專題04整式加減(壓軸題專項(xiàng)講練)

■i典例精析

【典例1】一個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)為項(xiàng)數(shù)為小我們稱這個(gè)多項(xiàng)式為初次多項(xiàng)式或者加次”

項(xiàng)式，例如：5X3/

-2x2y+3xy為五次三項(xiàng)式，2K-2/+3xy+2x為二次四項(xiàng)式.

(1)-3xy+2x2y2-4X3J3+3為次項(xiàng)式.

(2)若關(guān)于x、y的多項(xiàng)式4=。爐-3xy+2x,B—bxy-^+2y,己知2A-3B中不含二次項(xiàng)，

求a+b的值.

(3)已知關(guān)于x的二次多項(xiàng)式，a(x3-r+3尤)+b(2Y+X)+X3-5在x=2時(shí)，值是-17,

求當(dāng)x=-2時(shí)，該多項(xiàng)式的值.

【思路點(diǎn)撥】

(1)利用題干中的規(guī)定即可確定多項(xiàng)式的次數(shù)及項(xiàng)數(shù)；

(2)計(jì)算2A-3B,合并同類項(xiàng)后，令二次項(xiàng)系數(shù)等于0即可求得結(jié)論；

(3)利用多項(xiàng)式為關(guān)于x的二次多項(xiàng)式，可得。+1=0；將x=2時(shí)，多項(xiàng)式的值是-17代

入可求得6的值，將求得的a,6的值代入多項(xiàng)式，整理后將尤=-2代入即可求得結(jié)論.

【解答過(guò)程】

解：(1)：-3盯+2fV-4X3J3+3的次數(shù)為6,項(xiàng)數(shù)為4,

-3孫+2x^2-4XY+3是六次四項(xiàng)式.

故答案為：六；四；

(2)"."A—ax1-3xy+2x,B-bxy-4jr+2y,

24-38=2(ax2-3盯+2x)-3(bxy-4x2+2y)

—2OX1-6xy+4x-3bxy+12x1-6y

=(2a+12)x^+(-6-3b)xy+4x-6y,

V2A-3B中不含二次項(xiàng)，

...2a+12=0,-6-3b—0.

解得：a=-6,b=-2.

/.a+b=-8.

(3),:a(x3-，+3x)+b(2f+x)+x3-5=(〃+l)x3+(-a+2b)f+(3〃+。)x-5,

又?：a(J?-+b(2x2+x)+X3-5是關(guān)于x的二次多項(xiàng)式，

〃+l=0.

??〃=-1,

，原多項(xiàng)式為(2/?+1)/+(。-3)x-5.

??,當(dāng)x=2時(shí)，多項(xiàng)式的值是-17,

???(28+1)x4+(b-3)x2-5=-17.

:.b=-1.

???原多項(xiàng)式為-％2-4x-5,

當(dāng)x=-2時(shí)，---4%-5=-4+8-5=-1.

?,?當(dāng)X=-2時(shí)，該多項(xiàng)式的值為-1.

【典例2】一個(gè)多位數(shù)整數(shù)，，代表這個(gè)整數(shù)分出來(lái)的左邊數(shù)，人代表這個(gè)整數(shù)分出來(lái)的右

邊數(shù).其中。，b

兩部分?jǐn)?shù)位相同，若?正好為剩下的中間數(shù)，則這個(gè)多位數(shù)就叫平衡數(shù)，

例如：357滿足乎=5,233241滿足生手=32.

(1)判斷：468平衡數(shù)；314567平衡數(shù)(填“是”或“不是”)；

(2)證明任意一個(gè)三位平衡數(shù)一定能被3整除；

(3)若一個(gè)三位平衡數(shù)后兩位數(shù)減去百位數(shù)字之差為9的倍數(shù)，且這個(gè)平衡數(shù)為偶數(shù)，求

這個(gè)三位數(shù).

【思路點(diǎn)撥】

(1)根據(jù)平衡數(shù)的定義即可判斷；

(2)設(shè)出這個(gè)三位平衡數(shù)，化簡(jiǎn)即可驗(yàn)證；

(3)設(shè)出這個(gè)三位平衡數(shù)，根據(jù)后兩位數(shù)減去百位數(shù)字之差為9的倍數(shù)列出代數(shù)式并化簡(jiǎn),

再根據(jù)等是整數(shù)，y是偶數(shù)即可得出答案.

【解答過(guò)程】

解：（1）:等=6,

???468是平衡數(shù);

..31+67

=4毋45,

2

A314567不是平衡數(shù);

故答案為：是；不是;

（2）證明：設(shè)這個(gè)三位平衡數(shù)為：100.+10?等+6,

???1。。什10?等+6

=lOOtz+5(〃+/?)+b

=100〃+5〃+5b+Z?

=105〃+6Z?

=3（35。+2辦），

100a+10?等+b一定能被3整除，

即任意一個(gè)三位平衡數(shù)一定能被3整除；

（3）設(shè)這個(gè)三位平衡數(shù)為lOOx+lO（管）+?

/.10（X；，）+y-x=9左，

.??6y+4x=9女,

；.6y+4x滿足被9整除，

又???等是整數(shù)，

；.x+y是2的倍數(shù)，

???三位數(shù)是偶數(shù)，

??.y是偶數(shù),

V0<x<9,0<y<9,由于y為偶數(shù),

則y可以取0,2,4,6,8,

y=0時(shí)，x無(wú)滿足條件值；

y=2時(shí)，％=6滿足；

y=4時(shí)，x無(wú)滿足條件值；

y=6時(shí)，x無(wú)滿足條件值；

y=8時(shí)，％=6滿足，

綜上所述，三位數(shù)為642,678.

■I學(xué)霸必刷

1.A=2f+3履-2期-1,"Y+21,且3A+62的值與x的取值無(wú)關(guān),求亳+六+*+

—+—+

4x55x6

亳+…的值?

2.(2023秋?海珠區(qū)校級(jí)期中)己知4=3/+)/-2孫，B^xy-/+2x2,求：

⑴2A-3B；

(2)若|2x-3|=l,/=16,\x-y\=y-x,求2A-38的值.

(3)若x=4,y=-8時(shí)，代數(shù)式ax3+|^+5=18,那么x=-128,y=-1時(shí)，求代數(shù)式

3ax-2W+10的值.

3.（2021春?安丘市月考）特殊值法，又叫特值法，是數(shù)學(xué)中通過(guò)設(shè)題中某個(gè)未知量為特

殊值，從而通過(guò)

簡(jiǎn)單的運(yùn)算，得出最終答案的一種方法.例如：

已矢口：a4X4+a3Xi+a2X1+aiX+ao=6x,貝!!：

（1）取1=0時(shí)，直接可以得到Qo=O；

（2）取X=1時(shí)，可以得到。4+。3+。2+。1+。0=6；

（3）取X=-1時(shí)，可以得到〃4-的+〃2-。1+〃0=-6.

（4）把（2）,（3）的結(jié)論相加，就可以得到2〃4+242+2〃0=0,結(jié)合（1）的=0的結(jié)論，

從而得出〃4+。2=0.

請(qǐng)類比上例，解決下面的問(wèn)題：

已知。6（X-1），+〃5（X-1）§+〃4（X-1）4+a3（X-1）注政（X-1）之+⑥（X-1）+〃（）=4%,

求（1）。0的值；

（2）〃6+〃5+〃4+〃3+〃2+〃1+〃0的值；

（3）〃6+。4+。2的值.

4.（2023秋?城廂區(qū)校級(jí)期中）若〃，b互為相反數(shù)，b,c互為倒數(shù)，且根的立方等于它本

身.

（I）若〃=2,求c"的值；

（II）若相加，試討論：當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，|了+機(jī)|+仇-訓(xùn)是否存在最小值？若存在，求出這

個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（III）若。＞1,且機(jī)VO,S=\2a-3b\-2\b-m\-求6（2a-s）+（s-2〃）的值.

5.（2023秋?韓城市期中）一個(gè)三位正整數(shù)M,其各位數(shù)字均不為零且互不相等.若將M

的十位數(shù)字與百

位數(shù)字交換位置，得到一個(gè)新的三位數(shù)，我們稱這個(gè)三位數(shù)為M的“友誼數(shù)”，如：168的“友

誼數(shù)”為“618”；

若從M的百位數(shù)字、十位數(shù)字、個(gè)位數(shù)字中任選兩個(gè)組成一個(gè)新的兩位數(shù)，并將得到的所

有兩位數(shù)求和，

我們稱這個(gè)和為M的“團(tuán)結(jié)數(shù)”，如：123的“團(tuán)結(jié)數(shù)”為12+13+21+23+31+32=132.

（1）若M的其百位數(shù)字為a,十位數(shù)字為b、個(gè)位數(shù)字為c,試說(shuō)明M與其“友誼數(shù)”的差

能被15整除；

（2）若一個(gè)三位正整數(shù)N,其百位數(shù)字為2,十位數(shù)字為八個(gè)位數(shù)字為b,且各位數(shù)字互

不相等（存0,厚0）,求N的“團(tuán)結(jié)數(shù)”.

6.（2021春?銅梁區(qū)校級(jí)期末）如果3個(gè)數(shù)位相同的自然數(shù)相，n,左滿足：/〃+〃=左，且左

各數(shù)位上的數(shù)字全部相同，則稱數(shù)相和數(shù)"是一對(duì)"黃金搭檔數(shù)”.例如：因?yàn)?5,63,88

都是兩位數(shù)，且25+63=88,則25和63是一對(duì)“黃金搭檔數(shù)”.再如：因?yàn)?52,514,666

都是三位數(shù)，且152+514=666,則152和514是一對(duì)“黃金搭檔數(shù)”.

（1）分別判斷87和12,62和49是否是一對(duì)“黃金搭檔數(shù)”，并說(shuō)明理由.

（2）已知兩位數(shù)s和兩位數(shù)/的十位數(shù)字相同，若s和f是一對(duì)“黃金搭檔數(shù)”，并且s與/

的和能被7整除，求出滿足題意的s.

7.（2023秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）一個(gè)三位正整數(shù)，將它的個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字交換位置,

所得的新數(shù)恰好與原數(shù)相同，我們把這樣的三位正整數(shù)稱為“對(duì)稱數(shù)”，如555,323,191都

是“對(duì)稱數(shù)”.

（1）請(qǐng)你寫出2個(gè)“對(duì)稱數(shù)”；

（2）任意一個(gè)“對(duì)稱數(shù)”減去其各位數(shù)字之和，所得的結(jié)果都是9的倍數(shù)，請(qǐng)用含字母的代

數(shù)式說(shuō)明其中的道理；

（3）若將一個(gè)“對(duì)稱數(shù)”減去其各位數(shù)字之和，所得的結(jié)果是11的倍數(shù)，直接寫出滿足條件

的“對(duì)稱數(shù)”.

8.（2021春?重慶期末）定義：對(duì)于一個(gè)四位自然數(shù)％若其百位數(shù)字等于其個(gè)位數(shù)字與十

位數(shù)字之和，其千位數(shù)字等于其十位數(shù)字與百位數(shù)字之和，則稱這個(gè)四位自然數(shù)〃為“加油

數(shù)”，并將該“加油數(shù)”的各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和記為歹（〃）.例如：5413是“加油數(shù)”，因?yàn)?413

的個(gè)位數(shù)字是3,十位數(shù)字是1,百位數(shù)字是4,千位數(shù)字是5,且3+1=4,1+4=5,所以

5413是“加油數(shù)”，則尸（5413）=5+4+1+3=13；9734不是“加油數(shù)”，因?yàn)?734的個(gè)位數(shù)

字是4,十位數(shù)字是3,百位數(shù)字是7,千位數(shù)字是9,而4+3=7,但3+7=10彳9,所以9734

不是“加油數(shù)

（1）判斷8624是否為“加油數(shù)”，并說(shuō)明理由；

（2）若x,y均為“加油數(shù)”，其中尤的個(gè)位數(shù)字為1,y的十位數(shù)字為2,且B（尤）+F（y）

=30,求所有滿足條件的“加油數(shù)”x.

9.（2023秋?北需區(qū)校級(jí)期末）閱讀理解：我們把形如筋荻（其中且a,b為整

數(shù)）的五位正整數(shù)稱為“對(duì)稱凸數(shù)”，形如而而（其中1±＜芯9且c,d為整數(shù)）的五位正

整數(shù)稱為“對(duì)稱凹數(shù)“，例如：13931,29992是“對(duì)稱凸數(shù)“，25052,59095是“對(duì)稱凹數(shù)”.

（1）最小的“對(duì)稱凸數(shù)”為,最大的“對(duì)稱凹數(shù)”為;

（2）證明：任意一個(gè)“對(duì)稱凸數(shù)”減去它的各數(shù)位數(shù)字之和的差都能被9整除；

（3）五位正整數(shù)M與N都是“對(duì)稱凸數(shù)”，若滿足的同時(shí)，N-M的結(jié)果為一個(gè)“對(duì)

稱凹數(shù)”，且該新“對(duì)稱凹數(shù)”能被5整除，請(qǐng)求出“對(duì)稱凸數(shù)”M與N.

10.(2023秋?姜堰區(qū)期末)如圖，商品條形碼是商品的“身份證”，共有13位數(shù)字.它是由

前12位數(shù)字和校驗(yàn)碼構(gòu)成，其結(jié)構(gòu)分別代表“國(guó)家代碼、廠商代碼、產(chǎn)品代碼、和校驗(yàn)碼”.

其中，校驗(yàn)碼是用來(lái)校驗(yàn)商品條形碼中前12位數(shù)字代碼的正確性.它的編制是按照特定的

算法得來(lái)的.其算法為：

步驟1：計(jì)算前12位數(shù)字中偶數(shù)位數(shù)字的和a,即.=9+1+3+5+7+9=34；

步驟2：計(jì)算前12位數(shù)字中奇數(shù)位數(shù)字的和b,即6=6+0+2+4+6+8=26；

步驟3：計(jì)算3。與b的和c,即c=3x34+26=128；

步驟4：取大于或等于c且為10的整數(shù)倍的最小數(shù)d,即1=130；

步驟5：計(jì)算1與c的差就是校驗(yàn)碼X,即X=130-128=2.

請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

(1)《數(shù)學(xué)故事》的條形碼為978753454647K則校驗(yàn)碼V的值為

(2)如圖1,某條形碼中的一位數(shù)字被墨水污染了，請(qǐng)求出這個(gè)數(shù)字；

(3)如圖2,條形碼中被污染的兩個(gè)數(shù)字的和是5,這兩個(gè)數(shù)字從左到右分別是

11.（2023秋?武侯區(qū)校級(jí)月考）（1）一個(gè)三位數(shù)能不能被3整除，只要看這個(gè)數(shù)的各位

數(shù)字的和能不能被3整除，這是為什么？

（2）聯(lián)系拓廣：

①一個(gè)四位數(shù)能不能被9整除，只要看這個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和能不能被9整除，這是為什

么？

②一個(gè)三位數(shù)能不能被7整除，只要將該三位數(shù)去掉個(gè)位數(shù)字，再?gòu)挠嘞碌臄?shù)中，減去個(gè)

位數(shù)的2倍，如果差是7的倍數(shù)，則原數(shù)能被7整除，這是為什么？

12.（2021春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）國(guó)家人社部透露，目前我國(guó)平均退休年齡不到55歲.相

對(duì)于世界主要經(jīng)濟(jì)體65歲以上的退休年齡，總體偏低.人社部近期表示，我國(guó)正在加緊研

究延遲退休具體改革方案，預(yù)計(jì)將在“十四五”期間推行.

定義：一個(gè)四位數(shù)，如果它的千位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和等于百位數(shù)字與十位數(shù)字的和，且能

被65整除，則稱該數(shù)為“退休數(shù)”.

（1）請(qǐng)判斷:4635和3120是否為“退休數(shù)”?

（2）請(qǐng)求出所有的“退休數(shù)”.

13.（2023秋?渝中區(qū)校級(jí)期末）如果一個(gè)四位自然數(shù)，其千位數(shù)字是十位數(shù)字的二倍與百

位數(shù)字之差，個(gè)位數(shù)字是十位數(shù)字的二倍與百位數(shù)字之和，我們稱這個(gè)數(shù)為“共生數(shù)”.例如

5137,其中5=3x2T,7=3x2+1,所以5137是“共生數(shù)

（1）寫出最小的“共生數(shù)”為,最大的“共生數(shù)”為.

（2）若一個(gè)“共生數(shù)”的前三位數(shù)表示的數(shù)減去后兩位數(shù)表示的數(shù)之差除以13余數(shù)為8,求

出所有符合條件的“共生數(shù)”.

專題04整式加減(壓軸題專項(xiàng)講練)

■i典例精析

【典例D一個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)為加，項(xiàng)數(shù)為力我們稱這個(gè)多項(xiàng)式為機(jī)次多項(xiàng)式或者加次〃

項(xiàng)式，例如：5X3/

-2fy+3孫為五次三項(xiàng)式，-2y2+3xy+2x為二次四項(xiàng)式.

(1)-3xy+2^y2-4x3y3+3為次項(xiàng)式.

(2)若關(guān)于無(wú)、y的多項(xiàng)式4=以2-3xy+2x,B=bxy-4f+2y,已知2A-3B中不含二次項(xiàng)，

求a+b的值.

(3)已知關(guān)于x的二次多項(xiàng)式，a(x3-FHx)+b(2P+X)+X3-5在x=2時(shí)，值是-17,

求當(dāng)x=-2時(shí)，該多項(xiàng)式的值.

【思路點(diǎn)撥】

(1)利用題干中的規(guī)定即可確定多項(xiàng)式的次數(shù)及項(xiàng)數(shù)；

(2)計(jì)算2A-3B,合并同類項(xiàng)后，令二次項(xiàng)系數(shù)等于0即可求得結(jié)論；

(3)利用多項(xiàng)式為關(guān)于x的二次多項(xiàng)式，可得a+l=0；將x=2時(shí)，多項(xiàng)式的值是-17代

入可求得b的值，將求得的a,b的值代入多項(xiàng)式，整理后將尤=-2代入即可求得結(jié)論.

【解答過(guò)程】

解：(1)：-3盯+2x^2-4X3/+3的次數(shù)為6,項(xiàng)數(shù)為4,

-3孫+2x5/-4^3+3是六次四項(xiàng)式.

故答案為：六；四；

(2)'."A—ax2-3xy+2x,B=bxy-4/+2丫，

?*.2A-38=2(ax2-3孫+2x)-3(bxy-4x2+2y)

—2a^-6xy+4x-3bxy+12xi-6y

=(2a+12)f+(-6-3b)xy+4x-6y,

V2A-3B中不含二次項(xiàng)，

：.2a+U=0,-6-3b=0.

解得：a=-6,b=-2.

/.a+b=-8.

(3),:a(x3-，+3x)+b(2f+x)+x3-5=(〃+l)x3+(-a+2b)f+(3〃+。)x-5,

又?：a(J?-+b(2x2+x)+X3-5是關(guān)于x的二次多項(xiàng)式，

〃+l=0.

??〃=-1,

，原多項(xiàng)式為(2/?+1)/+(。-3)x-5.

??,當(dāng)x=2時(shí)，多項(xiàng)式的值是-17,

???(28+1)x4+(b-3)x2-5=-17.

:.b=-1.

???原多項(xiàng)式為-％2-4x-5,

當(dāng)x=-2時(shí)，---4%-5=-4+8-5=-1.

?,?當(dāng)X=-2時(shí)，該多項(xiàng)式的值為-1.

【典例2】一個(gè)多位數(shù)整數(shù)，，代表這個(gè)整數(shù)分出來(lái)的左邊數(shù)，人代表這個(gè)整數(shù)分出來(lái)的右

邊數(shù).其中。，b

兩部分?jǐn)?shù)位相同，若?正好為剩下的中間數(shù)，則這個(gè)多位數(shù)就叫平衡數(shù)，

例如：357滿足乎=5,233241滿足生手=32.

(1)判斷：468平衡數(shù)；314567平衡數(shù)(填“是”或“不是”)；

(2)證明任意一個(gè)三位平衡數(shù)一定能被3整除；

(3)若一個(gè)三位平衡數(shù)后兩位數(shù)減去百位數(shù)字之差為9的倍數(shù)，且這個(gè)平衡數(shù)為偶數(shù)，求

這個(gè)三位數(shù).

【思路點(diǎn)撥】

(1)根據(jù)平衡數(shù)的定義即可判斷；

(2)設(shè)出這個(gè)三位平衡數(shù)，化簡(jiǎn)即可驗(yàn)證；

(3)設(shè)出這個(gè)三位平衡數(shù)，根據(jù)后兩位數(shù)減去百位數(shù)字之差為9的倍數(shù)列出代數(shù)式并化簡(jiǎn),

再根據(jù)等是整數(shù)，y是偶數(shù)即可得出答案.

【解答過(guò)程】

解：（1）:等=6,

???468是平衡數(shù);

..31+67

=4毋45,

2

A314567不是平衡數(shù);

故答案為：是；不是;

（2）證明：設(shè)這個(gè)三位平衡數(shù)為：100.+10?等+6,

???1。。什10?等+6

=lOOtz+5(〃+/?)+b

=100〃+5〃+5b+Z?

=105〃+6Z?

=3（35。+2辦），

100a+10?等+b一定能被3整除，

即任意一個(gè)三位平衡數(shù)一定能被3整除；

（3）設(shè)這個(gè)三位平衡數(shù)為lOOx+lO（管）+?

/.10（X；，）+y-x=9左，

.??6y+4x=9女,

；.6y+4x滿足被9整除，

又???等是整數(shù)，

；.x+y是2的倍數(shù)，

???三位數(shù)是偶數(shù)，

??.y是偶數(shù),

V0<x<9,0<y<9,由于y為偶數(shù),

則y可以取0,2,4,6,8,

y=0時(shí)，x無(wú)滿足條件值；

y=2時(shí)，％=6滿足；

y=4時(shí)，x無(wú)滿足條件值；

y=6時(shí)，x無(wú)滿足條件值；

y=8時(shí)，％=6滿足，

綜上所述，三位數(shù)為642,678.

■I學(xué)霸必刷

1.A=2x2+3Ax-200x-1,B—~x2+fcv-1,且3A+65的值與x的取值無(wú)關(guān),求-1---------1-------F

1x22x33X4

的值

-4^X―5十+-52X_6十+_62X_7十_|_—?-(上-1-)-川」氏

【思路點(diǎn)撥】

先根據(jù)3A+65的值與x的取值無(wú)關(guān)求出k的值，然后將原式化簡(jiǎn)，再將k代入原式即可求

出答案.

【解答過(guò)程】

解：*.*3A+65=3(2f+3fcl-200x-1)+6(-/+日-1)

=6X2+9AX-600x-3-6f+6fcv-6

=15kx-600x-9

=(15%-600)x-9,

由題意可知:15無(wú)-600=0,

???Z=40,

???原式=(1-i)+(i-i)+……+(戶-：)

223k-1k

=1--

k

=1-—

40

_39

40,

2.(2023秋?海珠區(qū)校級(jí)期中)已知4=3寸+尸-2盯，B=xy-/+2x2,求：

⑴2A-3B；

(2)若|2x-3|=l,9=16,\x-y\=y-x,求2A-38的值.

(3)若x=4,y=-8時(shí)，代數(shù)式4必+殳y+5=18,那么x=-128,y=-1時(shí)，求代數(shù)式

3ax-24勿3+io的值.

【思路點(diǎn)撥】

(1)將4=3/+/-2盯，B=xy-y2+2x2,代入2A-32,再利用去括號(hào)、合并同類項(xiàng)化簡(jiǎn)即

可；

(2)求出x、y的值代入(1)化簡(jiǎn)后代數(shù)式計(jì)算即可；

(3)將x=4,y=-8代入代數(shù)式依18可得64a-4b=13,再把x=-128,y=

-1代入3ox-24/?y3+10即可得出答案.

【解答過(guò)程】

解：(1)'.'A—i^+y2-2xy,B—xy-)>2+2^,

.,.2A-38=2(3/+y2-2xy)-3(xy-y2+2^)

=6x1+2y2-4xy-3孫+39-6f

=5y2-7xy；

(2)V|2x-3|=1,/=16,

?'?Xi—19%2=2,y=±4,

又V\x-y\=y-x,即x<y,

y=4或x=2,y=4,

當(dāng)x=l,y=4時(shí)，24-33=5產(chǎn)-7孫=80-28=52,

當(dāng)x=2,y=4時(shí)，2A-35=5y2-7孫=80-56=24,

???2A-3B的值為52或24.

(3)將x=4,y=-8代入代數(shù)式加+1丁+5=18可得,

64〃-40+5=18,

即，64。-40=13,

把％=-128,y=-1代入3ax-24Z?/+10可得，

-3xl28a+24A+10=-6（64。-4。）+10=-6x13+10=-68.

3.（2021春?安丘市月考）特殊值法，又叫特值法，是數(shù)學(xué)中通過(guò)設(shè)題中某個(gè)未知量為特

殊值，從而通過(guò)簡(jiǎn)單的運(yùn)算，得出最終答案的一種方法.例如：

已矢口：=6x,貝（J：

（1）?。?0時(shí)，直接可以得到〃o=O；

（2）取1=1時(shí)，可以得到〃4+。3+。2+〃1+。0=6；

（3）取X=-1時(shí)，可以得到〃4-〃3+〃2-〃1+〃0=-6.

（4）把（2）,（3）的結(jié)論相加，就可以得到2〃4+2Q2+2QO=O,結(jié)合（1）的=0的結(jié)論，

從而得出〃4+。2=0.

請(qǐng)類比上例，解決下面的問(wèn)題：

已知〃6（%-1）6+?5（X-1）§+“4（X-1）4+的（X-1）（X-1）2+?1（X-1）+"0=4x,

求（1）〃0的值；

（2）46+〃5+44+〃3+〃2+〃1+〃0的值；

（3）%+。4+。2的值.

【思路點(diǎn)撥】

（1）觀察等式可發(fā)現(xiàn)只要令工=1即可求出〃

（2）觀察等式可發(fā)現(xiàn)只要令X=2即可求出〃6+。5+。4+俏+〃2+。1+。0的值.

（3）令％=0即可求出等式①，令x=2即可求出等式②，兩個(gè)式子相加即可求出來(lái).

【解答過(guò)程】

解：（1）當(dāng)x=l時(shí)，ao=4xl=4；

（2）當(dāng)X—2時(shí)，可得〃6+〃5+44+〃3+〃2+〃1+〃0=4乂2=8；

(3)當(dāng)％=0時(shí)，可得〃6-〃5+〃4-俏+〃2-〃l+a()=O①,

由(2)得得〃6+〃5+〃4+〃3+〃2+〃1+40=4x2=8②;

①+②得：2〃6+244+2〃2+2〃O=8,

：.2(。6+〃4+。2)—8-2x4=0,

〃6+〃4+。2=0.

4.(2023秋?城廂區(qū)校級(jí)期中)若a,?；橄喾磾?shù)，b,?；榈箶?shù)，且根的立方等于它本

身.

(I)若〃=2,求〃的值；

(II)若*0,試討論：當(dāng)X為有理數(shù)時(shí)，|x+〃2|+|x-詞是否存在最小值？若存在，求出這

個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(III)若〃>1,且機(jī)VO,S=\2a-3b\-2\b-m\-l^+|b求6(2〃-s)+(s-2〃)的值.

【思路點(diǎn)撥】

(I)由題意可知：〃+。=0,bc—\,加=0或1或-1,當(dāng)〃=2時(shí)，求出相應(yīng)的值，代入

ca即可；

(II)根據(jù)根=1和根=-1兩種情況，分別由1的取值范圍去掉絕對(duì)值符號(hào)，再由化簡(jiǎn)后

的式子即可得到3+加|-|冗-刑有最小值為-2；

(III)由根=-1,b<-1,將S進(jìn)行化簡(jiǎn)即可.

【解答過(guò)程】

解：由題意可知：〃+。=0,bc—1,根=0或1或-1,

(I)???〃=2,

：.b=-2,

???C=---1-9

2

：.ca=1)2=工；

(II)加#0,

或m=-1,

當(dāng)m=1時(shí),

\x+m\-\x-m\=\x+l\-\x-1\,

當(dāng)xV-1時(shí)，|x+l|-\x-1\=-(x+1)+(x-1)=-2,

當(dāng)-10於1時(shí)，|x+l|-\x-1|=(x+1)-(1-x)=2x,

當(dāng)%>1時(shí)，|x+l|T%-1|=(x+1)-(x-1)=2,

\x+m\-\x~詞的最小值是-2；

當(dāng)m=-1時(shí)，

\x+m\-\x-m\=\x-1|-|x+l|=-(|x+l|-\x-1|)，

\x+m\-\x~詞的最小值是-2；

綜上所述，|x+刑-枕-刑的最小值是-2；

(III)Vm<0,

Am--1,

：.b<-1,

：.S=\2a-3b\-2\b-m\-|Z7+||

=2a-3b-2(m-/?)+(/?+-)

2

=2a-3b-2m+2b+b+-

2

i

=2。-2機(jī)4—，

2

?；m=-1,

：.S=2a+~,

2

：.6(2〃7)+(S-2〃)

=12a~6S+S-2a

=10。-5S

=}Qa-10o-5x-

2

__25

—2?

5.（2023秋?韓城市期中）一個(gè)三位正整數(shù)M,其各位數(shù)字均不為零且互不相等.若將M

的十位數(shù)字與百位數(shù)字交換位置，得到一個(gè)新的三位數(shù),我們稱這個(gè)三位數(shù)為M的“友誼數(shù)”，

如：168的“友誼數(shù)”為“618”；若從M的百位數(shù)字、十位數(shù)字、個(gè)位數(shù)字中任選兩個(gè)組成一

個(gè)新的兩位數(shù)，并將得到的所有兩位數(shù)求和，我們稱這個(gè)和為"的“團(tuán)結(jié)數(shù)”，如：123的“團(tuán)

結(jié)數(shù)”為12+13+21+23+31+32=132.

（1）若M的其百位數(shù)字為a,十位數(shù)字為b、個(gè)位數(shù)字為c,試說(shuō)明M與其“友誼數(shù)”的差

能被15整除;

（2）若一個(gè)三位正整數(shù)N,其百位數(shù)字為2,十位數(shù)字為八個(gè)位數(shù)字為b,且各位數(shù)字互

不相等（存0,不相，求N的“團(tuán)結(jié)數(shù)”.

【思路點(diǎn)撥】

（1）根據(jù)題意可以表示出M的友誼數(shù)，然后作差再除以15即可解答本題；

（2）根據(jù)題意可以表示出N的團(tuán)結(jié)數(shù)，然后合并同類項(xiàng)即可解答本題.

【解答過(guò)程】

解：（1）由題意可得M為100a+10b+c,則它的友誼數(shù)為1006+10。+。，

（100a+1Ob+c）-（100b+1Oa+c）

=lOOa+lOO+c-100/?-10a-c

—90a-90b,

,：（90〃-90。）75=6。-6。，

與其“友誼數(shù)”的差能被15整除；

（2）N的團(tuán)結(jié)數(shù)是10x2+a+10a+2+10x2+/7+10x/?+2+1Oa+b+1Qb+a=22a+22b+44.

6.（2021春?銅梁區(qū)校級(jí)期末）如果3個(gè)數(shù)位相同的自然數(shù)相，n,k滿足：m+w=k,且左

各數(shù)位上的數(shù)字全部相同，則稱數(shù)相和數(shù)〃是一對(duì)“黃金搭檔數(shù)”.例如：因?yàn)?5,63,88

都是兩位數(shù)，且25+63=88,則25和63是一對(duì)“黃金搭檔數(shù)”.再如：因?yàn)?52,514,666

都是三位數(shù)，且152+514=666,則152和514是一對(duì)“黃金搭檔數(shù)”.

⑴分別判斷87和12,62和49是否是一對(duì)“黃金搭檔數(shù)”，并說(shuō)明理由.

（2）已知兩位數(shù)S和兩位數(shù)r的十位數(shù)字相同，若S和f是一對(duì)“黃金搭檔數(shù)”，并且S與r

的和能被7整除，求出滿足題意的S.

【思路點(diǎn)撥】

（1）根據(jù)“黃金搭檔數(shù)”的定義判斷即可.

（2）根據(jù)“黃金搭檔數(shù)”的定義得出代數(shù)式，再進(jìn)行分類討論即可.

【解答過(guò)程】

解：（1）787+12=99,87,12,99都是兩位數(shù)，

.,.87和12是一對(duì)“黃金搭檔數(shù)”，

V62+49=1U,111是三位數(shù),

.1.62和49不是一對(duì)“黃金搭檔數(shù)”；

（2）和f的是兩位數(shù)，s和/是一對(duì)“黃金搭檔數(shù)”，

和t的和也是兩位數(shù)且各位數(shù)上的數(shù)字全部相同，

與f的和能被7整除，

和f的和為77,

和f的十位數(shù)字相同，77=38+39,

為38或39.

7.（2023秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）一個(gè)三位正整數(shù)，將它的個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字交換位置,

所得的新數(shù)恰好與原數(shù)相同，我們把這樣的三位正整數(shù)稱為“對(duì)稱數(shù)”，如555,323,191都

是“對(duì)稱數(shù)”.

（1）請(qǐng)你寫出2個(gè)“對(duì)稱數(shù)”；

（2）任意一個(gè)“對(duì)稱數(shù)”減去其各位數(shù)字之和，所得的結(jié)果都是9的倍數(shù)，請(qǐng)用含字母的代

數(shù)式說(shuō)明其中的道理；

（3）若將一個(gè)“對(duì)稱數(shù)”減去其各位數(shù)字之和，所得的結(jié)果是11的倍數(shù)，直接寫出滿足條件

的“對(duì)稱數(shù)”.

【思路點(diǎn)撥】

（1）根據(jù)題意，可以寫出2個(gè)“對(duì)稱數(shù)”，本題答案不唯一；

（2）根據(jù)題意用含字母的代數(shù)式說(shuō)明其中的道理；

（3）根據(jù)題意和（2）中的結(jié)果，可以寫出滿足條件的“對(duì)稱數(shù)”.

【解答過(guò)程】

解：(1)由題意可得，

“對(duì)稱數(shù)”為616,626；

(2)設(shè)一個(gè)對(duì)稱數(shù)為100a+10b+a,

由題意可得，(100。+10匕+。)-Ca+b+a)=101a+10Z?-2a-b=99a+9b,

'：99a+9b能被9整除，

...任意一個(gè)“對(duì)稱數(shù)”減去其各位數(shù)字之和，所得的結(jié)果都是9的倍數(shù)；

(3)由(2)得，

一個(gè)“對(duì)稱數(shù)”減去其各位數(shù)字之和是99a+96=9(lla+b),

...將一個(gè)“對(duì)稱數(shù),，減去其各位數(shù)字之和，所得的結(jié)果是11的倍數(shù)，且b為整數(shù)，

：.b=Q,13zW9且a為整數(shù)，

滿足條件的“對(duì)稱數(shù)”是101、202、303、404、505、606、707、808、909.

8.(2021春?重慶期末)定義：對(duì)于一個(gè)四位自然數(shù)小若其百位數(shù)字等于其個(gè)位數(shù)字與十

位數(shù)字之和，其千位數(shù)字等于其十位數(shù)字與百位數(shù)字之和，則稱這個(gè)四位自然數(shù)〃為“加油

數(shù)”，并將該“加油數(shù)”的各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和記為/.例如:5413是“加油數(shù)”，因?yàn)?413

的個(gè)位數(shù)字是3,十位數(shù)字是1,百位數(shù)字是4,千位數(shù)字是5,且3+1=4,1+4=5,所以

5413是“加油數(shù)”，則尸(5413)=5+4+1+3=13；9734不是“加油數(shù)”，因?yàn)?734的個(gè)位數(shù)

字是4,十位數(shù)字是3,百位數(shù)字是7,千位數(shù)字是9,而4+3=7,但3+7=10彳9,所以9734

不是“加油數(shù)”.

(1)判斷8624是否為“加油數(shù)”，并說(shuō)明理由；

(2)若x,y均為“加油數(shù)”，其中尤的個(gè)位數(shù)字為1,y的十位數(shù)字為2,且B(尤)+F(y)

=30,求所有滿足條件的“加油數(shù)”x.

【思路點(diǎn)撥】

(1)根據(jù)加油數(shù)的定義即可判斷；

(2)設(shè)x的十位數(shù)為a,y的個(gè)位數(shù)為6,則x的百位數(shù)為a+1,千位數(shù)為2a+l,y的百位

數(shù)為b+2,千位數(shù)為4+6,根據(jù)/(無(wú))+F(j)=30列出等式即可解答.

【解答過(guò)程】

解：(1)8624是“加油數(shù)”，理由如下：

：8=6+2,6=2+4,

A8624是“加油數(shù)”；

(2)設(shè)尤的十位數(shù)為a,y的個(gè)位數(shù)為6,

.?.尤的百位數(shù)為a+1,千位數(shù)為2a+l,y的百位數(shù)為b+2,千位數(shù)為4+b,

F(x)=2a+l+a+l+a+l=4。+3,F(y)=4+6+6+2+6+2=36+8,

：.F(x)+F(y)=4a+3+3b+8=30,

4a+3b—19,

?：0<a<9,0<b<9,且a,6為整數(shù),

.'.a=l,。=5或a=4,b=l,

；?有滿足條件的“加油數(shù)”x為3211或9541.

9.(2023秋?北倍區(qū)校級(jí)期末)閱讀理解：我們把形如筋痂(其中且a,b為整

數(shù))的五位正整數(shù)稱為“對(duì)稱凸數(shù)”，形如而瓦(其中1±<把9且c,d為整數(shù))的五位正

整數(shù)稱為“對(duì)稱凹數(shù)“，例如：13931,29992是“對(duì)稱凸數(shù)“，25052,59095是“對(duì)稱凹數(shù)”.

(1)最小的“對(duì)稱凸數(shù)”為,最大的“對(duì)稱凹數(shù)”為;

(2)證明：任意一個(gè)“對(duì)稱凸數(shù)”減去它的各數(shù)位數(shù)字之和的差都能被9整除；

(3)五位正整數(shù)M與N都是“對(duì)稱凸數(shù)”，若滿足的同時(shí)，N-M的結(jié)果為一個(gè)“對(duì)

稱凹數(shù)”，且該新“對(duì)稱凹數(shù)”能被5整除，請(qǐng)求出“對(duì)稱凸數(shù)”M與N.

【思路點(diǎn)撥】

(1)根據(jù)定義寫出最小的“對(duì)稱凸數(shù)”和最大的“對(duì)稱凹數(shù)”；

(2)設(shè)“對(duì)稱凸數(shù)”為筋痂，再表示“對(duì)稱凸數(shù)”與它的各數(shù)位數(shù)字之和的差，合并同類項(xiàng)并

提公因式，可得結(jié)論；

(3)設(shè)M為ab9ba,N為cd9dc,由得a<A<c<d,則N-M為

(c—a)(d—b)0(d—b)(c—a),根據(jù)N-M的結(jié)果為一個(gè)“對(duì)稱凹數(shù)”，且該新“對(duì)稱凹數(shù)”

能被5整除，可得結(jié)論.

【解答過(guò)程】

解：(1)由題意得:

最小的“對(duì)稱凸數(shù)”為12921,最大的“對(duì)稱凹數(shù)”為89098；

故答案為：12921,89098：

(2)設(shè)“對(duì)稱凸數(shù)”為麗麗，貝I]“對(duì)稱凸數(shù)”為10000a+1000/7+900+1Ob+a,它的各數(shù)位數(shù)字

之和a+b+9+b+a,

10000fl+1000Z?+900+10Z>+o-(cz+b+9+b+a)

=9999。+10086+891

=9(lllla+112Z>+99),

，任意一個(gè)“對(duì)稱凸數(shù)”減去它的各數(shù)位數(shù)字之和的差都能被9整除；

(3)設(shè)M為ab9ba,N為cd9dc,由M<N得a<b<c<d,貝!]N-M為

(c—a)(d—b)0(d—b)(c—a),

VN-M的結(jié)果為一個(gè)“對(duì)稱凹數(shù)”，且該新“對(duì)稱凹數(shù)”能被5整除，

-“=5或c-。=0(舍去)

當(dāng)a=l,c=6時(shí),如12921和68986,68986-12921=56065,56065為一個(gè)“對(duì)稱凹數(shù)”，

且能被5整除，

同理12921,N=69996；M=13931,N=69996；23931,N=79997.

12921,N=68986；12921,N=69996；〃=13931,N=69996；m=23931,N=

79997.

10.(2023秋?姜堰區(qū)期末)如圖，商品條形碼是商品的“身份證”，共有13位數(shù)字.它是由

前12位數(shù)字和校驗(yàn)碼構(gòu)成，其結(jié)構(gòu)分別代表“國(guó)家代碼、廠商代碼、產(chǎn)品代碼、和校驗(yàn)碼”.

其中，校驗(yàn)碼是用來(lái)校驗(yàn)商品條形碼中前12位數(shù)字代碼的正確性.它的編制是按照特定的

算法得來(lái)的.其算法為：

步驟1：計(jì)算前12位數(shù)字中偶數(shù)位數(shù)字的和a,即4=9+1+3+5+7+9=34；

步驟2：計(jì)算前12位數(shù)字中奇數(shù)位數(shù)字的和b,即6=6+0+2+4+6+8=26；

步驟3：計(jì)算3。與6的和c,即c=3x34+26=128；

步驟4：取大于或等于c且為10的整數(shù)倍的最小數(shù)d,即d=130；

步驟5：計(jì)算〃與c的差就是校驗(yàn)碼X,即X=130-128=2.

請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

（1）《數(shù)學(xué)故事》的條形碼為978753454647K則校驗(yàn)碼V的值為；

（2）如圖1,某條形碼中的一位數(shù)字被墨水污染了，請(qǐng)求出這個(gè)數(shù)字；

（3）如圖2,條形碼中被污染的兩個(gè)數(shù)字的和是5,這兩個(gè)數(shù)字從左到右分別是

【思路點(diǎn)撥】

（1）有以上算法分別求出a,b,c,d的值，由步驟5得出￥=1；

（2）根據(jù)特定的算法依次求出a,b,c,d,再根據(jù)d為10的整數(shù)倍即可求解;

（3）根據(jù)校驗(yàn)碼為9結(jié)合兩個(gè)數(shù)字的和是5即可求解.

【解答過(guò)程】

解：（1）有題意可知，

々=7+7+3+5+6=35,

b—9+8+5+4+4+4—34,

c=3a+b=139,

d=140,

Y=d-c=140-139=1.

故答案為：1,

（2）設(shè)污點(diǎn)的數(shù)為如

a=9+1+2+1+1+2=16,

Z?=6+0+0+8+m,

C=3〃+0=62+M,

d=9+62+m=71+m,

,:d為10的整數(shù)倍,

：?d=80,

即71+加=80,

：.m的值為9；

則這個(gè)數(shù)字為9.

（3）可設(shè)這兩個(gè)數(shù)字從左到右分別是p,q,依題意有，

a—9+9+2+q+3+5—28+g,

b—6+1+p+1+2+4—14+p,

c=3〃+0=98+（3q+p）,

??.d為10的整數(shù)倍，

?"=120,

...3q+p=13

又,：p+q=5

解得p=Lq=4

故答案為：1,4.

11.（2023秋?武侯區(qū)校級(jí)月考）（1）一個(gè)三位數(shù)能不能被3整除，只要看這個(gè)數(shù)的各位

數(shù)字的和能不能被3整除，這是為什么？

（2）聯(lián)系拓廣：

①一個(gè)四位數(shù)能不能被9整除，只要看這個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和能不能被9整除，這是為什

么？

②一個(gè)三位數(shù)能不能被7整除，只要將該三位數(shù)去掉個(gè)位數(shù)字，再?gòu)挠嘞碌臄?shù)中，減去個(gè)

位數(shù)的2倍，如果差是7的倍數(shù)，則原數(shù)能被7整除，這是為什么？

【思路點(diǎn)撥】

（1）用代數(shù)式表示出三位數(shù)，利用已知條件重新表示這個(gè)三位數(shù)后使其有3的因數(shù)即可;

(2)①利用(1)中的方法：用代數(shù)式表示出四位數(shù)，利用已知條件重新表示這個(gè)四位數(shù)后

使其有9的因數(shù)即可；

②利用同樣的方法即可解答.

【解答過(guò)程】

解：(1)如果一個(gè)三位數(shù)各位數(shù)字之和能被3整除，那么這個(gè)三位數(shù)能被3整除.理由：

設(shè)這個(gè)三位數(shù)為100a+106+c,

如果a+b+c=3k,

那么100o+1Ob+c=99a+9b+a+b+c=99a+9b+3k=3(33?+3i>+A;).

：.100a+10b+c能被3整除；

結(jié)論得證.

(2)①如果一個(gè)四位數(shù)各位數(shù)字之和能被9整除，那么這個(gè)四位數(shù)能被9整除.理由：

設(shè)這個(gè)四位數(shù)為100(k+100b+10c+d,

如果a+b+c+d=9k,

那么，10000+100Z?+1Oc+d=999a+99b+9c+a+b+c+d=999a+99b+9c+9k=9(\\\a+\\b+c+k),

1000(7+100b+10c+d能被9整除.

結(jié)論得證.

②一個(gè)三位數(shù)去掉個(gè)位數(shù)字，再?gòu)挠嘞碌臄?shù)中，減去個(gè)位數(shù)的2倍，如果差是7的倍數(shù)，則

原數(shù)能被7整除.理由：

設(shè)這個(gè)三位數(shù)為100a+106+c,

則去掉個(gè)位數(shù)字后的數(shù)為10a+b,再減去個(gè)位數(shù)的2倍的差為10a+b-2c.

如果Wa+b-2c=7鼠即10a+b=-!k+2c,

那么100?+10/?+c

=90a+9b+c+10a+b

=90a+9b+c+7A:+2c

=9Qci+9b+lk+3c

10a+1b+r7k+3c+20a+2b

=70a+7b+7Z+3c+2(7A+2c)

—10a+lb+21k+lc

=7(10a+b+c+3A).

lOOa+lOb+c能被7整除.

結(jié)論得證.

12.(2021春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考)國(guó)家人社部透露，目前我國(guó)平均退休年齡不到55歲.相

對(duì)于世界主要經(jīng)濟(jì)體65歲以上的退休年齡，總體偏低.人社部近期表示，我國(guó)正在加緊研

究延遲退休具體改革方案，預(yù)計(jì)將在“十四五”期間推行.

定義：一個(gè)四位數(shù)，如果它的千位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和等于百位數(shù)字與十位數(shù)字的和，且能

被65整除，則稱該數(shù)為“退休數(shù)”.

(1)請(qǐng)判斷:4635和3120是否為“退休數(shù)”？

(2)請(qǐng)求出所有的“退休數(shù)”.

【思路點(diǎn)撥】

(1)根據(jù)“退休數(shù)”定義判斷.

(2)通過(guò)方程找出所有“退休數(shù)”.

【解答過(guò)程】

解：(1)74635^65=71........20,3120+65=48,3+0=1+2.

.1.4635不是“退休數(shù)“，3120是“退休數(shù)”.

(2):“退休數(shù)”可以被65=5x13整除，

「退休數(shù)”的個(gè)位只能是0或5；

設(shè)這個(gè)四位數(shù)的千位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字分別為a和b,百位數(shù)字與十位數(shù)字分別為“和n,

則有a+b=m+n,且b=0或5；

①當(dāng)6=0時(shí)，這個(gè)四位數(shù)是：

1000。+100m+10n+0

1000(m+n)+100m+10n

=5(220m+202n)

=5x[195(m+幾)+25m+7n]

=65xl5x(m+n)+5x(25m+7n),

V65xl5x(m+n)可被65整除,5x(25m+7n)可被5整除,

：.25m+ln,能被13整除即可，

設(shè)25m+7n=13左，(左為自然數(shù)，0<m+n<9)

當(dāng)％=3時(shí)，m=l9n=2,4=3,此時(shí)“退休數(shù)”為3120；

當(dāng)％=6時(shí)，m=2,幾=4,〃=6,此時(shí)“退休數(shù)'’為6240；

當(dāng)％=9時(shí)，m=3fn=6,a=9,此時(shí)“退休數(shù)”為9360；

②當(dāng)。=5時(shí)，這四位數(shù)是：

1000〃+100m+10幾+5

=1000(m+n-5)+100m+10n+5

=5(220m+202n-999)

=5x[195(m+n-5)+25m+7n-24]

=65xl5x(m+n-5)+5x(25m+7n-24),

V65xl5x(m+n-5)可被65整除，5x(25m+7n-24)可被5整除，

.\25m+7n-24能被13整除，

設(shè)25根+7〃-24=13/,。為自然數(shù)，6<m+n<14),

當(dāng)/=3時(shí)，根=0,〃=9,〃=4,此時(shí)“退休數(shù)”為4095；

當(dāng)/=8時(shí)，根=4,幾=4,4=3,此時(shí)“退休數(shù)”為3445；

當(dāng)/=11時(shí)，m=5,n=6,〃=6,此時(shí)“退休數(shù)''為6565；

綜上，所有的