趣味對策問題在日常生活中，經(jīng)?？吹揭恍┫嗷ブg斗爭或競爭的行為．具有競爭或?qū)剐再|(zhì)的行為稱為對策行為．在這類行為中，各方為了達(dá)到各自的目標(biāo)和利益，必須考慮對手的各種可能的行動(dòng)方案，并力圖選取對自己最有利或最為合理的方案．

對策論就是研究對策行為中爭斗各方是否存在最合理的行動(dòng)方案，以及如何找到這個(gè)合理的行動(dòng)方案的數(shù)學(xué)理論和方法．

對策論亦稱博弈論或競賽論．它既是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)新分支，也是運(yùn)籌學(xué)中的一個(gè)重要學(xué)科．

問題1一個(gè)大和尚帶著兩個(gè)小和尚去河對岸的寺院。河上沒有橋，他們又都不會(huì)游泳。為了過河，他們找來一只空船，船最多載重50千克，而大和尚正好重50千克，兩個(gè)小和尚各重25千克。

問：他們怎么才能全部過河？問題2一個(gè)農(nóng)夫帶著一只狼、一只羊和一棵大白菜準(zhǔn)備過河，可是，僅有一只小船，他每次只能帶一樣?xùn)|西過河．如果沒有農(nóng)夫看著，那么狼會(huì)吃掉羊，羊會(huì)吃掉大白菜．農(nóng)夫怎樣才能把狼、羊和白菜完好無損地全運(yùn)過河呢?假如我們不知道答案，如何遵循一定方法找到渡河方案呢？

——狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖

以F，W，S和C分別代表農(nóng)夫，狼，羊和白菜．我們用[FWSC，)來表示初始狀態(tài)，用(，F(xiàn)WSC]表示終止?fàn)顟B(tài)．我們用逗號(hào)表示河，用中括號(hào)表示船所在的一邊．狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖

從圖中很容易看出，有兩個(gè)簡單解，分別由兩條簡單路表示：（1）[FWSC，)—(WC，F(xiàn)S]—[FWC，S)—(C，F(xiàn)WS]—[FSC，W)—(S，F(xiàn)WC]—[FS，WC)—(，F(xiàn)WSC]；（2）[FWSC，)—(WC，F(xiàn)S]—[FWC，S)—(W，F(xiàn)SC]—[FWS，C)—(S，F(xiàn)WC]—[FS，WC)—(，F(xiàn)WSC]．

三個(gè)老道在河的西岸，想到東岸去．三個(gè)和尚在河的東岸，要到西岸去．河中只有一只小船，可以坐兩個(gè)人，停在西岸．但是只有一個(gè)老道和一個(gè)和尚會(huì)擺船．由于某種原因，無論在岸上，還是在船上，老道的人數(shù)都不準(zhǔn)超過和尚人數(shù)．你能找出個(gè)擺渡方法嗎?問題3解以A表示那個(gè)會(huì)劃船的老道，B表示那個(gè)會(huì)劃船的和尚，C表示一個(gè)不會(huì)劃船的老道，D表示一個(gè)不會(huì)劃船的和尚．那么，初始狀態(tài)是[ACC，BDD)，終止?fàn)顟B(tài)是(BDD，ACC]或[BDD，ACC)．畫出本問題的部分狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖。圖8-2從左圖容易發(fā)現(xiàn)，存在由初始狀態(tài)到終止?fàn)顟B(tài)之一的一條路：[ACC，BDD)—(CC，ABDD]—[CCBD，AD)—(CD，ACBD]—[ACBD，CD)—(AD，CCBD]—[ABDD，CC)—(BDD，ACC]．這是不是唯一解呢？想想．尼姆游戲與類似的游戲問題4甲、乙兩人輪流在2000粒石子中取走1粒，3粒，5?；?粒棋子．若甲先取，乙后取，取到最后一粒石子者為勝．甲、乙兩人誰能獲勝？分析：2000是偶數(shù)，甲先取奇數(shù)粒，剩下的是奇數(shù)；乙再取奇數(shù)粒，剩下的是偶數(shù)．接著甲再?。捎诿看稳〉谋仨毷瞧鏀?shù)粒，所以甲不可能取走最后一粒，乙才可能取走最后一粒．故乙必勝．問題5設(shè)有30枚棋子，甲、乙兩人輪流取，每人一次可取1或2枚棋子，誰取到最后一個(gè)棋子誰勝．問：

（1）若甲先取，甲有必勝辦法嗎？

（2）若有50枚棋子，仍按上規(guī)則進(jìn)行，甲又該如何取才能獲勝呢？

（3）若每人一次最少取1枚，最多取3枚棋子，該如何取呢？

（4）若規(guī)定誰取到最后一枚棋子誰輸，又該如何取勝呢？分析

這類問題我們可以采用逆向思考．對第1、2問，要想取到最后一枚棋子，按照規(guī)則，自己上一次取后留下的棋子數(shù)不能是1或2，至少為3．如果留下3枚，那么不論對方取1枚還是2枚，自己都定能將剩下的2枚或1枚棋子取完．我們把這種不論對方如何操作，自己總能取勝的殘局叫做“贏局”．“給對方留下3枚”就是你的贏局．同樣的分析知道，要想取得這一贏局，前一次取后應(yīng)當(dāng)留下6枚．依比類推，每次應(yīng)給對方留下3，6，9，12，......枚棋子．即留下3的倍數(shù)枚棋子就是贏局．

若每人一次最少取1枚，最多取3枚棋子，每次應(yīng)給對方留下4，8，12，16，......枚棋子，即留下4的倍數(shù)枚棋子就是贏局．知識(shí)鏈接巴什博弈:

只有一堆n個(gè)物品，兩個(gè)人輪流從這堆物品中取物，規(guī)定每次至少取一個(gè)，最多取m個(gè)。最后取光者得勝。屬于博弈論范疇。問題6設(shè)有30枚棋子，分成兩堆，一堆19枚，一堆11枚．甲、乙兩人輪流從中取走1枚或2枚，但每次只能在一堆中取，誰取到最后一枚棋子誰獲勝．如果甲先取，有沒有必勝的訣竅?答案：先取著甲應(yīng)先在11枚這堆，取走1枚，這時(shí)兩堆棋子數(shù)除以3余數(shù)相同．以后無論乙在哪堆取幾枚，甲就在另一堆取同樣的枚數(shù)．先取者甲保證獲勝．威佐夫博奕知識(shí)鏈接威佐夫博奕：有兩堆各若干個(gè)物品,雙方輪流取走一些物品，合法的取法有如下兩種：

（1）在一堆物品中取走任意多顆；

（2）在兩堆物品中取走相同多的任意顆；

最后取光者得勝。設(shè)有三堆棋子，一堆10枚，一堆6枚，一堆6枚．甲乙兩人輪流從任意一堆中取走一枚或幾枚甚至一堆棋子，誰取走最后一枚誰獲勝．如果甲先取，問甲如何才能獲勝？如果三堆棋子數(shù)目各不相等，如一堆10枚，一堆6枚，一堆3枚，問甲又如何做才能獲勝？問題7

分析對于三堆棋子，一堆10枚，一堆6枚，一堆6枚情況，顯然甲只需把第一堆全取完，給乙留下相同