因錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問(wèn)題【八大題型】

?題型歸納

【題型1直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題】.....................................................................2

【題型2存在定點(diǎn)滿足某條件問(wèn)題】............................................................3

【題型3面積定值問(wèn)題】.......................................................................5

【題型4斜率的和差商積定值問(wèn)題】............................................................6

【題型5向量數(shù)量積定值問(wèn)題】.................................................................8

【題型6線段定值問(wèn)題】.......................................................................9

【題型7角度定值問(wèn)題】......................................................................10

【題型8動(dòng)點(diǎn)在定直線上問(wèn)題】................................................................12

?命題規(guī)律

1、圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問(wèn)題

圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問(wèn)題是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，從近幾年的高考情況來(lái)看，此類問(wèn)

題考查頻率較高，此類問(wèn)題一般有直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題、滿足某條件的定點(diǎn)問(wèn)題、定值問(wèn)題以及定直線問(wèn)題等,

主要在解答題中考查，選擇、填空題中考查較少，在解答題中考查時(shí)綜合性強(qiáng)，難度較高.

?方法技巧總結(jié)

【知識(shí)點(diǎn)1圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題】

1.圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題

圓錐曲線中的定點(diǎn)定值問(wèn)題一般與圓錐曲線的基本量和題設(shè)條件中的給定的點(diǎn)或值有關(guān)，曲線過(guò)定點(diǎn)

問(wèn)題以直線過(guò)定點(diǎn)居多，定點(diǎn)問(wèn)題其實(shí)也可以歸結(jié)到定值問(wèn)題(定點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)為定值).這類問(wèn)題用函數(shù)的思

想方法來(lái)處理，具體操作流程如下：

(1)變量一一選擇合適的參變量；

(2)函數(shù)一一要證明為定值的量表示出參數(shù)的函數(shù)；

(3)定值一一化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，消去參數(shù)得定值.

一些存在性問(wèn)題，是否存在定點(diǎn)使得某一個(gè)量為定值，是否存在定值使得某一量為定值，是否存在定

點(diǎn)使得曲線過(guò)定點(diǎn)，是否存在定值使得曲線過(guò)定點(diǎn)，可以看做定點(diǎn)定值問(wèn)題的延伸.

2.定點(diǎn)問(wèn)題的求解思路：

一是從特殊入手，求出定點(diǎn)，再證明這個(gè)點(diǎn)與變量無(wú)關(guān)；

二是直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算過(guò)程中消去變量，從而得到定點(diǎn).

3.過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的兩大類型及解法

(1)動(dòng)直線/過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題

解法：設(shè)動(dòng)直線方程(斜率存在)為y-kx+t,由題設(shè)條件將t用k表示為t=mk+n,得y=fc(x+m)

+n,故動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)(—m,ri)；

(2)動(dòng)曲線C過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題

解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對(duì)參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點(diǎn).

4.定值問(wèn)題的求解思路：

將問(wèn)題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角式，證明該式的值與參數(shù)無(wú)關(guān).

5.求解定值問(wèn)題的三個(gè)步驟

(1)由特例得出一個(gè)值，此值一般就是定值；

(2)證明定值，有時(shí)可直接證明定值，有時(shí)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)(某些變量)

無(wú)關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；

(3)得出結(jié)論.

【知識(shí)點(diǎn)2圓錐曲線中的定直線問(wèn)題】

1.圓錐曲線中的定直線問(wèn)題

定直線問(wèn)題是指因圖形變化或點(diǎn)的移動(dòng)而產(chǎn)生的動(dòng)點(diǎn)在定直線上的問(wèn)題.這類問(wèn)題的核心在于確定定點(diǎn)

的軌跡，主要方法有：

(1)設(shè)點(diǎn)法：設(shè)點(diǎn)的軌跡，通過(guò)已知點(diǎn)軌跡，消去參數(shù)，從而得到軌跡方程；

(2)待定系數(shù)法：設(shè)出含參數(shù)的直線方程、待定系數(shù)法求解出系數(shù)；

(3)驗(yàn)證法：通過(guò)特殊點(diǎn)位置求出直線方程，對(duì)一般位置再進(jìn)行驗(yàn)證.

?舉一反三

【題型1直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題】

【例1】(2024?河南周口?模擬預(yù)測(cè))已知橢圓與=l(a>6>0)的焦距為2,不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。且斜

率為1的直線I與C交于尸，0兩點(diǎn)，4為線段的中點(diǎn)，直線04的斜率為一：

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)B(2,0),直線P8與C的另一個(gè)交點(diǎn)為M,直線。8與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N,其中M,N均不為橢圓C的頂

點(diǎn)，證明：直線過(guò)定點(diǎn).

【變式1-1](2024?江西九江?二模)已知雙曲線黨|—l(a>0力>0)的離心率為心點(diǎn)P(3,4)在C上.

⑴求雙曲線C的方程；

(2)直線I與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)4B,若直線P4PB的斜率互為倒數(shù)，證明：直線I過(guò)定點(diǎn).

【變式1-2](2024?云南?模擬預(yù)測(cè))拋物線「:產(chǎn)=2px(p>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(l,—2),焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F且

傾斜角為。的直線/與拋物線「交于點(diǎn)力，B,如圖.

(1)求拋物線「的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)當(dāng)時(shí),求弦|4B|的長(zhǎng);

(3)已知點(diǎn)P(2,0),直線AP,BP分別與拋物線「交于點(diǎn)C,D.證明：直線CD過(guò)定點(diǎn).

【變式1-31(2024?貴州貴陽(yáng)?二模)已知橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)是(一8,0).直線=任》+比與直線Sy=矽

x+打關(guān)于直線〃y=%+1對(duì)稱，且相交于橢圓E的上頂點(diǎn).

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求七七的值；

(3)設(shè)直線分別與橢圓E另交于P,Q兩點(diǎn)，證明：直線PQ過(guò)定點(diǎn).

【題型2存在定點(diǎn)滿足某條件問(wèn)題】

【例2】(2024?新疆喀什?三模)已知雙曲線E：/—3產(chǎn)=3的左、右焦點(diǎn)分別為％,F2,4是直線八

y=—然(其中a是實(shí)半軸長(zhǎng)，c是半焦距)上不同于原點(diǎn)。的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，斜率為的的直線4%與雙曲線E交

于M,N兩點(diǎn)，斜率為后的直線ZF2與雙曲線E交于P,Q兩點(diǎn).

11

(1)求甚+記的值；

(2)若直線。M,ON,OP,OQ的斜率分別為岫”，k0N,k0P,k0Q,問(wèn)是否存在點(diǎn)4滿足初〃++

k0Q=0,若存在，求出力點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

【變式2-1](2024?陜西榆林?模擬預(yù)測(cè))已知橢圓C：捻+:=l(a>b>0)的左，右焦點(diǎn)分別為Fi

(―c,0)，F(xiàn)2(C,0),過(guò)松的直線與橢圓C交于N兩點(diǎn)，且△MN%的周長(zhǎng)為8,△MF/2的最大面積為

V3.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)b>l,是否存在x軸上的定點(diǎn)P,使得△PMN的內(nèi)心在x軸上，若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式2-2](2024?四川雅安一模)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P(2,0)的動(dòng)直線均拋物線=4%相交于4B

兩點(diǎn).

⑴求才??甌

(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，是否存在不同于點(diǎn)P的定點(diǎn)Q,使得乙4QP=/BQP恒成立？若存在，求出點(diǎn)Q

的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式2-3](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(3,注)在雙曲線C:^—'=l(a>0,b>0)±,

漸近線方程為久-V3y=0.

(1)求雙曲線C的方程；

⑵過(guò)點(diǎn)P,1)作直線I與雙曲線C交于48兩點(diǎn)，在x軸上是否存在一定點(diǎn)Q,使得直線Q2與QB的斜率之和為

定值？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【題型3面積定值問(wèn)題】

【例3】(23-24高二下?貴州遵義期中)已知雙曲線噂一f|=l(a>0力〉0)的離心率為孝，虛軸長(zhǎng)為2

V3.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若動(dòng)直線/與雙曲線C恰有1個(gè)公共點(diǎn)，且分別與雙曲線C的兩條漸近線交于尸，。兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原

點(diǎn)，證明：△OPQ的面積為定值.

【變式3-1](2024?江蘇蘇州?模擬預(yù)測(cè))已知橢圓償+'=l(a>b>0),y與圓/+尸=a?—〃在

第一、第二象限分別交于。、P兩點(diǎn)，且滿足/-POQ=pPQ=1,

(1)求橢圓y的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)A是橢圓上的一點(diǎn)，若存在橢圓的弦BC使得OA//BC.OA=BC,求證:四邊形O4BC的面積為定值.

【變式3-2](2024?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè))已知4(—1,0),B(l,0),平面上有動(dòng)點(diǎn)P,且直線&P的斜率與直線

BP的斜率之積為1.

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡。的方程.

(2)過(guò)點(diǎn)/的直線與。交于點(diǎn)M(M在第一象限)，過(guò)點(diǎn)B的直線與。交于點(diǎn)N(N在第三象限)，記直線4M,

BN的斜率分別為七，k2,且好=4七.試判斷aAMN與aBUN的面積之比是否為定值，若為定值，請(qǐng)求出

該定值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式3-3](2024?河北衡水?三模)已知拋物線C:/=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,過(guò)F且傾斜角為方的直線/與C

交于48兩點(diǎn).直線0，L與。相切，切點(diǎn)分別為4&k，%與久軸的交點(diǎn)分別為。，月兩點(diǎn)，且1?；?

2V3

⑴求C的方程；

(2)若點(diǎn)「為。上一動(dòng)點(diǎn)(與48及坐標(biāo)原點(diǎn)均不重合)，直線％與C相切，切點(diǎn)為P,b與6的交點(diǎn)分別為

G,H.記△DFG,的面積分別為Si，S2.

①請(qǐng)問(wèn)：以G,"為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由；

②證明：為定值.

【題型4斜率的和差商積定值問(wèn)題】

【例4】(2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))已知橢圓。今2+:2=l(a>6>0)的離心率為f-1橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的

距離的最大值為3.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)4,8兩點(diǎn)為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)尸(異于左、右頂點(diǎn))為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，直線尸/,尸2的斜

率分別為七，k2,求證：為定值.

【變式4-1](2024?浙江紹興?三模)設(shè)雙曲線C：1(a>0,b>0)的一條漸近線為久—3y=0,

焦點(diǎn)到漸近線的距離為1.41，4分別為雙曲線C的左、右頂點(diǎn)，直線1過(guò)點(diǎn)7(2,0)交雙曲線于點(diǎn)M,N,記

直線M4,M42的斜率為七，k2.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)求證裝為定值.

【變式4-2](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知雙曲線嗒一餐=l(a>0,6>0)的離心率為%且點(diǎn)(一4四,3)在

雙曲線C上.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)過(guò)點(diǎn)P(0,l)的直線I與雙曲線C的左、右兩支分別交于點(diǎn)4B.問(wèn)：在y軸上是否存在定點(diǎn)Q,使直線4Q與BQ

的斜率之和為定值？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式4-3](2024?天津?yàn)I海新?三模)已知橢圓M：g+1(a>b>0)的離心率為，4B分別為橢圓

的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，尸1為左焦點(diǎn)，且的面積為手.

(1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)橢圓M的右頂點(diǎn)為C,P是橢圓M上不與頂點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn).

①若點(diǎn)P(i,yo)(y0>。)，點(diǎn)。在橢圓M上且位于支軸下方，設(shè)aapc和△DPC的面積分別為S1，S2.若

S1-S2=求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

②若直線4B與直線CP交于點(diǎn)Q,直線BP交支軸于點(diǎn)N,設(shè)直線QN和直線QC的斜率為％N，kQC,求證：2kQN

—/CQC為定值，并求出此定值.

【題型5向量數(shù)量積定值問(wèn)題】

[例5]⑵-24高三上?天津河北?期末)設(shè)橢圓E:5+f|=l(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為Fi,&，短軸的兩

個(gè)端點(diǎn)為48,且四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形CD分別是橢圓的左右頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足MD1CD,連

接CM，交橢圓E于點(diǎn)P.

(1)求橢圓E的方程；

(2)求證：而T方為定值.

【變式5-1](23-24高三上?上海嘉定?階段練習(xí))已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，D(1,O)是它的一個(gè)頂點(diǎn).2=(1,

魚)是它的一條漸近線的一個(gè)方向向量.

⑴求雙曲線C的方程；

(2)設(shè)P(O,1),〃為雙曲線右支上動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)1PM取得最小時(shí)，求四邊形即的面積；

(3)若過(guò)點(diǎn)(一3,0)任意作一條直線與雙曲線C交于/,B兩點(diǎn)(A,8都不同于點(diǎn)。)，求證:畫?麗為定值.

【變式5-2](2024?河北保定?三模)設(shè)橢圓C：9+看=l(0<b<V7)的左、右頂點(diǎn)和橢圓若|+亨=1的

左、右焦點(diǎn)均為E,EP是C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(異于E,尸)，已知直線EP交直線人：久=V7于點(diǎn)/,直線燈

交直線，2：%=一V7于點(diǎn)8.直線48與橢圓「交于點(diǎn)M，N,。為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)若b為定值，證明：瓦？?麗為定值；

(2)若直線ON,ON的斜率之積恒為—《求A

【變式5-3](2024?河北石家莊?二模)己知M為平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M到定直線x=1的距離與到定點(diǎn)F(2,0)

距離的比等于孝，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)F的直線Z與曲線C交于4B兩點(diǎn),在x軸上是否存在點(diǎn)P,使得西?麗為定值？若存在，求出該定值;

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【題型6線段定值問(wèn)題】

【例6】(2024?河南濮陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))已知雙曲線嗒一卷=1(￡1>0力>0)尸1尸2分別是。的左、右焦點(diǎn).若

。的離心率e=2,且點(diǎn)(4,6)在C上.

⑴求C的方程；

⑵若過(guò)點(diǎn)尸2的直線，與C的左、右兩支分別交于48兩點(diǎn)，與拋物線產(chǎn)=16x交于P,Q兩點(diǎn)，試問(wèn)是否存在常

數(shù)九使得高1-合2為定值？若存在，求出常數(shù);I的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

29

【變式6-1](2024?山東荷澤?模擬預(yù)測(cè))已知橢圓C蚩+:=l(a>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為%,尸2,點(diǎn)

4(8,1)在橢圓C上，點(diǎn)8與點(diǎn)4關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，四邊形的面積為4.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線l：x—my—幾=0與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn).與%軸交于點(diǎn)N.試判斷是否存在ne(—逐,竭，使得

向1+意1為定值？若存在，求出n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式6-2](2024?四川內(nèi)江?三模)己知拋物線E的準(zhǔn)線方程為：x=-l,過(guò)焦點(diǎn)尸的直線與拋物線E交

于N、8兩點(diǎn)，分別過(guò)/、8兩點(diǎn)作拋物線E的切線，兩條切線分別與y軸交于C、。兩點(diǎn)，直線C尸與拋

物線E交于“、N兩點(diǎn)，直線DF與拋物線E交于尸、0兩點(diǎn).

(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)證明：意+高為定值.

2

【變式6-3](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知雙曲線從會(huì)一步=1的左、右焦點(diǎn)分別為％,F2,左、右頂點(diǎn)分

別為公，A2,橢圓E以公，4為焦點(diǎn)，以FF2為長(zhǎng)軸.

(1)求橢圓E的離心率；

(2)設(shè)點(diǎn)滿足小2<4",過(guò)M且與雙曲線H的漸近線平行的兩直線分別交”于點(diǎn)P,Q,過(guò)時(shí)且與PQ平

行的直線交”的漸近線于點(diǎn)S,T.證明：猊為定值，并求出此定值.

【題型7角度定值問(wèn)題】

【例7】(2024?山西?三模)已知拋物線E：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)尸到準(zhǔn)線的距離為2,O為坐標(biāo)原點(diǎn).

⑴求E的方程；

(2)已知點(diǎn)T(t,0),若E上存在一點(diǎn)P,使得麗?丙=—1,求/的取值范圍；

(3)過(guò)“(一4,0)的直線交￡于4,8兩點(diǎn)，過(guò)N(—4,4場(chǎng)的直線交￡于出C兩點(diǎn)，B,C位于x軸的同側(cè),

證明：NBOC為定值.

【變式7-1](23-24高三下?云南昆明?階段練習(xí))平面上一動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿足—2)2+”—履+2)2+”

=2.

(1)求p點(diǎn)軌跡r的方程；

⑵己知4(—2,0),B(l,o),延長(zhǎng)尸/交「于點(diǎn)。，求實(shí)數(shù)m使得NP4B=MNPB4恒成立，并證明：乙PBQ為

定值

【變式7-2](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C：/—？=1的右焦點(diǎn)為5人必

分別為雙曲線C的左、右頂點(diǎn)，過(guò)尸的直線[與C的右支相交于點(diǎn)M,N.

(1)若直線4M/1N分別與線段042的垂直平分線相交于點(diǎn)PQ，求而-質(zhì)的值.

(2)當(dāng)直線/任意旋轉(zhuǎn)時(shí)，試問(wèn)：羌察是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式7-3](2024?浙江寧波?二模)己知雙曲線C:y2—久2=1,上頂點(diǎn)為0,直線/與雙曲線C的兩支分別交

于4B兩點(diǎn)(B在第一象限)，與x軸交于點(diǎn)「設(shè)直線。4DB的傾斜角分別為a,反

⑴若r停,0),

(i)若4(0,-1),求伙

(ii)求證：a+￡為定值；

(2)若￡=也直線DB與x軸交于點(diǎn)E,求△BET與△4DT的外接圓半徑之比的最大直

【題型8動(dòng)點(diǎn)在定直線上問(wèn)題】

【例8】(2024?北京?三模)已知橢圓E:《+卷=l(a〉6>0)的短軸長(zhǎng)為2存左、右頂點(diǎn)分別為C,。，過(guò)

右焦點(diǎn)尸(1,0)的直線咬橢圓E于48兩點(diǎn)(不與&D重合)，直線AC與直線BD交于點(diǎn)T.

(1)求橢圓E的方程；

(2)求證：點(diǎn)T在定直線上.

【變式8-1](2024?湖南婁底?一模)若拋物線「的方程為產(chǎn)=4居焦點(diǎn)為F,設(shè)P,Q是拋物線「上兩個(gè)不同的

動(dòng)點(diǎn).

⑴若|PF|=3,求直線P尸的斜率;

(2)設(shè)PQ中點(diǎn)為R,若直線PQ斜率為孝，證明R在一條定直線上.

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【變式8-2］（2024?河北衡水?模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓。a+左=1（。>。>0）的左、右焦點(diǎn)分別為

是C上一點(diǎn)，且點(diǎn)M到點(diǎn)％,出的距離之和為2g.

⑴求C的方程；

（2）斜率為的直線I與C交于48兩點(diǎn)，則4MaB的外心是否在一條定直線上？若在，求出該直線的方程；若

不在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式8-3］（2024?貴州遵義一模）已知雙曲線唁一看=1（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為%,

F2,直線y=3與C的左、右兩支分別交于M,N兩點(diǎn),四邊形MF1F2N為矩形，且面積為12.

⑴求四邊形MF1&N的外接圓方程；

（2）設(shè)48為C的左、右頂點(diǎn)，直線1過(guò)點(diǎn)（一3,0）與C交于P,Q兩點(diǎn)（異于4,B）,直線2P與8Q交于點(diǎn)R,

證明：點(diǎn)R在定直線上.

?過(guò)關(guān)測(cè)試

一、單選題

1.（2024?山東?模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C：%2=4y,過(guò)直線Lx+2y=4上的動(dòng)點(diǎn)P可作C的兩條切線，記

切點(diǎn)為4B,則直線48（）

A,斜率為2B.斜率為±2C.恒過(guò)點(diǎn)（0,—2）D.恒過(guò)點(diǎn)（—1,—2）

2.（2024?河南信陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：?+產(chǎn)=1的下頂點(diǎn)為工,斜率不為0的直線I與C交于2,D

兩點(diǎn)，記線段8。的中點(diǎn)為E,若力E1B。，貝I」（）

A.點(diǎn)E在定直線y=：上B.點(diǎn)E在定直線y=|■上

C.點(diǎn)￡在定直線丫=，上D.點(diǎn)E在定直線y=；上

o4-

3.（23-24高二上?上海浦東新?期末）已知雙曲線「：1,點(diǎn)尸為曲線「在第三象限一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以下

Z.D

兩個(gè)命題，則（）

①點(diǎn)尸到雙曲線兩條漸近線的距離為由，d2,貝兔「42為定值.

②己知/、8是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱不同于尸的兩個(gè)點(diǎn)，若加、依的斜率存在且分別為好，k2,則

的為定值.

A.①真②真B.①假②真

C.①真②假D.①假②假

4.（2024?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓著+菅=1的左、右頂點(diǎn)為/、

B,右焦點(diǎn)為F.設(shè)過(guò)點(diǎn)7（9即）的直線"、窗與此橢圓分別交于點(diǎn)M（%,為）、NCx2,y2）,其中m>0,月

A.（1,0）B.（-1,0）

C.（0,-1）D.（0,1）

5.（2024?甘肅定西?一模）已知橢圓嗒+y=i（a>1）的離心率為手,P是C上任意一點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，P

到x軸的距離為d,則（）

A.4|OP|2—d2為定值B.3|OP|2—d2為定值

C.|OP『+4d2為定值D.|OP『+3d2為定值

6.（2024?湖南長(zhǎng)沙?二模）已知4、B分別為雙曲線C:/—9=1的左、右頂點(diǎn)，過(guò)雙曲線C的左焦點(diǎn)F作直

線PQ交雙曲線于P、Q兩點(diǎn)（點(diǎn)P、Q異于力、B）,則直線4P、BQ的斜率之比七P：/Q?Q=（）

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A.——B.——C.-3D.——

7.（23-24高三下?河南鄭州?階段練習(xí)）已知曲線C:/=a2/（a>0）與直線y=2x+4有3個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)

4、B是曲線C上關(guān)于y軸對(duì)稱的兩動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)4在第一象限），點(diǎn)M、N是x軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩定點(diǎn)（點(diǎn)M

在無(wú)軸正半軸上），若|AB|—|AM|—|8N|為定值，則該定值為（）

A.8B.16C.-8D.-16

8.（2024?黑龍江哈爾濱?二模）如圖，P,M,Q,N是拋物線E:y2=4%上的四個(gè)點(diǎn)（P，〃在無(wú)軸上方,

0,N在無(wú)軸下方），已知直線P0與的斜率分別為一日和2,且直線尸。與相交于點(diǎn)G,則

\PGV\GQ\_

\MG\-\GN\一,,

二、多選題

9.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C§—f=1的右焦點(diǎn)為尸，動(dòng)點(diǎn)M,N在直線—=|上，且FM1FN,

線段FM交C于點(diǎn)P,過(guò)P作/的垂線，垂足為R,則（）

A.的面積B.黑=噂

C.\MR\-\HN\=\FH\-\PR\D.扁\MP扁\-\N為F\定值

10.（2024?江蘇蘇州?模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于拋物線y:y2=2px,（p>0）乃是它的焦點(diǎn)，y的準(zhǔn)線與x軸交于T,過(guò)

點(diǎn)7作斜率為k（k>0）的直線與y依次交于B、/兩點(diǎn)，使得恰有BT-BF=0,下列說(shuō)法正確的是（）

A.k是定值，p不是定值

B.k不是定值，p也不是定值

C.4、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)乘積為定值

D.記AB中點(diǎn)為M,則/和/橫坐標(biāo)之比為定值

11.（2024?浙江金華?模擬預(yù)測(cè)）己知橢圓5+V=1,。為原點(diǎn)，過(guò)第一象限內(nèi)橢圓外一點(diǎn)P（久o，yo）作橢圓

1

的兩條切線，切點(diǎn)分別為4B.記直線。4。8,4PB的斜率分別為七,的,七,瓢，若七貝1J（）

A.直線48過(guò)定點(diǎn)B.（如+瓢）?（的+七）為定值

C.久o—見的最大值為2D.5久o—3yo的最小值為4

三、填空題

12.（2024?四川宜賓?二模）已知尸為拋物線C:久2=—8y的焦點(diǎn)，過(guò)直線0=4上的動(dòng)點(diǎn)M作拋物線的切線,

切點(diǎn)分別是P,Q,則直線PQ過(guò)