專題10分式方程及其應(yīng)用

一、單選題

1.（2021?浙江九年級期末）隨著電影《你好，李煥美》的熱映，其同名小說的銷量也急劇上升.某書店分

別用400元和600元兩次購進(jìn)該小說，第二次數(shù)量比第一次多5套，且兩次進(jìn)價(jià)相同.若設(shè)該書店第一次

購進(jìn)x套，根據(jù)題意，下列方程正確的是（)

400_600400600-400600400_600

A.B.------=一C.-------------D.

xx+5x+5xxx-5x-5x

【答案】A

【分析】

根據(jù)“進(jìn)價(jià)=購進(jìn)成本+購進(jìn)數(shù)量”、“用400元和600元兩次購進(jìn)該小說，第二次數(shù)量比第一次多5套，且

兩次進(jìn)價(jià)相同”建立方程即可.

【詳解】

解：設(shè)該書店第一次購進(jìn)x套，則第二次購進(jìn)（x+5）套,

E一一400600

則可列萬程為：——=——T

無x+5

故選：A.

2.（2021?湖北襄陽?）某工廠現(xiàn)在平均每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)50臺機(jī)器，現(xiàn)在生產(chǎn)600臺機(jī)器所需時(shí)間與原

計(jì)劃生產(chǎn)450臺機(jī)器所需時(shí)間相同，設(shè)原計(jì)劃平均每天生產(chǎn)x臺機(jī)器，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是

（）

600450600450八600450600450

A.---------------B.---------------C?--------------D.--------------

x+50xx-50xxx+50xx-50

【答案】A

【分析】

分別找到當(dāng)前和原計(jì)劃每小時(shí)的產(chǎn)量，根據(jù)時(shí)間相等列方程

【詳解】

設(shè)原計(jì)劃平均每天生產(chǎn)x臺機(jī)器，則現(xiàn)在每小時(shí)生產(chǎn)（x+50）臺機(jī)器;

根據(jù)現(xiàn)在生產(chǎn)600臺機(jī)器所需時(shí)間與原計(jì)劃生產(chǎn)450臺機(jī)器所需時(shí)間相同，有：

600450

龍+50x

故選A

3.（2021?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?）若關(guān)于x的分式方程三+二=2無解，則。的值為（）

x-33-x

A.3B.0C.-1D.0或3

【答案】c

【分析】

直接解分式方程，再根據(jù)分母為0列方程即可.

【詳解】

2x+a

解：--+--=2,

x-55-x

去分母得：2-x-a=2(x-3),

解得：》=一，

當(dāng)胃=3時(shí)，方程無解,

解得a=-l.

故選：C.

4.（2021?山東淄博?中考真題）甲、乙兩人沿著總長度為10km的，健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍,

甲比乙提前12分鐘走完全程.設(shè)乙的速度為xkm/h,則下列方程中正確的是（）

A.3—12B.以-3=0.2生-%210生=0.2

C.D.—

x1.2x1.2xx1.2xxx1.2x

【答案】D

【分析】

根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解.

【詳解】

解：由題意得：----=0.2；

xl.2x

故選D.

1?

5.（2⑼廣西百色?）方程1rK的解是（).

A.x=-2B.%=-1C.x=lD.尤=3

【答案】D

【分析】

根據(jù)解分式方程的方法求解，即可得到答案.

【詳解】

1_2

x3x-3

???3x-3=2x

???x=3

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)x=3時(shí)，x與3x-3均不等于0

???方程士=丁一;的解是：x=3

x3x-3

故選：D.

23

6.（2021?海南?？?）分式方程—二一的解是（）

xx+2

A.x=6.5B.x=6C.x=5D.x=4

【答案】D

【分析】

先將分式方程化為一元一次方程，求出方程的解再檢驗(yàn)即可.

【詳解】

2x+4=3%,

解得％=4,

經(jīng)檢驗(yàn)x=4是原方程的解，

???原方程的解為％=4,

故選D.

7.（2021?深圳市羅湖區(qū)翠園初級中學(xué)）關(guān)于x的分式方程一=/一有增根，則加的值是（）

x-1x-1

A.-2B.3C.-3D.2

【答案】A

【分析】

首先把所給的分式方程化為整式方程，然后根據(jù)分式方程有增根，得到x-l=0,據(jù)此求出x的值，代入整式

方程求出m的值即可.

【詳解】

解：去分母，得：x-3=m,

由分式方程有增根，得到x-l=0,即x=l,

把x=l代入整式方程，可得：m=-2.

故選：A.

8.（2021?江蘇九年級月考）某廠進(jìn)行技術(shù)創(chuàng)新，現(xiàn)在每天比原來多生產(chǎn)30臺機(jī)器，并且現(xiàn)在生產(chǎn)500臺機(jī)

器所需時(shí)間與原來生產(chǎn)350臺機(jī)器所需時(shí)間相同設(shè)現(xiàn)在每天生產(chǎn)x臺機(jī)器，根據(jù)題意可得方程為（）

500350500350500350500350

A.—B.C.D.

xx-30x-30XXx+30x+30X

【答案】A

【分析】

根據(jù)現(xiàn)在生產(chǎn)500臺機(jī)器所需時(shí)間與原計(jì)劃生產(chǎn)350臺機(jī)器所需時(shí)間相同，所以可得等量關(guān)系為：現(xiàn)在生

產(chǎn)500臺機(jī)器所需時(shí)間=原計(jì)劃生產(chǎn)350臺機(jī)器所需時(shí)間.

【詳解】

解：設(shè)現(xiàn)在每天生產(chǎn)x臺機(jī)器，則原計(jì)劃每天生產(chǎn)。-30）臺機(jī)器.

350

依題意得：—

Xx-30

故選：A.

9.（2021?廣州市第三中學(xué)九年級三模）甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)修路，已知甲隊(duì)每天比乙隊(duì)少修路12米，現(xiàn)在甲

隊(duì)修路400米所用的時(shí)間與乙隊(duì)修路500米所用的時(shí)間相等.設(shè)甲隊(duì)每天修路x米，下列方程正確的是（）

400500400_500400500400_500

L-------=-----

x-12xxx-12x+12xxx+12

【答案】D

【分析】

設(shè)甲隊(duì)每天修路x米，則乙隊(duì)每天修路（x+12）米，利用工作時(shí)間=工作總量+工作效率，結(jié)合甲隊(duì)修路400

米所用的時(shí)間與乙隊(duì)修路500米所用的時(shí)間相等，即可得出關(guān)于x的分式方程，此題得解.

【詳解】

解：設(shè)甲隊(duì)每天修路x米，則乙隊(duì)每天修路（x+12）米,

6g上，口500

依寇思得：-4-0-0

xx+12

故選：D.

21

10.（2021?哈爾濱市第六十九中學(xué)校九年級二模）方程:=一3的解為（)

3x-2x+1

A.x=3B.x=4C.x=5D.x=-5

【答案】B

【分析】

觀察可得最簡公分母為（3x-2）（x+l）,去分母化為整式方程，求解并檢驗(yàn)即可.

【詳解】

21

解:

3x-2x+1

方程兩邊同乘以(3X-2)(X+1),去分母得,

2(%+1)=3x-2

解得，尤=4

經(jīng)檢驗(yàn)，1=4是原方程的根，

故選：B.

二、填空題

11.(2021?湖北九年級二模)某童裝店有幾件不同款式的衣服，每件衣服的原價(jià)一樣，6月1日兒童節(jié)那天,

全場打7折，某寶媽在兒童節(jié)那天去購買該款式的衣服時(shí)發(fā)現(xiàn)：平時(shí)花350元購買到的衣服件數(shù)比現(xiàn)在少2

件，設(shè)原價(jià)是x元，則根據(jù)題意可列出方程.

.田350350、

【答案】一=---2

x0.7%

【分析】

設(shè)原價(jià)是x元，則打折后的價(jià)格為0.7x元，利用數(shù)量=總價(jià)+單價(jià)，結(jié)合平時(shí)花350元購買到的衣服件數(shù)比

現(xiàn)在少2件，即可得出關(guān)于x的分式方程，此題得解.

【詳解】

解：設(shè)原價(jià)是x元，則打折后的價(jià)格為0.7x元，

350350。

依題意得:=~2,

X0.7x

350350。

故答案為:=--------2.

X0.7x

X777

12.(2021?西安?陜西師大附中九年級開學(xué)考試)若關(guān)于x的分式方程-----=2無解，則優(yōu)的值是

x-11-x

【答案】-1

【分析】

分式方程無解，即有增根，止匕時(shí)X=l,解分式方程得X=M+2,令加+2=1得解.

【詳解】

xm

解：將產(chǎn)=2變形為:---+----

l-xX—1X—1

x+m.

即:------=2

x-1

方程兩邊同時(shí)乘以X-1得：x+m=2(x-V)

去括號得：x+m=2x-2

!x—2x=—m—2

合并同類項(xiàng)得：-％=-加-2

解得：x=m+2

???分式方程無解

x-1=0,即x=1

m+2=1

m=-\

故答案為：-1

13.(2021?四川省宜賓市第二中學(xué)校九年級三模)某服裝廠準(zhǔn)備加工400套運(yùn)動裝，在加工完160套后，采

用了新技術(shù)，使得工作效率比原計(jì)劃提高了20%,結(jié)果共用了18天完成任務(wù)，問計(jì)劃每天加工服裝多少套?

在這個(gè)問題中，設(shè)計(jì)劃每天加工x套，則根據(jù)題意可得方程為

160400-160

【答案】V+(l+20%)x-8

【分析】

根據(jù)題意，分別列出采用新技術(shù)前和采用新技術(shù)后所用時(shí)間，相加等于18即可.

【詳解】

根據(jù)題意，采用新技術(shù)前所用時(shí)間為：變天,

x

400-160

采用新技術(shù)后所用時(shí)間為：(1+20%八天，

所列方程為:詈160+環(huán)400網(wǎng)—16廠0區(qū)

160400—160

故答案為：丁+g邪=電

57

14.(2021?湖南長沙?明德華興中學(xué)九年級開學(xué)考試)分式方程2二一的解是工=

xx—2

【答案】-5

【分析】

方程兩邊同乘以公因式x(x-2),將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，解此整式方程，再驗(yàn)根即可.

【詳解】

解：方程兩邊同乘以x(x-2)得，

5(x-2)=7x

5x-10=7x

x=-5

經(jīng)檢驗(yàn)，x=-5是原方程的根，

故答案為：-5.

15.(2021?四川省內(nèi)江市第六中學(xué)九年級三模)從-2,0,1,3這六個(gè)數(shù)中，隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)記

為。，則使關(guān)于x的二次函數(shù)y=N+(3-a)x-1在1的范圍內(nèi)〉隨x的增大而減小，且使關(guān)于x的分式

方程2--=二的解為正數(shù)的a共有________個(gè).

x-33-x

【答案】2

【分析】

根據(jù)關(guān)于X的二次函數(shù)y=x2+(3-a)X-1在X<-1的范圍內(nèi)y隨X的增大而減小，可得拋物線對稱軸小

于-1,根據(jù)關(guān)于x的分式方程2-==二的解為正數(shù)，可得x>0,解得。>-3,進(jìn)而可得a的取值

范圍即可得結(jié)論.

【詳解】

解：：關(guān)于X的二次函數(shù)y=x2+(3-a)x-1在x<-1的范圍內(nèi)》隨x的增大而減小，

???拋物線對稱軸方程

口nQ—3

即三一V-1,

解得,

???關(guān)于X的分式方程2-T=二的解為正數(shù)，

x-33-x

解分式方程，得x=-2a+6,

???-2q+6>0,

解得aV3,

"Vl,

35

???從-2,0,1,3這六個(gè)數(shù)中，隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)記為0,

二符合條件的a共有2個(gè)，為-2,0.

故答案為2.

三、解答題

16.(2021?吉林省第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級月考)為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，揚(yáng)州漆器廠接到制作1800

件漆器紀(jì)念賀禮訂單，為了盡快完成任務(wù)，該廠實(shí)際每天制作的件數(shù)比原來每天多50%,結(jié)果提前15天完

成任務(wù).原來每天制作多少件？

【答案】原來每天制作40件

【分析】

設(shè)原來每天制作x件，則實(shí)際每天制作（1+50%）x件，然后根據(jù)題意列出方程求解即可得到答案.

【詳解】

解：設(shè)原來每天制作x件，則實(shí)際每天制作（1+50%）x件，

18001800

由題意得：——

(l+50%)x

解得x=40,

經(jīng)檢驗(yàn)x=40是原方程的解，

原來每天制作40件，

答：原來每天制作40件.

Y2

17.（2021?北京市第十二中學(xué)九年級月考）解方程：---^-=1.

x-2x-4

【答案】x=-1

【分析】

分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解.

【詳解】

解：去分母得：x（x+2）-2=x2-4,

去括號得：x2+2x-2=x2-4,

解得：x=-1,

經(jīng)檢驗(yàn)x=-1是分式方程的解.

18.（2021?湖北）解方程：-+-^--4^=0

xx-lX-X

【答案】無解

【分析】

方程的兩邊同時(shí)乘/-X,轉(zhuǎn)化為整式方程，求整式方程的解，最后檢驗(yàn)整式方程的解即可.

【詳解】

解：兩邊同時(shí)乘以無0-1）得:

3（x-1）+6x-（x+5）=0

化簡得x-l=O,解得x=l

檢驗(yàn):將x=l代入得Mx-D=O

所以x=l是原方程的增根，即原方程無解.

19.（2021?陜西西安?交大附中分校九年級模擬預(yù)測）解分式方程：<--2.

【答案】無解

【分析】

分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到X的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解.

【詳解】

解：去分母得：l-x=-l-2x+4,

解得：x=2,

經(jīng)檢驗(yàn)x=2是增根，分式方程無解.

20.（2021?哈爾濱市第四十七中學(xué)）某商店第一次用600元購進(jìn)2B鉛筆若干支，第二次又用600元購進(jìn)該

款鉛筆，但這次每支的進(jìn)價(jià)是第一次進(jìn)價(jià)的1.25倍，且購進(jìn)的數(shù)量比第一次少了30支.

（1）求兩次購進(jìn)的鉛筆每支進(jìn)價(jià)分別是多少元；

（2）若商店以第二次進(jìn)價(jià)提高40%作為兩次購進(jìn)鉛筆統(tǒng)一售價(jià)，按此同一售價(jià)銷售部分鉛筆后，又以八折

銷售完其余的鉛筆，要使全部銷售完后獲利不低于592元，求至少銷售多少支鉛筆后開始打八折？

【答案】（1）4元，5元.（2）200

【分析】

（1）設(shè)第一次每支鉛筆進(jìn)價(jià)為x元，則第二次每支鉛筆進(jìn)價(jià)為L25x元，根據(jù)題意可列出分式方程解答；

（2）設(shè)銷售y支鉛筆后開始打八折，求出利潤表達(dá)式，然后列不等式解答.

【詳解】

解：（1）設(shè)第一次每支鉛筆進(jìn)價(jià)為x元，

根據(jù)題意列方程得，--^-=30,

x1.25、

解得x=4,

經(jīng)檢驗(yàn)：尤=4是原分式方程的解.則第二次每支鉛筆的進(jìn)價(jià)為4義1.25=5（元），

答：第一次每支鉛筆的進(jìn)價(jià)為4元，第二次每支鉛筆的進(jìn)價(jià)為5元.

（2）鉛筆統(tǒng)一售價(jià)為5x（1+40%）=7（元），

設(shè)銷售y支鉛筆后開始打八折，根據(jù)題意列不等式為：

7xy+（—+—^--y）x7x0.8-1200>592,

44x1.25

解得這200.

答：至少銷售200支鉛筆后開始打八折.

21.（2021?湖南九年級期中）在新冠肺炎防疫工作中，某公司購買了/、8兩種不同型號的口罩，已知N型

口罩的單價(jià)比2型口罩的單價(jià)多1.2元，且用7000元購買/型口罩的數(shù)量與用4200元購買2型口罩的數(shù)

量相同.

（1）/、2兩種型號口罩的單價(jià)各是多少元？

（2）根據(jù)疫情發(fā)展情況，該公司需要增加購買一些口罩，增加購買8型口罩?jǐn)?shù)量是N型口罩?jǐn)?shù)量的2倍，

若總費(fèi)用不超過3960元，則增加購買A型口罩的數(shù)量最多是多少個(gè)？

【答案】（1）/型口罩的單價(jià)為3元，則8型口罩的單價(jià)為1.8元；（2）增加購買/型口罩的數(shù)量最多是

600個(gè)

【分析】（1）設(shè)8型口罩的單價(jià)為x元，則4型口罩的單價(jià)為（x+1.2）元，，根據(jù)用7000元購買A型口罩

的數(shù)量與用4200元購買B型口罩的數(shù)量相同，可得關(guān)于x的分式方程，解方程并檢驗(yàn)后即得結(jié)果；

（2）設(shè)增加購買/型口罩的數(shù)量是a個(gè)，則購買3型口罩的數(shù)量是2a個(gè)，根據(jù)。個(gè)/型口罩的費(fèi)用與2a

個(gè)2型口罩的費(fèi)用之和不超過3960元可得關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集后結(jié)合實(shí)際情況即得結(jié)

果.

【詳解】

解：（1）設(shè)3型口罩的單價(jià)為x元，則/型口罩的單價(jià)為（x+1.2）元,

70004200

根據(jù)題意，得:

x+1.2x

解方程，得：x=1.8.

經(jīng)檢驗(yàn)：x=1.8是原方程的根，且符合題意.

所以x+1.2=3.

答：/型口罩的單價(jià)為3元，則8型口罩的單價(jià)為1.8元；

（2）設(shè)增加購買/型口罩的數(shù)量是。個(gè)，則購買2型口罩的數(shù)量是2a個(gè).

根據(jù)題意，得：3a+1.8x2a<3960.

解不等式，得：a<600.

答：增加購買4型口罩的數(shù)量最多是600個(gè).

22.（2021?哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校九年級開學(xué)考試）某五金商店準(zhǔn)備從一機(jī)械廠購進(jìn)甲、乙兩種零件進(jìn)行銷售.若

每個(gè)甲種零件的進(jìn)價(jià)比每個(gè)乙種零件的進(jìn)價(jià)少2元，且用80元購進(jìn)甲種零件的數(shù)量與用100元購進(jìn)乙種零件

的數(shù)量相同.

(1)求每個(gè)甲種零件、每個(gè)乙種零件的進(jìn)價(jià)分別為多少元？

(2)若該五金商店本次購進(jìn)乙種零件的數(shù)量比購進(jìn)甲種零件的數(shù)量的3倍還少5個(gè)，購進(jìn)兩種零件的總金

額不超過2000元，則五金商店本次從機(jī)械廠最多購進(jìn)甲種零件多少個(gè)？

【答案】(1)每個(gè)甲種零件的進(jìn)價(jià)為8元，每個(gè)乙種零件的進(jìn)價(jià)為10元；(2)五金商店本次從機(jī)械廠最多

購進(jìn)甲種零件53個(gè).

【分析】(1)設(shè)每個(gè)乙種零件進(jìn)價(jià)為x元，則每個(gè)甲種零件進(jìn)價(jià)為。-2)元，根據(jù)“用80元購進(jìn)甲種零件的

數(shù)量與用100元購進(jìn)乙種零件的數(shù)量相同”列出方程.

(2)設(shè)購進(jìn)甲種零件了個(gè)，則購進(jìn)乙種零件(3y-5)個(gè).根據(jù)“購進(jìn)兩種零件的總金額不超過2000元”列出

不等式，進(jìn)而求得居53/，由此可得答案.

【詳解】

解：(1)設(shè)每個(gè)乙