黑龍江省哈爾濱市第三中學20242025學年高三上學期期中考試數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.[1，4]【答案】A【解析】【分析】先化簡集合，再利用交集定義即可求得.【詳解】故故選：A2.已知向量，滿足，其中是單位向量，則在方向上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由模的平方得數(shù)量積與的關(guān)系，再代入投影向量公式可得.【詳解】因為平方得，,又，則化簡得，故在方向上的投影向量是.故選：D．3.已知函數(shù)，則“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)在上單調(diào)遞增等價條件，再利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】由函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，解得，充分性，當“”時，函數(shù)在上不一定單調(diào)遞增，故充分性不成立，必要性，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，故必要性成立，則“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的必要不充分條件.故選：B4.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題給條件求得的值，進而求得的值.【詳解】由，可得，則，則，則，故故選：C5.已知圓和，若動圓與這兩圓一個內(nèi)切一個外切，記該動圓圓心的軌跡為，則的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用橢圓定義得到該動圓圓心的軌跡為橢圓，進而得到的方程.【詳解】圓，圓心，半徑，圓，圓心，半徑，因為所以圓在圓內(nèi)，所以動圓與圓內(nèi)切與圓外切，設(shè)動圓半徑為r，圓心，則，，故，所以動點軌跡是以為焦點長軸長為的橢圓.由，解得，所以，又因為該橢圓的中心在原點，焦點在y軸上，所以的方程為.故選：C6.如圖，三棱柱中，E，F(xiàn)分別是AB、AC中點，平面將三棱柱分成體積為（左為，右為）兩部分，則（）A.5:6 B.3:4 C.1:2 D.5:7【答案】D【解析】【分析】設(shè)面積為，和的面積為，三棱柱高為；；；總體積為：，根據(jù)棱臺體積公式求；以及面積關(guān)系，求出體積之比．【詳解】由題：設(shè)面積為，和的面積為，三棱柱高為；；；總體積：計算體積：①②③由題意可知，④根據(jù)①②③④解方程可得：，；則.故選：D．7.專家表示，海水倒灌原因是太陽、月亮等星體的共同作用下，海水的自然漲落，如果天氣因素造成的漲水現(xiàn)象趕上潮汐高潮的時候，這個時候水位就會異常的高.某地發(fā)生海水倒灌，未來24h需要排水減少損失，因此需要緊急抽調(diào)抽水機.經(jīng)測算，需要調(diào)用20臺某型號抽水機，每臺抽水機需要平均工作24h.而目前只有一臺抽水車可立即投入施工，其余抽水機需要從其他施工現(xiàn)場抽調(diào).若抽調(diào)的抽水機每隔20min才有一臺到達施工現(xiàn)場投入工作，要在24h內(nèi)完成排水任務(wù)，指揮部至少共需要抽調(diào)這種型號的抽水機（）A.25臺 B.24臺 C.23臺 D.22臺【答案】B【解析】【分析】設(shè)至少需要臺抽水機，記一臺抽水機20min完成的任務(wù)為單位1，臺抽水機完成的任務(wù)依次為，，是公差為的等差數(shù)列，解不等式即可得．不等式數(shù)字較大，引入二次函數(shù)后，利用函數(shù)的性質(zhì)確定結(jié)論．【詳解】設(shè)至少需要臺抽水機，記一臺抽水機20min完成的任務(wù)為單位1，這臺抽水機完成的任務(wù)依次為，（）依題意，，是公差為的等差數(shù)列，，要完成所有任務(wù)，則，，記，在上是減函數(shù)，，，所以時，，所以最小值需要24臺抽水機，故選：B．8.已知函數(shù)，若，當時，恒成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.[0,8]【答案】D【解析】【分析】將化為，由此令，則，則原問題轉(zhuǎn)化為在上單調(diào)遞增，繼而結(jié)合導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可求解．【詳解】不妨設(shè)，因為對一切都成立，所以對一切都成立，令，則．定義域為，則原問題轉(zhuǎn)化為在上單調(diào)遞增；，當時，，在單調(diào)遞增；當時，需在上恒成立，即在上恒成立，對于圖象過定點，對稱軸為，故要使得在上恒成立，需滿足a>0且，解得，綜合可得，即的取值范圍為,．故選：D.【點睛】方法點睛：遇到雙變量函數(shù)不等式，需要集中變量轉(zhuǎn)化為函數(shù)值大小關(guān)系，從而構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為新函數(shù)單調(diào)性判斷問題，再結(jié)合導數(shù)確定單調(diào)性即可得所求.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.設(shè)是橢圓的兩個焦點，是橢圓上一點，且．則下列說法中正確的是（）A. B.離心率為C.的面積為6 D.的面積為12【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)橢圓的標準方程求出，再由題意及橢圓定義列出方程求解可判斷A，根據(jù)離心率定義判斷B，根據(jù)A可知三角形為直角三角形，求面積可判斷CD.【詳解】由，得，則，因為是橢圓上一點，所以，因為，所以，，故A正確；對于B，離心率為，故B正確；對于CD，因為，所以為直角三角形，，所以，故C正確，D錯誤．故選：ABC10.已知函數(shù)滿足，若在區(qū)間上恰有3個零點，則（）A.的最小正周期是 B.C.的最小值為 D.的最大值為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的周期與對稱性可得的值，從而得函數(shù)解析式，利用正弦型函數(shù)的最小周期、最值、零點逐項判斷即可得結(jié)論.【詳解】由題意可知，的最小正周期，故A不正確；因為，由，可知為的一條對稱軸，所以，故B正確；因為為的一條對稱軸，所以，則，又因為，所以，故，當時，，若在區(qū)間上恰有3個零點，則，解得，所以的最小值為，無最大值，故C正確，D不正確.故選：BC.11.在中，為內(nèi)的一點，，則下列說法正確的是（）A.若為的重心，則 B.若為的外心，則C.若為垂心，則 D.若為的內(nèi)心，則【答案】BCD【解析】【分析】建立平面直角坐標系，對于A、C、D：先求出三角形各種心的坐標，然后代入坐標列方程求解；對于B：利用展開計算即可．【詳解】在中，，，為內(nèi)的一點，建立如圖所示的平面直角坐標系，則，，，對于選項A：若為的重心，則，，則，所以，若，由平面向量基本定理可得：，解得，所以，故選項A不正確；對于選項B：若為的外心，其必在直線上，所以，故選項B正確；對于選項C：若為的垂心，其必在上，設(shè)，則，解得，此時，若，由平面向量基本定理可得：，解得，所以，故選項C正確；對于選項D：若為的內(nèi)心，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，得，則，此時，若，由平面向量基本定理可得：，解得，所以，即選項D正確．故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值是______.【答案】##【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)模的幾何意義求解.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，則，即，則點的軌跡為圓心在，半徑為的圓，，其表示點到點的距離，其最大值為到圓心的距離加上半徑，即，故答案為：.13.邊長為1的正三角形ABC的內(nèi)心為，過的直線與邊AB，AC交于P、Q，則的最大值為______.【答案】【解析】【分析】以為坐標原點，與平行的直線為軸，建立直角坐標系，從而得直線，方程，設(shè)直線為，利用直線相交得坐標，從而可得的表達式，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)得最值.【詳解】如圖，以為原點，所在直線為軸，與平行的直線為軸，建立平面直角坐標系，則，，，所以直線方程為，直線方程為，過的直線與邊AB，AC交于P、Q，設(shè)直線為，且，所以，，則，故，因為，故當時，取到最大值為.故答案為：1814.已知數(shù)列的前項和為，滿足，函數(shù)定義域為R，對任意都有，若，則的值為______.【答案】##0.5【解析】【分析】利用確定數(shù)列的遞推關(guān)系，從而求得通項公式，利用可確定函數(shù)是周期函數(shù)且得出周期，由二項展開式確定除以4所得余數(shù)，由求得，最后利用周期性得結(jié)論．【詳解】因為，當時，，，，則，所以，所以是等比數(shù)列，公比為，，所以，，則，所以，即是周期函數(shù)，且周期為4，，則，，上述展開式中，從第二項開始每一項都是8的倍數(shù)，也是4的倍數(shù)，所以，故答案為：．【點睛】方法點睛：在已知數(shù)列的項與前項和關(guān)系時，一般利用確定數(shù)列的前后項之間的關(guān)系，從而求得通項公式，解題時要注意的情形是否對也適用．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求；（2）求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件利用正弦定理及和角公式可得，再結(jié)合的范圍，即可得到；（2）由正弦定理邊角轉(zhuǎn)化，結(jié)合三角恒等變換可得，根據(jù)角的范圍可得的范圍，進而得到答案．【小問1詳解】由正弦定理可得：，所以，所以，因為，所以，所以，因為，所以，所以，即；【小問2詳解】由正弦定理得，所以，則，由于為銳角三角形，故，所以，從而，則，所以，因此的取值范圍是．16.為了了解高中學生課后自主學習數(shù)學時間（分鐘/每天）和他們的數(shù)學成績（分）的關(guān)系，某實驗小組做了調(diào)查，得到一些數(shù)據(jù)（表一）.表一：編號12345學習時間3040506070數(shù)學成績65788599108（1）請用相關(guān)系數(shù)說明該組數(shù)據(jù)中變量與變量之間的關(guān)系可以用線性回歸模型擬合（結(jié)果精確到0.001）；（2）求關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程，并由此預(yù)測每天課后自主學習數(shù)學時間為100分鐘時的數(shù)學成績；（3）基于上述調(diào)查，某校提倡學生周六在校自主學習.經(jīng)過一學期的實施后，抽樣調(diào)查了220位學生.按照是否參與周六在校自主學習以及成績是否有進步統(tǒng)計，得到列聯(lián)表（表二）．依據(jù)表中數(shù)據(jù)及小概率值的獨立性檢驗，分析“周六在校自主學習與成績進步”是否有關(guān).表二：沒有進步有進步合計參與周六在校自主學習35130165未參與周六不在校自主學習253055合計60160220（參考數(shù)據(jù)：的方差為的方差為230.8，）附：，.0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）詳見解析；（2）分.（3）有關(guān)【解析】【分析】（1）依據(jù)公式計算即可求得相關(guān)系數(shù)；（2）利用最小二乘法求得回歸方程，再令即可得解；（3）根據(jù)公式求得，再對照臨界值表即可得解.【小問1詳解】，又的方差為的方差為230.8，則r值非常接近于1，故變量與變量之間的關(guān)系可以用線性回歸模型擬合.【小問2詳解】，，故，當時，，故預(yù)測每天課后自主學習數(shù)學時間為100分鐘時的數(shù)學成績?yōu)榉?【小問3詳解】因為，所以依據(jù)的獨立性檢驗，可以認為“周六在校自主學習與成績進步”有關(guān).17.已知等差數(shù)列和等比數(shù)列，滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和為；（3）在（2）的條件下，設(shè)數(shù)列的前項和為，若對于任意的時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1），；（2）（3）．【解析】【分析】（1）由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式列方程組求得公差、公比后可得通項公式；（2）由錯位相減求和；（3）用裂項相消法求得和，不等式轉(zhuǎn)化為，引入函數(shù)，由導數(shù)確定的單調(diào)性后，可得出的最小值，從而得的范圍．【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則由得：，解得（舍去），所以，；【小問2詳解】，，則，，所以；【小問3詳解】由（2）,所以．恒成立，即，，設(shè)，則，由得，，因此,,記，即，時，，遞減，時，遞增，因此是的最小值，，，所以對任意的，的最小值是，所以．18.如圖，在三棱柱中，已知底面，為的中點，點在棱上，且為線段AD上的動點.（1）證明：；（2）若直線與所成角的余弦值為，求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件證明平面，再由線面垂直的性質(zhì)得到；（2）由（2）取的中點，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，將二面角的問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題求解．【小問1詳解】證明：在三棱柱中，底面，所以三棱柱是直三棱柱，則，因為，所以，又因為，為的中點，所以，又，平面，所以平面，因為平面，所以，易知，則，因為，所以，則，即，又，平面，所以平面，所以；【小問2詳解】由（1）取的中點，以為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系：則，，，設(shè)，所以，因為直線與所成角的余弦值為，所以，解得，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則，所以為平面的一個法向量，易知是平面的一個法向量，則，所以二面角的正弦值為．19.設(shè)是定義在區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，若存在區(qū)間，使得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則稱為“含峰函數(shù)”，為“峰點”，稱為的一個“含峰區(qū)間”.（1）判斷下列函數(shù)是否為“含峰函數(shù)”？若是，請指出“峰點”；若不是，請說明理由：（i）；（ii）.（2）已知是“含峰函數(shù)”，且是它的一個“含峰區(qū)間”，求的最大值；（3）設(shè)是“含峰函數(shù)”，是它的一個“含峰區(qū)間”，并記的最大值為.若，且，求的最小值.【答案】（1）（i）是“含峰函數(shù)”，“峰點”為（ii）不是“含峰函數(shù)”（2）（3）【解析】【分析】（1）結(jié)合所給定義，分別借助導數(shù)研究函數(shù)與是否有極大值即可得；（2）結(jié)合所給定義，可得在上存在極大值點，結(jié)合導數(shù)計算即可得的范圍，即可得其最值；（3）求導后可因式分解，由定義可得有兩不相等實根，再根據(jù)，結(jié)合單調(diào)性得到，根據(jù)，結(jié)合單調(diào)性得到，即有，即可結(jié)合韋達定理表示出，再由、代入計算可得出間的關(guān)系，即可分類討論最小值.【小問1詳解】（i）由，，當或時，，當或時，，所以在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，故存在區(qū)間，該函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故是“含峰函數(shù)”，“峰點”為，（ii），，則在上是增函數(shù)，故不是“含峰函數(shù)”；【小問2詳解】由題意在上存在極大值點，的定義域是，，因為，令得，（舍去），當時，