專題05最短路徑的三種考法

類型一、坐標系的最值問題(和最小，差最大問題)

(1)若點C是y軸上任意一點，連接AC,在直線AC上方以AC為一邊作等邊AACD.

①如圖1,當點D落在第二象限時，連接BD,求證：AB0BD；

②若AABD是等腰三角形，求點C的坐標；

(2)如圖2,若FB是OA邊上的中線，點M是FB一動點，點N是OB一動點，且OM+NM

的值最小，請在圖2中畫出點M、N的位置，并求出OM+NM的最小值.

【變式訓練1】如圖所示，點4。,0),8(0,6),且°,6滿足(a-1)2+|26-21=0.若P為x

軸上異于原點。和點A的一個動點，連接尸8,以線段尸3為邊構(gòu)造等腰直角(尸為頂

(2)如圖2所示，當點P在點O,A之間運動時，則A3、AE之間的位置關(guān)系為「并加以證

明；

⑶如圖3所示，點尸在無軸上運動過程中，若AE所在直線與y軸交于點R請直接寫出F

點的坐標為」當OE+3E的值最小時，請直接寫出此時OE與BE之間的數(shù)量關(guān)系_.

【變式訓練2】在平面直角坐標系中，B(2,20)，以0B為一邊作等邊AOAB(點A在X軸

正半軸上).

①如圖1,當點D落在第二象限時，連接BD,求證：AB0BD；

②若AABD是等腰三角形，求點C的坐標；

(2)如圖2,若FB是0A邊上的中線，點M是FB一動點，點N是0B一動點，且OM+NM

的值最小，請在圖2中畫出點M、N的位置，并求出OM+NM的最小值.

類型二、幾何圖形中的最短路徑問題

例1.如圖，已知NAOB=24。，平分OP=1,C在。4上，。在。8上，E在0P

上.當CP+CD+DE取最小值時，此時NPCD的度數(shù)為()

A.36°B.48°C.60°D.72°

例2.如圖，在三角形工ABC中，ZBAC=50°,AB^AC,3DLAC于。，M,N分別是線

段3D,BC上的動點，BM=CN,當AM+AN最小時，ZMAD=.

【變式訓練1】如圖，在等腰ABC中，AB=AC=20,BC=32,△ABD是等邊三角形,

P是NBAC的平分線上一動點，連接尸C,PD,則PC+PD的最小值為.

【變式訓練2】如圖，等腰三角形ABC的底邊8C的長為4,面積為24,腰AC的垂直平分

線所分別交邊AC,AB于點E,F,若。為BC邊的中點，M為線段EF上一動點，則

CM+MD的最小值為（）

【變式訓練3】如圖，在等邊0ABe中，8尸是AC邊上的中線，點〃在8E上，連接AD在

A。的右側(cè)作等邊HADE,連接ER當0AEP周長最小時，回CEE的大小是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【變式訓練4】如圖，在RtSABC中,0ACB=9O°,0ABC=6O°,AB=4,點D是BC上一動點,

以BD為邊在BC的右側(cè)作等邊回BDE,F是DE的中點，連結(jié)AF.CF,則AF+CF的最小值是一

類型三、最短路徑問題的實際應用

例1.如圖1,直線4,6表示一條河的兩岸，且。〃6現(xiàn)在要在這條河上建一座橋，橋的長度

等于河寬度且橋與河岸垂直.使村莊A經(jīng)橋過河到村莊8現(xiàn)在由小明、小紅兩位同學在圖2

設(shè)計兩種：

小明：作交a，b于點D,點C.在處建橋.路徑是A—C—。一3.

小紅：作ADLa,交于點。，點C；把CD平移至BE,連AE,交6于G,作

于尸.在FG處建橋.路徑是A—G-尸

B

a

b

A?

圖1

(1)在圖2中，問：小明、小紅誰設(shè)計的路徑長較短？再用平移等知識說明理由.

(2)假設(shè)新橋就按小紅的設(shè)計在FG處實施建造了，上游還有一座舊橋，早上10點某小船

從舊橋下到新橋下，到達后立即返回，在兩橋之間不停地來回行駛，船的航行方向和水流方

向與橋保持垂直船在靜水每小時14千米，水流每小時2千米，第二天早上6點時小明發(fā)現(xiàn)

船在兩橋之間(未到兩橋)且離舊橋40千米處行駛求這兩橋之間的距離.

例2.如圖m圓柱的底面半徑為4cm,圓柱高A3為2cm,8C是底面直徑，求一只螞蟻從

點A出發(fā)沿圓柱表面爬行到點C的最短路線.小明設(shè)計了兩條路線：

路線1：高線A8+底面直徑BC,如圖。所示，設(shè)長度為乙.

路線2：側(cè)面展開圖中的線段AC,如圖b所示，設(shè)長度為4.

BG______沿4&剪B_______________________

C---------開平鋪,

xU___________>-------------------------------------------

圖a圖6

(1)你認為小明設(shè)計的哪條路線較短？請說明理由；

(2)小明對上述結(jié)論有些疑惑，于是他把條件改成：“圓柱底面半徑為2cm,高AB為4cm"

繼續(xù)按前面的路線進行計算.(結(jié)果保留萬)

①此時，路線1的長度4=_,路線2的長度4=_；

②所以選擇哪條路線較短？試說明理由.

【變式訓練】閱讀下列材料，解決提出的問題：

最短路徑問題:如圖（1）,點A,B分別是直線/異側(cè)的兩個點，如何在直線/上找到一個點

C,使得點C到點4點8的距離和最短？我們只需連接A2,與直線/相交于一點，可知這

個交點即為所求.

如圖（2）,如果點A,8分別是直線/同側(cè)的兩個點，如何在/上找到一個點C,使得這個

點到點A、點8的距離和最短？我們可以利用軸對稱的性質(zhì)，作出點8關(guān)于的對稱點8,這

時對于直線/上的任一點C,都保持CB=C8,從而把問題（2）變?yōu)閱栴}（1）.因此，線段

AB與直線/的交點C的位置即為所求.

為了說明點C的位置即為所求，我們不妨在直線上另外任取一點C,連接AC,BC,B'C'.因

為ABMAU+CE,^AC+CB<AC+CB,即AC+BC最小.

任務：

數(shù)學思考

（1）材料中劃線部分的依據(jù)是.

（2）材料中解決圖（2）所示問題體現(xiàn)的數(shù)學思想是.（填字母代號即可）

A.轉(zhuǎn)化思想B.分類討論思想C.整體思想

遷移應用

（3）如圖，在RfflABC中，0C=9O°,回BAC=15。，點尸為AC邊上的動點，點。為48邊

上的動點，若則BP+DP的最小值為cm.

B

圖⑴圖⑵圖（3）

課后訓練

1.如圖，4。為等邊0ABC的高，E、尸分別為線段A。、AC上的動點，且AE=CR當BF

+CE取得最小值時，媯尸2=。.

2.如圖，在」16。中，ZABC=90°,BC=8,AC=10,點尸、。分別是邊3C、AC上的動

點，則AP+尸。的最小值等于（）

2448

A.4B.—C.5D.—

55

3.如圖，在五邊形43CDE中，ZBA￡=120°,ZB=Z￡=90°,AB=BC,AE=DE,在BC、

DE上分別找到一點M、N,使得，AMN的周長最小，則N/M+NAW的度數(shù)為（）

4.如圖，_ACD中，A3垂直CD于點8,且AB=CD,在直線8上方有一動點〃滿足

則點M到C、。兩點距離之和最小時，ZMDB=度.

2

5.如圖，在銳角AABC中，AC=8cm,SMBC=18cm,AD平分N5AC,M,N分別是AD

和48上的動點，則破+ACV的最小值是cm.

6.如圖，在邊長為2的等邊a48c中，。為8C的中點，E是AC邊上一點，則BE+OE的最

小值為.

7.如圖1,已知直線/的同側(cè)有兩個點A、B,在直線/上找一點P,使P點到A、8兩點

的距離之和最短的問題，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點關(guān)于直線/的對稱點，對

稱點與另一點的連線與直線/的交點就是所要找的點，通過這種方法可以求解很多問題.

(1)如圖2,在平面直角坐標系內(nèi)，點A的坐標為(1,1),