第十七章勾股定理

17.1勾股定理

第1課時(shí)勾股定理

學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.經(jīng)歷勾股定理的探究過程，了解關(guān)于勾股定理的一些文化歷史背景，會(huì)用

面積法來證明勾股定理，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想；

2.會(huì)用勾股定理進(jìn)行簡單的計(jì)算.

重點(diǎn)：用面積法來證明勾股定理，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.

難點(diǎn)：會(huì)用勾股定理進(jìn)行簡單的計(jì)算.

教學(xué)過程

一、要點(diǎn)探究

勾股定理的認(rèn)識(shí)及驗(yàn)證

我們一起穿越回到2500年前，跟隨畢達(dá)哥拉斯再去他那位老朋友家做客，觀察朋友家

用等腰直角三角形地磚鋪成的地面（如圖）：

問題1試問正方形A、B、C面積之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系？

問題2圖中正方形A、B、C所圍成的等腰直角三角形三邊之間有什么特殊關(guān)系？

問題3在網(wǎng)格中一般的直角三角形，以它的三邊為邊長的三個(gè)正方形A、B、C是否也有

類似的面積關(guān)系？（每個(gè)小正方形的面積為單位1）

思考：這兩幅圖中A,B的面積都好求，該怎樣求C的面積呢？

方法1：補(bǔ)形法（把以斜邊為邊長的正方形補(bǔ)成各邊都在網(wǎng)格線上的正方形）：

右圖：\-J'；

方法2：分割法（把以斜邊為邊長的正方形分割成易求出面積的三角形和四邊形）：

左圖：\=4?'1?：2?3'*1>|=|3

右圖：1x1=25

根據(jù)前面求出的C的面積直接填出下表:

A的面積B的面積C的面積

左圖

思考正方形A、B、C所圍成的直角三角形三條邊之間有怎樣的特殊關(guān)系？

你能結(jié)合字母表示出來嗎？

命題：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為°力，斜邊長為c,那么a2+b2=c2。

b

二、小組活動(dòng)

以小組為單位，剪4個(gè)完全相同的直角三角形，類比探究思考中求解正方形C的面積方法,

拼一拼，擺一?擺，看看能否得到一個(gè)正方形，并利用等面積法證明勾股定理.

借助數(shù)字教材中的拼圖，學(xué)生上臺(tái)展示。

活動(dòng)2

證法1讓我們跟著我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽拼圖,再用所拼的圖形證明命題吧.

c*=4x—+—=a*+Z>*

：.c2=a2+b2

趙爽弦圖”表現(xiàn)了我國古人對數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智，它是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲.

因此，這個(gè)圖案被選為2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)大會(huì)的會(huì)徽.

證法2畢達(dá)哥拉斯證法，請先用手中的四個(gè)全等的直角三角形按圖示進(jìn)行拼圖，然后分析

其面積關(guān)系后證明吧.

證明：

222

S*i73-?=(a+b)=a+b+2ab,

22

S大正方彩=4S直角三角彩+S小正方彩=4x—ab+c=c+2ab

2

a2+b2+2ab=c2+2ab,

a2+b2=c2.

證法3美國第二十任總統(tǒng)加菲爾德的“總統(tǒng)證法”.

如圖，圖中的三個(gè)三角形都是直角三角形，求證：a2+b2=c2.

a

b

證明：

梯形=1(a+b)(a-b)

S梯形=2ab+iab+2C?

a2+b2=c2

三、歸納總結(jié)

勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為。力,斜邊長為c,那么a2+b2=c2.

公式變形：<7=A/C2-Z>2,c=-\JcT+tr.

小貼士：在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股

我國古代學(xué)者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱

為“弦”.

四、利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算

游戲競賽環(huán)節(jié)：兩名學(xué)生上臺(tái)進(jìn)行游戲競賽。

五、典例精析

例1如圖，在RtZX/BC中，ZC=90°.

⑴若a=b=5,求c;

(2)若a=l,c=2,求A

例2已知NACB=90°,CD_LAB,AC=3,BC=4.求CD的長.

方法總結(jié):由直角三角形的面積求法可知直角三角形兩直角邊的積等于斜邊與斜邊上高的

積，它常與勾股定理聯(lián)合使用.

變式題2在中，N3=4,AC=3,求3c的長.

方法總結(jié):當(dāng)直角三角形中所給的兩條邊沒有指明是斜邊或直角邊時(shí)，其中一較長邊可能是

直角邊，也可能是斜邊，這種情況下一定要進(jìn)行分類討論，否則容易丟解.

六、當(dāng)堂檢測

1.求下列圖中未知數(shù)x、y的值:

A.已知a,b,c是三角形的三邊，則a2+b2=c2

B.在直角三角形中兩邊和的平方等于第三邊的平方

C.在Rt448C中，ZC=90°，所以/+62=02

D.在中，ZB=90°，所以次+62j2

3.圖中陰影部分是一個(gè)正方形，則此正方形的面積為,

8cm

4.在△/8C中，ZC=90°.

(1)若a=15,b=8,則c=.

(2)若c=13,b=12,則所.

5.若直角三角形中，有兩邊長是5和7,則第三邊長的平方為.

6.如圖，在△48C中，AD±BC,ZB=45°,ZC=30°,40=1,求△Z2C的周長.

七、課堂小結(jié)

如果直角三角形的兩直角邊長

內(nèi)容修分別為a,b,斜邊長為c,那么

a2+b2=c2.

I勾股定理

在直角三角形中

看清哪個(gè)角是直角

已知兩邊沒有指明是直角邊