寧德市2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期期末高一質(zhì)量檢測(cè)

數(shù)學(xué)試題

本試卷有第I卷（選擇題）和第H卷（非選擇題）兩部分，考試時(shí)間120分鐘，滿分150分.

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫準(zhǔn)考證號(hào)、姓名，考生要認(rèn)真核對(duì)答

題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)，姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致.

2.第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)的題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng),

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)；第n卷用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡上書寫作答,

在試題卷上作答，答案無(wú)效.

第I卷（選擇題共58分）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)復(fù)數(shù)z=2+i,則卜卜（）

A.V3B.3C.V5D.5

【答案】C

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)模的公式可求結(jié)論.

【詳解】因?yàn)閦=2+i，所以［=2—i，所以臼=^為+（—I》=6.

故選：C.

2.已知向量a==（3,—22）,若a〃（2a—b）,則％=（）

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】A

【解析】

【分析】先求出正-3的坐標(biāo)，再利用向量共線的坐標(biāo)式列出方程即可解得.

一/\一/\ULU1

【詳解】由a=（1,2）,6=（3,—2%）可得，2a—b=2（1,2）—（3,—2X）=（—1,4+22），

因?！ǎ?a—6）,故得4+22=—2,解得力=—3.

故選：A.

3.把紅、藍(lán)、黑、白4張紙牌隨機(jī)地分給甲、乙、丙、丁4個(gè)人，每人分得1張，事件“甲分得紅牌”與事件

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“乙分得紅牌”是（）

A.對(duì)立B.相等C.相互獨(dú)立D.互斥但不對(duì)立

【答案】D

【解析】

【分析】利用互斥事件和對(duì)立事件的特征易判斷得出結(jié)論.

【詳解】因紙牌只有紅、藍(lán)、黑、白4張，分給甲、乙、丙、丁4個(gè)人，每人一張，

則事件“甲分得紅牌，，與事件“乙分得紅牌，，在一次分法中不可能同時(shí)發(fā)生，故兩事件互斥;

同時(shí)在一次分法中除了這兩個(gè)事件，還有“丙分得紅牌”，“丁分得紅牌”這些可能事件，

故這兩個(gè)事件不是對(duì)立事件.

故選：D.

4.設(shè)加，〃是兩條不同的直線，a,6是兩個(gè)不同的平面，下列命題正確的是（）

A,若加ua,nu°,mLn,則B.若他ua,nu（3,mlln,則a//夕

C.若加ua,nu0,a///3,則M〃〃D.若加_La,mlln,〃u用，則cJ_/7

【答案】D

【解析】

【分析】對(duì)于A,兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線垂直不能推這兩個(gè)面垂直；對(duì)于B,兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行

不能得到這兩個(gè)面平行；對(duì)于C,面面平行則平面內(nèi)的任意直線加，〃平行或異面；對(duì)于D，由面面垂直

的判定定理即可判斷.

【詳解】對(duì)于A,若加ua,nu。，mln,則a,尸不一定垂直，可能相交或平行，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，若mua,nu（3，mlln,則a,尸不一定平行，可能相交，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若能ua,nup,al1（5,則直線加，"平行或異面，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，若加_La,mHn1則〃_La,又nu（3,所以夕_1_齊，故D正確.

故選：D.

5.根據(jù)某地天氣預(yù)報(bào)，在今后的三天中，每天下雨的概率均為20%.利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1到5之間整數(shù)值的

隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機(jī)數(shù)1時(shí)，表示下雨，當(dāng)出現(xiàn)隨機(jī)數(shù)2,3,4,5時(shí)，表示不下雨，產(chǎn)生20組隨機(jī)數(shù)：

435451132533224344151231424142

412414335312123233314254353442

據(jù)此估計(jì)這三天中至少有1天下雨的概率為（）

A.0.4B.0.5C.0.55D.0.6

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【答案】B

【解析】

【分析】由題意知經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生的20組隨機(jī)數(shù)中表示三天中至少有1天下雨的可以通過(guò)列舉得到共10

組隨機(jī)數(shù)，根據(jù)概率公式得到結(jié)果.

【詳解】20組隨機(jī)數(shù)中三天中至少有1天下雨的有

451,132,151,231,142,412,414,312,123,314,共10組隨機(jī)數(shù)，

所以這三天中至少有1天下雨的概率為W=0.5.

20

故選：B.

6.甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球決賽，現(xiàn)在的情形是甲隊(duì)只要在余下的兩局比賽中再贏一局就獲得冠軍，若余下比

2

賽中甲隊(duì)每局獲勝的概率為一，則甲隊(duì)獲得冠軍的概率為()

5

9131619

A.—B.—C.—D.—

25252525

【答案】C

【解析】

23

【分析】由題設(shè)知比賽中甲隊(duì)每局獲勝的概率為一，輸?shù)母怕蕿橐?，甲?duì)要獲得冠軍，則至少在兩局內(nèi)贏

55

一局，利用概率的乘法和加法公式求概率即可.

23

【詳解】比賽中甲隊(duì)每局獲勝的概率為一，輸?shù)母怕蕿橐唬?/p>

55

當(dāng)?shù)谝痪旨撰@勝，其概率為4=2,

15

當(dāng)?shù)谝痪旨纵?，第二局甲贏，其概率為8=—X—=一，

■5525

甲隊(duì)獲得冠軍的概率為尸=2+9=竺.

52525

故選：C.

7.若平面向量工員】?jī)蓛傻膴A角相等，丘|=1,向=2,向=3,^\\a+b+c\=()

A.3B.6C.當(dāng)或6D.3或6

【答案】C

【解析】

【分析】依題意可得，扇3,5兩兩的夾角為0°或120°，按照此兩種情況討論，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律即可得

出結(jié)果.

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【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄坑胋忑兩兩的夾角相等,

所以平面向量原3,1兩兩的夾角為0°或120°，

又因?yàn)橥?1,忖=2,同=3,

當(dāng)夾角為0°時(shí)，即向量扇B忑同向，則歸+3+3=同+|片+同=1+2+3=6；

當(dāng)夾角為120°時(shí)，即=何亞卜0$120°二lx2x-1,

a-c二同?同cos1200

1

c-b=c\]b\cosn0=3x2x—3,

2

則B+3+W=^a2+b2+c2+2a-b+2a-c+2c-b=Jl+4+9-2-3-6=G.

綜上所述，5+B+W等于岔或6.

故選：C.

8.將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子（六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,3,4,5,6）,先后拋擲兩次，將得到的點(diǎn)數(shù)分別

記為加，〃，記向量1=（3加一4,〃一2）,3=0,-1）的夾角為6，則。為鈍角的概率是（）

51711

A.—B.—C.—D.—

1863636

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得3加<〃+2,且〃76-3加，利用列舉法結(jié)合古典概型分析求解.

【詳解】由￡/厲可得（3加—4）x（—1）—（〃—2）xl=0,則〃=6-3%

因?yàn)?為鈍角，所以￡4<0,且Z］不共線，

(3加-4)x1+(〃-2)x(-1)<0

可得即3m<〃+2,且〃。6-3加.

nw6-3m

當(dāng)冽=1時(shí)，有〃〉1且〃。3,所以〃可取2,4,5,6；

當(dāng)加=2時(shí)，有〃>4,〃可取5,6；

當(dāng)初=3,加=4,m=5,加=6時(shí)，n>3m-2>6,此時(shí)無(wú)解;

綜上所述：滿足條件的加，〃有6種可能.

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又先后拋擲兩次，得到的樣本點(diǎn)數(shù)共36種，

所以，為鈍角的概率P=L

6

故選：B.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合

題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.若x是樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則()

A.a,—c,d的極差等于a,瓦的極差

B.的中位數(shù)等于a,6,c,d,x的中位數(shù)

C.a,6,c,d的眾數(shù)等于a,仇c,d,x的眾數(shù)

D.a,6,c,d的方差大于a,6,c,d,x的方差

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)極差，中位數(shù)，眾數(shù)的定義分析，由方差計(jì)算公式分析.

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)樣本數(shù)據(jù)a,4Gd中，最小值為。，最大值為d,

對(duì)于A,因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)a,b,c,d的平均數(shù)x,其極差為d-a,而樣本數(shù)據(jù)a,8c,d,x加入原樣本數(shù)據(jù)的平

均數(shù)無(wú)，其最值和原樣本數(shù)據(jù)是一樣的，所以極差是一樣的，即d-a,故A正確；

/)+「

對(duì)于B,因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)a,仇c,d的中位數(shù)^——■,而樣本數(shù)據(jù)a,"c,d,x的中位數(shù)為ac,x中排在中間的數(shù),

2

則原樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)不一定等于新樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)4c,d與樣本數(shù)據(jù)a,"c,d,x的數(shù)據(jù)都沒(méi)有實(shí)際數(shù)據(jù)，均沒(méi)辦法判斷眾數(shù)，故C

錯(cuò)誤；

對(duì)于D,樣本數(shù)據(jù)a,b,c,d的方差為4(a—+9—x)2+(c-x)2+(d—,

樣本數(shù)據(jù)見仇c,d,x的方差為

+(Z?-x)2+(c-x)2+(d-x)2+(x-x)[=+(Z>-x)2+(c-x)2+(d-x)[,顯然前者

更大，故D正確.

故選：AD.

10.已知A4BC三個(gè)內(nèi)角4瓦。的對(duì)應(yīng)邊分別為見“c,且c=2,則()

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A,若礪方，則麗=20瓦

333

JT_

B.若/二:，則方在k上投影向量的模長(zhǎng)為1

6

兀3

C.若B=_,b=—,則角。有兩解

42

,,ULULuum,I---------?|2I----------?|2

D.若。.C3<0,貝+|C5|<4

【答案】ACD

【解析】

【分析】對(duì)于A,畫出圖形根據(jù)三點(diǎn)共線的向量表達(dá)式判斷;

對(duì)于B,用投影向量的模長(zhǎng)公式計(jì)算判斷；

對(duì)于C,畫出圖形，求出高線，比較大小來(lái)判斷解的個(gè)數(shù)；

對(duì)于D,用數(shù)量積和余弦定理綜合考慮即可判斷.

【詳解】對(duì)于A,如圖所示，

對(duì)于B,布在就上投影向量的模長(zhǎng)為|益|COSN=2X曰=Q.故B錯(cuò)誤.

對(duì)于C,如圖所示，求得48=2sin弓=血<^=6,則有兩組解，故C正確.

對(duì)于D,CA-CB<。，則。為鈍角，貝！lcosC=----------------<0，即52+/一。2<0，

Iba

即加+〃<4，t^|C4|2+|C5|2<4,故D正確.

故選：ACD.

11.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將底面為矩形的棱臺(tái)稱為“芻童”.已知棱臺(tái)/BCD-HB'CZ)'是一

個(gè)側(cè)棱相等的“芻童"，若A'B'=A'D'=A'A=LAB=2,貝Ij()

2

第6頁(yè)/共19頁(yè)

D'C

A.該“芻童”的表面積為20+12G

B.能夠被完整放入該“芻童”內(nèi)的圓臺(tái)的體積可能為307r

C.該“芻童”的外接球的球心到平面氏4的距離為Jd

D.棱長(zhǎng)為0的正四面體可以在此空心“芻童”容器內(nèi)部任意轉(zhuǎn)動(dòng)

【答案】AC

【解析】

【分析】對(duì)于A,把側(cè)面高求出來(lái)，然后就可以求側(cè)面積，最終可求表面積；對(duì)于B,軸截面的等腰梯形

N/C'C求出能夠被完整放入該“芻童”內(nèi)的圓臺(tái)的最大的高"N=J5,即可求出體積；

對(duì)于C,先求該“芻童”的外接球的球心到平面45CD的距離為0,再根據(jù)平面/8'氏4的外接圓的圓心

恰為線段氏4的中點(diǎn)，進(jìn)而可求；對(duì)于D,棱長(zhǎng)為行的正四面體的外接球直徑為由，此棱臺(tái)可放入的最

大球的直徑為血，故可判斷.

【詳解】對(duì)于A,根據(jù)題意可得，棱臺(tái)側(cè)面的高為6，該“芻童”的表面積為S表=4S惻+S上+S下，

=4x|(2+4)x73+2x2+4x4=20+1273,所以正確

對(duì)于B,由軸截面的等腰梯形//'C'C可知，AC=442,AC'=242,其高M(jìn)N=6，

如圖所示，能夠被完整放入該“芻童”內(nèi)的圓臺(tái)的最大的體積為

AB

2222

F=17r/?(^+r+7?-r)=|jrxV2(2+l+2xl)=^17I,

所以不正確

對(duì)于C,???棱臺(tái)48CD-側(cè)棱相等，，易知其外接球球心在線段跖V所在直線上，設(shè)外接球球心

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為。，

如圖當(dāng)球心在線段7W延長(zhǎng)線上時(shí)，0。'=0。（外接球的半徑）,由此可得（江'）2+惻2=。河2+/。2,

即（尤丁+（加+陰=0/+（20,

解得加=亞，0。=

該“芻童”的外接球的球心到平面48CD的距離也即。M的距離為J5,

同理，設(shè)平面/3'氏4的外接圓的圓心為G,瓦尸分別是43',48的中點(diǎn),

由A可知，郎=￡,貝UGE-+BE-=GF2+37^,即（GE+可+12=GF2+22,

解得B=0,所以平面氏4的外接圓的圓心恰為線段加的中點(diǎn)，故該“芻童”的外接球的球心到平面

ABBA的距禺為0G=\JOA2—AG2=JIU）—22=y[6，所以正確―

對(duì)于D,若正四面體在此容器內(nèi)部可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則正四面體的外接球可以放進(jìn)容器，

如圖，過(guò)點(diǎn)。作底面48c的垂線，垂足為點(diǎn)E,設(shè)正四面體的外接球的球心為廠,半徑為廠,

根據(jù)題意，可得點(diǎn)為底面45C的中心，底面三角形45。的48邊上的高為逅,

2

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76?25,所以FE-+CE2=CF-,

則CE三號(hào)=與,DE7CD2-CE'3

J3

^,FE2+CE2=CF2,,解得

所以棱長(zhǎng)為行的正四面體的外接球直徑為省,

由軸截面的等腰梯形//C'C可知，其高為血，可知此棱臺(tái)可放入的最大球的直徑為0,小于正四面體

的外接球直徑,

故不可以在此空心棱臺(tái)容器內(nèi)部任意轉(zhuǎn)動(dòng)，所以不正確.

故選：AC

第n卷（非選擇題共92分）

三、填空題：（本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置）

12.某學(xué)校師生共有3000人,現(xiàn)用分層抽樣方法抽取一個(gè)容量為225的樣本，已知樣本中教師人數(shù)為15人,

則該校學(xué)生人數(shù)為

【答案】2800

【解析】

【分析】根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系即可得到答案.

【詳解】樣本中教師人數(shù)為15人，學(xué)生人數(shù)為225-15=210,

該校學(xué)生人數(shù)為任義3000=2800.

225

故答案為：2800.

13.在直三棱柱48c-44G中，ACIBC,AC=BC=AAX=2,動(dòng)點(diǎn)P在棱耳G上，則點(diǎn)P到平面

ABC的距離為.

【答案】V2

【解析】

【分析】由題意可得耳G〃平面48C,則點(diǎn)尸到平面48C的距離等于點(diǎn)G平面48C的距離，然后利用

七「《Be=—B-4GC可求得答案.

【詳解】因?yàn)橛肎〃BC,與￡<2平面48C,平面48C,

所以3G〃平面45C,

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因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P在棱BG上，所以點(diǎn)尸到平面A.BC的距離等于點(diǎn)G平面4BC的距離,

設(shè)點(diǎn)G平面48C的距離為“，

因?yàn)?41,平面ABC,BCu平面45C,所以

因?yàn)?C15C,AA^AC=A,Z4，ZCu平面ZCC/i，

所以1平面ZCG4，

因?yàn)?。＜=平面4agi4,所以Be，4。，

因?yàn)閆C=8C=Z4=2,所以&C=52?+22=2正所「“=-x2x2=2,

所以S“BC=-x2V2x2=2V2,

△Zl|DL2

因?yàn)?-4點(diǎn)二^B-AXCXC，所以5sz=3s△4GeBC,

所以;x2應(yīng)d=；x2x2,得d=6,

所以點(diǎn)尸到平面4BC的距離等于V2.

故答案為；V2

14.已知西，西，04^,詞是平面內(nèi)兩兩互不相等的向量，滿足|西-就|=1,且畫-西卜2

（其中z.=l,2；；=3,4）,則不;.娘=.

【答案】—##7.5

2

【解析】

【分析】由題意可知4444是邊長(zhǎng)為2的菱形，由44=1，44=2可得44=々，根據(jù)向量的數(shù)

量積定義即可求解.

【詳解】由已知|而|=|京|=|系卜國(guó)畫=2,

第10頁(yè)/共19頁(yè)

如圖示可知：4444是邊長(zhǎng)為2的菱形，且44=1，44=2,

44=2

所以3/444=/=乎，

V1515

所以44rx----=——

42

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件結(jié)合向量的線性運(yùn)算得到4444是邊長(zhǎng)為2的菱

形，然后再結(jié)合向量數(shù)量積的定義求解即可.

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

15.已知復(fù)數(shù)馬=/w-3i,z2=1+2i(weR).

(1)若Z]+Z2是純虛數(shù)，求z/2；

(2)若立在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，求加的取值范圍.

Z2

【答案】(1)z/2=5-5i

(2)——<m<6

2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)21+Z2是純虛數(shù)可求由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可求解;

Z,Z]

(2)根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算先求,，再根據(jù),在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

第11頁(yè)/共19頁(yè)

因?yàn)?z2=(m+l)+5i,4+Z2是純虛數(shù),

所以加二一1,

所以Z/2=(T—3i)(l+2i)=5—5i；

【小問(wèn)2詳解】

3m-3i(m-3i)(l-2i)_(m—6)+i(—2m-3)

因?yàn)門l+2i-(l+2i)(l-2i)5

m-6<0

所以《

-2m-3<0

3

所以——<m<6.

2

16.如圖，在四棱錐P-/BCD中，底面/BCD為矩形，A4PD是邊長(zhǎng)為4的正三角形，E為棱尸。的中

點(diǎn)，平面PCD.

(1)求證：平面尸40_1_平面48cZ)；

(2)若異面直線PC和48所成角的正切值為2,求二面角P-BC-。的大小.

【答案】(1)證明見解析；

(2)

3

【解析】

【分析】(1)由已知可得4DLCD,由線面垂直可得/ELCD,進(jìn)而可證CD_L平面，可證結(jié)論；

(2)由已知可得DC=2,取40的中點(diǎn)連接取5C的中點(diǎn)N,連接跖V,PN,由已知可得

NP7W為二面角P—BC—。的平面角，求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

由于底面45CD為矩形，所以LCD,

又有ZE,平面PCD,CDu平面PCD,所以ZE，。，

因?yàn)?Dc/E=Z,所以CD_L平面P4D,

因?yàn)镃Du平面/BCD,所以平面尸40,平面45CD；

【小問(wèn)2詳解】

第12頁(yè)/共19頁(yè)

由于ABUCD,即NPCD為異面直線PC和AB所成角所成的角.

因?yàn)楫惷嬷本€PC和AB所成角的正切值為2,

由于CD,平面P4D,所以

所以在RSPBC中，PD=4,所以DC=2,

由于是邊長(zhǎng)為4的正三角形，取40的中點(diǎn)連接W,

所以「加，AD,PM=2也,

因?yàn)槠矫?40,平面48CO,平面尸40c平面48cz）=40,PMu平面尸40,

所以PM,平面48CD,BCu平面48CD,PM1BC.

取5C的中點(diǎn)N,連接PN,MNIIDC,MNIBC,

又PMcMN=M,PM,MNu平面PMN,所以BC1平面產(chǎn)"V,

又PNu平面PMN,所以7WJ_5C,

所以NPTW為二面角P—BC—。的平面角，

在RtAMNP中，MP=2也,MN=2,所以

TT

所以/尸2W為二面角P—BC—￡＞的平面角一.

3

17.已知AZ8C三個(gè)內(nèi)角4瓦。的對(duì)應(yīng)邊分別為a,"c,2ccosC=acosB+bcosA.

（1）求C；

（2）若ZC=2,的面積為王，。為48上一點(diǎn)，CD平分N4CB,求CD.

2

7T

【答案】（1）J;

（2）述,

5

【解析】

【分析】（1）法一：利用正弦定理化邊為角，利用內(nèi)角關(guān)系轉(zhuǎn)化即得；法二：利用余弦定理，化角為邊,

化簡(jiǎn)即得；

第13頁(yè)/共19頁(yè)

（2）法一：利用三角形面積公式求得BC,由正弦定理證明三角形角平分線定理，最后將函用基向量

聲，刀表示，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求出|西|；法二：同法一求出8C,利用等面積直接求出CZ）.

【小問(wèn)1詳解】

法一：由2ccosC=acos5+6cosZ和正弦定理可得：

2sinCcosC=sinAcos5+sin5cosA,

因sin4cos5+sinBcosA=sin（Z+5）=sin（兀一C）=sinC

代入得，sinC(2cosC-1)=0

因?yàn)椤！辏?,兀），sinC>0，所以cosC=—

2

即Y

b2+c2-a2

QCOS5+6COS/=Q

法二:由余弦定理可得2ac2bc

即2ccosC=c,所以cosC=」

2

TT

因?yàn)镃e(0,7i),所以C=—.

3

【小問(wèn)2詳解】

法一：如圖，由AC=2,ZACB=-,

23

可得SAB=-^|J2BCQsin-空，解得BC=3,

232

因?yàn)镃Z＞平分NNC5,

ADAC

在△ZCD中根據(jù)正弦定理得：.兀-sinNADC

sin—

6

BD_BCBC

在△BCD中根據(jù)正弦定理得：,n-sinZBDC-sinZADC

sm—

6

第14頁(yè)/共19頁(yè)

所以臺(tái)AC2

5C3

所以而=9+力=擊+|?益=C4+|(C5-G4)=|G4+|CS

----29—-212—*—-4—*2=2x4+&2x3c°sL巴"嗎

所以CD=—CA+—CACB+—CB

252525252532525

法二:如圖，由594=型，AC=2,ZACB=-,

23

可得S=」倉(cāng)()2BCGsin-巫,解得BC=3,

"EC232

由S“BC=S-CD+S-BCD，，且C。平分4CB,

可得，(AC+BC)CD'sin-=遞

262

整理得：2a)=里解得，CD=—.

425

18.為了調(diào)查某校高一地理學(xué)科學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，用分層抽樣從該校高一年級(jí)學(xué)生中抽取一個(gè)容量為100的

樣本進(jìn)行質(zhì)量監(jiān)測(cè)，男生40個(gè)，女生60個(gè).將監(jiān)測(cè)后40個(gè)男生的成績(jī)(滿分為100分)分為6個(gè)區(qū)間：[40,50),

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖.

頻率/組距

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

°405060708090100成績(jī)/分

(1)根據(jù)以上樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)該校高一年段地理學(xué)科男生成績(jī)的平均數(shù);

(2)若從男生成績(jī)樣本數(shù)據(jù)[40,50)和[90,100]內(nèi)隨機(jī)抽取兩個(gè)樣本，求這兩個(gè)樣本來(lái)自同一區(qū)間的概率;

(3)已知樣本數(shù)據(jù)中男生成績(jī)的方差為194,樣本數(shù)據(jù)中女生成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為76和120,以此

估計(jì)該校高一年段地理學(xué)科成績(jī)的總體平均數(shù)和方差.

【答案】(1)71(2)—

15

(3)74,155.6

第15頁(yè)/共19頁(yè)

【解析】

【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)的定義結(jié)合頻率分布直方圖求解即可；

（2）利用列舉法求解即可；

（3）先根據(jù)題意求出總樣本的平均數(shù)，再利用方差公式求解方差.

【小問(wèn)1詳解】

根據(jù)頻率分布直方圖有，男生成績(jī)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)

x=45x0.1+55x0.15+65x0.15+75x0.3+85x0.25+95x0.05=71,

所以男生成績(jī)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為71.

【小問(wèn)2詳解】

在區(qū)間［40,50）和［90,100］內(nèi)的男生成績(jī)樣本數(shù)據(jù)分別有4個(gè)和2個(gè)，

分別用和加，〃表示，則在這6個(gè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取兩個(gè)的樣本空間。包含的樣本點(diǎn)

有加）,（小〃）

（d,加（瓦c）,（瓦（c,,

個(gè)數(shù)為〃（。）=15,

記事件/=''這兩個(gè)樣本來(lái)自同一區(qū)間”，

則事件A包含的樣本點(diǎn)有（Z?,c）,（Z?,t/）,（c,tZ）,（m,n）

個(gè)數(shù)為〃（Z）=7,

n(A)_7

所以P(Z)=〃(Q)-T?

【小問(wèn)3詳解】

設(shè)男生成績(jī)樣本數(shù)據(jù)為番，巧，…，x40,其平均數(shù)為嚏=71，方差為4=194;

女生成績(jī)樣本數(shù)據(jù)為%，％，…，乂0,其平均數(shù)為歹=76,

方差為s；=120；總樣本的平均數(shù)為亍，方差為『

由按比例分配分層隨機(jī)抽樣總樣本平均數(shù)與各層樣本平均數(shù)的關(guān)系,

-40-60_40”，60”

得2二---x+---y=---x71+---x76=74.

100100100100

22

$2=看{40[s；+(X-F)]+60[s；+(JF-D]}

第16頁(yè)/共19頁(yè)

=擊｛40口94+（71—74月+60口20+（76—74月｝

=155.6.

所以總樣本的平均數(shù)和方差分別為74和155.6.

19.數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（約公元前262—190年）證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)

以女〉0且左W1）的點(diǎn)的軌跡是圓心在兩定點(diǎn)所在直線上的圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.在棱長(zhǎng)為

6的正方體45CD—中，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是正方體表面DCC'。'上一動(dòng)點(diǎn)（包括邊界）,

且兩直線NP,兒。與平面。CC'D'所成的角相等.

（1）證明：點(diǎn)尸的軌跡是一阿波羅尼斯圓的一段弧，并畫出大致圖象（不要求寫出畫法）;

（2）記點(diǎn)尸的軌跡所在的阿波羅尼斯圓的圓心為。，求萬(wàn)萬(wàn).而的取值范圍；

（3）當(dāng)線段尸最短時(shí)，在線段上是否存在點(diǎn)N,使得。///平面4W,若有，請(qǐng)求出平面Z九W

截正方體/BCD—的截面周長(zhǎng)，若無(wú)，說(shuō)明理由.

【答案】（1）證明見解析，圖象見解析；

（2）Z/POPe[-24,-16];

（3）存在，-+5V5+^^.

22

【解析】

【分析】（1）由題意可得四="邑