作正方形

EFGH,設(shè)正方形E/GH與AAOB重疊部分的面積為S,直線九W的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts,則下列圖象能大致

反映S與/之間函數(shù)關(guān)系的是（）

3.（2023?濰坊）如圖，在直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2,0）,ZAOC=60°.將

菱形0ABe沿x軸向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿y軸向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到菱形04夕C,其中

點(diǎn)夕的坐標(biāo)為（）

-V3,1)D.(-M,V3-1)

4.（2023?湖州）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)-4.x+c的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為

（0,5）,圖象的頂點(diǎn)為矩形ABC。的頂點(diǎn)。與原點(diǎn)。重合，頂點(diǎn)A,C分別在x軸，y軸上，頂

點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1,5）.

（1）求c的值及頂點(diǎn)M的坐標(biāo).

（2）如圖2,將矩形ABCZ）沿?zé)o軸正方向平移/個(gè)單位（0<?<3）得到對(duì)應(yīng)的矩形AEC7T.已知邊

CD,,AE分別與函數(shù)4x+c的圖象交于點(diǎn)P,Q,連接P。，過點(diǎn)尸作PG_LA5于點(diǎn)G.

①當(dāng)f=2時(shí)，求QG的長(zhǎng)；

②當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)。不重合時(shí)，是否存在這樣的/，使得APG。的面積為1?若存在，求出此時(shí)f的值；若

不存在，請(qǐng)說明理由.

5.（2023?襄陽(yáng)）【問題背景】

人教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材第63頁(yè)“實(shí)驗(yàn)與探究”問題1如下：如圖，正方形A8CC的對(duì)角線相交于點(diǎn)

。，點(diǎn)。又是正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，而且這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)相等，無(wú)論正方形AiBCiDi。

繞

點(diǎn)。怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，兩個(gè)正方形重疊部分的面積，總等于一個(gè)正方形面積的4.想一想，這是為什么？

（此問題不需要作答）

九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)上面的問題又進(jìn)行了拓展探究、內(nèi)容如下：正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)

PA

O,點(diǎn)尸落在線段0c上，PC=/（人為常數(shù)）.

【特例證明】

（1）如圖1,將RtAPEF的直角頂點(diǎn)尸與點(diǎn)O重合，兩直角邊分別與邊AB,BC相交于點(diǎn)N.

①填空：k=；

②求證：PM=PN.（提示：借鑒解決【問題背景】的思路和方法，可直接證明APAM出△P8N；也可

過點(diǎn)P分別作AB,BC的垂線構(gòu)造全等三角形證明.請(qǐng)選擇其中一種方法解答問題②.）

【類比探究】

（2）如圖2,將圖1中的沿OC方向平移，判斷與PN的數(shù)量關(guān)系（用含左的式子表示），

并說明理由.

【拓展運(yùn)用】

（3）如圖3,點(diǎn)N在邊BC上，/BPN=45°,延長(zhǎng)N尸交邊CD于點(diǎn)E,若EN=kPN,求上的值.

6.（2023?攀枝花）如圖1,在AABC中，AB=BC=2AC=8,AABC沿BC方向向左平移得到AOCE,A、

C對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是。、E.點(diǎn)廠是線段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AR將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至線段

AG,使得N8AD=NE4G,連接FG.

（1）當(dāng)點(diǎn)廠與點(diǎn)C重合時(shí)，求FG的長(zhǎng)；

（2）如圖2,連接BG、DF.在點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)過程中：

①BG和。尸是否總是相等？若是，請(qǐng)你證明；若不是，請(qǐng)說明理由；

②當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為多少時(shí)，AABG能構(gòu)成等腰三角形?

G

m

7.(2023?淄博)如圖，直線y=kr+6與雙曲線y=x相交于點(diǎn)A(2,3),B(n,1).

(1)求雙曲線及直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)將直線42向下平移至處，其中點(diǎn)C(-2,0)，點(diǎn)￡>在y軸上.連接A。，BD,求AABO

的面積；

m

8.(2023?青島)許多數(shù)學(xué)問題源于生活.雨傘是生活中的常用物品，我們用數(shù)學(xué)的眼光觀察撐開后的雨

傘(如圖①)、可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)研究的對(duì)象——拋物線.在如圖②所示的直角坐標(biāo)系中，傘柄在y軸

上，坐標(biāo)原點(diǎn)。為傘骨。4,08的交點(diǎn).點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)A,B在拋物線上，。4、關(guān)于y

軸對(duì)

稱.OC=1分米，點(diǎn)A到x軸的距離是0.6分米，A,2兩點(diǎn)之間的距離是4分米.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)分別延長(zhǎng)A。，2。交拋物線于點(diǎn)RE,求E,尸兩點(diǎn)之間的距離；

(3)以拋物線與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為Si，將拋物線向右平移m(m>0)個(gè)單

3,

位，得到一條新拋物線，以新拋物線與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為S2.若S2=后Si，求

m的值.

圖①

_1

9.(2023?常州)如圖，二次函數(shù)y=2/+6尤-4的圖象與x軸相交于點(diǎn)A(-2,0),B,其頂點(diǎn)是C.

(1)b=；

5_

(2)。是第三象限拋物線上的一點(diǎn)，連接tan/AOA=5.將原拋物線向左平移，使得平移后的

拋

物線經(jīng)過點(diǎn)D,過點(diǎn)(匕0)作x軸的垂線I.已知在/的左側(cè)，平移前后的兩條拋物線都下降，求k

的取值范圍；

(3)將原拋物線平移，平移后的拋物線與原拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)Q,且其頂點(diǎn)P落在原拋物線

上，連接尸C、QC.PQ.已知APCQ是直角三角形，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

10.(2023?濟(jì)南)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABC。的頂點(diǎn)A,B在x軸上，C(2,3),。(-

1,3).拋物線/=加-2ax+c(a<0)與x軸交于點(diǎn)E(-2,0)和點(diǎn)足

(1)如圖1,若拋物線過點(diǎn)C,求拋物線的表達(dá)式和點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(2)如圖2,在(1)的條件下，連接CF,作直線CE,平移線段CF,使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)尸落在直線

CE上，點(diǎn)廠的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。落在拋物線上，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)若拋物線>=加-2ax+c(a<0)與正方形ABCD恰有兩個(gè)交點(diǎn)，求。的取值范

圍.圖1圖2

A考向三圖形旋轉(zhuǎn)型

1.（2023?綿陽(yáng)）如圖，在AABC中，ZACB=90°,AC=8,將△ABC繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到

△AiBiC,滿足48i〃AC,過點(diǎn)8作8E_LAC，垂足為E,連接AE,若SAABE=3S“CE，則A8的長(zhǎng)為

2.（2023?鹽城）如圖，在RtA43C中，ZACB=9Q°,ZB=60°,BC=3,將ZkABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到

△EDC的位置，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D首次落在斜邊48上，則點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為.

A

CB

3.（2023?丹東）在AABC中，ZBAC=90°,/A8C=30。，AB=6,點(diǎn)。是8C的中點(diǎn).四邊形。EFG是

菱形（。，E,F,G按逆時(shí)針順序排列），NEDG=60。,且。E=2,菱形。EFG可以繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，連

接AG和CE,設(shè)直線AG和直線CE所夾的銳角為a.

130圖②備用圖

（1）在菱形。EFG繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)點(diǎn)E在線段。C上時(shí)，如圖①，請(qǐng)直接寫出AG與CE的

數(shù)量關(guān)系及a的值；

（2）當(dāng)菱形。跖G繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到如圖②所示的位置時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)寫出證

明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由；

（3）設(shè)直線AG與直線CE的交點(diǎn)為P,在菱形。EBG繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當(dāng)即所在的直線

經(jīng)過點(diǎn)8時(shí)，請(qǐng)直接寫出AAPC的面積.

4.(2023?甘孜州)如圖，在R3ABC中，AC=BC=3&,點(diǎn)。在AB邊上，連接CD,將CO繞點(diǎn)C逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)90。得到CE,連接BE,DE.

(1)求證：ACAD咨ACBE；

(2)若AD=2時(shí)，求CE的長(zhǎng)；

(3)點(diǎn)。在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究AU+B)的值是否存在最小值，如果存在，求出這個(gè)最小值；如果

不存在，請(qǐng)說明理由.

5.（2023?攀枝花）如圖1,在AABC中，AB=BC=2AC=S,AA8C沿8C方向向左平移得到ADCE,A、

C對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是。、區(qū)點(diǎn)尸是線段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AR將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至線段

AG,使得NBAO=NK4G,連接尸G.

（1）當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合時(shí)，求PG的長(zhǎng)；

（2）如圖2,連接8G、DF.在點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)過程中:

①BG和。尸是否總是相等？若是，請(qǐng)你證明；若不是，請(qǐng)說明理由;

②當(dāng)8尸的長(zhǎng)為多少時(shí)，AABG能構(gòu)成等腰三角形?

6.（2023?淄博）在數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，小紅以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展探究活動(dòng).

（1）操作判斷

小紅將兩個(gè)完全相同的矩形紙片ABCD?CEFG拼成"”形圖案，如圖①.試判斷：的形狀

為.

（2）深入探究

小紅在保持矩形ABC。不動(dòng)的條件下，將矩形CERG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，若AB=2,AD=4.

探究一：當(dāng)點(diǎn)/恰好落在的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)CG與。產(chǎn)相交于點(diǎn)如圖②.求△制/的面積.

探究二：連接AE,取AE的中點(diǎn)連接08,如圖③.求線段。X長(zhǎng)度的最大值和最小值.

7.（2023?鎮(zhèn)江）［發(fā)現(xiàn)］如圖1,有一張三角形紙片ABC,小宏做如下操作:

①取A8、AC的中點(diǎn)。、E,在邊BC上作MN=OE.

②連接EM,過點(diǎn)。、N作。G_LEM、NH±EM,垂足分別為G、H.

③將四邊形BDGM剪下,繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180。至四邊形ADPQ的位置，將四邊形CEHN剪下,繞點(diǎn)E旋

轉(zhuǎn)180。至四邊形4￡$7的位置.

④延長(zhǎng)P。、ST交于點(diǎn)F.

小宏發(fā)現(xiàn)并證明了以下幾個(gè)結(jié)論是正確的：

①點(diǎn)。、A、T在一條直線上；

②四邊形FPGS是矩形；

③AFQT沿AHMN；

④四邊形/PGS與AABC的面積相等.

［任務(wù)1］請(qǐng)你對(duì)結(jié)論①進(jìn)行證明.

2

［任務(wù)2］如圖2,四邊形A8CD中，AD//BC,尸、。分別是A3、CD的中點(diǎn)，連接PQ.求證：PQ=2

（AD+BC）.

［任務(wù)3］如圖3,有一張四邊形紙片A8CDAD//BC,AD=2,BC=8,CD=9,sinZDCB=5,小麗

分別取AB.CD的中點(diǎn)尸、。，在邊8C上作MN=PQ,連接MQ,她仿照小宏的操作，將四邊形

ABC。分割、拼成了矩形.如果她拼成的矩形恰好是正方形，求的長(zhǎng).

8.（2023?鎮(zhèn)江）已知，在平面直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)為（3,0）,8點(diǎn)坐標(biāo)為Cm,〃），點(diǎn)C與點(diǎn)8

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線AB、AC分別與y軸交于點(diǎn)E、尸，點(diǎn)尸在點(diǎn)E的上方，EF=2.

（1）分別求點(diǎn)E、尸的縱坐標(biāo)（用含機(jī)、〃的代數(shù)式表示），并寫出他的取值范圍；

（2）求點(diǎn)B的橫坐標(biāo)機(jī)、縱坐標(biāo)w滿足的數(shù)量關(guān)系（用含機(jī)的代數(shù)式表示“）；

（3）將線段跖繞點(diǎn)（0,1）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，E、產(chǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是E、F.當(dāng)線段EF與點(diǎn)8所在

的某個(gè)函數(shù)圖象有公共點(diǎn)時(shí)，求利的取值范圍.

B?

OA

9.(2023?朝陽(yáng))如圖，在正方形ABC。中，點(diǎn)E是對(duì)角線8。上一點(diǎn)，連接EA,將線段01繞點(diǎn)E逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A落在射線C3上的點(diǎn)尸處，連接EC.

【問題引入】

(1)請(qǐng)你在圖1或圖2中證明EF=EC(選擇一種情況即可)；

【探索發(fā)現(xiàn)】

(2)在(1)中你選擇的圖形上繼續(xù)探索：延長(zhǎng)FE交直線C。于點(diǎn)M.將圖形補(bǔ)充完整，猜想線段

0M和線段2尸的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

【拓展應(yīng)用】

(3)如圖3,AB=3,延長(zhǎng)AE至點(diǎn)N,使NE=AE,連接DN.當(dāng)AAOV的周長(zhǎng)最小時(shí)，請(qǐng)你直接寫

出線段。E的長(zhǎng).

10.(2023?常州)對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)四邊形，若存在點(diǎn)。，使得該四邊形的一條對(duì)角線繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一定

角度后能與另一條對(duì)角線重合，則稱該四邊形為“可旋四邊形”，點(diǎn)O是該四邊形的一個(gè)“旋點(diǎn)”.例

如，在矩形MNP。中，對(duì)角線MP、NQ相交于點(diǎn)T,則點(diǎn)T是矩形MNP。的一個(gè)“旋點(diǎn)”.

(1)若菱形A8C。為“可旋四邊形”，其面積是4,則菱形ABC。的邊長(zhǎng)是；

(2)如圖1,四邊形ABCD為“可旋四邊形"，邊AB的中點(diǎn)0是四邊形ABCD的一個(gè)“旋點(diǎn)”.求

ZACB的度數(shù);

(3)如圖2,在四邊形A8CD中，AC=BD,與不平行.四邊形A8CD是否為“可旋四邊形”?

請(qǐng)說明理由.

（圖2）

（圖I）

A考向四圖形折疊型

1.（2023?黃石）如圖，有一張矩形紙片ABCQ.先對(duì)折矩形ABC。，使與8C重合，得到折痕EF,

把紙片展平.再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B,得到折痕同時(shí)得到線段

BN,MN.觀察所得的線段，若AE=1,則MN=()

2V3

c."I-D.2

2.（2023?牡丹江）在以“矩形的折疊”為主題的數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，某位同學(xué)進(jìn)行了如下操作:

第一步：將矩形紙片的一端，利用圖①的方法折出一個(gè)正方形然后把紙片展平;

第二步：將圖①中的矩形紙片折疊，使點(diǎn)C恰好落在點(diǎn)尸處，得到折痕MN,如圖②.

根據(jù)以上的操作，若AB=8,40=12,則線段的長(zhǎng)是（）

A.3B.V5C.2D.1

3.（2023?襄陽(yáng)）如圖，在AABC中，AB=AC,點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，將BCD沿80折疊得到"瓦），連接

AE.若。于點(diǎn)R3c=10,則AF的長(zhǎng)為.

4.（2023?盤錦）如圖，四邊形ABCD是矩形，AB=7用，BC=6,點(diǎn)E為邊8c的中點(diǎn)，點(diǎn)廠為邊A。

上一點(diǎn)，將四邊形ABEF沿EF折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)4,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B',過點(diǎn)Q作

B，H_LBC于點(diǎn)、H,若29=2加，則即的長(zhǎng)是.

5.（2023?大慶）在綜合與實(shí)踐課上，老師組織同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng).有一張矩形

紙片ABC。如圖所示，點(diǎn)N在邊上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為BN,點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的點(diǎn)記為點(diǎn)若點(diǎn)M

恰好落在邊。C上，則圖中與一定相似的三角形是.

6.（2023?西寧）折疊問題是我們常見的數(shù)學(xué)問題，它是利用圖形變化的軸對(duì)稱性質(zhì)解決的相關(guān)問題.數(shù)

學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展了數(shù)學(xué)活動(dòng).

【操作】如圖1,在矩形ABC。中，點(diǎn)M在邊A。上，將矩形紙片ABC。沿