第01講數列的基本知識與概念

目錄

01考情透視?目標導航............................................................2

02知識導圖?思維引航............................................................3

03考點突破?題型探究............................................................4

知識點1：數列的概念............................................................4

知識點2：數列的分類............................................................4

知識點3:數列的兩種常用的表示方法..............................................5

解題方法總結...................................................................5

題型一：數列的周期性...........................................................5

題型二：數列的單調性...........................................................6

題型三：數列的最大（?。╉?....................................................8

題型四：數列中的規(guī)律問題.......................................................9

題型五：數列的恒成立問題......................................................10

題型六：遞推數列問題..........................................................11

04真題練習?命題洞見............................................................13

05課本典例?高考素材............................................................14

06易錯分析?答題模板............................................................15

易錯點：對數列的概念理解不準..................................................15

答題模板：數列單調性的判斷與應用..............................................15

考情透視.目標導航

考點要求考題統(tǒng)計考情分析

2023年北京卷第10題，4分

(1)數列的概念高考對數列概念的考查相對較少，考查內

2022年乙卷(理)第4題，5分

(2)數列的分類容、頻率、題型、難度均變化不大.重點是數列

2021年北京卷第10題，4分

(3)數列的性質與函數結合考查單調性、周期性、最值性.

2020年浙江卷第11題，4分

復習目標：

(1)了解數列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式).

(2)了解數列是自變量為正整數的一類特殊函數.

//二知識導圖?思維引航\\

數列的定義：按照一定順序排列的

一列數稱為數列，數列中的每一個

數叫做這個數列的項.

數列的概念)

數列與函數的關系：從函數觀點看，數列可以看成

以正整數集N?為定義域的函數%=/(”)當自變量

按照從小到大的順序依次取值時所對應的一列函數值

按照項數分：有限和無限

增數列

數列的基本知識與概念數列的分類

減數列

按單調性來分

常數列

擺動數列

數列的兩種常用的表示方法

老占突硒?力理慳宙

---------

知識JJ

知識點1:數列的概念

(1)數列的定義：按照一定順序排列的一列數稱為數列，數列中的每一個數叫做這個數列的項.

(2)數列與函數的關系：從函數觀點看，數列可以看成以正整數集N*(或它的有限子集｛1,2,...,?｝

為定義域的函數4=/(〃)當自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應的一列函數值.

(3)數列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和通項公式法.

【診斷自測】下列說法中，正確的是()

A.數列2,4,6,8可表示為集合｛2,4,6,8｝

B.數列1,2,3,4與數列4,3,2,1是相同的數列

C.數列｛〃?+〃｝的第％項為公+4

D.數列0,1,2,3,4,…可記為｛科

知識點2：數列的分類

(1)按照項數分：有限和無限

'遞增數列：an+1>an

遞減數列：a>a

(2)按單調性來分：<n+1n

常數列：%=%=C(常數)

擺動數列

【診斷自測】已知函數/(x)=x+J,設a“=/(〃)(〃eN+),則下列說法中母氓的是()

A.｛4｝是無窮數列B.｛a“｝是遞增數列

C.｛?！埃皇浅盗蠨.｛%｝中有最大項

知識點3：數列的兩種常用的表示方法

（1）通項公式：如果數列｛%｝的第〃項與序號〃之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫

做這個數列的通項公式.

（2）遞推公式：如果已知數列｛4｝的第1項（或前幾項），且從第二項（或某一項）開始的任一項與

它的前一項（或前幾項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的遞推公式.

【診斷自測】〃eN*,數列1,-3,7,-15,31,…的一個通項公式為（）

C.??=2"-1D.4=(-1)北1一2")

解題方法總結

（1）若數列伍“｝的前”項和為S“，通項公式為%,則為=*

[S,-S,T,n>2,neN

注意：根據S"求知時，不要忽視對"=1的驗證.

（2）在數列伍“｝中，若?！白畲螅愰T“"""1’若a"最小，貝J%''""一.

aa

[nn+l&?氏+1

題型一：數列的周期性

c1

2a，冊<5

n4

【典例1-1]在數列｛%｝中，??+1='1，若。i=g,則％020=()

2an-l,an>—

i11

A.Bc.-D.-

5555

【典例1-2】（2024.陜西安康.模擬預測）在數列｛4｝中，冊>0,%=1,%=0，若對

V”eN*,a；+a：］+a,1=10,貝!|a2024=()

A.y/2B.1c.73D.V5

【方法技巧】

解決數列周期性問題的方法

先根據已知條件求出數列的前幾項，確定數列的周期，再根據周期性求值.

【變式1-1］（2024?陜西榆林N模）現有甲乙丙丁戊五位同學進行循環(huán)報數游戲，從甲開始依次進行，當

甲報出1,乙報出2后，之后每個人報出的數都是前兩位同學所報數的乘積的個位數字，則第2024個被報

出的數應該為（）

A.2B.4C.6D.8

【變式1-2］（2024?山東濟寧?三模）已知數列｛4｝中，%=2,a2=l,a?+1=an-a^｛n>2,〃eN*）,則

“2024=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【變式1-3］（2024.遼寧?模擬預測）數列｛a“｝中，?,=4,g=3,%=區(qū)（〃eN*,〃22）,則須。。的值為

an-\

（）

134

A.—B.—C.3D.一

443

【變式1-4］（2024?全國?模擬預測）已知函數/（力=丁+2/+3%,數列｛?！保氖醉棡?,且滿足

%+3=q,（〃eN*）.若/（%023）+/（%）24+%025）=°，則數列｛凡｝的前2023項和為（）

A.0B.1C.675D.2023

題型二：數列的單調性

【典例2-1】（2024?北京西城?三模）對于無窮數列｛%｝,定義4,=。向-%（”=1,2,3,）,則“｛%｝為遞增

數歹『'是為遞增數歹『’的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不

必要條件

【典例2-2］（2024?江西?模擬預測）已知數列｛%｝滿足4="-a（aeR）,貝「aMl”是｛⑷｝是遞增數列的

（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【方法技巧】

解決數列的單調性問題的3種方法

作差比較法根據。“的符號判斷數列｛%｝是遞增數列、遞減數列或是常數列

根據幺立a>0或可〈0）與1的大小關系進行判斷

作商比較法

數形結合法結合相應函數的圖象直觀判斷

【變式2-1］（2024?天津南開?二模）設數列｛4｝的通項公式為4=〃2+加，若數列｛風｝是單調遞增數列，

則實數6的取值范圍為（）.

A.（-3,+co）B.（-2,+oo）C.［-2,+oo）D.［-3,+oo）

【變式2-2］（2024?江蘇泰州?模擬預測）等差數列｛"“｝中，其前“項和為S"，貝S3<2邑”是“｛七｝為遞

減數列”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不

必要條件

【變式2-3］數列｛4｝中前”項和S“滿足S“=如2+2〃+l（2eR）,若交力是遞增數列,則X的取值范圍為

A.(0,+oo)一,+/一,+8

22

【變式2-4］（2024.陜西安康.模擬預測）已知數列｛%｝的通項公式為4=e〃”〃，則“〃2-21”是

“V〃eN*,a“的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式2-5］已知數列｛叫滿足：4=八］/）〃［3，”<7,（〃eN*,。>0）,數列｛%｝是遞增數列，則實

［Q,n>7

數。的可能取值為（）

A.2B.—C.—D.4

77

【變式2-6］（2024?浙江寧波?二模）已知數歹!］｛可｝滿足4=而2一〃，對任意〃e｛l,2,3｝都有%>區(qū)用，且對

任意〃?川”27,〃€用都有凡<%+1，則實數2的取值范圍是（）

【變式2-7］（2024.江西.二模）已知數列｛4｝的首項%為常數且4。用+2%=4"（〃eN*）,若數列

｛%｝是遞增數列，則為的取值范圍為（）

題型三：數列的最大(小)項

【典例3-1】已知。,=〃個產，則數列的偶數項中最大項為()

A.%oB.〃8C.。6D.〃4

【典例3-2】(2024.上海.模擬預測)數列％=]g(〃eN*)的最小項的值為

【方法技巧】

求數列的最大項與最小項的常用方法

(1)將數列視為函數/(x)當在”時所對應的一列函數值，根據無)的類型作出相應的函數圖象，

或利用求函數最值的方法，求出“X)的最值，進而求出數列的最大(小)項.

(2)通過通項公式《研究數列的單調性，利用b-0-1,(〃22)確定最大項，利用

[%Nan+l

「("22)確定最小項.

&V%

(3)比較法：若有。"+[-%=/(〃+1)-/(〃)>0或%>0時4旦>1,則%+1>%,則數列｛"』是遞增

’an

數列，所以數列｛"J的最小項為q=/(1)；若有4“+1-%=y("+i)-/(")<0或%>o時%L<1,則

an

an+l<an,則數列｛%｝是遞減數列，所以數列M的最大項為q=/(I).

【變式3-1](2024.北京西城?一模)在數列｛%｝中，弭=2,a2=-3.數列也｝滿足6“=。用eN)若

也｝是公差為1的等差數列，則圾｝的通項公式為乙=_,??的最小值為

【變式3-2](2024?廣東梅州二模)已知數列｛%｝的通項公式。告=(〃eN*),貝U

n

H以=q的最小值為___.

攵=1

【變式3-3]數列｛4｝的通項4=號,則數列｛4｝中的最大項的值為—.

【變式3-4］設?！笆牵ㄒ?）”的展開式中x項的系數（“=2,3,4,…），若么=（〃右;j則口的最大值

是一

_?〃兀16（z*\

=Sin+!

【變式3-5］已知％T2+s，n/mVeN人則數列｛%｝的最小值為.

【變式3-6］在數列｛%｝中，％=4,0?=7??->+2（2<?<100）,則數列｛叫的最大項的值是—.

題型四：數列中的規(guī)律問題

【典例4-1】（2024?浙江紹興?二模）漢諾塔（TowerofHanoi）,是一個源于印度古老傳說的益智玩具.如圖

所示，有三根相鄰的標號分別為A、B、C的柱子，A柱子從下到上按金字塔狀疊放著〃個不同大小的圓

盤，要把所有盤子一個一個移動到柱子B上，并且每次移動時，同一根柱子上都不能出現大盤子在小盤子

的上方，請問至少需要移動多少次？記至少移動次數為"（"），例如：H（l）=l,H⑵=3,則下列說法正

確的是（）

A.H⑶=5B.｛”（〃）｝為等差數列

C.｛"（"）+1｝為等比數列D.H（7）<100

【典例4-2】（2024?遼寧?二模）大衍數列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數五十”的推論，主要用于

解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經經歷過的兩儀數量

總和，是中國傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數學史上第一道數列題.大衍數列的前10項依次是0,2,4,8,12,

18,24,32,40,50,則此數列的第30項為（）

A.366B.422C.450D.600

【方法技巧】

特殊值法、列舉法找規(guī)律

【變式4-1］（2024?陜西西安?三模）定義4=（1,1）,%=（1,2）,cij=（2,1）,a4=（1,3）,a5=（2,2）,

&=（3，1），…則%=（）

A.（1,63）B.（63,1）C.（64,1）D.（1,64）

【變式4-2］（2024?全國?模擬預測）據中國古代數學名著《周髀算經》記截：“勾股各自乘，并而開方除之

（得弦）.”意即“勾”。、“股*與“弦”C之間的關系為（其中.）.當”,瓦ceN*時,有如下勾

股弦數組序列：（3,4,5）,（5,12/3）,（7,24,25）,（9,40,41）,,則在這個序列中，第10個勾股弦數組中的“弦”

等于（）

A.145B.181C.221D.265

【變式4-3］（2024?四川?模擬預測）分形幾何學是美籍法國數學家伯努瓦?曼德爾布羅特在20世紀70年

代創(chuàng)立的一門新學科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學領域的眾多難題提供了全新的思路.下圖展示了如何按照

圖①的分形規(guī)律生長成一個圖②的樹形圖，則在圖②中第5行的黑心圈的個數是（）

【變式4-4］（2024?云南保山.二模）我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現了如

圖所示的表，即楊輝三角，這是數學史上的一個偉大成就.楊輝三角也可以看做是二項式系數在三角形中的

一種幾何排列，若去除所有為1的項，其余各項依次構成數列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,則

此數列的第56項為（）

A.11B.12C.13D.14

題型五：數列的恒成立問題

11

【典例5-1］已知數列｛%｝的前〃項和S'￡N*）且4=1,若一+—+

恒成立，則機的最小值為

【典例5-2】記分別為數列｛%｝,,，｝前w項和，已知是公差為;的等差數列.若丁,＜小

恒成立，則加的最小值為

【方法技巧】

分離參數，轉化為最值問題.

【變式5-1］已知數列｛%｝的前〃項和為S“，且滿足S“=2a,「2,若+”對于任意的正整數〃恒

成立，則實數2的取值范圍為一.

【變式5-2］（2024.高三.重慶?期中）巴知數列｛4｝滿足%=2,an+l=3an+2,若對任意正整數“21都有

乂4+1）22〃-3恒成立,則上的取值范圍是—.

【變式5-3］（2024.全國.模擬預測）已知數列｛見｝滿足%+%=2〃-1,若%＞?！皩Α癳N*恒成立，則為

的取值范圍為—.

題型六：遞推數列問題

【典例6-1】（2024?天津.二模）在數列｛%｝中，若即/2…4=3'2-2"（aeN*）,則%的值為（）

A.1B.3C.9D.27

【典例6-2】（2024?重慶.模擬預測）己知數列｛%｝滿足：4=1,—=收一上加數，則￡4（）

''為假致k=l

A.511B.677C.1021D.2037

【方法技巧】

列舉法

【變式6-1］（2024?貴州遵義?一模）數列｛”"｝滿足q=；,對任意正整數p,q都有4%=（工+,）?！瑒t

2pq

&=（）

%

1632

A.4B.—C.6D.—

33

【變式6-2］（2024?廣東汕頭.三模）如圖的形狀出現在南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，

后人稱為“三角垛”.已知一個三角垛，最頂層有1個小球，第二層有3個，第三層有6個，第四層有10個,

則第30層小球的個數為（）

A.464B.465C.466D.467

【變式6?3】圖一是美麗的“勾股樹”，它是一個直角三角形分別以它的每一邊向外作正方形而得到.圖二

是第1代“勾股樹”，重復圖二的作法，得到圖三為第2代“勾股樹”，以此類推，已知最大的正方形面積為1,

則第〃代“勾股樹”所有正方形的個數與面積的和分別為()

圖一圖二圖三

A.2〃一1;nB.2〃一1;n+1

C.2n+l-1;nD.2n+1-l;n+1

【變式6-4】某劇場有30排座位，第一排有20個座位，從第二排起，后一排都比前一排多2個座位.

⑴寫出前五排座位數.

(2)第n排與第〃+1排座位數有何關系？

⑶第〃排座位數為與第〃+1排座位數。用能用等式表示嗎？

【變式6-5］觀察下面的圖形及相應的點數，回答

???????????????

???????????????????

381524

⑴寫出圖中點數構成的數列｛%｝的一個遞推公式；并根據這個遞推公式，求出數列｛%｝的通項公式;

⑵若S,是數列卜勺前〃項和，證明：5?<|.

3

1q

1.（2023年北京高考數學真題）已知數列｛q｝滿足?=4（?！?6）3+6（〃=1,2,3,）,則（）

A.當[=3時，｛g｝為遞減數列，且存在常數MW0,使得恒成立

B.當％=5時，｛%｝為遞增數列，且存在常數M46,使得4<加恒成立

C.當弓=7時，｛%｝為遞減數列，且存在常數6,使得4>M恒成立

D.當％=9時，｛%｝為遞增數列，且存在常數M>0,使得見恒成立

2.（2022年新高考浙江數學高考真題）已知數列｛4｝滿足q=1,“用=《-gd（weN*）,則（）

5577

A.2<100。[℃<—B.—<100〃[℃<3C.3<100〃[℃<—D.—<100tz<4

IUU22iuuiuu22i1nUnU

3.（2022年高考全國乙卷數學（理）真題）嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務后，繼續(xù)進行深空探測，成為我

國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數列也J：

1b=1+---b｝=1+—n—

4=1+一,2“上工，%+-----r,…，依此類推，其中%?N*伏=1,2,）.貝U（）

1

%十zyI

%。2+—

a3

A.bx<b5B.&<4C.b6<b2D.b4<by

4.（2022年新高考北京數學高考真題）己知數列｛4｝各項均為正數，其前〃項和S“滿足

%.S“=95=1,2,.“）.給出下列四個結論：

①｛4｝的第2項小于3；②｛《｝為等比數列；

③｛為｝為遞減數列；④｛4｝中存在小于焉的項.

其中所有正確結論的序號是.

課本典例?高考素材

1.根據下列條件，寫出數列也｝的前5項:

1

(1)q=l,a?=a?-1+2"-(n>2)；

2

=a

(2)4=3,an~n-i+1(?^2).

2.已知數列｛氏｝滿足q=2,??=2--（n>2）,寫出它的前5項，并猜想它的通項公式.

an-\

3.寫出下列數列的前10項，并繪出它們的圖像：

（1）素數按從小到大的順序排列成的數列；

（2）歐拉函數姒"）5eN）的函數值按自變量從小到大的順序排列成的數列.

4.已知數列｛%｝的第1項是1,第2項是2,以后各項由=%_1+%,_2（〃>2）給出.

（1）寫出這個數列的前5項；

（2）利用數列㈤｝,通過公式勿=如構造一個新的數列他,｝,試寫出數列低｝的前5項.

an

5.假設某銀行的活期存款年利率為0.35%某人存10萬元后，既不加進存款也不取款，每年到期利息連同

本金自動轉存，如果不考慮利息稅及利率的變化，用4表示第〃年到期時的存款余額，求％、出、%及%.

6.已知函數〃x)=q!(xeR),設數列｛g｝的通項公式為%=/(〃)(〃eN*).

(1)求證

(2)｛%｝是遞增數列還是遞減數列？為什么？

㈤6

A易錯分析-答題模板w

易錯點：對數列的概念理解不準

易錯分析：解題時容易找不到數列中的每項之間的相似地方，總結不出來一般規(guī)律。

【易錯題I】已知數列｛的的前5項依次為1艮1,daoS則｛%｝的一個通項公式為4=

Q1C,4

【易錯題2】數列-1,…的一個通項公式是

答題模板：數列單調性的判斷與應用

1、模板解決思路

判斷數列的單調性的方法，一般采用作差法比較數列中相鄰兩項的大??；當數列各項符號相同時,

也可用作商法比較；還可以利用數列通項公式所對應的函數的單調性判斷數列的單調性.

2、模板解決步驟

第一步：根據條件求出數列的通項公式.

第二步：作差（或作商3）,并化簡.

an

第三步：討論q+i-?！ㄅc0（或&包與1）的大小，得出數列的單調性.

an

【典型例題1】設等比數列｛%｝的前"項和為S"，貝『'｛0｝是遞增數列”是“￡｝是遞增數列”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【典型例題2］已知數列｛q｝的通項公式為?！?初2一〃一2,若｛%｝為遞增數列，則上的取值范圍為（）

A.（1,+co）B.（O,+<?）C.■'+cojD.

第01講數列的基本知識與概念

目錄

01考情透視?目標導航............................................................2

02知識導圖?思維引航............................................................3

03考點突破?題型探究............................................................4

知識點1：數列的概念............................................................4

知識點2：數列的分類............................................................4

知識點3:數列的兩種常用的表示方法..............................................5

解題方法總結...................................................................5

題型一：數列的周期性...........................................................5

題型二：數列的單調性...........................................................6

題型三：數列的最大（?。╉?....................................................8

題型四：數列中的規(guī)律問題.......................................................9

題型五：數列的恒成立問題......................................................10

題型六：遞推數列問題..........................................................11

04真題練習?命題洞見............................................................13

05課本典例?高考素材............................................................14

06易錯分析?答題模板............................................................15

易錯點：對數列的概念理解不準..................................................15

答題模板：數列單調性的判斷與應用..............................................15

春情目標導航

考點要求考題統(tǒng)計考情分析

2023年北京卷第10題，4分

(1)數列的概念高考對數列概念的考查相對較少，考查內

2022年乙卷(理)第4題，5分

(2)數列的分類容、頻率、題型、難度均變化不大.重點是數列

2021年北京卷第10題，4分

(3)數列的性質與函數結合考查單調性、周期性、最值性.

2020年浙江卷第11題，4分

復習目標：

(1)了解數列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式).

(2)了解數列是自變量為正整數的一類特殊函數.

//二知識導圖?思維引航\\

數列的定義：按照一定順序排列的

一列數稱為數列，數列中的每一個

數叫做這個數列的項.

數列的概念)

數列與函數的關系：從函數觀點看，數列可以看成

以正整數集N?為定義域的函數%=/(”)當自變量

按照從小到大的順序依次取值時所對應的一列函數值

按照項數分：有限和無限

增數列

數列的基本知識與概念數列的分類

減數列

按單調性來分

常數列

擺動數列

數列的兩種常用的表示方法

老占堂硒■題理探點

知識固本

知識點1:數列的概念

（1）數列的定義：按照二定順序排列的一列數稱為數列，數列中的每二個數叫做這個數列的項.

（2）數列與函數的關系：從函數觀點看，數列可以看成以正整數集N*（或它的有限子集｛1,2,...,?｝）

為定義域的函數=/（〃）當自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應的一列函數值.

（3）數列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和通項公式法.

【診斷自測】下列說法中，正確的是（）

A.數列2,4,6,8可表示為集合｛2,4,6,8｝

B.數列1,2,3,4與數列4,3,2,1是相同的數列

C.數列｛/+〃｝的第七項為Y+無

D.數列0,123,4,可記為｛處

【答案】C

【解析】對于A,由數列的定義易知A錯誤；

對于B,兩個數列排列次序不同，是不同的數列，故B錯誤；

對于C,數列｛"+"｝的第％項為r+月,故C正確;

對于D,因為OeN,所以〃eN,這與數列的定義不相符，故D錯誤.

故選：C.

知識點2：數列的分類

（1）按照項數分：有限和無限

遞增數列：an+l>an

遞減數列：a,#]>a

（2）按單調性來分:n

常數列：an+l—an=C（常數）

擺動數列

【診斷自測】已知函數〃X)=X+：,設為=/(")(〃€$),則下列說法中埼識的是()

A.｛%｝是無窮數列B.｛%｝是遞增數列

C.｛q｝不是常數列D.｛?！埃杏凶畲箜?/p>

【答案】D

【解析】對于A,｛%｝顯然是無窮數列，故A正確；

對于B,因為%+i-%=〃+1+」：一〃—，=1—J〉0,即?！矗?｝是遞增數列，故B正確；

對于C,因為4=2,%=2+：=[,4X的,故｛““｝不是常數列，故C正確；

對于D,由B知，｛為｝是遞增數列，當〃趨近于無窮大時，氏="+,也趨近于無窮大，所以｛%｝中無最大

項，故D錯誤.

故選:D

知識點3：數列的兩種常用的表示方法

(1)通項公式：如果數列｛為｝的第".項與序號”之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫

做這個數列的通項公式.

(2)遞推公式：如果已知數列｛0｝的第1項(或前幾項)，且從第二項(或某一項)開始的任一項與

它的前一項(或前幾項)間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的遞推公式.

【診斷自測】“eN*,數列1,-3,7,-15,31,…的一個通項公式為()

,!

A.=(2"-l)cosraiB.an=(l-2)sin-^

C.??=2"-lD.??=(-1)"(1-2K)

【答案】D

【解析】對于選項A：因為4=(2-l)cos7t=-lwl,故A錯誤；

對于選項B：因為%=(1-2?卜由兀=0#-3,故B錯誤；

對于選項C：因為%=展-1=37-3,故C錯誤；

對于選項D：檢驗可知對〃=1,2,3,4,5均成立，故D正確；

故選：D.

解題方法總結

（Sn=l

（1）若數列｛4｝的前〃項和為S〃，通項公式為則%=?'*

[Sn-，n>2,neN

注意：根據S“求a”時，不要忽視對〃=1的驗證.

（2）在數列伍"｝中，若4,最大，則卜"一,若4,最小，則].

[a?>an+i[an<an+1

題型一：數列的周期性

2gM"<g

4

【典例1-1]在數列｛q｝中，an+l，右W，則“2020()

2a,-1,41

1

ABD.-

-1-15

【答案】C

。1

2%,%<5

且4=t，

【解析】因為a'.n+\

1

>—

2

2

所以｛4｝是以4為周期的周期數列，所以。2020=04x504+4=%=M-

故選：C

【典例1-2】（2024.陜西安康.模擬預測）在數列｛4｝中，%>0,4=1,4=0，若對

VweN*,a；+a3+a3=10,則出。24=()

A.-y/2B.1C.~J3D.5/5

【答案】A

a

【解析】由a3+*2+43=1。與d+a3+n+2=10相減得：*3-Y=。，

即（。"+3一。"）（?！?3+4,）=。，又a”＞。,故