第14講設(shè)點(diǎn)設(shè)線技巧之設(shè)線技巧歸納總結(jié)

參考答案與試題解析

解答題(共16小題)

1.C(-1,0)(1,0),

已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為片、耳短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別是耳、B2.

(1)若△片百鳥為等邊三角形，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若橢圓C的短軸長(zhǎng)為2,過點(diǎn)F?的直線/與橢圓C相交于P、。兩點(diǎn)，且以尸。為直

徑的圓經(jīng)過點(diǎn)耳，求直線/的方程.

【解答】解:(1)?.?橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為片(-1,0)、7^(1,0),

△64

短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別是為、B2,與為等邊三角形，

a=2b

<c=\，解得a2=—,b2=—,

a2=b2+c2J3J3

22

橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為匕+?=1?

33

(2)?.?橢圓C的短軸長(zhǎng)為2,橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為￡(-1,0)、6(1,0),

橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為]+丁=1,

過點(diǎn)名(1,0)直線/與橢圓C相交于「、。兩點(diǎn)，且以PQ為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)月，

.?.當(dāng)直線/的斜率上不存在時(shí)，直線/為x=l,此時(shí)以PQ為直徑的圓不經(jīng)過點(diǎn)耳，不成立;

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為y=^(x-l).

y=k(x-l)

由,尤2,得(2F+l)f—4Fx+2(%2-l)=0.

——+y2=1

I2-

設(shè)PG，%),Q(X2,%)，則

4k22(公-1)

…=g’書=『？’

即=(芯+1,%)，F(xiàn)\Q=(x2+l,%)，

?.?過點(diǎn)與的直線/與橢圓C相交于P、。兩點(diǎn)，且以P。為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)月,

:.F\P±F\Q,帝麗=0,

=XX

；.(占+1)(%+1)+%%l2+(司+尤2)+1+%“玉一1)(無(wú)2—1)

=(k~+1)&％—[k~-1)(無(wú)1+無(wú)2)+左一+1

=與口=0,解得公=L即A=±也.

2/+177

故直線/的方程為x+，y-l=O或x-\/7y-l=0.

2.已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A(4,0),且在y軸上截得的弦MN的長(zhǎng)為8.

(I)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；

(II)己知點(diǎn)2(-1,0),設(shè)不垂直于x軸的直線與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)尸，Q,若無(wú)軸是

NPBQ的角平分線，證明直線過定點(diǎn).

【解答】解：(I)設(shè)圓心C(無(wú)，y)(xwO),過點(diǎn)C作CELy軸,垂足為E,則|"E|=g|MN|,

CA『=|CM|2=|ME|2+1￡C|2,

(x-4)2+y2=42+x2,化為y2=8x.

當(dāng)x=0時(shí)，也滿足上式.

.?.動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程為y2=8%.

(II)設(shè)尸(為,%),Q(X2,y2)

由題意可知％+%看0，<。寸=8%，yf=8X2.

x軸是ZPBQ的角平分線，kPB=-kQB,

.?.工=一^^,=化為8+%丫2=0?

玉+1N+12L+IA+I

88

直線PQ的方程為y-％=五=(尤-占)，

x2

,一%=4一冬(x-%)，化為y-%=--—(X-a)

88

化為y(y2+%)-%(必+%)=8尤-y；，

+%)+8=8x，令y=。，則％=1,

/.直線尸Q過定點(diǎn)(1,0)

3.設(shè)橢圓5+3=3”>0)的左焦點(diǎn)為人上頂點(diǎn)為反已知橢圓的短軸長(zhǎng)為4,離心

率為好.

5

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)P在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)M為直線PB與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)N(O,-1)

且為原點(diǎn))，求直線尸8的斜率.

【解答】解：(1)設(shè)橢圓的半焦距為c,

依題意，26=4,￡=正，

a5

又片=從+,可得〃=^5,b=29c=lf

22

所以，橢圓的方程為土+匕=1.

54

(2)由題意，設(shè)尸(巧.，力)(4/0),M(XM,0),

設(shè)直線PB的斜率為k(k*0),

又3(0,2),則直線PB的方程為y=fcc+2,

y=kx+2,

與橢圓方程聯(lián)立*j2整理得(4+5。尤2+20日=0,

[54

—r/曰20k)7c用8—IO%?

可侍奉=一石/'代入>="+2信下豆F'

進(jìn)而直線OP的斜率"=上也，

xp—10左

在丁二區(qū)+2中，令y=0,得"=一?,即N(0,-L),

k

所以直線MN的斜率為-A,

2

由OPJL跖V,得士生?(一勺=一1,化簡(jiǎn)得公=*,

-10左25

UH,,2屈

從而k=±-------.

5

所以，直線PB的斜率為名包或-冬囪.

55

2

4.已知橢圓G：(+/=1,拋物線C2：y2=2P無(wú)(p>0),點(diǎn)4-1,0),斜率為％的直線交

拋物線于3、C兩點(diǎn)，且衣=工麗，經(jīng)過點(diǎn)C的斜率為-工左的直線4與橢圓相交于P、Q

22

兩點(diǎn).

(1)若拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)A,求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)：

(2)是否存在p,使得四邊形AP8Q的面積取得最大值？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值及0

的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解答】解：(1)拋物線的準(zhǔn)線方

程x=-￡,焦點(diǎn)坐標(biāo)(4,0),

22

則一勺-l,p=2,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)

方程為>2=4x,焦點(diǎn)(1,0).

(2)設(shè)8(王，兇)，C(x2,y2),

尸(九3，%)，。(%4，%)，

由陽(yáng)=!行，得點(diǎn)4-1,0)在直

2

1

不乂1

線4上，且=

1+-'

2

且四邊形的面積

3

S=3S^PQ=-\PQ\d.

k

4:^=^(x+l),/2:y=--(x-x3)+y3

f

由['Ui，得

[y=2px

y2-^-y+2p=0,

則^=年一8P>0,S<K,

k22

2p小

%+y?=丁,=2。，

k

因?yàn)楸?3%,所以

23公

=-p,x=/[.eg，%)水J3Pn-乂

2『一五2

由4,/2的斜率分別為左,-2左，由

2

圖知4必過點(diǎn)(3,0),

k

可設(shè)12:y=-—(x-3),且

3

故直線(尤-3),令

8

8

t=----,

3%

則直線4：x=<y+3,代入橢圓方

2

程+f=1，

2

得(1+2/)y2+12)+16=0,

1々2八n12t16

△=16(-4)+M"E'%%=E

|PQI=b-l%i1=中?單衛(wèi)

點(diǎn)A到4的距離d=+----，

y11+t2

四邊形的面積

當(dāng)且僅當(dāng)產(chǎn)=f,p=工時(shí)，面積

251

最大為2叵.

22

5.已知橢圓C:5+當(dāng)=l(a>6>0)過點(diǎn)尸(&.1),左右焦點(diǎn)分別為不F,,且線段尸片與

ab,

y軸的交點(diǎn)。恰好為線段尸￡的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求橢圓C的離心率；

(2)與直線產(chǎn)月的斜率相同的直線/與橢圓C相交于A,3兩點(diǎn)，求當(dāng)AAO3的面積最大時(shí)

直線/的方程.

【解答】解：(1)由橢圓過點(diǎn)尸(后,1),則iv=1,①

連接P6,由Q為線段尸￡的中點(diǎn)，。為線段片巴的中點(diǎn),

則產(chǎn)乙上月乙，貝Uc=也,

由/-/=2,②

由①②得。=2,b=s/2,

則橢圓的離心率e=￡=正;

a2

(2)由(1)橢圓C與方程=+其=1,直線/的斜率左=%"=)=交,

42為居|2亞4

不妨設(shè)直線/的方程>=/彳+加，設(shè)4匹，%)，B(X2,y2),

y=—x+m_

4,整理得：-x2+^nx+2(m2-2)=0,

W4

I42

貝1|4=2機(jī)2-10(加2-2)=20-8〃?2>0,解得：|山|<叵，

2

8(加2—2)

92=---

.?.IAB\=ViT旦/(%+%)2-4%%=^^32m2-l?m2-2),

由。到AB的距離7=*力，

716+2

則MOB的面積

S.2xVR8尸V手5三舞V16+”25x聲…,當(dāng)5三2

當(dāng)且僅當(dāng)2/=5-2小時(shí)，取等號(hào)，即〃?=±@,

2

則直線/的方程＞=去士亭

（1）求橢圓C的方程；

（2）直線/:,=丘+機(jī)與橢圓。交于P,。兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)A）,記直線PA,QA的斜率分

別為《，k2,試判斷是否存在定值%,使當(dāng)機(jī)變化時(shí)堆2=t總成立？若存在，求出發(fā)的值;

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解答】解：（1）因?yàn)闄E圓的離心率為心,

2

又過點(diǎn)4（交“』），所以琴+3=1,解得從=2,

2ab

由①可得/=8,

22

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為工+匕=1

82

（2）由（1）可知，點(diǎn)4（2,1）,設(shè)尸（王，％）,Q（X2,y2）,

（x2y2.

聯(lián)立方程組,82，可得（1+4女2）爐+8的u+4/-8=0,

y=kx+m

8km4m2-8

所以石+x——

24/+14^2+l

2m

所以％+%=k(%+x)+2m=

24k2+1

m22

2-8k

yy=k2司%2+km5+%2)+m=

x24k2+1

因?yàn)樯?=:,所以%-1%-1

X]—2w—24

整理可得，4yly2-4（%+%）=占9-2（西+馬），

m2-8k22mArn2-88km、

所以4x-4x------------2x（z——--）,

4k2+14k2+148+1----------4/+1

化簡(jiǎn)整理可得，4k2+2km+m-1=0,

解得左或左=j,

22

若左=與多，則y=_!x+7〃過點(diǎn)42,1）,則尸，。與點(diǎn)A重合，不符合題意，

所以左=——,

2

故存在定值k=--,使當(dāng)m變化時(shí)k、b=1總成立.

21-4

X2V23—1

7.如圖，已知橢圓。:=+斗=1（a＞匕＞0）經(jīng)過點(diǎn)尸（1二），禺心率e=L

cib22

（I）求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（II）設(shè)筋是經(jīng)過右焦點(diǎn)F的任一弦（不經(jīng)過點(diǎn)尸），直線至與直線/:X=4相交于點(diǎn)M,

記R4,PB,尸”的斜率分別為《，k2,k3,求證：區(qū),k3,網(wǎng)成等差數(shù)列.

【解答】解：（I）由點(diǎn)尸（1=）在橢圓上得，3+"y=l①又e」,所以色」②

2儲(chǔ)4b22a2

由①②得。2=1,/=4,b-=3,

22

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為L(zhǎng)+二=1….（4分）

43

（II）證明：橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)尸（1,0）,顯然直線AB斜率存在，

設(shè)AB的斜率為左，則直線AB的方程為丫=以尤-1）③....（5分）

22

代入橢圓方程上+匕=1,

43

2

整理得（4左2+3）x-Wx+4a2_3）=0….（6分）

設(shè)A(%i,%)，B(X2,%),

8左24(公-3)

則有％+z=④….(7分)

止+3

yl—y2—女—[

在方程③中，令龍=4得，A/(4,3k)，從而k]=...-,k=-----，k=------=k—,....(9

233

Xj-lx2-l4-12

分）

又因?yàn)锳、F、3共線，則有左=七萬(wàn)=凝一

即有上=。^=左，

玉一1起一1

_3_3

'-5%―5M%311

所以勺+左2=---+-----=-^―+—-----(----+-----)

%1-1x2-1演一1x2-12為一1x2-1

=2k--二2_⑤

2-(%+%2)+1

8-2

將④代入⑤得勺+公=2左一』---,4,+3_----=2k-l,...(12分)

24(丁-3)8左2

4F+3-4F+3+

又k、=k-\,

32

所以左+右=2&,即尢，月，履成等差數(shù)列....（13分）

8.已知橢圓與+^=1（。>6>0）的左焦點(diǎn)為尸（-G0）,離心率為且，點(diǎn)M在橢圓上，直

ab3

線FM的斜率為更，直線被圓元2+9=1截得的線段的長(zhǎng)為C.

32

（1）求橢圓的方程;

（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在橢圓上，若直線EP的斜率大于應(yīng)，求直線OP（。為原點(diǎn)）的斜率的取值

范圍.

【解答】解：（1）由已知有U二=上1,又4=匕2+。2,可得/=3°2,廿=2/

a23

設(shè)直線R0的方程為y=［（x+c）,由圓心到直線E0的距離公式可得

22

故所求的橢圓方程為Z+匕=1;

32

(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),直線FP的斜率為EP:y=r(x+l)(xw-l)

>二心+1)I2

聯(lián)立*2消去y整理2f+3產(chǎn)(x+l)2=6=r=J,>&,

——+—=1V3(x+1)

(32

3

可解得一一<x<-l^-l<x<0.

2

再設(shè)直線OP的斜率為m,=>m=—,y=mx{x0),

x

y=iwc

再聯(lián)立f/n府=3,

一+匕=1X23

[32

3

①當(dāng)一耳<X<—1時(shí)，y=t(x+l)<0^>m>0^Cm=

二得me(-8,-拽)

②當(dāng)一l<x<0時(shí)，y=r(x+l)<0=>〃z<0故根=-

x233

綜上直線OP的斜率m的取值范圍me(-00,-

9.已知拋物線「丁2=22氏(2〉0)的焦點(diǎn)為尸，P是拋物線「上一點(diǎn)，且在第一象限，滿足

麗=(2,2幣)

(1)求拋物線「的方程；

(2)已知經(jīng)過點(diǎn)A(3,-2)的直線交拋物線「于M,N兩點(diǎn)，經(jīng)過定點(diǎn)8(3,-6)和M的直線

與拋物線r交于另一點(diǎn)L,問直線NL是否恒過定點(diǎn)，如果過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)，否則說(shuō)明

理由.

【解答】解:⑴由拋物線的方程可得焦點(diǎn)，0),滿足麗=(2,2也)的P的坐標(biāo)為(2+-|,

2石)，尸在拋物線上，

所以(2后y=2p(2+^),即/+4p-12=0,p>0,解得p=2,所以拋物線的方程為:

>2=4x；

(2)設(shè)MO。，%),N(w,%),L(X2,%),則y；=4X],貨=4々，

直線MN的斜率kMN===。2=」一,

入一/Mf乂+%

4

則直線相V的方程為：y-%=^^（x-應(yīng)），即y=4x+型1①,

%+%4%+%

同理可得直線ML的方程整理可得y=4*+二為②,

%+%

12+%%

將43,-2）,2（3,-6）分別代入①，②的方程可得,消%可得乂%=12,

6二12+相2

%+%

4

易知直線kNL=——,則直線NL的方程為:y-7i=------

日口4y,y,,412

即>=------%+?22,故>=------x+------

4

所以y=------(x+3)，

因此直線NL恒過定點(diǎn)(-3,0).

10.設(shè)直線I與拋物線I/=4x相交于不同兩點(diǎn)A>B,與圓O-5>+〉o）相切于

點(diǎn)M,且M為線段AB的中點(diǎn).

（1）若AAO6是正三角形（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），求此三角形的邊長(zhǎng)；

（2）若〃=4,求直線/的方程；

（3）試對(duì)廠￡（0,y）進(jìn)行討論，請(qǐng)你寫出符合條件的直線/的條數(shù)（只需直接寫出結(jié)果）

【解答】解：（1）設(shè)AAO5的邊長(zhǎng)為。，

則A（^^Q,土;〃），，亍=4?日〃，〃=86；

（2）設(shè)直線/:%=妙+.,

左=0時(shí)，x=1,%=9符合題意；

左w0時(shí)，方程聯(lián)立可得/一46一4人=0,設(shè)A（玉，y）,B（x2,%），

貝!jy+%=4左，xi+x2=4k2+2b,

.\M（2k2+b,2k）,

kAB.kOM=-1，

.72k7

——------=-k,

OM2k2+b-5

:.b=3-2k2,

.?.△=16(嚴(yán)+6)>0,:.0<k2<3,

?.-4=r=I：*=2^Ji+k2,

Jl+%2

.?"2=34(0,3),舍去,

綜上所述，直線/的方程為x=l,x=9；

(3)2＜廠＜4時(shí)，直線/有4條;

re(0,2]J[4,5)時(shí),2條;

re[5,+oo),1條.

22

11.如圖，已知橢圓C:1y+方=l(a＞6＞0)與圓。2+y2-y_2=0在第一象限相交于點(diǎn)

P,橢圓C的左、右焦點(diǎn)耳，尸?都在圓E上，且線段期為圓E的直徑.

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)直線/與橢圓C相交于A,8兩點(diǎn)，且直線/與y軸相交于。點(diǎn)，"為線段鉆的

中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若次八兩=1,求的最大值.

【解答】解：(1)圓石:一+產(chǎn)一＞一2=0的圓心為E(0,g),半徑為g,

由題意可得|P￡|=3,F2FXLPF2,

由中位線定理可得|OE|=g|PBI=g，即1尸乙1=1，

由橢圓的定義可得2a=|尸片|+|尸耳|=4,即a=2,

又|K耳F=|P4|2,

即為4c2=9—1=8,解答c=A/2,b=y/a2—c2=5/2,

22

則橢圓方程為上+匕=1;

42

(2)設(shè)直線/的方程為y=^+f,代入橢圓方程￡+2/-4=0,

可得(1+2k2)爐+4依+2〃—4=0,

設(shè)A(玉，％),B(X2,%),可得：

4kt2t2—4

X,+-----------，XX,=~，

1-1+2左2-1+2左2

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得M(--三，」^)，

1+2左21+2左2

*-1

0(0/),由南?兩=1,可得1+2左2=/，即左2=----

2

即有M的坐標(biāo)為(-D三k，。1，

tt

1+4V

\OM|=

又|AB|=J1+左2?J(X]+x2)2_4為丁=J1+左2-、p6)'-8'2I〉

當(dāng)［=1,即r=±應(yīng)，左=±1時(shí)，取得最大值2、？=3.

t22V4

22a

12.已知橢圓C:=+七=1（。>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn),,橢圓上一點(diǎn)尸（1，）與橢

ab2

圓右焦點(diǎn)的連線垂直于X軸.

（1）求橢圓C的方程；

（2）與拋物線V=4x相切于第一象限的直線人與橢圓C交于A,6兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)

M,線段他的垂直平分線與y軸交于點(diǎn)N,求直線MN斜率的最小值.

【解答】解：（1）?.?點(diǎn)尸（1卷）與橢圓右焦點(diǎn)的連線垂直于X軸,

19

:.c=l,將P點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程可得=1,

又/一加=1,聯(lián)立可解得.2=4,加=3,

22

,橢圓C的方程為三+匕=1；

43

(2)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為3-,%)(%>0),則/：y-%=工~(元-

4%

整理，得/：y=2x+&.

為2

,0），設(shè)A（玉，%），B（X2，y2），

2

y=——x+%

216

聯(lián)立%,可得(3+f%2+8x+%2—12=0,

x2y2%,

——+—=1

143

-12%4+144%2+768

>0.

x+X-—8%2_%4T2y。2

占2_藐辛?也一3y；+i6

，-y3

A5的中點(diǎn)坐標(biāo)為(-,2,°_),

3y0+163年+16

13

4一弓%

二.AB的垂直平分線方程為y-一y）,令x=0,得丫=-----

3靖+1623端+163%+16

13

k-2%

即N(0，a2,IA)'MN

3%+163年+16

%>°，kMN=亨。=-2…一色當(dāng)且僅當(dāng)為=勺叵時(shí)取得等號(hào).

3年+163%+3123

0%

直線MN的斜率的最小值為-2.

12

13.已知圓C的圓心C在直線y=x+2上，且與直線x+2y-8=0相切于點(diǎn)（2,3）.

（1）求圓C的方程；

（2）過點(diǎn)尸（4,0）的直線/與圓C交于A,3兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為M,直線/與直線

乙：尤-5y-3=0的交點(diǎn)為N.判斷1aMi?|PN|是否為定值.若是，求出這個(gè)定值，若不是,

說(shuō)明理由.

【解答】解：(1)設(shè)過點(diǎn)(2,3)且與直線x+2y-8=0垂直的直線為2x-y+〃=0,

則2x2—3+〃=0,解得〃=一1,BP2x-y-l=0,

由|『+2°,解得卜:，即圓心坐標(biāo)為C(3,5),

\2x-y-1=0=5

所以半徑r="3-2)2+(5-3)2=6,

所以圓的方程為0-3)2+(y-5)2=5.

(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)過點(diǎn)尸(4,0)的直線/為y=4),

所以,消去y得(1+左2)f一(6+8左？+10幻工+(29+16無(wú)2+40左)=0,

[(x-3)+(j-5)-=5

6+8左白+10左29+16/+40左

設(shè)A(%,%)、B(x?,y),則玉+無(wú)2=

2―1+P1+1?

urn,,10匕_2k,rVi+,上.,,3+4k~+5k5k~—k

所以X+%=k"+x)-Sok=--------j-,所以AB11的l中點(diǎn)M(----------j——，----7)，

21十KJ.十KL十K

_20^-3

由上=小-4)解得即雙(空匕k

)，

lx-5y-3=0k5左-15k-l

Lv=------

2

/5^-l25F-^2.51)2|PN|=J(—'—>+(—^)21+k

所以I尸M1=2)(1+F)

Tl+kVi+k2V5k-l5k-l(51)2

1+k2k5左-

所以|PM「PN|=

(51)2V1+k2

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線/的方程為x=4,

x=4x=4

由d)2+25)2=5'解得a或

)=3y=7'

即4(4,3)、3(4,7),所以"(4,5),所以1PMi=5,

x=4

二；』。解得，即

又1N(4,J),

y=M5

所以|PN|=g,所以|PM|-|PN|=1,

綜上可得|PM|-|PN|=1.

14.下面是某同學(xué)在學(xué)段總結(jié)中對(duì)圓錐曲線切線問題的總結(jié)和探索，現(xiàn)邀請(qǐng)你一起合作學(xué)習(xí),

請(qǐng)你思考后，將答案補(bǔ)充完整.

2

⑴圓。:/+V=戶上點(diǎn)”(/0,%)處的切線方程為—y0y+xQx=r—.理由如下:.

22

⑵橢圓1+多力。，/^(^上一點(diǎn)。。，%)處的切線方程為辮+駕1=1;

abab

(3)P(私〃)是橢圓V=1外一點(diǎn)，過點(diǎn)P作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,

如圖，則直線的方程是.這是因?yàn)樵?(%，%),3(尤2，%)兩點(diǎn)處，橢圓工的切

線方程為等+yy=l和管+y2y=1.兩切線都過尸點(diǎn)，所以得到了當(dāng)+yxn=1和

罟+為〃=1,由這兩個(gè)“同構(gòu)方程”得到了直線AB的方程；

(4)問題(3)中兩切線E4,PB斜率都存在時(shí)，設(shè)它們方程的統(tǒng)一表達(dá)式為y-〃二女(4-加)，

,[y—n=k(x—m),=00

由<,1#(1+3A:2)x2+6k(n—ktn)x+3(n-km)0—3=0,

[x+3y=3

化簡(jiǎn)得△=()得(3—m2)爐+2加成+i一〃2=o.

若叢，P3,則由這個(gè)方程可知尸點(diǎn)一定在一個(gè)圓上，這個(gè)圓的方程為—.

(5)拋物線丁=2px(p>0)上一點(diǎn)(%,%)處的切線方程為=p(%o+%)；

(6)拋物線=4y,過焦點(diǎn)廠的直線/與拋物線相交于A,5兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)A,3作

拋物線的兩條切線4和4，設(shè)A(玉，y),B(X2,y2),則直線乙的方程為不％=2(%+y).直

線/2的方程為x2x=2(%+>)，設(shè)4和12相交于點(diǎn)M.則①點(diǎn)M在以線段AB為直徑的圓上；

②點(diǎn)〃在拋物線。的準(zhǔn)線上.

【解答】解：(1)圓。：％2+、2=產(chǎn)上點(diǎn)“(％,為)處的切線方程為+/.

理由如下：

k.koM=-1

①若切線的斜率存在，設(shè)切線的斜率為3則7%，

kOM=一

I/

所以左=—五，

%

又過點(diǎn)Af(%o，%)，

由點(diǎn)斜式可得，y-%=-血(%-%),

%

2

化簡(jiǎn)可得，%y+xox=x0+年，

又其+為2=戶,

所以切線的方程為為y+xox=/；

②若切線的斜率不存在，則M(土廠,0),

此時(shí)切線方程為％=±r.

綜上所述，圓。:爐+產(chǎn)=/上點(diǎn)M5,%)處的切線方程為先丁+%%=戶.

(3)在A(F，弘)，B(X2,%)兩點(diǎn)處，橢圓L的切線方程為當(dāng)=1和+y2y=1，

因?yàn)閮汕芯€都過尸點(diǎn)(八〃)，

所以得到了號(hào)+用2=1和笠+%〃=1,

由這兩個(gè)“同構(gòu)方程”得到了直線鉆的方程為g+行=1；

(4)問題(3)中兩切線PA,PB斜率都存在時(shí),設(shè)它們方程的統(tǒng)一表達(dá)式為y-n=k{x-ni),

由['2n?",可得(1+3左尤2+6左(〃一切2)x+3(〃-加/一3=0,

[X+3y=3

由△=(),可得(3-療)女之+2相成+1—〃之=0(*),

因?yàn)锽4_LPB,

則kpA,kpB-—1，

所以(*)式中關(guān)于k的二次方程有兩個(gè)解且其乘積為-1,

l-2

則匕=--丁n=-1,

3-m

可得機(jī)2+/=4,

所以圓的半徑為2,且過原點(diǎn)，其方程為爐+9=4.

故答案為：(1)+理由見解析；

(3)+ny=l；

(4)x1+y2=4.

22

15.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E的方程為亍+三"=1,A,3為橢圓的左右

頂點(diǎn)，耳、居是左、右焦點(diǎn).

(1)已知橢圓內(nèi)有一點(diǎn)P(1,T)，在橢圓上有一動(dòng)點(diǎn)M，則求|回尸|+|班|的最大值和最

小值分別是多少？

(2)如圖1,若直線/經(jīng)過點(diǎn)3且垂直于x軸，點(diǎn)P是橢圓上異于A,B的任意一點(diǎn)，直線

"交/于點(diǎn)設(shè)過點(diǎn)M垂直于PB的直線為機(jī).求證：直線機(jī)過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐

標(biāo).

(3)如圖2,若直線/過左焦點(diǎn)耳交橢圓于A,3兩點(diǎn)，直線M4,MB分別交直線尤=T

于C,D兩點(diǎn)，求證：以線段CD為直徑的圓恒過兩個(gè)定點(diǎn).

(4)如圖3,若M,N是橢圓E上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上除N外的任

意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM,的斜率都存在，并記為心”?即N為定值.

(5)如圖4,若動(dòng)直線=+與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)Af,N是直線/上的

兩點(diǎn)，且片F(xiàn)2N1l,求四邊形月腦明面積S的最大值.

(6)如圖5,若過點(diǎn)F?且與坐標(biāo)軸不垂直的直線交橢圓于P,。兩點(diǎn).試探究：線段。居上

是否存在點(diǎn)M(利0)使得加?礪=而?而，若存在，求出實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍，若不存在，

說(shuō)明理由.

(7)如圖6,若點(diǎn)P為拋物線。:產(chǎn)=4X上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，是否存在同時(shí)滿足

下列兩個(gè)條件的AAPM?①點(diǎn)M在橢圓C上；②點(diǎn)。為AAPM的重心，若存在，求出點(diǎn)P

的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.

點(diǎn)，如圖所示

22

—+—=1中，々=2,b=6，

43

:.c=>Ja2-b2=1,可得g(1,0),月(-1,0).

由橢圓的定義，得|%|+|崢|=2.=4,

:\MP\+\MF21=|MP|+(4-1Af片［)=4+(\MP\-\MFt|)

由平面幾何知識(shí)，得尸耳|別|\PF{\,

，當(dāng)M與必重合時(shí)，|聞「|-|崢|達(dá)到最大值|「￡|;當(dāng)以與重合時(shí)，|“?|-|班|達(dá)

到最小值—|尸￡|.

由|明|="(1+1)2+(一1一0)2=萬(wàn),可得|MP|_|M￡|的最大值為石，最小值為一如.

」.|MP|+|叫|=4+(|MP|L|)的取值范圍為［4一占，4+75］.

(2)設(shè)A(-2,0),3(2,0),設(shè)尸(占，%)(%*0),M(2,y0),

則勺=泗，k2=^~

4~百+2

■「A,P,"三點(diǎn)共線，=得%=且」，

4%+2玉+2

設(shè)直線BP的斜率為匕=,直線m的斜率為km=匕，

%-2%

則直線用的方程為y-%=2z2a_2),

X

2-再2(2-%)4%2-％2(%；4)+4y；2—玉2(X；4)+12—3%；

My玉+2y(玉+2)%%(%1+2)%

2一玉2—x,2—x,

=------Lx+-------=------(x+1),

%X%

即〉="五a+1).

%

所以直線，"過定點(diǎn)(-1,0).

(3)證明：設(shè)A(玉，％),B(X2,%)，AB.x=my-1,

22

代入橢圓方程工+匕=1,整理，得(3療+4)y2-6my-9=0,

43

6m

-9

3m+4

?.?MC:y=』一(尤-2),J.yc

玉一2玉一2

.r36yly236—%

,,九如一(占一2)(%—2)一(my.-3)(mj2-3)

_______36yly2_____________

加%為-3加(％+%)+9

-9

36?一J