專題09基函數(shù)與二次函數(shù)（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................3

【考點(diǎn)突破】................................................................6

【考點(diǎn)1】募函數(shù)的圖象和性質(zhì)................................................6

【考點(diǎn)2】求二次函數(shù)的解析式................................................9

【考點(diǎn)3］二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)..............................................13

【分層檢測】...............................................................18

【基礎(chǔ)篇】.................................................................18

【能力篇】.................................................................25

【培優(yōu)篇】.................................................................27

考試要求：

11A

1.了解寨函數(shù)的概念；結(jié)合函數(shù)^=》，y=x2,y=x3,y=^,y=-的圖象，了解它們的變化情

1

況；

2.理解二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能用二次函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系解決簡單問題.

,知識梳理

L幕函數(shù)

(1)募函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)叫做幕函數(shù),其中x是自變量，a是常數(shù).

(2)常見的五種募函數(shù)的圖象

⑶累函數(shù)的性質(zhì)

①募函數(shù)在(0,+8)上都有定義；

②當(dāng)a>0時，幕函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1,1)和(0,0),且在(0,+8)上單調(diào)遞增;

③當(dāng)a<0時，幕函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1,1),且在(0,+8)上單調(diào)遞減.

2.二次函數(shù)

(1)二次函數(shù)解析式的三種形式

一般式：=ax1+bx+c(aW0).

頂點(diǎn)式：Xx)=a(x—m)2+w(a0),頂點(diǎn)坐標(biāo)為〃).

零點(diǎn)式：義x)=a(x—xi)(x—X2)(aW0),xi,雙為的零點(diǎn).

(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

y=ax1-\-bx+cy=ax2+bx~\-c

函數(shù)

(a>0)(a〈0)

1J

圖象

A

(拋物線)

定義域R

4ac~b2,][—oo4ac—/72

值域,+°°

_4aJ4a—

b

對稱軸x=―

_2gL

2

頂點(diǎn)fb4a。一b]

\^2a~4aJ

坐標(biāo)

奇偶性當(dāng)6=0時是偶函數(shù)，當(dāng)bWO時是非奇非偶函數(shù)

在I上是減函數(shù)；在I8,-乙上是增函數(shù)；

單調(diào)性

在T，+8）上是增函數(shù)）上是減函數(shù)

在七十8

常用結(jié)論

1.二次函數(shù)的單調(diào)性、最值與拋物線的開口方向和對稱軸及給定區(qū)間的范圍有關(guān).

2.若義x）=ax2+bx+c（a#0）,則當(dāng)時，恒有人x）>0；當(dāng)J"<°'時，恒有於）<0.

U<0U<0

3.（1）嘉函數(shù)中，a的取值影響募函數(shù)的定義域、圖象及性質(zhì)；

（2）寨函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會出現(xiàn)在第四象限.

*真題自測

1.（2023?全國?高考真題）設(shè)函數(shù)〃x）=2、（i）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，貝匹的取值范圍是（）

A.(-oo,-2]B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,+co)

22

2.（2021?全國?高考真題）設(shè)B是橢圓C:=+烏=l（a>6>0）的上頂點(diǎn),若C上的任意一點(diǎn)尸都滿足|P5區(qū)2b,

ab

則。的離心率的取值范圍是（）

A.B.P1C.D.

3.（2023?天津?高考真題）^tz=l.Ol°-5,Z)=l.Olo-6,c=O.60-5,則a,6,c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

0.7

C=log1,則()

4.（2022?天津?高考真題）已知°=2防，b2

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

二、填空題

2

5.（2020?江蘇?高考真題）已知y=/（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x>o時,=#,則H-8)的值是.

三、解答題

3

6.（23-24高一下?上海?期中）已知事函數(shù)/（x）=y"J*3（加eZ）為奇函數(shù)，且在區(qū)間（0,+“）上是嚴(yán)格減函

⑴求函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式；

（2）對任意實(shí)數(shù)xe；/，不等式/（x）W/+4*恒成立，求實(shí)數(shù)f的取值范圍.

參考答案：

1.D

【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計算作答.

【詳解】函數(shù)>=2、在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)/（%）=2心一“）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，

2

則有函數(shù)>=X。-“）=（尸|）2一?在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，因此］n,1,解得/2,

所以。的取值范圍是［2,+8）.

故選：D

2.C

【分析】設(shè)一（知九），由8（0,6）,根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式表示出\PB\,分類討論求出I尸邳的最大值，再

構(gòu)建齊次不等式，解出即可.

【詳解】設(shè)一（知兒），由鞏08），因?yàn)?+4=1-a2=b2+c2,所以

ab

222

|陽=君+（%_6『=/（1一條］+（%叫2+|y+a+Z>>

因?yàn)楫?dāng)-上工外，即b2>c2^,IM=4氏即附|=乃，符合題意，由可得

vIImax1imax

即0<eV①；

2

當(dāng)上>-b,即從<02時，儼砰=4+/+凡即?+/+62<4/,化簡得，（c2-b2^<Q,顯然該不

C21叱c2c2V7

等式不成立.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是如何求出|尸目的最大值，利用二次函數(shù)求指定區(qū)間上的最值，要根據(jù)定義域討論函

數(shù)的單調(diào)性從而確定最值.

4

3.D

【分析】根據(jù)對應(yīng)幕、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小關(guān)系即可.

【詳解】由歹=1.01、在R上遞增，則〃=1.01°5<b=1.01°?6,

由歹=x0-5在[0,+8)上遞增，則Q=1.010-5>c=O.605.

所以b〉〃>c.

故選：D

4.C

【分析】利用基函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法可得出。、b.。的大小關(guān)系.

【詳解】因?yàn)?gt;0=log21>log2,故a〉6〉c.

故答案為：C.

5.-4

【分析】先求”8),再根據(jù)奇函數(shù)求/(-8)

2

【詳解】/(8)=8§=4,因?yàn)椤傲槠婧瘮?shù)，所以/(—8)=—/(8)=-4

故答案為：-4

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)值，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

6.(1)/(x)=x~3

(2)[6,+功.

【分析】(1)根據(jù)在區(qū)間(0,+8)上是嚴(yán)格減函數(shù)可得冽2一2冽-3<0,解不等式可得整數(shù)加的值，檢驗(yàn)是否

符合奇函數(shù)即可；

(2)對任意實(shí)數(shù)不等式的廣3-4、恒成立，而g(x)=l-4"在上為減函數(shù)，由此可得解.

【詳解】(1)依題意〃x)為奇函數(shù)，在區(qū)間(0,+功上是嚴(yán)格減函數(shù)，

可得冽2—2加一3<0，解得T〈加<3,

由于加EZ,故加=0,1,2,

當(dāng)加=0和加=2時，m2-2m-3=-3,此時/(%)=x"為奇函數(shù)，符合要求，

當(dāng)機(jī)=1時，m2-2m-3=-4,此時/(%)=一為偶函數(shù)，不符合要求，

/W=X-3；

5

(2)不等式/(x)±+41即此/_4、，

乂/(x)=x-3在(0,+8)上是減函數(shù)，>=4"在R上為增函數(shù)，則g(x)=x-3-4、在［g,l］上為減函數(shù),

所以g(x)1mx=g(；)=6,則此6,

所以實(shí)數(shù)/的取值范圍為叵+8).

i考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)1】幕函數(shù)的圖象和性質(zhì)

一、單選題

1.(2024?四川成都?模擬預(yù)測)設(shè)命題P：加eR,使〃x)=(冽+3是暴函數(shù),且在(0,+司上單調(diào)遞

減;命題4：,€(2,+8),2'>/,則下列命題為真的是()

A.。人(-1?)B.(~p)八qC.PMD.(rp)vq

2.(2022?上海黃浦?模擬預(yù)測)下列函數(shù)定義域?yàn)椋?,+s)的是()

A.y=~B.y=luxC.y=y［xD.y=tanx

X

二、多選題

3.(20-21高三上?遼寧遼陽?期末)下列函數(shù)中是奇函數(shù)，且值域?yàn)镽的有()

A./(x)=x3B./(x)=x+—

x

C./(x)=x+sinxD./(x)=x-5

4.(23-24高一上?貴州?階段練習(xí))現(xiàn)有4個幕函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列選項(xiàng)可能成立的是()

A.2=3,m=2,q=3,n=-3

B.2=4,加=3,q=(,n=-2

C.p=2,m=3,q=,〃=一3

11.1

D.p=~,m=二,q=-2,n=—

234

三、填空題

6

5.（2024?北京延慶?一模）已知函數(shù)/。）=》。（0＜。＜1）在區(qū)間（-1,0）上單調(diào)遞減，則a的一個取值為.

6.（2022?全國?模擬預(yù)測）若幕函數(shù)＞=（/-。-5卜。的圖像關(guān)于y軸對稱，則實(shí)數(shù)。=.

參考答案：

1.A

【分析】根據(jù)特稱命題與全稱命題判斷命題p，q的真假，從而可得"或"、"且"、"非"命題的真假得結(jié)論.

【詳解】對于命題乙當(dāng)m=2時，函數(shù)"X）=X：是嘉函數(shù)，且在（0,+8）上單調(diào)遞減，故命題P為真命

題；

對于命題]，當(dāng)x=3時，23＜32,不滿足Vre（2,+e）,2，＞/,故命題4為假命題.

所以“p人為真命題，"（"）人q"為假命題，"P人"為假命題，"（力卜4"為假命題.

故選：A.

2.C

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)、正切函數(shù)的定義域逐一判斷即可得解.

【詳解】解：對于A,函數(shù)的定義域?yàn)椋?s,0）U（0,+s）,

對于B,函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+e）,

對于C,函數(shù)的定義域?yàn)閇0,+8）,

對于D,函數(shù)的定義域?yàn)椋?左再左ez1.

故選：C.

3.AC

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷四個函數(shù)的奇偶性，并求出值域可得答案.

【詳解】對于A,因?yàn)椤ㄒ回?（-刈3=-;？=一/。），所以〃x）=d是奇函數(shù)，且值域?yàn)镽,故A正確；

對于B,因?yàn)?（_才）=-》+,=-/"）,所以為奇函數(shù)，但值域?yàn)椋?s,-2]U[2,+s）,故B不正確；

—X

對于C,因?yàn)?（-x）=-x+sin（-x）=-x-sinx=-/（x）,所以為奇函數(shù)，且且值域?yàn)镽,故C正確；

對于D,因?yàn)閒（-x）=（-尤）7=_婷=_/（無）,所以/（x）為奇函數(shù)，但是值域?yàn)椋?叫0）U（0,+s）.故D不正確.

故選：AC

4.AB

【分析】

根據(jù)幕函數(shù)的圖象和性質(zhì)結(jié)合已知圖象分析判斷即可.

7

【詳解】對于幕函數(shù)y=無"，若函數(shù)在(0,+。)上單調(diào)遞增，則a>0,若函數(shù)在(0,+/)上單調(diào)遞減，則a<0,

所以"<0,D選項(xiàng)錯誤；

當(dāng)x>l時，若y=的圖象在了的上方，則a>l,若y=x°■的圖象在y=x的下方，則夕<1,

所以p>l,加>l,O<q<l,C選項(xiàng)錯誤；

因?yàn)楫?dāng)x>l時，指數(shù)越大，圖象越高，所以？>機(jī)，

綜上，p>m>l>q>O>n,AB選項(xiàng)正確.

故選：AB

5.j(不唯一)

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的單調(diào)性奇偶性即可得解.

【詳解】因?yàn)?。)=/(0<。<1)在(0,+s)上單調(diào)遞增，又〃x)在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞減，

2

所以/(%)可以為偶函數(shù)，不妨取a=],

2

此時八x)=P=正，函數(shù)定義域?yàn)閄eR,

且/(-x)=(-x)3=?-x)2=f(x)>故〃x)=x3為偶函數(shù)，

滿足在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞減.

故答案為：I(不唯一)

6.-2

【分析】根據(jù)募函數(shù)的概念和性質(zhì)計算即可

【詳解】由幕函數(shù)可得/-0-5=1,解得a=3或0=-2,

又因?yàn)楹瘮?shù)圖像關(guān)于夕軸對稱，則a為偶數(shù)，所以。=-2.

故答案為：-2

反思提升：

(1)第函數(shù)的形式是〉=y3?11),其中只有一個參數(shù)a,因此只需一個條件即可確定其解析式.

(2)在區(qū)間(0,1)上，露函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)，在區(qū)間(1,

+8)上，幕函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸.

⑶在比較賽值的大小時，必須結(jié)合露值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較，

準(zhǔn)確掌握各個賽函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)2】求二次函數(shù)的解析式

一、單選題

1.(2024?陜西?模擬預(yù)測)設(shè)函數(shù)/(X)的定義域?yàn)镽,且/(—X+l)=—/(x+l)J(x+2)=/(—x+2),當(dāng)

8

xe[O,l]時，/(x)=2x2+6x+c,/(3)-/(2)=6,則6+c=()

A.-4B.-3C.1D.-2

2.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知二次函數(shù)/(x)滿足對于任意的x/eR,/(x)/。)=/(盯),且/⑵=4.

若/(°+4)+/(4)=1，則/+2/的最大值與最小值之和是()

A.4+272B.2A/2C.4D.41

二、多選題

3.(2023?河北滄州?三模)已知二次函數(shù)g(x)滿足g(x-4)=g(2-x),g(x)>x；當(dāng)xe(0,2)時，

8(尤)4(苫口2.函數(shù)[。)的定義域?yàn)閰^(qū)，y=/(x)+e*是奇函數(shù)，y=/(x)-3e工是偶函數(shù)，e為自然對數(shù)的

底數(shù)，貝I()

A.函數(shù)g(x)的最小值為0

B.40)=1

C./(g(x))2-l

D.函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)尸(x)的最小值為2a

4.(2023?全國?模擬預(yù)測)已知二次函數(shù)/(尤)滿足對于任意的xjeRJ(x)/3)=/3)且/■⑵=4.若

〃P+4)+/(q)=l,則下列說法正確的是C)

A.p+1q>-\B.p+2q<y[l

C.p2+2q2<2-42D.p2+2q2<2+42

三、填空題

2

5.(21-22高二下?重慶沙坪壩?期末)已知函數(shù)〃x)=ax+bx+c(a^Q)的圖象關(guān)于V軸對稱,且與直線V=x

相切，寫出滿足上述條件的一個函數(shù)/(無)=.

參考答案：

1.D

【分析】根據(jù)題意，通過賦值法求得/(l)J僅),/(3),即可聯(lián)立方程解出仇c.

【詳解】由題意可得/(一x+l)=-f(x+l)①；〃x+2)=/(-x+2)②.

令x=l,由①得：/(0)=-/(2)=c,

9

令x=l,由②得〃3)=〃l)=2+b+c,因?yàn)?(3)-〃2)=6,

所以2+6+c+c=6,即6+2c=4.

令x=0,由①得/⑴=-/⑴n/⑴=0n2+b+c=0,

解得b=-8,c=6,所以b+c=-2.

故選：D.

2.C

【分析】設(shè)/■(》)=辦2+法+。(。工0),根據(jù)題意求得了(x)=Y,由〃°+4)+〃4)=1得到(0+方+丁=1,

設(shè)p+q=cos。，q=sin。，即0=cosO-sin。，q=sin6,利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最大值最小值即可.

【詳解】設(shè)/(x)=ax?+6x+c(aw0),

因?yàn)?(x)/(y)=/(9),令k0,得〃x)/(o)=/(o),故〃0)=0,所以c=o,

令>=1,得〃x)〃l)=/(x),故/⑴=1,即a+b=l,

又/⑵=4,即4a+26=4,故a=l,6=0,所以/(x)=d,

由/(0+4)+/(4)=1，得(p+q『+q2=l,設(shè)0+q=cos6,q=sind,即。=cosO-sin。，q=sm9,

貝(Ip2+2q2=(cossin0)2+2sin29=l-2sin0cos0+2sin26=1—sin26+(1—cos20

=2-sin20-cos16=2-V2sin^20+e12-亞,2+亞］,

所以p2+2q2的最大值與最小值之和為2+夜+2-后=4，

故選：C

3.ACD

【分析】設(shè)g(x)=/+bx+c("0),根據(jù)已知條件求出。、b、C的值，可得出函數(shù)g(x)的解析式，利用二

次函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)；利用函數(shù)奇偶性的定義可得出關(guān)于「(X)、的等式組，求出〃x)的

解析式，求出/(0)的值，可判斷B選項(xiàng)；利用函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷C選項(xiàng)；利用基本不等式求

出/''(》)的最小值，可判斷D選項(xiàng).

【詳解】設(shè)g(x)=ax2+bx+c(aw0),

由g(x-4)=g(2-x)知函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x=-l對稱，

即一2=_1,解得6=2°.

2a

10

因?yàn)間(x)Nx,由題意可得g(l)21,

當(dāng)xe(0,2)時，g(x)qUj,貝Ug⑴41,

所以g⑴=1，故Q+6+C=1,即。=1一3”,

所以g(x)-a/+2ax+l-3a(”w0).

又g(x"x恒成立，即分2+(2〃—1)%+1一3心0恒成立，

〃>0伽>01

于是As八2,八。、八，整理可得小.27解得”:，

△=(2“-1)-4Q(1-3Q)?0<04

所以，83=52+3+^=^^+1)2,則g(x)min=g(T)=0,

因此，函數(shù)g(x)的最小值為0,A正確；

因?yàn)楹瘮?shù)了=/(x)+e*為奇函數(shù)，則〃-工)+/=-/(x)-e*,①

又因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x)-3e，為偶函數(shù),則〃r)-3尸=〃x)-3e為②

聯(lián)立①②可得〃x)=e'-2eT,于是，/(0)=-1,B錯誤;

于是，/,(x)=eJ+2e->0,即/'(x)在R上單調(diào)遞增.

注意到g(x)20,從而/(g(x)"〃0)=-1,C正確；

由基本不等式可得/'(x)=e*+2eT22后?2尸=2段,當(dāng)且僅當(dāng)f=2「時，

即當(dāng)x=；ln2時，等號成立，故函數(shù)/'(x)的最小值為2后，D正確，

故選：ACD.

4.BD

【分析】設(shè)/(月=爾+樂+。(y0),根據(jù)題意，求得/(力=尤2,由〃P+q)+/(4)=l,得到(〃+?)2+丁=1,

設(shè)0+q=cose,q=sin6,得到。=cosO-sindq=sin。，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，逐項(xiàng)計算，即可求解.

【詳解】設(shè)二次函數(shù)/(x)="+法+c(aw0),

因?yàn)?(x)/(y)=/(9),令尸0,可得/(x)/(o)=/(o),故/(0)=0,所以c=0,

令J=l,得/(X)/⑴=〃尤)，故/(1)=1,即0+6=1；

又因?yàn)?(2)=4,即4a+26=4,解得。=1,6=0,所以/(無)=*,

11

由/（。+4）+/（?）=1，可得（p+q『+?2=1,

設(shè)夕+夕=cos3,q=sin3,即2=cos0-sin0.q=sin0,

從而2+24=以)5。+$也。=仆5m]。5)4々^；/^,故A錯誤，B正確；

又由p2+2q2=(cos0-sin3^+2sin2^=l-2sin^cos^+2sin2e=l-sin2e+(l-cos2。)

=2-sin28-cos29=2—后sin(2e+1]e[2-后,2+板],所以c錯誤、D正確.

故選：BD.

5.無2+!(答案不唯一)

4

【分析】由已知得到函數(shù)的對稱軸方程，從而得到6=0,由了=分2+加+°與了=無聯(lián)立方程消去了整理成x

的一元二次方程，由A=0得到。、c的關(guān)系，分別取值寫出函數(shù)即可.

【詳解】已知/(x)=ax2+6x+c(aw0),

??"(X)的圖象關(guān)于.y軸對稱，

二對稱軸工=-■—=0,b=0,

2a

f(x)=ax1+c,

(y—a12+c

聯(lián)立《，整理得辦2+C=%,即〃%2_%+。=0,

；/(x)的圖象與直線V=X相切，

A=1-4ac=0,ac=—,

4

當(dāng)4=1時，C=—.

4

???滿足條件的二次函數(shù)可以為〃x)=*+：.

故答案為：.

4

反思提升：

求二次函數(shù)解析式的方法

---[三點(diǎn)坐標(biāo))----------A|選用一般式]

d頂點(diǎn)坐標(biāo)b

(已知卜—■(對稱軸選用頂點(diǎn)式)

U最大(小)值V

--1與％軸兩交點(diǎn)坐標(biāo))-T選用零點(diǎn)式)

12

【考點(diǎn)3]二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

一、單選題

1.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃x）=log“（*-ax+l）在區(qū)間上有最大值或最小值，則實(shí)數(shù)。的

取值范圍為（）

A.\,2）B.&JU（1,2）C.1,"（1,4）D.\JU（L2）

2.（2023?廣東韶關(guān)?模擬預(yù)測）已知方程x+5+lnx=0和尤+5+6'=0的解分別是0和尸，則函數(shù)

〃x）=（x+a）（x+/?）的單調(diào)遞減區(qū)間是（）

A.B.g+s]C.（-oo,5]D.[5,+co）

二、多選題

3.（2023?湖南株洲?一模）已知sinl5。是函數(shù)/（x）=的/+qx+叫為%,%旬eZg4°）的

零點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

A.■|￡=16B./（cosl5°）=0

C.7（-%）=/（%）D./（尤）mJ-3

4.（2024?河南信陽?模擬預(yù)測）若函數(shù)（加—2卜+1|在-g]上單調(diào)，則實(shí)數(shù)加的值可以為（）

15

A.—1B.—C.-D.3

22

三、填空題

5.（23-24高三下?福建?開學(xué)考試）已知函數(shù)/（"=k（"一：）「I"〈"的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)。的取值范圍

\x-2a\-2,x>a

為.

6.（23-24高三下?青海西寧?開學(xué)考試）已知函數(shù)/。）=咆1+0尤+1）在區(qū)間（-8,-2）上單調(diào)遞減，則°的

取值范圍為.

參考答案：

1.B

【分析】根據(jù)了=/-。尤+1開口向上，故需y=x2-°x+l在區(qū)間\,2）上有最小值，且y>0,從而得到不

等式，求出答案.

【詳解】要使函數(shù)1（x）在區(qū)間2）上有最大值或最小值，

由于-QX+1開口向上，

故需函數(shù)y=/-依+1在區(qū)間上有最小值，且y>0.

13

。＞0

qw1

1a-

該函數(shù)圖像的對稱軸為直線'=所以—＜—＜2

42

2

-a--+\＞0

2

a〉0

owl

解得弓＜。＜4,

—2＜。＜2

所以g＜a＜2,且g1,即實(shí)數(shù)0的取值范圍為]g,lju(l,2).

故選：B.

2.A

【分析】根據(jù)給定條件，利用互為反函數(shù)的函數(shù)圖象特征求出。+尸即可作答.

【詳解】方程x+5+lnx=0和x+5+e"=0依次化為：lnx=—x—5和e"=-'一5,

因此。和月分別是直線尸-x-5與曲線y=lnx和y=e、的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，

而函數(shù)＞=lnx和y=e、互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線＞=%對稱，

又直線＞=-%-5垂直于直線〉二%,因此直線＞=-%-5與曲線y=lnx和＞=爐的交點(diǎn)關(guān)于直線＞=%對稱,

于是。+分二-5,函數(shù)/(x)=產(chǎn)+(a+/3)x+a/3=x1-5x+a(3,

所以函數(shù)/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間是(一'g].

故選：A

3.ABC

【分析】設(shè)sin15。=%,由16片一16.+1=0可得〃x)=16“-16aly+4,再根據(jù)選項(xiàng)依次判斷正誤即可.

【詳解】設(shè)sin15。=sin(45。-3伊)=戈丁=x0

4x^-2=-V3,（4X：_2）2=3,

即16x：-16x：+l=0,

所以要使x。為系數(shù)都是整數(shù)的整式方程的根，則方程必須包含因式16/一16^+1.

432

由f(x)=a4x+a3x+a2x+atx+a0中x的最高次數(shù)為4,sin15。是它的一個零點(diǎn)，

4242

因止匕/(x)=+。3/+。2爐+%x+a0-a0(16X-16X+1)=16Z0X-16Z0X七0,

Bp。4—16。0,。3—0,a2=—16。0,a1—0,

14

對A選項(xiàng)，—=---^=16,是正確的；

4o22

對B選項(xiàng)，/(cosl5°)=fl0(16cos15-16cos15°+l)=a0^cos150-2)-3cos30013,是

正確的；

對C選項(xiàng)，/(-x)=16%(-x)4_]6%(-x)2+4=]6/%4―167f+%=/(x),是正確的;

42

對D選項(xiàng)，/(x)=16a0x-16a0x=a0|"(4r--3,當(dāng)旬>0時，/(x)最小值為-3旬，當(dāng)旬<0時,

/(X)無最小值，因此D選項(xiàng)是錯誤的.

故選：ABC.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵在于將含有無理數(shù)的平方根式通過兩次平方化成有理數(shù)，得到含有無理

數(shù)解的有理數(shù)整式方程，從而得解.

4.BD

【分析】分別討論AV0和A>0兩種情況，結(jié)合二次函數(shù)的圖像分析，即可得到答案.

【詳解】①當(dāng)A=(優(yōu)-2--4W0,即0W/wV4時，=產(chǎn)—(機(jī)―2)x+]=x?—(〃?—2)x+l,所以/(x)的

結(jié)合圖象可知，要使函數(shù)/(力=卜2-(%-2卜+1|在上單調(diào)，則產(chǎn)上：或產(chǎn)vj,解得：能與

乙乙乙乙乙乙

或加￡1,即3WMW4或0V加?1；

②當(dāng)A=(加一2)2-4>0,即冽<0或加>4,4*Kx)=x2-(m-2)x+1,則〃(%)的對稱軸為x=加？2，則〃(%)

結(jié)合圖象可知，要使函數(shù)/(x)=,_(冽_2)x+l|在上單調(diào),

15

,9、1

解得：4〈加W-,或——<m<0,

22

o1

綜上：3<加<不或一一W加W1；

22

故選：BD

5.[-1,0）

【分析】

利用分段函數(shù)的值域是各段值域的并集，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解即可.

【詳解】當(dāng)時，

若x<。，可得

若x*,/（x）>-2,函數(shù)的值域不可能為R；

②當(dāng)a<0時，2a<0,

所以函數(shù)/'（X）在（-叫。），[。,+8）上單調(diào)遞增，

若函數(shù)/（X）的值域?yàn)镽,只需向-2W-1,可得一l<a<o.

故答案為：[-1,0）

/5、

6.（-℃,-]

【分析】將/卜）=年（/+0尤+1）可看作由丁=坨","=/+°尤+1復(fù)合而成，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，列出不

等式，即可求得答案.

【詳解】設(shè)〃=/+辦+1,則/（x）=lg（x2+ax+l）可看作由y=lg〃,u=x2+ax+1復(fù)合而成，

16

由于y=Igi/在（0,+◎上單調(diào)遞增，

故要使得函數(shù)〃x）=1g（/+ax+1）在區(qū)間（-?,-2）上單調(diào)遞減，

需滿足u>0在區(qū)間（-叫-2）上恒成立，且〃=，+辦+1在區(qū)間（一叫一2）上單調(diào)遞減，

Q

----2-2勺

故2,解得

（-2）2+（-2）a+l>0

故。的取值范圍為（-嗎

（―00,—]

故答案為：2

反思提升：

1.研究二次函數(shù)圖象應(yīng)從“三點(diǎn)一線一開口”進(jìn)行分析，“三點(diǎn)”中有一個點(diǎn)是頂點(diǎn)，另兩個

點(diǎn)是圖象上關(guān)于對稱軸對稱的兩個點(diǎn)，常取與x軸的交點(diǎn)；“一線”是指對稱軸這條直線；“一

開口”是指拋物線的開口方向.

2.求解與二次函數(shù)有關(guān)的不等式問題，可借助二次函數(shù)的圖象特征，分析不等關(guān)系成立的條件.

3.閉區(qū)間上二次函數(shù)最值問題的解法：抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合，三點(diǎn)是指區(qū)間兩個端點(diǎn)和

中點(diǎn)，一軸指的是對稱軸，結(jié)合圖象，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想求解.

4不等式恒成立求參數(shù)范圍，一般有兩個解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù)，直接借

助于函數(shù)圖象求最值.這兩個思路，最后都是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.

分層檢測

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

1.（2011?遼寧沈陽?一模）已知函數(shù)/（無）=辦2+bx+c,若a>b>c且a+6+c=0,則它的圖象可能是（）

2.（2023高三上?江蘇徐州?學(xué)業(yè)考試）己知幕函數(shù)〃x）=（川+2n-2卜"!在（0,+s）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)機(jī)的

值為（）

A.-3B.-1C.3D.1

17

3.（2024?全國?模擬預(yù)測）若函數(shù)/（x）=,-（m-2）x+l|在上單調(diào)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（）

-19]「1JI-9-

A.—,1U3,—B.—,2U3,—

|_2」|_2」l_2」|_2」

-11「91「11「9-

C.--,1U3,—D.--,2U3,—

L2JL2j\_2]\_2]

4.（2023?全國?模擬預(yù)測）已知集合“=<x|y=xT],5={xGZ|x2<4）,則/cB的子集的個數(shù)為（）

A.1B.2C.4D.8

二、多選題

5.（2021?遼寧?模擬預(yù)測）已知函數(shù)x+"'X—（即/（x）=x2+卜-&,xeR）則（）

[x+尤一a,x>。

A.當(dāng)a=0時，/（x）是偶函數(shù)B./（X）在區(qū)間上是增函數(shù)

C.設(shè)/（尤）最小值為N,則NV；D.方程/'（x）=l可能有2個解

6.（23-24高一上?浙江?期中）若實(shí)數(shù)為，%滿足苫3-2』=尤3-3*2=1,則下列不等關(guān)系可能成立的是（）

A.xx<x2<x3B.x2<x3<xxC.x3<x2<D.x3<^<x2

7.（2024?全國?模擬預(yù)測）下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又是定義域上的減函數(shù)的是（）

A./（x）=-3x5B.f（x）=T

?

C./（尤）=1D./（x）=-2x

三、填空題

8.（2023?上海閔行?一模）已知二次函數(shù)/（x）=ax2+x+a的值域?yàn)?-8卷,則函數(shù)g（x）=2*+。的值域

為.

9.（2023?廣東珠海?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（無）=^+5-2》+1在區(qū)間[2,+8）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值

范圍是.

10.（2020?安徽蚌埠?三模）已知命題pHxeR,使得cos?x+sinx+1>/，若命題p是假命題，則實(shí)數(shù)m

的取值范圍是.

四、解答題

11.（2023?山東—模）已知二次函數(shù)/（無）滿足〃0）=-1,頂點(diǎn)為（1,-2）.

（1）求函數(shù)[（x）的解析式；

⑵若函數(shù)/（x）在區(qū)間T,4]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

18

12.(21-22高一上?遼寧?階段練習(xí))已知幕函數(shù)f(x)=,2+2?7-2)/-7"eZ)的定義域?yàn)镽，且在曲+⑹

上單調(diào)遞增.

(1)求m的值；

(2)Vxe[l,2],不等式/■(x)-3x+2>0恒成立，求實(shí)數(shù)0的取值范圍.

參考答案：

1.D

【分析】根據(jù)條件確定a>0,c<0,從而拋物線開口向上，/(0)=c<0,通過排除法得出選項(xiàng).

【詳解】由a>b>c且a+6+c=0,得。>0,c<0,

所以函數(shù)AX)是二次函數(shù)，圖象開口向上，排除A,C；

又/(0)=c<0,所以排除B；只有D符合.

故選：D.

2.A

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的定義，求得機(jī)=-3或加=1,結(jié)合幕函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.

【詳解】由函數(shù)〃x)=(僅2+2加-2卜為為幕函數(shù)，可得小+2相-2=1,

即川+2加-3=0,解得/=-3或m=1,

當(dāng)加=-3時，函數(shù)〃司=尸在(0,+功上單調(diào)遞減，符合題意；

當(dāng)加=1時，函數(shù)/(》)=%在(0,+。)上單調(diào)遞增，不符合題意.

故選：A.

3.C

【分析】由題意，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)建立不等式組，解之即可求解.

【詳解】令g(x)=_r2-(m-2)尤+1,

1a

即實(shí)數(shù)m得取值范圍為

故選：C.

4.B

19

【分析】化簡集合45,求/C3,再確定其子集個數(shù).

【詳解】因?yàn)楣?x\y=x>={x[x>0},B=xeZ|x2<4}={-1,0,1},

所以/C3={1},

所以有2個子集.

故選:B.

5.ABD

【分析】結(jié)合奇偶函數(shù)的定義和二次函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】A：當(dāng)°=0時，〃x)={K:,即“解=次+國,

所以/(一%)=(-+|*=/(x),所以/(X)是偶函數(shù)，故正確；

B：當(dāng)xW。時，f{x)=x~-x+a,/(&)的對稱軸為尤=；,開口向上，

此時/(X)在(g+℃)上是增函數(shù)，

當(dāng)x>a時，f(x)=x2+x-a,/(x)的對稱軸為尤=-g,開口向上，

此時/(X)在(g，+sj上是增函數(shù)，

綜上，/0)在，■，+<?］上是增函數(shù)，故3正確；

C：當(dāng)xW。時，/(x)mM=/(；)="；,

當(dāng)x>a時，/(x)min=

因?yàn)椴荒艽_定。的大小，所以最小值N無法判斷，故C錯誤；

D：令/(x)=l=>—工+。=1、X2+x-^z=1,

當(dāng)a=011寸，〃幻={仁二，尸1有2個解，故。正確.

故選：ABD

6.ABC

【分析】將條件轉(zhuǎn)化為*=3%=},在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=2"y=3"y的函數(shù)圖象,

判斷他們與y=m有交點(diǎn)時橫坐標(biāo)的大小情況.

【詳解】實(shí)數(shù)4，巧，￡滿足尤3-2*=工3-3'2=1,

H0,22=3'b=—,

如圖在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=2,，y=3"y=g的函數(shù)圖象，再作直線卜=加,

x

變換7〃的值發(fā)現(xiàn)，A，矛2，3的大小關(guān)系可能為W<x2<xlfx3=x2<xI,x2<x3<xt,x2<x3=xltx2<xt<x3,

x2=xt<x3,X1<x2<x3,故A、B、C正確，D錯誤.

故選：ABC.

7.AD

【分析】由解析式直接判