高三數(shù)學考試

注意事項：

1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在

本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容（除解析幾何外）.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.己知集合2={—3,—2,—1,0,1},8=<x」一<0）,則（）.

2x+3

A.{-3,-2,-1,0,1}B.{0,1}C.{-3,-2}D.{-3}

2.己知復數(shù)z=3-圭，亍為z的共軌復數(shù)，則彳的虛部為

().

111.1.

A.-B.——C.——iD.-1

2222

3.已知平面向量3=(1,-2),b=(2x,x-l),且.〃伍-可,則x=C).

...141

A.5B.—C.—D.一

554

4.黃州青云塔矗立在黃岡市寶塔公園的缽孟峰上，又名文峰塔，因高入青云而得名.該塔塔身由青灰色石

塊砌成，共七層，假設該塔底層（第一層）的底面面積為16平方米，且每往上一層，底面面積都減少1平

方米，則該塔頂層（第七層）的底面面積為（）.

D.n平方米

).

1272272D,巫或一巫

-B.------C.--------

33333

6.已知（玉,必），（工2，%）是函數(shù)y=log2%圖象上不同的兩點，則（）?

七匹＞唾

A.A±2i<iOg2A±^B.2

1x+x?,X+x9

C.弘+72必+%>10g2士一

7.在四棱錐尸—48CD中，底面4BC。為正方形，48=4,PC=PD=3,ZPCA=45°,則四棱錐

尸―48CZ)的體積為().

16167232

A.—B.-------C.——D.16

333

8.已知函數(shù)/（X）=（機-sinx-掰在0，T上只有一個零點，則正實數(shù)優(yōu)的取值范圍為（）.

,1「4(兀+2)),1「4(兀+1)、

C.(0,1]u――~~~,+°°D,(0,1]u—~-,+oo

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.數(shù)據(jù)不，x2,x3,x4,X5的平均數(shù)、中位數(shù)都是》3，貝!）（）.

A.數(shù)據(jù)看,x2,x3,x4,X5與數(shù)據(jù)X],x2,X4,X5的平均數(shù)相等

B.數(shù)據(jù)X],x2,X3,x4,X5與數(shù)據(jù)占，x4,X5的方差相等

C.數(shù)據(jù)X],x2,X3,X4,X5與數(shù)據(jù)X],x2,x4,毛的極差相等

D.數(shù)據(jù)X],x2,x3,x4,X5與數(shù)據(jù)項，x2,x4,X5的中位數(shù)相等

10.已知函數(shù)/(x)的定義域為R,f(x+y)-f(x-y)=2f(y),且當x>0時，/(x)>0,則

().

A./(0)=0B./(22024)=22024/(l)

C./(x)=xD./(x)沒有極值

11.已知函數(shù)/（》）=5由%（「05》|+1）,則下列結(jié)論正確的是（）.

A./（x）是偶函數(shù)

B./(x)的最小正周期是2兀

JT

C./(X)的圖象關(guān)于直線x=,對稱

27r2冗Ji2兀

D.若VX]w0,—,3X2G0,—,=/(9+〃)(°<QV兀)，則Q的取值范圍是—

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知函數(shù)的圖象在點(1,/。))處的切線過點(3,0),則口=.

X

13.某員工在開辦公室里四位數(shù)的數(shù)字密碼門時，發(fā)現(xiàn)按鍵“3”“6”“9”上有清晰的指紋印，若該密碼確

實由數(shù)字“3”“6”“9”組成，則該密碼有種可能.(用數(shù)字作答)

14.如圖，平行六面體幺5。。一44。1。1的底面是菱形，AB=2,44]=6,

ZBAD=ABAAX=ADAAX=y,若非零向量成，為滿足(應—葩)?應=0,n-AD=12,則同—司的最

小值為

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)在△48C中，角/,B,C的對邊分別是a,b,c,且(a—b)(sin/+sin8)=0,

2A/3c_cosC

3bcos5

(1)求/；

(2)若△ABC的外接圓面積為9兀，角3的平分線交NC于。，求△48C的面積，及△48。與△8。

的面積之比.

16.(15分)已知函數(shù)/(x)=Zxlnx+x?-ax+3.

(1)若/(x)在[1,+00)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；

(2)若/(x)20恒成立，求a的取值范圍.

17.（15分）如圖，在三棱柱48C—OEE中，AD=DE=2,EF=BF=屈,DF=2出,

兀

ABAD=-.

3

（1）證明：平面C8EE，平面.

（2）求二面角E—48—C的正弦值.

18.（17分）設數(shù)列｛%｝的前“項和為S”，若耳=2,且對任意的〃eN*,均有S“=—1是常

數(shù)且左eN*）成立，則稱｛4｝為“H⑴數(shù)列”.

（1）設｛4｝為“II（1）數(shù)列”.

①求｛%｝的通項公式；

②若4=〃%,數(shù)列｛〃｝的前〃項和為北，證明：|7；|>2.

（2）是否存在｛4｝既是“II"）數(shù)列"，又是“II（左+2）數(shù)列”？若存在，求出符合條件的｛4｝的通項

公式及對應的人的值；若不存在，請說明理由.

19.（17分）甲、乙兩人玩一個紙牌游戲，先準備好寫有數(shù)字1,2,…，N的紙牌各一張，由甲先隨機抽取

一張紙牌，記紙牌上的數(shù)字為。，隨后將紙牌放回（后面每次抽牌記錄數(shù)字后都需將紙牌放回），接下來甲

有2種選擇：

①再抽取一次紙牌，記紙牌上的數(shù)字為6,若a+b>N,則乙贏，游戲結(jié)束，否則，甲結(jié)束抽牌，換由乙

抽牌一次；

②直接結(jié)束抽牌，記6=0,換由乙抽牌一次.

記乙抽到的紙牌上的數(shù)字為c,^a+b+c<N,則乙贏，否則甲贏.游戲結(jié)束.

（1）若甲只抽牌1次，求甲贏的概率；

（2）若甲抽牌2次，求甲贏的概率；

（3）當甲抽取的第一張紙牌上的數(shù)字滿足什么條件時，甲選擇②贏得游戲的概率更大？（結(jié)果用含N的式

子表示）

參考公式：若數(shù)列｛%｝的通項公式為%=〃2,則｛%｝的前n項和Sn=++.

高三數(shù)學考試參考答案

133

1.C由------<0,得x<——，即5二xx<--L所以/c5={—3,—2}.

2x+32

工=

2.Az=3-3--—=3--i,F=3+-i.

2i3-2i22

3.Bb-a=(2x-l,x+l).

因為萬〃（不一方），所以％+1=—2（2%—1）,解得x

4.C

由題意可得該塔第一層至第七層的底面面積依次成等差數(shù)列，且首項為16,公差為-1,

故該塔頂層的底面面積為16-1x6=10平方米.

5.C

(,8兀711c2\44兀兀曰\44兀兀1?272

cos2。+—=2cosa+一一1二一,解得cosa-\---=±

9999亍

?I「「I?4兀4兀17兀

因為已為銳角，所以一＜a+—＜——，

9918

4兀4兀兀百〈2行2V2

cosa-\----<cos——<cos—cosa+如

99623I9亍

兀兀4兀4兀272

sin----a=smaH----=cosaH----

18299

6.A

由題意不妨設0＜玉＜X2，因為V=10g2%是增函數(shù)，所以log?』＜10g2X2，即必＜%?

2

X；+x

logo西+logx=log2(中2)<log22

222

玉+%,即%+%%1正確，錯誤.

貝5+必＜21幅<log2,AB

22

取%]=1,%=2,則％=0,y2=1,必+為>log2-,c錯誤.

]]XX

—

取％i=W，%2=5，則必=—2,y2—1,必+%<log2i2~工，D錯誤.

7.C

過點尸作P。，底面4BCD,垂足為O,

設自廠分別為48,C。的中點，連接EF,A0,則點。在EF上.

設OE=x,因為45=4,PC=PD=3,所以Pt=^PC?—CF?=#.

PO2=PF2-OF2=5-X2,AO2=OE2+EA2=（4-X）2+4,

AP2=PO2+AO2=-8x+25.

在△尸NC中，AP2=AC2+PC2-2AC-PCcosZPCA=17,

所以—8x+25=17,解得x=l,所以PO=j5——=2.

132

故四棱錐尸—/BC。的體積為一48?8。?。尸二一.

33

8.D

分別作出函數(shù)g(x)=(加x-l)2=m2卜一~—j與函數(shù)〃(x)=sinx+m的大致圖象.

分兩種情形：當0<加W1時，—>1,如圖1,

m

圖1圖2

JT

當0,—時，g(x)與/z(x)的圖象有一個交點，符合題意;

當加>1時，—<1,如圖2,

m

7T

當xe0,-時，要使得g(x)與/z(x)的圖象只有一個交點,

只需,即[春'—1]sin^+m,解得加24(兀：1)(冽<0舍去).

,1「4(兀+1))

綜上，正實數(shù)加的取值范圍為(0』?！?+8.

L71?

9.AC

設數(shù)據(jù)再，X2,X3,X4,X5的平均數(shù)為X,則亍=X3,數(shù)據(jù)%!,》2,X4,X5的平均數(shù)為

———=x,A正確.

44

所以數(shù)據(jù)玉，x2,x3,x4,X5與數(shù)據(jù)可，x2,x4,X5的方差不一定相等，B錯誤.

數(shù)據(jù)X],x2,x3,x4,x5與數(shù)據(jù)X],x2,x4,x5的極差相等，C正確.

數(shù)據(jù)X],x2,X3,x4,X5與數(shù)據(jù)X],x2,x4,X5的中位數(shù)不一定相等，如數(shù)據(jù)2,2,5,7,9的平均數(shù)、

中位數(shù)都是5,但數(shù)據(jù)2,2,7,9的中位數(shù)不是5,D錯誤.

10.ABD

令x=y=0,得/(0)=0,A正確.

令工=>得〃2x)=2/(x),所以/(22X)=2/(2X)=22/(X),/(23X)=2/(22X)=23/(x),

據(jù)此類推可得/(2"x)=2"/(x)(〃eN+),所以/Q2°24)=22°24/(1),B正確.

〃x)=2x也滿足題意，C錯誤.

X>

令Xi=x+y,x2y=,則丁].

當Xi〉/時，九萬迤>0.因為當x>0時，/(x)>0,所以/[幺干]〉0,

即/(石)一/(%)〉°，/(再)>/(%)，所以/(x)是增函數(shù),〃x)沒有極值,D正確.

11.BCD

因為f(-x)-sin(-x)(|cosx|+1)=-sinx(|cosx|+1)=-f(x),所以/(x)是奇函數(shù)，A錯誤.

當X￡(0,兀)時，f(x)>0;當％￡(兀,2兀)時，f(x)<0.

又因為/(X+2兀)=sin(x+2兀)0cos(x+2刈+1]=sinx(|cosx|+l)=f(x),

所以/(%)的最小正周期是2兀，B正確.

f(7t-x)=sin(7l-X)QcOS(兀-x)[+l]=sinxQcosx|+l)=f(x),

jr

所以/(%)的圖象關(guān)于直線1=5對稱，C正確.

當xe吟時,f(%)-sinx(cosx+1),/'(x)-(2cosx-l)(cosx+l)，

兀71

時，/Z(x)>0,當工￡時，/z(x)<0,

當xe??2

兀71

所以/(X)在(0,1上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

i?2

.兀兀.兀兀

sm—cos—+1sm—cos—+1=1.

3322)

結(jié)合對稱性，得到/(%)的部分圖象如圖所示.

兀

當*0n,2y

27r

由題意可得，當々w0,——時，f(x+tz),VO,f(x+6Z)>

73J\z?/mimnin"\2z/max4

5兀

x+aea,y+l,0<x+a<

22T

/2兀

a<——

3,解得四Wa4生,

結(jié)合/(X)的圖象可得，＜

2兀、33

-----卜a之71

[3

TT2.71

則Q的取值范圍是一,——，D正確.

_33_

12.5

〃x)=2x-2，/⑴=2-4,/(l)=l+a.

X

/(x)的圖象在點(1，/⑴)處的切線方程為j=(2-a)(x-l)+l+a.

因為該切線過點(3,0),所以0=(2—a)(3—l)+l+a,解得a=5.

13.36C4A3=36.

14.4-V13

設彳吊=萬，則款?通=12.

I?!------------>->--------------*—(■—(■

因為=2,所以ZN在/￡)上的投影向量NN】=AD=3AD,

西

則投影向量的模長|麗卜3|叫=6,

過點M作平面使得NN］，平面1（圖略），則點N在平面1內(nèi).

設癡=應，貝U（應—珂）?應=0等價于（而一五瓦）?而=0,

即瓦歷?而=0,則為所以點M在以Z5］為直徑的球面上.

------*-----?------?兀

又AB{=AB+AAY,ABAAX=-

?！?（商+而『A8|2+2A5-14+|14|2=22+2x2x6x1+62=52,

所以以481為直徑的球的半徑R=5一=V13.

設幺用的中點為￡,則存在而上的投影向量為

AB-AD一(AB+AAA-AD__

X-AD=--------------\--------AD=AD

2］可2畫

所以球心E到平面a的距離d=|布卜|石卜6—2=4.

因為d>R,所以平面1在球￡的外部.

m-n=AM-AN=NM的最小值表示球E上的點M到平面1內(nèi)的點N的距離的最小值,

顯然低—司,=d-R=4-y/13.

IImin

15.解：(1)在△48C中，sin4>0,sin5>0.

因為(q—b)(sin4+sin8)=0,sin^+sinB>0,

所以。一6=0,即Q=b,sin4=sinB.(2分)

因為漢3一二=四白，所以至一=(3分)

3bcosB3sin5cosB

nnsinCcosCsinCcosB+sinBcosCsin/12G/八、

即^——+-----=-----------------------=----------=------=-----，(5分)

sin5cos5si;n5cos5sinBcosBcos53

所以cosB=，^,B=A=—.

26

(2)因為△4BC的外接圓面積為9兀，所以△45。的外接圓半徑為3.(7分)

因為二一=-=-=6,所以〃=b=3,c—3y/3.(9分)

sinAsinBsinC

_1一右」…V3_973…八、

Sc——cibsinC——x3x3x——---.(11%)

AARr2224

c—c-BDsinZABD

2^=2--------------，=C，

S4BCD-a-BDsinZCBDa

2

所以△ZB。與△BCD的面積之比為百.(3分)

16.解：(1)/'(x)=21nx+2x+2—q.(1分)

因為/(%)在[1,+8)上單調(diào)遞增，所以當Xw[l,+8)時,/'(x)20.(3分)

因為/(%)是增函數(shù)，所以/'(1)=4—420,解得〃W4.

故Q的取值范圍為(-8,-4].(5分)

3

(2)/(x)>0,即Q421nx+x+—.(7分)

JC

令g(x)=21nx+x+』，g>(x)=—+1--^-=(x+3)(x1)(9分)

JCXXX

由g'(%)<0，得0<x<l,由g'(x)>0,得x>l,

所以g（x）在（0,1）上單調(diào)遞減，在（1,+00）上單調(diào)遞增.（11分）

g（x）2g⑴=4.（13分）

因為/（x）20恒成立，所以aW4.

故a的取值范圍為（一oo,4].（15分）

17.（1）證明：取BE的中點。，連接OD,OF,BD.

四邊形為平行四邊形，

71

又因為2。=。￡=2,ABAD=-,所以為等邊三角形,

3

所以OD=JL（1分）

在中，OF1BE,OF=ylEF2-OE2=3.

因為OE2+O￡>2=。尸2,所以OELOD.（3分）

因為0Ec8￡=0,所以平面CB￡E.（4分）

因為0￡>u平面，所以平面C跳戶，平面48ED.（5分）

（2）解：以。為坐標原點，分別以OD,OE,OE所在直線為x,力z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標系，

C（0,-2,3）,/便,-2,0.5（0,-1,0）,F（0,0,3）.（7分）

IC=（-V3,0,3）.=（-73,1,0）,AF-（-V3,2,3）.（8分）

設平面FAB的法向量為比=,平面ABC的法向量為n=（x2,y2,z2J.

in-AF=0—"x/Sx,+2y+3Z]—01—

一，即〈111，令再=6得成（百,3,-1）.（10分）

m-AB-0-J3%]+必=0

n-AC=Q—y3xo+3z,—01—

_，即22,令、2=6,得力=（V3,3,l）.（12分）

n-AB=Q一y3%+%=0

m-n—,貝!Jsin（而,五）=皿3,（14分）

cos（欣萬）

網(wǎng)同13、/13

故二面角尸—48—C的正弦值為二二.（15分）

13

18.（1）①解：因為｛%｝為“II⑴數(shù)列”，所以S“=—g%+]+l.

因為H=2,所以%=2.

當〃=1時，%=S]=-+1，得%=—2.（1分）

當“22時,S“_]=一；%+1,則%=S0—S,T=—；%+]+<%,

即（3分）

經(jīng)檢驗，當〃=1時，滿足%+i=-a“，

所以%+i=-%對任意的"eN*恒成立，｛4｝是首項為2,公比為-1的等比數(shù)列，

所以4=2x(—I)”、(5分)

-1

②證明：bn=nan=2?(-1)".

2

7；；=2x(-1)°+2x2x(-l)I+2X3X(-1)+L+2〃(—1廣二(6分)

=2x(—+2x2x(—I?+2x3x(—以+L+2?(-1)\

兩式相減得27；=2+2x(—l)+2x(—+L+2(-1)"-1-2M(-1)"=1+(1+2M)(-1)"1,(7分)

所以T△+(310)二」+(-廣+2〃(-廣

.（8分）

B222

1-12n

當〃為偶數(shù)時，\Tn\=-=n>2.

當〃為奇數(shù)時，圜=1+1；2〃=|1+"22.

故圜22.（10分）

（2）解：假設存在這樣的數(shù)列，

由｛%｝是“II⑷數(shù)列”可得S“=—

由｛%｝是“11（左+2）數(shù)列”可得邑=-；%皿

+1,(11分)

+1=-a1=S

所以an+k=an+k+2,Sn=~~an+k-n+k+2+n+2，

即S“=S"+2,所以%+%+2=0?（13分）

由=—]〃"+左+1,令〃=1,得二—2,令〃=2,得。2+攵=一2—2%.

因為a”左+出+左=0，所以—2+（―2—22）=0，解得。2=—2,

所以｛%｝為2,—2,2,—2,2,—2,…，

｛4｝的通項公式為a“=2x（—I）”:（15分）

當〃為偶數(shù)時，S,=—；%+上+1=0,解得a也=2,左為奇數(shù).

當〃為奇數(shù)時，Sfnl=--aHnT+/vk+1=2,解得。r“l(fā)+~rH尢=—2,左為奇數(shù).（16分）

綜上，存在應｝既是“n⑷數(shù)列”，又是“II（左+2）數(shù)列”，

此時｛4｝的通項公式為4=2x（—1廣，左eN*且左為奇數(shù).（17分）

19.解：（1）若甲只抽牌1次，甲贏的情況如下.

甲抽到的紙牌上的數(shù)字為1,乙抽到的紙牌上的數(shù)字為N,此時有1種情況；

甲抽到的紙牌上的數(shù)字為2,乙抽到的紙牌上的數(shù)字為N,N-1,此時有2種情況；

甲抽到的紙牌上的數(shù)字為3,乙抽到的紙牌上的數(shù)字為N,N—l,N-2,此時有3種情況;

依次類推，甲贏的情況共有1+2+3+L+N=；（1+N）N.（3分）

；0+N）N]N

故甲贏的概率為2——，——=-----.（4分）