第01講實數及其運算（講義）【3大考點16大題型】

知識網絡

題型1實數的相關概念辨析

題型2實數與數軸

題型3用科學記數法表示數

題型4估算無理數

題型5實數的大小比較

題型6平方根、立方根及非負性的性質

題型7實數的簡單運算

,（題型8數的簡便運算

題型9實數的混合運算

（題型10實數的實際應用）

題型11實數計算中的規(guī)律問題

L實數的分類

分法一：

J正有理數［有限小數或

「有理數1op無限循環(huán)小數

實數〔負有理數J

「正無理數］

I無理數1卜無限不循環(huán)小數

I負無理數」

分法二：

'正實數

實數

負實數

2.實數的相關概念

(1)數軸:規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸。

(2)相反數

代數定義：只有符號不同的兩個數叫做互為相反數。

幾何定義：在數軸上原點的兩旁，離開原點距離相等的兩個點所表示的數，叫做互為相反數。

一般地，。和互為相反數。0的相反數是0。

a=-a所表示的意義是：一個數和它的相反數相等。很顯然，a=0o

(3)絕對值

定義：一般地，數軸上表示數。的點與原點的距離叫做數a的絕對值，記作同。

一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0。

即：如果a>0,那么⑷=a；

如果a=0,那么|a|=0；

如果。<0,那么⑷=-ao

a=|a|所表示的意義是：一個數和它的絕對值相等。很顯然，a>0o

(4)倒數

定義：乘積是1的兩個數互為倒數。即：如果。與6互為倒數，則有而=1,反之亦成立。

a」所表示的意義是：一個數和它的倒數相等。很顯然，?=±lo

a

(5)科學記數法

定義：把一個大于10的數表示成axlO"的形式(其中a大于或等于1且小于10,n是正整數)，這種記

數方法叫做科學記數法。小于-10的數也可以類似表示。

用科學記數法表示一個絕對值大于10的數時，”是原數的整數數位減1得到的正整數。

用科學記數法表示一個絕對值小于1的數Qxi（r）時，〃是從小數點后開始到第一個不是o的數為止

的數的個數。

（6）近似數

一般地，一個近似數四舍五入到哪一位，就說這個數近似到哪一位，也叫做精確到哪一位。精確到十

分位——精確到0.1；精確到百分位——精確到0.01；…。

3.平方根、算術數平方根和立方根

平方根

如果一個數的平方等于a,那么這個數就叫做a的平方根（或二次方根）。

正數有兩個平方根，它們互為相反數；。的平方根是0;負數沒有平方根。

算術平方根

正數a的正的平方根叫做a的算術平方根，記作“正”。

正數和零的算術平方根都只有一個，零的算術平方根是零。

立方根

如果一個數的立方等于a,那么這個數就叫做a的立方根（或a的三次方根）。

一個正數有一個正的立方根；一個負數有一個負的立方根；零的立方根是零。

4.實數的大小比較

（1）數軸比較：在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大。

（2）求差比較：設a、b是實數，a—b>0<=>a>b;a—b=0=a=b;a—b<0<=>a<b;

（3）求商比較法：設a、b是兩正實數，：>1Qa>b；a=b；a<b：

bbb

（4）絕對值比較法：設a、b是兩負實數，則|a|>|b|oa>b；

（5）平方法：設a、b是兩負實數，則a2>b20a<b.

典例分析

【題型1實數的相關概念辨析】

【例1】（2024?黑龍江大慶?中考真題）下列各組數中，互為相反數的是（）

-1

A.|一2024|和一2024B.2024和瞑

-I

C.1—20241和2024D.—2024和茄莉

【變式1-1]（2024?四川雅安?中考真題）將一2,TT,0,V2,3.14這6個數分別寫在6張同樣的卡片上，

從中隨機抽取1張，卡片上的數為有理數的概率是.

【變式1-2]（2024?山東威海?中考真題）一批食品，標準質量為每袋454g.現隨機抽取4個樣品進行檢測,

把超過標準質量的克數用正數表示，不足的克數用負數表示.那么，最接近標準質量的是（）

A.+7B.-5C.-3D.10

【變式1-3]（2024?山東淄博?中考真題）下列運算結果是正數的是（）

A.3TB.-32C.-|-3|D.-V3

【題型2實數與數軸】

【例2】（2024?山東德州?中考真題）實數a,8在數軸上對應點的位置如圖所，下列結論正確的是（）

ab

-1012

A.\a\>\b\B.a+h<0

C.a+2>b+2D.\CL-l|>|b—11

【變式2-1]（2024?內蒙古呼倫貝爾?中考真題）實數a,b在數軸上的對應位置如圖所示，則J（a—一

（6-a-2）的化簡結果是（）

I?II???1A

-3-2-1012

A.2B.2a-2C.2-2bD.-2

【變式2-2]（2024.河北.中考真題）如圖，有甲、乙兩條數軸.甲數軸上的三點A,B,C所對應的數依次為

-4,2,32,乙數軸上的三點O,E,尸所對應的數依次為0,x,12.

ABC

丁-4232

DEF

乙0x12

⑴計算A,B,C三點所對應的數的和，并求桀的值；

（2）當點A與點D上下對齊時，點、B,C恰好分別與點E,尸上下對齊，求x的值.

【變式2-3]（2024?山東威海?中考真題）定義

我們把數軸上表示數。的點與原點的距離叫做數。的絕對值.數軸上表示數a,。的點A,2之間的距離48=

a-b（a>b）.特別的，當a20時，表示數。的點與原點的距離等于a-0.當a<0時，表示數。的點與原

點的距離等于0-a.

應用

如圖，在數軸上，動點A從表示-3的點出發(fā)，以1個單位/秒的速度沿著數軸的正方向運動.同時，動點B

從表示12的點出發(fā)，以2個單位/秒的速度沿著數軸的負方向運動.

AB

—?-----------1-----------------------------------------1——>

-3O12

（1）經過多長時間，點A,2之間的距離等于3個單位長度？

（2）求點A,B到原點距離之和的最小值.

【題型3用科學記數法表示數】

［例3］（2024?山東濟南?中考真題）截止2023年底,我國森林面積約為3465000000畝,森林覆蓋率達到24.02%,

將數字3465000000用科學記數法表示為（）

A.0.3465X109B.3.465X109C.3.465X108D.34.65X108

【變式3-1］（2024?山東威海.中考真題）據央視網2023年10月11日消息，中國科學技術大學中國科學院

量子創(chuàng)新研究院與上海微系統(tǒng)所、國家并行計算機工程技術研究中心合作，成功構建了255個光子的量子

計算原型機“九章三號”，再度刷新了光量子信息的技術水平和量子計算優(yōu)越性的世界紀錄.“九章三號”處理

高斯玻色取樣的速度比上一代“九章二號”提升一百萬倍，在百萬分之一秒時間內所處理的最高復雜度的樣

本，需要當前最強的超級計算機花費超過二百億年的時間.將“百萬分之一”用科學記數法表示為（）

A.1x10-5B.1x10-6c.1x10"D.1x10-8

【變式3-2］（2024?山東淄博?中考真題）我國大力發(fā)展新質生產力，推動了新能源汽車產業(yè)的快速發(fā)展.據

中國汽車工業(yè)協(xié)會發(fā)布的消息顯示.2024年1至3月，我國新能源汽車完成出口30.7萬輛.將30.7萬用科

學記數法表示為3.07X10".貝加的值是（）

A.4B.5C.6D.7

【變式3-3］（2024?四川廣元?中考真題）2023年10月諾貝爾物理學獎授予三位“追光”科學家，以表彰他們“為

研究物質中的電子動力學而產生阿秒光脈沖的實驗方法”.什么是阿秒？1阿秒是10T8秒，也就是十億分之

一秒的十億分之一.目前世界上最短的單個阿秒光學脈沖是43阿秒.將43阿秒用科學記數法表示為秒.

【題型4估算無理數】

【例4】（2024?河北?中考真題）已知a,b,〃均為正整數.

（1）若n<V10<71+1,則幾=;

（2）若n-l<4a<n,n<Vb<n+l,則滿足條件的a的個數總比b的個數少個.

【變式4-1］（2024?重慶?中考真題）已知6=后-百，則實數m的范圍是（）

A.2<m<3B.3<m<4C.4<m<5D.5<m<6

【變式4-2］（2024.重慶?中考真題）估計值（a+百）的值應在（）

A.8和9之間B.9和10之間C.10和11之間D.11和12之間

【變式4-3】（2024?江蘇鹽城?中考真題）對于整數%定義［低］為不大于低的最大整數，例如：［應］=1,

第一次第二次

［乃］=2,［&］=3,對26進行如下操作：26-［V26］=51［何=2,即對26進行2次操作后變?yōu)?.若

對整數a進行2次操作后變?yōu)?,貝b的最大值為（）

A.256B.255C.81D.80

【題型5實數的大小比較】

【例5】（2024.山東.中考真題）下列實數中，平方最大的數是（）

1

A.3B.-C.-1D.-2

2

【變式5-1］（2024.山東威海.中考真題）下列各數中，最小的數是（）

A.-2B.—（—2）C.——D.-V2

【變式5-2］（2024.安徽.中考真題）我國古代數學家張衡將圓周率取值為何，祖沖之給出圓周率的一種分

數形式的近似值為一.比較大?。篤103（填“>”或“v”）.

【變式5-3］（2024.云南?中考真題）已知拋物線y=x2+bx-1的對稱軸是直線％=設m是拋物線y=x2+

bx-1與％軸交點的橫坐標，記M=I］；

（1）求b的值；

（2）比較M與誓的大小.

【題型6平方根、立方根及非負性的性質】

【例6】（2024?廣東深圳?中考真題）如圖所示，四邊形4BCD,DEFG,GH〃均為正方形，且S正方形謝。=以

S正方形GH〃=I，則正方形DEFG的邊長可以是.（寫出一個答案即可）

BC

H—|/

/DGJ

【變式6-1］（2024?浙江寧波?中考真題）-8的立方根是.

【變式6-2］（2024?四川成都?中考真題）若小，n為實數，且（爪+4）2+而==0,則（加+幾7的值為

【變式6-3】（2024.湖南婁底.一模）已知為整數，y=Vx+1011-V%-1012,則y的最小值是.

考點二a實數的運算。I

知識導航

1.實數的運算法則

加法法則：同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加；絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對

值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；互為相反數的兩個數相加得0;一個數同。相

加，仍得這個數。

加法運算律：①交換律a+b=b+a；②結合律（a+b）+c=a+（b+c）a

減法法則：減去一個數，等于加這個數的相反數。即：a-b=a+{-b\

乘法法則：兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。任何數與0相乘，都得0。

乘法運算律：①交換律而=加；②結合律（ab）c=a（6c）；③分配律a（6+c）=ab+ac。

除法法則：除以一個不等于0的數，等于乘這個數的倒數。即："b=a《。

兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。0除以任何一個不等于0的數，都得0。

2.實數的運算順序

先算乘方，再算乘除，最后算加減，如果有括號，就先算括號里面的。

實數范圍內混合運算的順序：①先乘方開方，再乘除，最后加減；②同級運算，從左到右進行；③如

有括號，先做括號內的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行?！觥?/p>

3.常見的幾種實數運算

（1）乘方

定義：求"個相同因數的積的運算，叫做乘方。乘方的結果叫做累。

如：優(yōu)…?q讀作°的〃次方（幕），在〃中，。叫做底數，〃叫做指數。

“個a

性質：負數的奇次塞是負數，負數的偶次幕是正數；正數的任何次幕都是正數；0的任何正整數次幕都

是0a

（2）零指數寨:a°=l（a#0）.

（3）負整數指數幕：a-P*（a￥0,p為正整數）.

典例分析

【題型7實數的簡單運算】

【例7】（2024?浙江杭州.中考真題）計算下列各式，值最小的是（）

A.2x0+1-9B.2+0X1-9C.2+0-1X9D.2+0+1-9

【變式7-1］（2024.內蒙古鄂爾多斯.中考真題）計算：￥石+（2021-兀）。+（-3=.

【變式7-2］（2024.湖南湘西.中考真題）按照如圖的操作步驟，若輸入x的值為2,則輸出的值是—.（用

科學計算器計算或筆算）

輸入X||平方|<=>|乘以3||=>「就去10||輸出

【變式7-31.（2024?黑龍江綏化?中考真題）定乂一*種新的運算：如果a。0.貝!）有a團b=+必+|-,

那么（―勺團2的值是（）

33

A.-3B.5C.--D.-

42

【題型8數的簡便運算】

【例8】（2024?四川內江.中考真題）對于正數尤，規(guī)定/"（乃=含，例如：/（2）=詈=%/6）=苔=|,

x2+1

八3）=言=￡計算：/島）+外擊）+/島）+…+4）+屋）+/⑴+偌）+

f（3）+---+f（99）+f（100）+f（101）=（）

A.199B.200C.201D.202

【變式8-1］（2024?河北唐山.三模）與3952+2x395x5+52相等的是（）

A.(395-5尸B.(395+5)(395—5)

C.(395+5/D.(395+10)2

【變式8-2］（2024?河北唐山?一模）數學課上老師出一道題，用簡便方法計算2962的值，喜歡數學的小亮舉

手做出了這道題，他的解題過程如下：

2962=（300—4尸第一步

=3002-2X300X（-4）+4?第二步

=90000+2400+16第三步

=92416第四步

老師表揚小亮積極發(fā)言的同時，也指出了解題中的錯誤.

（1）你認為小亮的解題過程中，從第步開始出錯.

（2）請你寫出正確的解題過程.

【變式8-3］（2024.河北.中考真題）請你參考黑板中老師的講解，用運算律簡便計算:

利用運算律有時有繼行簡便計算。

例198x12=(100-2)x12=1200-24=1176

例2-16x233+17x233=(-16+17)'233=233

（1）999x（-15）；

41、?

（2）999*11/+999*（--）-999x18-.

【題型9實數的混合運算】

【例9】（2024?山東濟南?中考真題）計算：V9-（TT-3.14）0+Q）"1+|V3|-2cos30°.

【變式9-1］（2024?四川廣安?中考真題）計算：6―3）°+2sin6（T+|遮—2|—（|/.

【變式9-21（2024?河北?中考真題）有個填寫運算符號的游戲：在“1口2口6口9”中的每個□內，填入+,—,X,

+中的某一個（可重復使用），然后計算結果.

（1）計算：1+2—6—9；

（2）若請推算1+2x6口9=—6,請推算□內的符號；

（3）在“1口2口6-9”的口內填入符號后，使計算所得數最小，直接寫出這個最小數.

【變式9-3］（2024.貴州.中考真題）（1）在①22,②|—2|,③（―1）。，④之義2中任選3個代數式求和；

（2）先化簡，再求值：（/一1）?羨，其中x=3.

【題型10實數的實際應用】

【例10】（2024?湖南長沙?一模）五一返校上課后，為了表揚在假期依舊認真完成數學作業(yè)的小函和小韜同

學，數學老師決定在某外賣平臺上點2杯單價都是16元的奶茶獎勵他們.從奶茶店到學校的每份訂單配送

費都為1.6元，由于數學老師是該平臺的會員，因此每單都可以使用一個平臺贈送的5元平臺紅包對每份訂

單的總價減免5元（訂單總價不含配送費，同一訂單只允許使用一個紅包）.但根據該奶茶店的優(yōu)惠活動，

當訂單總價（不含配送費）滿30元時，5元的平臺紅包可兌換為一個7元的店家紅包，即可以給訂單總價

（不含配送費）減免7元當數學老師同時點了2杯奶茶準備下單付款時，小函同學說：“老師，我們可以換

一種下單方式，優(yōu)惠更多！”請同學們分析小函同學的下單方式，并計算出本次外賣總費用（包含配送費）

最低可為元.

【變式10-1］（2024?四川達州?中考真題）生活中常用的十進制是用0~9這十個數字來表示數，滿十進一，

例：12=1x10+2,212=2x10x10+1x10+2；計算機也常用十六進制來表示字符代碼，它是用

0~9來表示0~15,滿十六進一，它與十進制對應的數如下表:

十進制012891011121314151617

十六進制01289ABCDEF1011

例：十六進制2B對應十進制的數為2X16+11=43,10C對應十進制的數為1X16X16+0X16+12=

268,那么十六進制中14E對應十進制的數為（）

A.28B.62C.238D.334

【變式10-2】（2024?內蒙古呼和浩特?中考真題）“書法藝求課”開課后，某同學買了一包紙練習軟筆書法，

且每逢星期幾寫幾張，即每星期一寫1張，每星期二寫2張，……，每星期日寫7張，若該同學從某年的5

月1日開始練習，到5月30日練習完后累積寫完的宣紙總數過120張，則可算得5月1日到5月28日他

共用宣紙張數為,并可推斷出5月30日應該是星期幾.

【變式10-3】（2024?四川攀枝花?中考真題）2022年卡塔爾世界杯共有32支球隊進行決賽階段的比賽.決賽

階段分為分組積分賽和復賽.32支球隊通過抽簽被分成8個小組，每個小組4支球隊，進行分組積分賽，

分組積分賽采取單循環(huán)比賽（同組內每2支球隊之間都只進行一場比賽），各個小組的前兩名共16支球隊

將獲得出線資格，進入復賽；進入復賽后均進行單場淘汰賽，16支球隊按照既定的規(guī)則確定賽程，不再抽

簽，然后進行2決賽，[決賽，最后勝出的4支球隊進行半決賽，半決賽勝出的2支球隊決出冠、亞軍，另外

2支球隊決出三、四名.

（1）本屆世界杯分在C組的4支球隊有阿根廷、沙特、墨西哥、波蘭，請用表格列一個C組分組積分賽對陣表

（不要求寫對陣時間）.

（2）請簡要說明本屆世界杯冠軍阿根廷隊在決賽階段一共踢了多少場比賽？

（3）請簡要說明本屆世界杯32支球隊在決賽階段一共踢了多少場比賽？

【題型11實數計算中的規(guī)律問題】

【例11]（2024?重慶江北?一模）閱讀材料：求31+32+33+34+35+36的值.

解：設S=31+32+33+34+35+36①，

貝ij3s=32+33+34+35+36+37②.

用②-①得3s-S=（32+33+34+35+36+37）-（31+32+33+34+35+36）=37-3

,?7o

：.2S=37-3.即S=寧.

o7_0

...31+32+33+34+35+36=—.

2

以上方法我們稱為“錯位相減法”，請利用上述材料，解決下列問題：

阿基米德與國王下棋，國王輸了，國王問阿基米德要什么獎賞，阿基米德對國王說：“我只要在棋盤上第一

格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八?！催@個方法放滿整個棋盤就行."國王以為要

不了多少糧食，就隨口答應了，結果國王輸了.

(1)國際象棋共有64個格子，則在第64格中應放粒米；(用幕表示)

(2)設國王輸給阿基米德的米粒數為S.求S.

拓展應用：計算：升去+*+??+之(仿照材料寫出求解過程)

(3)44/43?Ail

【變式11-1】(2024?山東荷澤?模擬預測)讀一讀：式子“1+2+3+4+...+100”表示從1開始的100個連續(xù)自然

數的和，由于式子比較長，書寫不方便，為了簡便起見，我們將其表示為￡起，n,這里“2”是求和符號.通

2020.

-1-=>

n(n+l)

Zn=1

【變式11-2](2024.四川內江.中考真題)觀察下列等式：

第一個等式：a=----?----=-----;

11+3X2+2X222+122+1

第二個等式：a?=I+3X2：2X(22)2=含一含;

第三個等式：=1+3X23：2X(23)2=六一六；

第四個等式：&4=]+3X2；2X(2，)2=*一/;

按上述規(guī)律，回答下列問題：

(1)請寫出第六個等式：36==；

(2)用含n的代數式表示第n個等式：an==:

(3)ai+a2+as+a4+a5+a6=(得出最簡結果)；

(4)計算：ai+32+...+an.

【變式11-3](2024.山東東營.一模)在求；+G+|)+G+3+I)+*+|+|+》的值時，張強發(fā)現，若調

整各加數的順序再進行計算便可很容易得到這些加數的和，具體方法如下：

假設G+I)+(：+：+1)+《+1+1+》①，

又有4=：+?+》+《+[+》+<+|+2+》②'

①+②得：24=1+(1+1)+(1+1+1)+(1+1+1+1)=1+2+3+4=10,

??A=5.

4侑1八?2、"?2?3、,1,2,3,,2018、_

計算+?+(]+[+/-----(麗+麗+麗+…+痂)=

知識導航

1.二次根式

式子VH（aK））叫做二次根式，二次根式必須滿足：含有二次根號“廠'被開方數a必須是非負數。

2.最簡二次根式

若二次根式滿足：被開方數的因數是整數，因式是整式；被開方數中不含能開得盡方的因數或因式,

這樣的二次根式叫做最簡二次根式。

化二次根式為最簡二次根式的方法和步驟:

（1）如果被開方數是分數（包括小數）或分式，先利用商的算術平方根的性質把它寫成分式的形式,

然后利用分母有理化進行化簡。

（2）如果被開方數是整數或整式，先將他們分解因數或因式，然后把能開得盡方的因數或因式開出來。

3.同類二次根式

幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數相同，這幾個二次根式叫做同類二次根式。

4.二次根式的性質

(1)(Va)2=a(a>0)

a(a>0)

(2)Va2=|a|=

—a(a<0)

Vab=y/a-Vb(a>0,b>0)

(4)￡*慮。，b>0）

5.二次根式混合運算

二次根式的混合運算與實數中的運算順序一樣，先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里的

（或先去括號）。

典例分析

【題型12二次根式有意義的條件】

【例12】（2024?重慶?中考真題）下列二次根式中，無論無取什么值都有意義的是（）

A.Vx2—5B.y!-x—5C.VxD.V%2+1

【變式12-1］（2024?廣東汕頭?一模）已知X為正整數，寫出一個使仍。在實數范圍內沒有意義的X值是

【變式12-2】（2024.黑龍江齊齊哈爾.中考真題）在函數曠=焉++中，自變量支的取值范圍是.

【變式12-3］（2024.河北邢臺?三模）若%>5時，二次根式SE梟為常數）有意義，則上的取值范圍是

（）

A.kW—5B.kV—5C.k>—5D.kN—5

【題型13二次根式的值】

【例13】（2024?廣東陽江?二模）若/x電是整數，則整數x的值是（）

A.1或3B.3或6C.3或12D.6或12

【變式13-1】（2024?上海?中考真題）已知式2%—1=1,貝！Jx=.

【變式13-2】（2024?黑龍江哈爾濱.二模）已知y=J（x_4）2_%+5,當x分別取1,2,3,……，2024時，

所對應y值的總和是.

【變式13-3】（2024?河北邯鄲?二模）已知后存7是整數，則正整數”的最小值為（）

A.2B.3C.4D.5

【題型14二次根式的混合運算】

【例14】（2024.湖南.模擬預測）斐波那契數列中的第〃個數可以用類［（苧表示.通過計算求

出斐波那契數列中的第2個數為.

【變式14-1】（2024.山東濟寧.中考真題）下列運算正確的是（）

A.V2+V3=V5B.V2xV5=V10

C.2V2=1D.J（—5）2=-5

【變式14-2】（2024?湖北恩施?中考真題）從VL-V3,-應這三個實數中任選兩數相乘，所有積中小于2

的有（）個.

A.0B.1C.2D.3

【變式14-3】（2024?河北石家莊.二模）已知兩個實數：痣和魚.

⑴計算:強

（2）若加為正整數，，與近這兩個數的平方和小于相，求機的最小值.

【題型15復合二次根式的化簡】

【例15】（2024?湖北?中考真題）“分母有理化”是我們常用的一種化簡的方法，如：普=戶母=7+

4V3,除此之外，我們也可以用平方之后再開方的方式來化簡一些有特點的無理數，如：對于』3+有—

V3-V5,設比=V3+V5-J3一有,易知J3+%>J3-逐,故x>0,由/=(73+75-73-V5)2=

3+V5+3-V5-2J(3+V5)(3-V5)=2,解得x=或，即+花--遮=&.根據以上方法，

化簡嚕嚕+—3A/^—16+3A/^后的結果為()

V3+V2

A.5+3V6B.5+V6C.5-V6D.5-3A/6

【變式15-1](2024.安徽合肥.一模)已知％=飛6—26為一元二次方程%2+。％+人=0的一個根，且a,b為

有理數，則a=，b=

【變式15-2](2024.安徽蕪湖?二模)當x=4時，尸2?_&+安的值為()

VX2-4V3X+12VX2+4V3X+12

A.1B.V3C.2D.3

【變式15-3】(2024?江蘇揚州?模擬預測)數學教育家波利亞曾說：“對一個數學問題，改變它的形式，變換

它的結構，直到發(fā)現有價值的東西，這是數學解題的一個重要原則”.

材料一：平方運算和開方運算是互逆運算.如a?+2ab+b2=(a±b)2,那么Ja?±2ab+爐=\a+b\.如

何將雙重二次根式55±2泥化簡?我們可以把5±2泥轉化為±2A/6+(V2)2=(V3±四?完全平方

的形式，因此雙重二次根式「5土2旄=J(V3±V2)2=V3±&得以化簡.

材料二：在直角坐標系xOy中，對于點P(x,y)和Q?y')給出如下定義：若y'=，則稱點。為點

產的“橫負縱變點”.例如：點(3,2)的“橫負縱變點”為(3,2),點(-2,5)的“橫負縱變點”為(-2,-5).

請選擇合適的材料解決下面的問題：

⑴點(魚,-百)的“橫負縱變點”為,點(-3次,-2)的“橫負縱變點”為

(2)化簡：77+2V10；

(3)已知a為常數(1<a<2),點M(—VXzn)且zn=](Ja+2V^=T+7a-2Va^T),點W是點M的“橫

負縱變點”，則點"'的坐標是.

【題型16二次根式的實際應用】

【例16】(2024江蘇鎮(zhèn)江.二模)中國古代數學家秦九韶在《數書九章》中記述了“三斜求積術”，即已知三

角形的三邊長，求它的面積，用現代式子表示為S=2b2—(a"；-。)?](秦九韶公式).

古希臘數學家海倫利用三角形三條邊的邊長直接求出了三角形的面積.如果一個三角形的三邊長分別為a,

a+b+c

b,c,記p,那么這個三角形的面積S=Jp(p-a)(p-b)(p-c)(海倫公式).

2

請完成下列問題:

(1)一個三角形的三邊長依次為5,5,6,則該三角形的面積為二

(2)請由秦九韶公式推導出海倫公式;

(3)若三角形的周長為24cm,一邊長為6cm,求此三角形的面積的最大值，并判斷此時三角形的形狀.

【變式16-1](2024?河北邯鄲?三模)如圖，將一根鐵絲首尾相接可以圍成一個長為V8TT,寬為近兀的矩形,

若將這根鐵絲展開重新首尾相接圍成一個圓形，則該圓的面積是()

A.12TTC.24TTD.36it

【變式16-2](2024?山西?一模)如圖1,兩張面積分別為25cm2和20cm2的正方形紙片無重疊地放在一張長

方形紙片4BCD中.

AED

25cm220cm2

BFC

圖1圖2

(1)圖1中陰影部分圖形的長為cm,寬為.cm.

(2)求圖1中陰影部分圖形的周長和面積.

(3)小康將圖1中的面積分別為25cm2和20cm2的正方形紙片重新按照如圖2所示的方式擺放，其中長方形

4BCD中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示.若AB=6cm,求圖2中空白部分的面積.

【變式16-3】(2024.江蘇鹽城?中考真題)發(fā)現問題

小明買菠蘿時發(fā)現，通常情況下，銷售員都是先削去菠蘿的皮，再斜著鏟去菠蘿的籽.

提出問題

銷售員斜著鏟去菠蘿的籽，除了方便操作，是否還蘊含著什么數學道理呢？

圖1

分析問題

某菠蘿可以近似看成圓柱體，若忽略籽的體積和鏟去果肉的厚度與寬度，那么籽在側面展開圖上可以看成

點，每個點表示不同的籽.該菠蘿的籽在側面展開圖上呈交錯規(guī)律排列，每行有〃個籽，每列有上個籽，行

上相鄰兩籽、列上相鄰兩籽的間距都為d（小女均為正整數，n>k>3,d>0）,如圖1所示.

小明設計了如下二種鏟籽方案.

方案1：圖2是橫向鏟籽示意圖，每行鏟的路徑長為,共鏟行，則鏟除全部籽的路徑總長

為;

方案2：圖3是縱向鏟籽示意圖，則鏟除全部籽的路徑總長為；

方案3：圖4是銷售員斜著鏟籽示意圖，寫出該方案鏟除全部籽的路徑總長.

解決問題

在三個方案中，哪種方案鏟籽路徑總長最短？請寫出比較過程，并對銷售員的操作方法進行評價.

7?:

TITITITITI-??????

11而中…

圖1圖2圖3

特色專項練

【新考向：新考法】

1.（2024?山東臨沂?模擬預測）我市2023年12月30日的天氣預報顯示如下圖，請問該日溫差為（）

2023年12月30日星期六農歷十一月十八

-3-7C多云一級（-150輕度污染）

A.4℃B.-4℃C.10℃D.-10℃

2.（2024?廣東惠州?一模）2024年3月30日，中國散裂中子源二期工程在廣東東莞啟動建設，二期工程將

在原裝備基礎上增設科研設備，建成后裝備研究能力將大幅提升.當前，全球建成的散裂中子源裝備僅有4

個，中國散裂中子源被譽為探索物質材料微觀結構的“超級顯微鏡”，能夠為探索科學前沿，解決國家重大需

求和產業(yè)發(fā)展中的關鍵科學問題提供科技利器.已知中子的半徑約為0.0000000000000016m,將

0.0000000000000016m用科學記數法表示為（）

1414

A.16x10-B.1.6X10T4c.1.6X10T5D.0.16x10-

【新考向：新趨勢】

3.（2024.湖南長沙.二模）籌算是中國古代計算方法之一，宋代數學家用白色籌碼代表正數，用黑色籌碼代

表負數，圖中算式一表示的是（+2）+（-4）=-2,按照這種算法，算式二被蓋住的部分是（）

算式」ini11

,.mmB'HHn

c.immD.mnin

4.（2024?四川南充?中考真題）如圖，已知線段AB,按以下步驟作圖：①過點B作8c14B,使80=^28,

連接2C；②以點C為圓心，以BC長為半徑畫弧，交4C于點③以點A為圓心，以4。長為半徑畫弧，交AB

于點E.若45=^48,則根的值為（）

c

A.B.C.V5-1D.V5-2

2

5.（2024?四川瀘州?中考真題）關于x,y的二元一次方程組。的解滿足％+y>2/，寫出a

的一個整數值

用?）表示10,這兩種

6.（2024?湖北隨州?模擬預測）古巴比倫的記數法是六十進制的，用t■表小1,

■表刁

符號能表示1?59的數字，例如，32可以用示.從60起，開始使用符號組，從右往左

◎◎才廿

依次是個位、六十位、三千六百位…（每一位的數值都是上一位的60倍），例如,

的個位表小23個1,六十位表小2個60,所以這個符號表不143.則下列表示3812的符號是（）

A.tttttt

c.?ttttttD.

t◎廿#

7.（2024?廣東珠海?中考真題）將1,VXW,旄按右側方式排列.若規(guī)定（m,?）表示第加排從左向右第〃

個數，則（5,4）與（15,7）表示的兩數之積是.

1第1排

V2第2排

V61V2第3排

V3V61V2第4排

V3V61V2V3第5排

【新考向：新情境】

8.（2024?江西?中考真題）公元前2000年左右，古巴比倫人使用的楔形文字中有兩個符號（如圖所示），一

個釘頭形代表1,一個尖頭形代表10,在古巴比倫的記數系統(tǒng)中，人們使用的標記方法和我們當今使用的

方法相同，最右邊的數字代表個位，然后是十位，百位，根據符號記數的方法，右下面符號表示一個兩位

數，則這個兩位數是.

9.（2024.甘肅隴南.模擬預測）根據文獻記載，魏晉學者劉徽是引入負數概念的第一人，他在注解《九章

算術》時寫道：“正算赤，負算黑；否則以斜正為異.今兩算得失相反，要令正負以名之.”簡而言之，劉徽

不僅給了正負數定義，而且還指出用赤黑區(qū)分正負數，即“正算赤，負算黑”.如果向東走30米記作“+30米”,

那么向西走70米記作.

10.（2024?河南周口?二模）問題：先化簡，再求值：2a+Va2-10a+25,其中a=3.

小宇和小穎在解答該問題時產生了不同意見，具體如下.

小宇的解答過程如下：

解：2a+Va2-10ci+25

=2a+J（a-5）2（第一步）

=2a+a-S（第二步）

=3a-5（第三步）

當a=3時，

原式=3x3-5=4（第四步）

小穎為驗證小宇的做法是否正確，她將a=3直接代入原式中：

2a+7a2-10a+25

=6+132-10x3+25

=6+2

=8.

由此，小穎認為小宇的解答有錯誤，你認為小宇的解答錯在哪一步？并給出完整正確的解答過程.

【新考向：跨學科】

11.（2024?寧夏銀川?一模）液體沸騰時的溫度叫做沸點，下表是幾種物質在標準大氣壓下的沸點，則沸點

最低的物質是（）

物質酒精液態(tài)甲醛液態(tài)一氧化碳花生油

沸點/汽78-19.5-191.5335

A.液態(tài)一氧化碳B.液態(tài)甲醛C.酒精D.花生油

12.（2024.廣東清遠.三模）在物理學中，表示電流大小的單位有千安（kA）、安培（A）、毫安（mA）、微安（附）

等，其中l(wèi)kA=103A,IA=103mA,1mA=103nA.若某新能源電動汽車的充電電流為10A,則10A等于

（）

A.ICT3kAB.103mAC.106gD.107PA

13.（2024.云南曲靖.二模）科學實驗表明，原子中的原子核與核外電子所帶電荷是兩種相反的電荷.物理

學中規(guī)定，原子核所帶電荷為正電荷，核外電子所帶電荷為負電荷.碳原子中的原子核帶6個單位的電荷

可以表示為+6,其核外電子帶6個單位的電荷可以表示為（）

A.3B.-3C.+6D.-6

14.（2024?廣東?三模）化學中直鏈烷燒的名稱用“碳原子數+烷”來表示，當碳原子數為1?10時，依次用甲、

乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸表示，其中甲烷的化學式為CH4,乙烷的化學式為C2H6,丙烷的化學

式為C3H8,其分子結構式如圖所示，依此規(guī)律，己烷的化學式為—